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最优化方法PPT
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同时太阳系这个"整体"又是它所属的"更大整 体"--银河系的一个组成部分。世界上的具体系统是 纷繁复杂的，必须按照一定的标准，将千差万别的 系统分门别类，以便分析、研究和管理，如：教育 系统、医疗卫生系统、宇航系统、通讯系统等等。 如果系统与外界或它所处的外部环境有物质、能量 和信息的交流，那么这个系统就是一个开放系统， 否则就是一个封闭系统。开放系统具有很强的生命 力，它可能促进经济实力的迅速增长，使落后地区 尽早走上现代化。如改革开放以来已大大增强了我 们的综合国力。而我国的许多边远山区农村，由于 交通不便，相对封闭，还处于比较落后的状态。
会科学和思维科学的相互渗透与交融汇流，产生了 具有高度抽象性和广泛综合性的系统论、控制论和 信息论。
系统论是研究系统的模式、性能、行为和规律 的一门科学。它为人们认识各种系统的组成、结构、 性能、行为和发展规律提供了一般方法论的指导。 系统论的创始人是美籍奥地利理论生物学家和哲学 家路德维格·贝塔朗菲。系统是由若干相互联系的 基本要素构成的，它是具有确定的特性和功能的有 机整体。如太阳系是由太阳及其围绕它运转的行星 （金星、地球、火星、木星等等）和卫星构成的。
从数学上比较一般的观点来看，所谓最优化问题可 以概括为这样一种数学模型：给定一个“函数”，F(X)， 以及“自变量”X应满足的一定条件，求X为怎样的值时， F(X)取得其最大值或最小值。这里在函数和自变量两个 词上之所以打上引号，是想强调它们的含意比中学数学 和大学微积分中函数的定义要广泛得多。通常，称F(X) 为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条件”。约 束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。求目标函数 F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题，就是一 般最优问题的数学模型，它还可以利用数学符号更简洁 地表示成：Min F(X)或Max F(X)。
最优化方法全部PPT课件
最优化方法
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
（最优化课件研制组）
编辑课件
1
最优化方法
为了使系统达到最优的目标所提出的各种求解方法
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来
的。
最优化方法解决问题一般步骤：
（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资 料和数据；
（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变
向量内积的性质：
ⅰ) ,,（对称性）；
ⅱ) , , , k,k,（线性性）；
ⅲ) , 0 ,当且仅当 0 时，, 0（正定性）；
编辑课件
13
向量的长 ,
单位向量 1
向量的夹角
，
,
arccos
,
0 ,
向量的正交 , ,0（正交性）
2
1.可微
定义1.7 设 f:D R n R 1,x0 D .如果存在 n
sx 0
sx 0
x* x*
f f x*
编辑课件
9
1.4 二维问题图解法
二维极值问题有时可以用图解的方式进行求解，有 明显的几何解释。
例 求解 m infx ,y x 2 2 y 1 2
编辑课件
10
图解法的步骤：
①令 fx,yx22y 1 2c，显然 c 0 ；
②取 c0,1,4,9, 并画出相应的曲线（称之为等值线）.
解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题 原料切割问题 运输问题 营养配餐问题 分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xx1,x2, ,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 , ,x n 编辑课m 件 i n fx （1）
最优化计算方法(工程优化)第4章
f (x*) 0, 2 f x 正定，则 x 为 f (x) 的严格局部极小
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
工程设计中的优化方法
箱形梁优化设计的数学模型
min f (X), X∈R4 s.t. gj(X)≤0, j=1, 2, ···, 6 属约束非线性规划问题。选用可行方向法求解。
优化结果：取出三种跨度的优化结果见表5-1。
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大
值，即
min f (X) 或 max f (X)。
• 用效果函数(如性能指标、利润等)作目标函数，则是求极大值； • 用费用函数(如能源、材料、经费等)作目标函数，则求极小值。
单目标和多目标优化问题
• 单目标优化问题：只包含一个优化目标的问题 • 多目标优化问题：存在两个或两个以上优化目
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
8
870 380 6
6
1020 370 6
8
减轻自 重
（%）
19.8 18.8 13.7
3. 优化设计的计算方法
• 可行域 域内设计点（设计 方案）满足所有约束条件。
gu(X)=0
可行域
可行域内的设计点称为可行点。 不可行域
• 不可行域 域内的设计点
设计空间
不满足或不全满足约束条件。不可行域内的设计点
称为不可行点，一般是工程实际不能接受的方案。
约束优化设计中，最优点一般是约束区域的边界点， 即设计点位于某个约束面上： gu(X)=0 (1≤u≤p)
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化 PPT课件
22
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
LINGO软件的求解过程
1. 确定常数 2. 识别类型
LINGO预处理程序 LP QP NLP IP 全局优化(选)
分枝定界管理程序
ILP IQP INLP
线性优化求解程序 非线性优化求解程序
1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选)
并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司
机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线性模型.
解
设 x i 为第i 班应报到的人员( i =1,2,…,6)，则应配备
人员总数为：
6
Z xi
i1
按所需人数最少的要求，可得到线性模型如下：
6
min Z xi
i 1
26
x1 x 6 6 0
x1 x 2 7 0
容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 C (cij ) ，C
被称为指派问题的系数矩阵。
13
2 指派问题（又称分配问题 Assignment Problem）
例 2 拟分配 n 人去干 n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i 人 去干第 j 项工作，需花费 cij 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花
2010x272x1x210x1x28z1226单纯形法求解线性规划21其他22lingolingo模型的优点连续整数优化功能?运行速度较快?具有多点搜索全局优化功能提供了灵活的编程语言矩阵生成器可方便地输入模型提供与其他数据文件的接口如textexcelodbc数据库接口lindoapi可用于自主开发23lpqpnlpip全局优化选ilpiqpinlplingo预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序内点算法选1顺序线性规划法slp2广义既约梯度法grg集合段setsendsets数据段dataenddata初始段initendinit计算段calcendcalc90子模型submodelendsubmodel100lingo模型的构成
工程优化方法-第1章 极值理论与最优化问题的数学表达
f ( X *) 0
展开式：
f ( X * X ) f ( X *) f ( X *)T X 1 X T H ( X *)X 2
f ( X * X ) f (X *) 1 X T H (X *)X 0 2
f ( X * X ) f ( X *)
可见，通过梯度为零点的海辛矩阵是否是正定可 以判别是否是极小点。
j
h11, h12,
H
hn1, hn2,
, h1n
, hnn
nn
nn
hij x j xi
hij x j xi
[ i1 j1
, i1 j1
,
x1
x2
nn
hij x j xi
, i1 j1
]T
xn
n
n
n
n
n
n
[ h1 j x j hi1xi , h2 j x j hi2xi , , hnj x j hin xi ]T
j 1
(1 5)
L( X ,W ,) xi
f ( X ) xi
m
j
j 1
g j ( X ) xi
0
L( X ,W ,)
w j
2 jwj
0
L( X ,W
j
,)
g
j(X
)
w2j
0
由上式可推导：
f ( X )
xi
jg j(X )
m
j
j 1
0
g j ( X xi
)
0
j 0
(1 6)
求极小问题的 j 取值推导：
梯度方向是函数值变化率最大方向证明：
证明：设X为任意迭代点，设沿任意迭代方向移动到新点：
最优化理论与算法ppt
x 为的严格局部极小值点（极大值）
Page 17
凸集、凸函数与凸优化问题
凸组合：已知 D ，Rn任取k个点，如果存在常 数
k
使得ai
0
(i 1则, 2称,, k为) ai i 1
1
如果函数在点P(x, y) 是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
其中为x轴到方向L的转角
Page 11
函数的方向导数与极值问题
梯度
函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
(2) 若 f (x0)T P 0，则P的方向是函数在点x0 处的上升方向。
方向导数的正负决定了函数值 的升降，而升降的快慢就由它的 绝对值大小决定．绝对值越大， 升降的速度就越快
Page 14
结论：
(1)梯度方向是函数值的最速上升方向； (2)函数在与其梯度正交的方向上变化率为零； (3)函数在与其梯度成锐角的方向上是上升的，而在与其梯度
以 f (x) 的n个偏导数为分量的向量称为在处的梯度，
记为
f
(
x)
f (x) x1
,
f (x) ,
x2
,
f (x)T
xn
梯度也可以称为函数关于向量的一阶导数。
Page 12
Hesse矩阵
2 f (x)
x12
2 f (x)
2
f
( x)
H (x)
x2x1
2 f (x)
2c 0
xnx1
目标函数的等值面（线） 对于简单的问题，可用等值线或等值面来描述函数的
工程最优化设计理论、方法和应用PPT课件
∆Xk = αk dk 即 Xk+1=Xk+αk dk 满足f(Xk+1) < f(Xk)
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
于是 变成求
f(Xk+1)=f(Xk+αk dk )
的极值点问题
这里的核心问题是确定
?dk ?αk
1.解析法:可以确定dk(目标函数的负梯度方向)，也可求出
一元函数的极值确定一最佳搜索步长αk，即φ(αk ) = f(Xk+αk dk )，应有φ’(αk )=0
min f (x1,..., xn )
s.t. gk (x1,..., xn ) 0 k 1,..., n
Eular,Lagrange, Problems in infinite dimensions, calculus of variations
1950s－, 数学规划法， 即：数值计算法(迭代法)—通过计算求得最优解。
供应量
360
300
200
？
分析：设每天生产甲产品 x1 件， 乙产品 x2 件，于是该生产计划问题可归结为
求变量 x1， x2 使函数 f(x1,x2)=60x1+120x2 极大化
需满足条件
g1(x1, x2 ) 9x1 4x2 360
g2 (x1, x2 ) 3x1 10x2 300
g3 (x1, x2 ) 4x1 5x2 200
Fe
2EI
L2
其中，I钢管截面惯性矩
I (R4 r4 ) A (T 2 D2 )
4
8
1
刚好满足强度约束条 件 时，有
F1 A
F(B2 h2 ) 2
TDh
y
其中 A是钢管截面面积 A=π(R2-r2)= πTD
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第二章 线性规划
➢ 二维问题的图解法 ➢ 线性规划的基本定理
➢ 大M法 要点：基本定理、顶点、标准形式、典范形式、可行基本解、
价值系数、最优性准则、单纯形表格法
☆ 在模型
min f(x)
中
s.t. gi (x) 0, i 1,, l
h j (x) 0, j 1,, m
当f(x), g i(x), (i=1,…l ), hj(x), (j=1,…m)为线性函数时，称为线性规划问题
§2.4.2 线性规划的两个重要性质 ☆基本定理
（1）线性规划的可行域是一个凸集； （2）线性规划若存在可行点，则必存在可行域的顶点；
若存在最优点，则至少有一个顶点是最优点。
☆定理的重要意义 （1）保证了顶点的存在性； （2）把一般要从无限个可行点中寻优最优点的问题 简化为仅在有限个顶点中确定最优点的问题
问题：为什么顶点只有有限个？怎样找出顶点？
§2.5 线性规划的标准形式
➢ 思路：
一般LP
标准LP
单纯形法求解标准LP
➢ LP的标准形式：
min z=c1x1+ c2x2+．．．+ cnxn
s.t. a11x1+ a12x2+．．．+ a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+．．．+ a2nxn=b2 ．．．．．．．．．．．．． am1x1+ am2x2+．．．+ amnxn=bm
☆ 凸集的基本性质
若M1和M2为凸集，λ为正实数，则集合 （1）{y|y =λx, x∈M1} （2）{y|y =x+z, x∈M1, z∈M2} （3）M1和M2的交集M1∩M2
都为凸集。
☆ 顶点
如果凸集M中的一个点x不是M中任一线段的内点，则x是M 的一个顶点
E
A
B
K
F
H
C
D
G
（球面上的所有 点都是顶点）
0
3x1+4x2=12 3x1+3x2=10
x1
§2.4 线性规划的基本定理
§2.4.1 凸集与顶点 ☆凸集：设M为Rn中的一个集合，如果对M中任意两点为端点
的线段全部含于M中，则称M为凸集。
x(1)
x(1)
x(1)
x(2)
x(2)
x(2)
☆直观理解：内部没有“洞”，边界不向内凹的形体
非凸集 实例
f(x) = 8(5x1+4.5x2) = 40 x1+36x2
数学模型
min f(x)=40x1+36x2 s.t. 5x1+3x2 45 x1≤8 x2≤10 x1, x2 ≥0
隐含的 约束条件
§2.2 二维问题的图解法
图解步骤 （1）在x10x2坐标平面上画出可行域； （2）作目标函数的等高线 (为一组平行的直线)， 根据等高线函数值的变化规律及目标函数的要 求，确定等高线的移动方向，按此方向移动 等高线，使其达到可行域的极限点（最优点）；
Linear Programming ( LP )
☆ 1832和1911年，法国数学家J. B. J.傅里叶和C.瓦莱普森分别 提出线性规划的想法
☆ 1939年，苏联数学家康托洛维奇提出并解决了一个线性规划 问题（《生产组织与计划中的数学方法》）
☆ 1947年，美国数学家G.B.Dantzing提出单纯形法，奠定了LP 的理论基础
☆ 研究重要性
（1）一些 NLP 问题可简化为 LP 问题求解 （2）是开发一些较复杂 NLP 算法的基础 （3）是所有最优化方法中最常用的技术
( 占47％；科学计算中，LP的计算时间占1/4）
§2.1 建立LP问题数学模型的实例
（1）确定自变量 建模的三个步骤 （2）把问题的约束条件表示成等式或不
（3）根据最优点的位置，联立求解对应的约束方程， 求出最优点坐标；
（4）将最优点坐标代入目标函数，求出最优值。
P19 例： max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2≤12
3x1+3x2≤10 4x1+2x2≤8
x1, x2 ≥0
x2
4x1+2x2=8
3
A
最优点(x1* =4/5, x2*=12/5)
x1, x2 ≥0 最优点：
CD上的所有点
B
f *=8
0
f =4
3x1+4x2≤12
3x1+3x2≤10 C
f =8
x1
§2.3.2 无界可行域
例：
x2
max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ≤≥ 12
3x1+3x2 ≤≥ 10 4x1+2x2 ≥≤ 8
x1, x2 ≥ 0 数学上存在
D
f =52/5
f *=52/5
B
0
3x1+4x2=12
3x1+3x2=10
C
4
f =7
x1
§2.3 线性规划问题的几种特殊情况
§2.3.1 有无限个最优解 x2
例： max f(x)=4x1+ 23 x2 s.t. 3x1+4x2≤12
4x1+2x2≤8 A
3x1+3x2≤10
D
4x1+2x2≤8
等式 （3）写出目标函数
例2.1.1 确定职工编制问题
某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两 种不同水平的检验员。一级检验员的标准是：速度 25件/小时，正确率 98％， 计时工资 4元/小时；二级检验员的标准是：速度 15件/小时，正确率 95％， 计时工资 3元/小时。检验员每错验一次，工厂要损失2元。现可供厂方聘请 的检验员人数为一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该工厂应聘一 级和二级检验员各多少名？
分析：设应聘一级检验员x1 ，二级检验员x2
约束一：可聘两级检验员人数
x18
约束二：每日产量要求 目标函数
x210 8(25)x1+8(15)x21800
5x1+3x2 45
一级检验员每小时费用 4＋25 (0.02) (2)=5元/小时
二级检验员每小时费用 3＋15 (0.05) (2)=4.5元/小时
x1≥0, x2≥0, ．．．, xn≥0 b1≥0, b2≥0, ．．．, bm≥0
目标函数 约束方程组 非负条件
➢ 用矩阵和向量表示的LP的标准形式：
min z = cTx s.t. Ax = b
目标函数 约束方程组
4x1+2x2=8
但对于实际问题，可 能是遗漏或写错了约 束条件！
0
f 增大方向
3x1+4x2=12 3x1+3x2=10
x1
§2.3.3 可行域为空集
例：
x2
max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ≤ 12
3x1+3x2 ≤≥ 10 4x1+2x2 ≤ 8
x1, x2 ≥0
4x1+2x2=8
➢ 二维问题的图解法 ➢ 线性规划的基本定理
➢ 大M法 要点：基本定理、顶点、标准形式、典范形式、可行基本解、
价值系数、最优性准则、单纯形表格法
☆ 在模型
min f(x)
中
s.t. gi (x) 0, i 1,, l
h j (x) 0, j 1,, m
当f(x), g i(x), (i=1,…l ), hj(x), (j=1,…m)为线性函数时，称为线性规划问题
§2.4.2 线性规划的两个重要性质 ☆基本定理
（1）线性规划的可行域是一个凸集； （2）线性规划若存在可行点，则必存在可行域的顶点；
若存在最优点，则至少有一个顶点是最优点。
☆定理的重要意义 （1）保证了顶点的存在性； （2）把一般要从无限个可行点中寻优最优点的问题 简化为仅在有限个顶点中确定最优点的问题
问题：为什么顶点只有有限个？怎样找出顶点？
§2.5 线性规划的标准形式
➢ 思路：
一般LP
标准LP
单纯形法求解标准LP
➢ LP的标准形式：
min z=c1x1+ c2x2+．．．+ cnxn
s.t. a11x1+ a12x2+．．．+ a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+．．．+ a2nxn=b2 ．．．．．．．．．．．．． am1x1+ am2x2+．．．+ amnxn=bm
☆ 凸集的基本性质
若M1和M2为凸集，λ为正实数，则集合 （1）{y|y =λx, x∈M1} （2）{y|y =x+z, x∈M1, z∈M2} （3）M1和M2的交集M1∩M2
都为凸集。
☆ 顶点
如果凸集M中的一个点x不是M中任一线段的内点，则x是M 的一个顶点
E
A
B
K
F
H
C
D
G
（球面上的所有 点都是顶点）
0
3x1+4x2=12 3x1+3x2=10
x1
§2.4 线性规划的基本定理
§2.4.1 凸集与顶点 ☆凸集：设M为Rn中的一个集合，如果对M中任意两点为端点
的线段全部含于M中，则称M为凸集。
x(1)
x(1)
x(1)
x(2)
x(2)
x(2)
☆直观理解：内部没有“洞”，边界不向内凹的形体
非凸集 实例
f(x) = 8(5x1+4.5x2) = 40 x1+36x2
数学模型
min f(x)=40x1+36x2 s.t. 5x1+3x2 45 x1≤8 x2≤10 x1, x2 ≥0
隐含的 约束条件
§2.2 二维问题的图解法
图解步骤 （1）在x10x2坐标平面上画出可行域； （2）作目标函数的等高线 (为一组平行的直线)， 根据等高线函数值的变化规律及目标函数的要 求，确定等高线的移动方向，按此方向移动 等高线，使其达到可行域的极限点（最优点）；
Linear Programming ( LP )
☆ 1832和1911年，法国数学家J. B. J.傅里叶和C.瓦莱普森分别 提出线性规划的想法
☆ 1939年，苏联数学家康托洛维奇提出并解决了一个线性规划 问题（《生产组织与计划中的数学方法》）
☆ 1947年，美国数学家G.B.Dantzing提出单纯形法，奠定了LP 的理论基础
☆ 研究重要性
（1）一些 NLP 问题可简化为 LP 问题求解 （2）是开发一些较复杂 NLP 算法的基础 （3）是所有最优化方法中最常用的技术
( 占47％；科学计算中，LP的计算时间占1/4）
§2.1 建立LP问题数学模型的实例
（1）确定自变量 建模的三个步骤 （2）把问题的约束条件表示成等式或不
（3）根据最优点的位置，联立求解对应的约束方程， 求出最优点坐标；
（4）将最优点坐标代入目标函数，求出最优值。
P19 例： max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2≤12
3x1+3x2≤10 4x1+2x2≤8
x1, x2 ≥0
x2
4x1+2x2=8
3
A
最优点(x1* =4/5, x2*=12/5)
x1, x2 ≥0 最优点：
CD上的所有点
B
f *=8
0
f =4
3x1+4x2≤12
3x1+3x2≤10 C
f =8
x1
§2.3.2 无界可行域
例：
x2
max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ≤≥ 12
3x1+3x2 ≤≥ 10 4x1+2x2 ≥≤ 8
x1, x2 ≥ 0 数学上存在
D
f =52/5
f *=52/5
B
0
3x1+4x2=12
3x1+3x2=10
C
4
f =7
x1
§2.3 线性规划问题的几种特殊情况
§2.3.1 有无限个最优解 x2
例： max f(x)=4x1+ 23 x2 s.t. 3x1+4x2≤12
4x1+2x2≤8 A
3x1+3x2≤10
D
4x1+2x2≤8
等式 （3）写出目标函数
例2.1.1 确定职工编制问题
某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两 种不同水平的检验员。一级检验员的标准是：速度 25件/小时，正确率 98％， 计时工资 4元/小时；二级检验员的标准是：速度 15件/小时，正确率 95％， 计时工资 3元/小时。检验员每错验一次，工厂要损失2元。现可供厂方聘请 的检验员人数为一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该工厂应聘一 级和二级检验员各多少名？
分析：设应聘一级检验员x1 ，二级检验员x2
约束一：可聘两级检验员人数
x18
约束二：每日产量要求 目标函数
x210 8(25)x1+8(15)x21800
5x1+3x2 45
一级检验员每小时费用 4＋25 (0.02) (2)=5元/小时
二级检验员每小时费用 3＋15 (0.05) (2)=4.5元/小时
x1≥0, x2≥0, ．．．, xn≥0 b1≥0, b2≥0, ．．．, bm≥0
目标函数 约束方程组 非负条件
➢ 用矩阵和向量表示的LP的标准形式：
min z = cTx s.t. Ax = b
目标函数 约束方程组
4x1+2x2=8
但对于实际问题，可 能是遗漏或写错了约 束条件！
0
f 增大方向
3x1+4x2=12 3x1+3x2=10
x1
§2.3.3 可行域为空集
例：
x2
max f(x)=4x1+3x2 s.t. 3x1+4x2 ≤ 12
3x1+3x2 ≤≥ 10 4x1+2x2 ≤ 8
x1, x2 ≥0
4x1+2x2=8