二次根式及其有意义的条件.docx

初中数学 二次根式及其有意义的条件 编稿老师

徐文涛 一校

杨雪

二校

黄楠

审核

隋冬梅

【考点精讲】

概念

二次根式 表示方法

有意义的条件

1. 二次根式：一般地，我们把形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，其中“

”称为

二次根号，“ a ”叫做被开方数。

2. 当 a ＞ 0 时，

a 表示 a 的算术平方根，因此 a ＞ 0； 当 a ＝0 时， a 表示 0 的算术平方根，因此 a ＝ 0。

这就是说，

a （ a ≥ 0）是一个非负数。

【典例精析】

例题 1

下列各式中，是二次根式的有（

）

10 ， x 2 3 ， 3 15 ，

，5

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

思路导航：

3

15 的根指数为 3； 5 的被开方数是负数，所以不是二次根式；

10 ，

x 2

3 ，

符合二次根式的条件，所以是二次根式的有

3 个。

答案： C

点评： 二次根式必须满足两个条件：①根指数为 2；②被开方数为非负数。这两个条件缺一不可。利用这两个条件逐一判断即可。

例题 2 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义

（ 1）

(x 3) 2 ；（ 2） 4 3x ；（ 3）

1

x 1

思路导航： 要使被开方数有意义，则被开方数必须是非负数，

如果分母中有根式， 那么

被开方数必须是正数，因为零不能作分母。

答案： 解：（ 1）因为（ x － 3） 2≥0，所以无论 x 取任何实数，

(x 3) 2 都有意义；

（ 2）若

4 3x 有意义，则必有 4－3x ≥0，即当 x ≤ 4

时， 4 3x 有意义；

3

（ 3）若

1 有意义，则必有 x － 1＞ 0，即当 x ＞ 1 时， 1 有意义。

x 1 x

1

点评： 本题考查了二次根式及分式有意义的条件。用到的知识点：要使分式有意义，分母不能为 0；二次根式的被开方数是非负数。本题应注意在求得取值后应排除不在取值范围内的值。

例题 3 已知 x 、y 为实数， y=

x

2

4

4 x 2

1

，试求 3x+4y 的值。

x 2

思路导航： 根号内是非负数，分母不为

0 来综合考虑，得到相应的未知字母的值。

x 2 4 0 2

是原式分母，

答案： 解：依题意得

x 2

，所以 x =4，所以 x=±2，又因为 x － 2

4

所以 x －2≠0，所以 x ≠2，所以 x=－ 2，此时， y= － 1

，所以 3x+4y=3× （－ 2）+4×（－

1

）

4

4

=－ 7。

点评： 用到的知识点为：互为相反数的两个数都是被开方数，那么这两个数都为

0。

【总结提升】

1. 正确理解二次根式的概念，要注意以下几点：

（ 1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号，如 3 ， 9 ， 0.01 。

（ 2）“

”的根指数为 2，即“ 2

”，我们一般省略根指数

2，例如 2 5 写作 5 ，

而 3 5 不是二次根式，所以

3

5 不能写作 5 。

2. 需要掌握三个具有非负性的式子：①a

2

≥0；② |a| ≥0；③

a ≥0（a ≥0）。

例如： x

1 +（ y － 1） 2+|z|=0 ， x 1 =0，（ y － 1）2=0，|z|=0 ，则 x=－ 1，y=1，z=0。

2

2

3. 如果将公式

a a （ a ≥ 0）逆用，即 a

a （ a ≥ 0），就可以把一个非负数写

成一个数的平方的形式。例如： 3

2

， a

b

a 2

3 b 。（ a － b ≥ 0）

a 2

a 2

2

这一公式常用在因式分解中，如：

5 5 (a 5)( a 5) 。

（答题时间： 20 分钟）

1. 下列式子中，是二次根式的是（

）

A. － 7

B.

3

7 C. x D.

x

2. 要使

a

是二次根式，则应满足的条件是（

）

b

A. a ≥0且 b ≥0

B. a ≥0且 b ＞ 0

C. a

＞ 0

D.

a

≥0且 b ≠0

b

1

b

3. 函数 y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ）

x 2

A. B.

C. D.

4.使式子( x 5)2有意义的未知数 x 有（）个

A. 0

B. 1

C. 2

D.无数

5.已知12 a 是正整数，则实数 a 的最大值为（）

A. 12

B. 11

C. 8

D. 3

6.若 m2n 112n 2 ，则ｍ=_______，ｎ＝。

7.要使3

1

有意义，则 x 应满足 ________。x

2 x1

8.如果49a 的值是一个整数，且是大于 1 的数，那么满足条件的最小的整数a=____。

9.x 取什么实数时，下列各式有意义

（ 1） 3 4x ；（ 2）3x 2 ；

（ 3）(x 3) 2；（ 4）3x4 4 3x

10. 已知a、b、c为实数，且 a 3 b 2 2c 1 0，求a、b、c的值。