2019-2020学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
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【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集运算，考查根据并集的结果求参数的取值范围，考查子集的概念和运用，属于基础题.
18．（1）化简 ；
（2）求值 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）将根式转化为指数形式，根据指数运算公式进行化简.
（2）根据对数运算公式，指数运算公式，化简所求表达式，由此求得表达式的值.
【详解】
画出函数 的大致图象如下图.
得出 ， ，故①错误②正确；由图可知 ，故③正确；
因为 ， ，所以 ，故④正确.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的对称性和值域，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
13．已知幂函数 的图像经过点 ，则 ______.
【详解】
由 ，可得 ，所以方程 有两个不同的实根，即函数 和 的图像有两个交点，作出函数的图像，如图所示：
因为 ，所以由图可知，当 时，满足题意，故 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题
17．已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，考查子集、真子集的概念，属于基础题.
5．如图，函数 的图像是两条线段 ， ，其中点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，则 的值为( )
A．0B．1C． D．2
【答案】C
【解析】从内往外化简 ，求得函数 在 时的解析式，由此求得 的值.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查零点的存在性定理，考查函数的单调性的判断，属于基础题.
11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据： ， ）( )
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查函数的单调性，属于基础题.
16．已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实根，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】将“关于 的方程 有两个不同的实根”转化为“函数 和 的图像有两个交点”来解决，画出 的图像，结合图像求得 的取值范围.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.
12．已知函数 若 ，且 ，现有结论：① ；② ；③ ；④. 这四个结论中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】画出函数 的图像，根据二次函数的对称性、值域和对数函数运算，结合图像，判断四个结论的正确性.
【详解】
由 ，得 ，即
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查零点的求法，属于基础题.
4．现有五个判断： ， ， ， ， ，.其中正确的个数是( )
A．2B．1C．4D．3
【答案】B
【解析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、子集、真子集的概念，判断出正确的判断个数.
【详解】
元素与集合之间不能用包含关系，故 错误； 与 是集合与集合的关系，不能使用“ ”符号，故错误； 与 是集合与集合的关系，不能用“ ”符号，故错误；因为 ，所以 错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故 正确.
2019-2020学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．函数 的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】
由题意得 解得 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
（2） ，根据复合函数单调性同增异减，判断函数为 上的增函数.根据单调性求得函数 在 上的值域.
【详解】
（1）因为 ，
所以 在 上为奇函数.
（2） 在 上为增函数，
所以 ， ，
故 在 上的值域为 .
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性的判断，考查根据函数的单调性和值域的求法，属于基础题.
20．2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机 万台，其总成本为 ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 万元满足
【详解】
（1）由 ，得 .
（2）由（1）知， .
当 时，因为 ，所以 ，
解得 ，不等式 的解集为 ；
当 时，因为 ，所以 ，
解得 ，不等式 的解集为 .
（3） ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以当 时， 取得最小值 .
所以 ，即 的取值范围为 .
【点睛】
本小题主要考查函数解析式的求法，考查指数不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.
8．设 为定义的实数集上的偶函数，且 在 上是增函数， ，则 的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性和在 上的单调性，求得 以及在 的单调性，由此列不等式，解不等式求得不等式的解集.
【详解】
因为 为偶函数，所以 ，又 在 上是增函数，故在 上是减函数.所以 ，所以
由题意可得 ，当 时，线段 的斜率为 ，所以 ，则 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用函数图像求函数解析式，考查利用图像求函数值，属于基础题.
6．下列函数在 上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对选项中的函数一一分析，根据单调性确定正确选项.
【详解】
在 上单调递增， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上先增后减.
A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年
【答案】C
【解析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过 亿元的年份.
【详解】
由题意，可设经过 年后，投入资金为 万元，则 .
由题意有 ，即 ，则 ，所以 ，所以 ，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
9．函数 的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先判断函数为奇函数，由此排除A选项，再根据函数值的符号，排除C,D选项，由此得出正确选项.
【详解】
因为 ，所以 是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A；当 时，由 ，可排除C，D.
【详解】
（1）由题意得 .
因为
所以
（2）由（1）可得，当 时， .
所以当 时， （万元）
当 时， ， 单调递增，
所以 （万元）.
综上，当 时， （万元）.
所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.
【点睛】
本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，其中包括指数型函数、二次函数、对数型函数以及含有绝对值的函数.属于基础题.
7．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据对数的性质判断 ，根据指数的性质判断 ，由此得出三者的大小关系.
【详解】
因为 ， ， ，所以 .
故选：A.
【点睛】
【答案】
【解析】将点 代入幂函数解析式，由此求得 的值.
【详解】
由题意可得 ，解得 .
故答案为： .ห้องสมุดไป่ตู้
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.
14．满足 的集合 共有______个.
【答案】4
【解析】利用列举法，根据两个集合并集，求得 的可能取值集合，由此判断出符合题意的集合 的个数.
2．设全集 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求得集合 中的元素，由此求得集合 的补集.
【详解】
∵ ，∴ .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.
3．函数 的零点为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，将指数式化为对数值，求得 的值，也即 的零点.
（1）将利润 表示为产量 万台的函数；
（2）当产量 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1) (2)当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.
【解析】（1）先求得总成本函数 ，然后用 求得利润 的函数表达式.
（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.
【详解】
（1） .
（2）原式 .
【点睛】
本小题主要考查根式、指数、对数运算，属于基础题.
19．已知函数 .
（1）判断 在 上的奇偶性并加以证明；
（2）判断 在 上的单调性（不需要证明），并求 在 上的值域.
【答案】(1) 在 上为奇函数.证明见解析；(2)增函数，值域为 .
【解析】（1）利用奇偶性的定义对函数的奇偶性进行判断.
【详解】
（1）由已知可得 ，对称轴为 .
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 即 解得
（2）由（1）可得 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
令 ，则 .
因为 ，所以 .
记 ， ，
所以当 时， ，
所以 ，解得 ，故 的取值范围是 .
【点睛】
本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.
10．已知函数 的零点位于区间 上，则整数 的值为( )
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】A
【解析】利用零点存在性定理和函数的单调性，判断出函数唯一零点所在求解，由此求得整数 的值.
【详解】
因为 ， ，所以 存在零点 .又 为减函数，所以 存在唯一的零点 ，所以 .
21．已知函数 ， （ 且 ），且 .
（1）求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）利用 ，求得 的值.
（2）先求得 的表达式，对 分成 两种情况，求得不等式的解集.
（3）将不等式 分离常数 ，结合二次函数的性质，求得 的取值范围.
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先求得 ，然后求得 .
（2）根据 判断 ，将 分成 两种情况列不等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，
所以 或 .
又 ，所以 .
（2）由 ，可得 .
①当 时，有 ，解得 ；
②当 时，由 ，可得
解得 .
综上，可得 的取值范围为 .
【详解】
由题意，集合 可能为 ， ， ， ，故这样的集合 共有4个.
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查根据并集的结果求集合，属于基础题.
15．不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】构造函数 ，判断出函数 在定义域上的单调性以及 ，由此求得不等式的解集.
【详解】
设函数 ，则 是定义在 上的增函数，因为 ，所以不等式 的解集为 .
22．已知函数 在 上的值域为 .
（1）求 ， 的值；
（2）设函数 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先求得函数 的对称轴，然后根据函数 在 上的单调性列方程组，解方程组求得 的值.
（2）由（1）求得函数 的解析式，进而求得 的解析式，将不等式 分离常数 ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得 的取值范围.
本小题主要考查集合交集、补集运算，考查根据并集的结果求参数的取值范围，考查子集的概念和运用，属于基础题.
18．（1）化简 ；
（2）求值 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）将根式转化为指数形式，根据指数运算公式进行化简.
（2）根据对数运算公式，指数运算公式，化简所求表达式，由此求得表达式的值.
【详解】
画出函数 的大致图象如下图.
得出 ， ，故①错误②正确；由图可知 ，故③正确；
因为 ， ，所以 ，故④正确.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的对称性和值域，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
二、填空题
13．已知幂函数 的图像经过点 ，则 ______.
【详解】
由 ，可得 ，所以方程 有两个不同的实根，即函数 和 的图像有两个交点，作出函数的图像，如图所示：
因为 ，所以由图可知，当 时，满足题意，故 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
三、解答题
17．已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，考查子集、真子集的概念，属于基础题.
5．如图，函数 的图像是两条线段 ， ，其中点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ，则 的值为( )
A．0B．1C． D．2
【答案】C
【解析】从内往外化简 ，求得函数 在 时的解析式，由此求得 的值.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查零点的存在性定理，考查函数的单调性的判断，属于基础题.
11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据： ， ）( )
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查函数的单调性，属于基础题.
16．已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实根，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】将“关于 的方程 有两个不同的实根”转化为“函数 和 的图像有两个交点”来解决，画出 的图像，结合图像求得 的取值范围.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.
12．已知函数 若 ，且 ，现有结论：① ；② ；③ ；④. 这四个结论中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】画出函数 的图像，根据二次函数的对称性、值域和对数函数运算，结合图像，判断四个结论的正确性.
【详解】
由 ，得 ，即
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查零点的求法，属于基础题.
4．现有五个判断： ， ， ， ， ，.其中正确的个数是( )
A．2B．1C．4D．3
【答案】B
【解析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、子集、真子集的概念，判断出正确的判断个数.
【详解】
元素与集合之间不能用包含关系，故 错误； 与 是集合与集合的关系，不能使用“ ”符号，故错误； 与 是集合与集合的关系，不能用“ ”符号，故错误；因为 ，所以 错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故 正确.
2019-2020学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．函数 的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】
由题意得 解得 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
（2） ，根据复合函数单调性同增异减，判断函数为 上的增函数.根据单调性求得函数 在 上的值域.
【详解】
（1）因为 ，
所以 在 上为奇函数.
（2） 在 上为增函数，
所以 ， ，
故 在 上的值域为 .
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性的判断，考查根据函数的单调性和值域的求法，属于基础题.
20．2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机 万台，其总成本为 ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 万元满足
【详解】
（1）由 ，得 .
（2）由（1）知， .
当 时，因为 ，所以 ，
解得 ，不等式 的解集为 ；
当 时，因为 ，所以 ，
解得 ，不等式 的解集为 .
（3） ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以当 时， 取得最小值 .
所以 ，即 的取值范围为 .
【点睛】
本小题主要考查函数解析式的求法，考查指数不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.
本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.
8．设 为定义的实数集上的偶函数，且 在 上是增函数， ，则 的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性和在 上的单调性，求得 以及在 的单调性，由此列不等式，解不等式求得不等式的解集.
【详解】
因为 为偶函数，所以 ，又 在 上是增函数，故在 上是减函数.所以 ，所以
由题意可得 ，当 时，线段 的斜率为 ，所以 ，则 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用函数图像求函数解析式，考查利用图像求函数值，属于基础题.
6．下列函数在 上单调递减的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对选项中的函数一一分析，根据单调性确定正确选项.
【详解】
在 上单调递增， 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上先增后减.
A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年
【答案】C
【解析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过 亿元的年份.
【详解】
由题意，可设经过 年后，投入资金为 万元，则 .
由题意有 ，即 ，则 ，所以 ，所以 ，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
9．函数 的图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先判断函数为奇函数，由此排除A选项，再根据函数值的符号，排除C,D选项，由此得出正确选项.
【详解】
因为 ，所以 是奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A；当 时，由 ，可排除C，D.
【详解】
（1）由题意得 .
因为
所以
（2）由（1）可得，当 时， .
所以当 时， （万元）
当 时， ， 单调递增，
所以 （万元）.
综上，当 时， （万元）.
所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.
【点睛】
本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，其中包括指数型函数、二次函数、对数型函数以及含有绝对值的函数.属于基础题.
7．已知 ， ， ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据对数的性质判断 ，根据指数的性质判断 ，由此得出三者的大小关系.
【详解】
因为 ， ， ，所以 .
故选：A.
【点睛】
【答案】
【解析】将点 代入幂函数解析式，由此求得 的值.
【详解】
由题意可得 ，解得 .
故答案为： .ห้องสมุดไป่ตู้
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.
14．满足 的集合 共有______个.
【答案】4
【解析】利用列举法，根据两个集合并集，求得 的可能取值集合，由此判断出符合题意的集合 的个数.
2．设全集 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求得集合 中的元素，由此求得集合 的补集.
【详解】
∵ ，∴ .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题.
3．函数 的零点为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，将指数式化为对数值，求得 的值，也即 的零点.
（1）将利润 表示为产量 万台的函数；
（2）当产量 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1) (2)当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.
【解析】（1）先求得总成本函数 ，然后用 求得利润 的函数表达式.
（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.
【详解】
（1） .
（2）原式 .
【点睛】
本小题主要考查根式、指数、对数运算，属于基础题.
19．已知函数 .
（1）判断 在 上的奇偶性并加以证明；
（2）判断 在 上的单调性（不需要证明），并求 在 上的值域.
【答案】(1) 在 上为奇函数.证明见解析；(2)增函数，值域为 .
【解析】（1）利用奇偶性的定义对函数的奇偶性进行判断.
【详解】
（1）由已知可得 ，对称轴为 .
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 即 解得
（2）由（1）可得 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
令 ，则 .
因为 ，所以 .
记 ， ，
所以当 时， ，
所以 ，解得 ，故 的取值范围是 .
【点睛】
本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
故选B.
【点睛】
本小题主要考查函数图像的判断，考查函数的奇偶性，属于基础题.
10．已知函数 的零点位于区间 上，则整数 的值为( )
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】A
【解析】利用零点存在性定理和函数的单调性，判断出函数唯一零点所在求解，由此求得整数 的值.
【详解】
因为 ， ，所以 存在零点 .又 为减函数，所以 存在唯一的零点 ，所以 .
21．已知函数 ， （ 且 ），且 .
（1）求 的值；
（2）求关于 的不等式 的解集；
（3）若 对 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）利用 ，求得 的值.
（2）先求得 的表达式，对 分成 两种情况，求得不等式的解集.
（3）将不等式 分离常数 ，结合二次函数的性质，求得 的取值范围.
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先求得 ，然后求得 .
（2）根据 判断 ，将 分成 两种情况列不等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】
（1）当 时， ，
所以 或 .
又 ，所以 .
（2）由 ，可得 .
①当 时，有 ，解得 ；
②当 时，由 ，可得
解得 .
综上，可得 的取值范围为 .
【详解】
由题意，集合 可能为 ， ， ， ，故这样的集合 共有4个.
故答案为： .
【点睛】
本小题主要考查根据并集的结果求集合，属于基础题.
15．不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】构造函数 ，判断出函数 在定义域上的单调性以及 ，由此求得不等式的解集.
【详解】
设函数 ，则 是定义在 上的增函数，因为 ，所以不等式 的解集为 .
22．已知函数 在 上的值域为 .
（1）求 ， 的值；
（2）设函数 ，若存在 ，使得不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）先求得函数 的对称轴，然后根据函数 在 上的单调性列方程组，解方程组求得 的值.
（2）由（1）求得函数 的解析式，进而求得 的解析式，将不等式 分离常数 ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得 的取值范围.