数字图像处理~图像复原

2
2π σ
e
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瑞利噪声
瑞利噪声的概率密度函数 ：
2 ( z − a )e p (z ) = b 0
µ = a +
σ
2
− ( z − a )2
b
z ≥ a z < a
概率密度的均值和方差：
πb
4
=
b (4 − π 4
)
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伽马（爱尔兰）噪声
伽马噪声PDF：
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噪声和图像
数字图像中的噪声源来自于Biblioteka 像获取（将连续转为 数字）以及传输过程
图像传感器会受到环境的干扰 图像在传输过程中会受到的干扰
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噪声模型
对于图像中的噪声项η(x, y) 有多种不同模型：
高斯（Gaussian）噪声 瑞利（Rayleigh）噪声 伽马（爱尔兰）噪声 指数（Exponential）噪声 均匀（Uniform）噪声 脉冲（椒盐）噪声
p (z ) = 0
a b z b −1 − az e (b − 1 )!
z≥0 z<0
其中，a>0，b为正整数且“！”表示阶乘。其密度 的均值和方差为： b µ = a b 2 σ = 2 a
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指数分布噪声
指数噪声的PDF：
ae − az p( z ) = 0
ˆ f ( x, y ) =
mn ( s ,t )∈S xy
∑ g ( s, t )
被实现为一个简单的平滑滤波器，此时可以消除噪 声，使图像变得模糊。
1/ 1/ 1/ 9 9 9 1/ 1/ 1/ 9 9 9 1/ 1/ 1/ 9 9 9
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几何均值
用几何均值滤波器复原一幅图像由如下表达式给出：
fˆ ( x , y ) =
( s , t )∈ S
∑
( s , t )∈ S
∑
xy
g (s,t)
xy
Q
其中Q称为滤波器的阶数。这种滤波器适合减少或 在实际中消除椒盐噪声的影响。当Q是正数时，滤 波器用于消除“椒”噪声；当Q是负数时，滤波器 用于消除“盐”噪声。但它不能同时消除这两种噪 声。
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H [k1 f 1 ( x, y )] = k1 H [ f 1 ( x, y )]
(2) 相加性（k1 = k2 = 1 ）： (3) 一致性（f2(x, y) = 0 ）： (4) 位置（空间）不变性：
H [ f ( x − a , y − b)] = g ( x − a , y − b)
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典型表现：
图像模糊、失真、有噪声
原因： ：
透镜像差/色差：光学系统本身 聚焦不准（失焦，限制了图像锐度） 模糊（限制频谱宽度）：图像采集过程中产生 噪声（是一个统计过程） 抖动（机械、电子）
复原方法：根据不同的退化模型，处理技巧和估计 准则，导出各种不同的恢复方法
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四种类型的退化
(a)规则图案变形， (a)规则图案变形，胶片冲洗时易发生 规则图案变形 (b)边缘模糊 边缘模糊， (b)边缘模糊， 光学系统中的孔径衍生产生退化 (c)运动模糊 运动模糊， (c)运动模糊，或在拍摄过程中相机发生振动 (d)随机噪声的叠加 (d)随机噪声的叠加
fˆ ( x , y ) = ∑ g (s , t ) ( s , t )∈ S
1 mn
其中，每一个被复原像素由子图像窗口中像素点的 1 mn 次幂给出。几何均值滤波器所达到的平滑度可 以与算术均值滤波器相比，但在滤波过程中会丢失 更少的图像细节。
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谐波均值滤波器
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图像复原技术
图像复原技术：
退化函数估计： • 图像观察估计法 • 模型估计法 图像去噪：可以使用空间域或频率域滤波器实现
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图像观察估计法
给定一幅退化图像，但没有退化函数H的知识，那 么估计该函数的方法之一就是收集图像自身的信息：
寻找简单结构的子图像 寻找受噪声影响小的子图像
当使用逆谐波均值滤波器时，如果选择了不当的Q 值会带来严重的错误
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顺序滤波器
顺序统计滤波器是空间域滤波器，它们的响应基于 滤波器包围的图像区域中像素点的排序。滤波器在 任何点的响应由排序结果决定。 顺序统计滤波器有：
中值滤波器 最大值和最小值滤波器 中点滤波器 修正后的Alpha均值滤波器
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图像退化
图像退化：图像在形成、记录、处理和传输过程中， 由于成像系统、记录设备、传输介质和处理方法的 不完善，从而导致的图像质量下降 图像复原就是对退化的图像进行处理，试图恢复损 坏的图像，还原真面目
确定损坏过程，并尝试其逆过程进行复原 类似于图像增强，但更加客观
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图像退化
图像退化与数学模型
可以表示为线性位移不变系统的退化模型：
不考虑加性噪声：g(x，y)= f(x，y)* h(x，y) 考虑加性噪声：g(x，y)= f(x，y)* h(x，y)+ n(x，y) 卷积等同于频域内乘积：G(u,v)=F(u,v)H(u,v)+N(u,v)
使用线性位移不变系统的原因
很多退化都可以用线性位移不变模型来近似，可以借 助数学工具求解图像复原问题 当退化不太严重时，一般有较好的复原结果 尽管实际非线性和位移可变的情况能更加准确而普遍 地反映图像复原问题的本质，但求解困难。
ˆ f ( x, y ) = max {g ( s, t )}
σ
2
z≥0 z<0
其中，a>0。概率密度函数的期望值和方差：
1 µ = a
= 1 a2
注意，指数分布的概率密 度函数是当b=1时爱尔兰概 率分布的特殊情况。
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均匀分布噪声
均匀分布噪声的概率密度： 1 a≤ z≤b p (z ) = b − a 0 其他 概率密度函数的期望值和方差是：
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噪声举例
右图为额外噪声演示的理想情况，下面我们会对各 个噪声模型作用于图像时的结果进行演示。 下图为原始图像和其直方图
Histogram to go here
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噪声举例(续…)
高斯
瑞利
爱尔兰
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噪声举例(续…)
指数
均匀噪声
椒盐
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空域滤波复原
使用谐波均值滤波器的操作由以下表达式表示：
fˆ ( x , y ) =
( s , t ) ∈ S xy
mn
∑
1 g (s,t)
谐波均值滤波器对于“盐”噪声效果比较好，但 是不适用于“椒”噪声。它善于处理像高斯噪声那 样的其他噪声。
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逆谐波均值滤波器
逆谐波均值滤波器对一幅图像的复原基于以下表达 Q +1 式： g (s,t)
我们可以使用不同类型的空间滤波器消除不同类型 的噪声
均值滤波器 • 算术均值滤波器 • 几何均值滤波器 • 谐波均值滤波器 • 逆谐波均值滤波器 顺序统计滤波器 • 中值滤波器 • 最大值/最小值滤波器 自适应滤波器
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算术均值滤波器
算术均值滤波器是其中一个最为简单的滤波器，可 以按如下计算： 1
Gaussian Rayleigh
Erlang
Exponential
Uniform Impulse
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高斯噪声
高斯随机变量z的概率密度函数（ PDF ）由下式给 − ( z − µ )2 出 1 2σ 2
p (z ) =
µ σ 其中，z表示灰度值， 表示z的平均值或期望值， 表示标准差。标准差的平方 σ ，称为z的方差。高斯 函数的曲线如图所示。 服从上式的分布时， 其值有70%落在范围 [(µ − σ ), (µ + σ )]之内，且 有95%落在范围落在 [(µ − 2σ ), (µ + 2σ )] 内。
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中值滤波器
中值滤波器：用该像素相邻像素的灰度中值来代替 该像素的值
ˆ f ( x, y ) = median{g ( s, t )}
( s ,t )∈S xy
在噪声去除方面非常不错，没有其它平滑滤波器中 的平滑效果 尤其对于椒盐噪声非常有用
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最大值/最小值滤波器
最大值滤波器，发现图像中的最亮点非常有用：
构造一个估计图像，它和观察的子图像有相同大小 和特性
g s ( x, y ) 表示观察子图像，ˆs ( x, y ) 表示构造的子图像 f ˆ Gs (u, v) 和 Fs (u , v ) 为对应的傅立叶变换
G S (u , v) H s (u , v) = ˆ F (u , v)
s
假设空间不变的，由 H s (u, v) 推导出完全函数 H (u, v)
噪声去除举例
原始图像
高斯噪 声干扰 的图像
3*3算术均 值滤波后 的图像
3*3几何均 值滤波后 的图像
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噪声去除举例(续…)
椒噪声干 扰的图像
盐噪声干 扰的图像
3*3 逆谐波均 值滤波的结果 （Q=1.5）
3*3逆谐波均 值滤波结果 （Q=-1.5）
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逆谐波均值滤波器
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图像恢复 (Image Restoration)
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本节课我们将学习图像复原技术
图像退化 图像退化与数学模型 图像复原技术 噪声模型 空域滤波复原 频域滤波复原
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图像恢复: Image Restoration 也称图像复原，图像处理中的一大类技术 图像恢复vs.图像增强 相同之处： 改进输入图像的视觉质量 不同之处： 图像增强借助人的视觉系统特性，以取得较好的视觉 结果（不考虑退化原因） 图像恢复根据相应的退化模型和知识重建或恢复原始 的图像（考虑退化原因）