2018年中考数学总复习专题提升十二关于pisa测试题的问题

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pisa数学试题及答案初中

pisa数学试题及答案初中一、选择题1. 下列哪个选项是正确的数学表达式？A. 2 + 3 = 5B. 2 × 3 = 6C. 2 ÷ 3 = 0.6D. 2 - 3 = -1答案：B2. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 20厘米D. 15厘米答案：A3. 如果一个数的平方是36，那么这个数是多少？A. 6B. -6C. 6或-6D. 36答案：C二、填空题4. 一个长方形的长是8厘米，宽是5厘米，它的面积是______平方厘米。

答案：405. 一个数的3倍加上4等于20，这个数是______。

答案：4三、解答题6. 一个班级有40名学生，其中女生占60%，男生占40%。

如果班级中增加了5名女生，那么男生和女生的比例将如何变化？答案：班级原有女生人数为40 × 60% = 24人，男生人数为40 × 40% = 16人。

增加5名女生后，女生人数变为24 + 5 = 29人，男生人数仍为16人。

新的比例为男生：女生 = 16 : 29。

7. 一个数列的前三项是2, 4, 8，每一项都是前一项的2倍。

求这个数列的第10项。

答案：数列的第10项可以通过连续乘以2来得到。

第10项为2 ×2^9 = 2 × 512 = 1024。

四、证明题8. 证明：对于任意正整数n，n^2 - 1总是一个奇数。

答案：设n为任意正整数，n可以表示为2k或2k+1，其中k为整数。

若n=2k，则n^2 = (2k)^2 = 4k^2，n^2 - 1 = 4k^2 - 1 = 4(k^2 -1/4) + 3，因为k^2 - 1/4是整数，所以n^2 - 1是奇数。

若n=2k+1，则n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1，n^2 - 1 = 4k^2 + 4k =4k(k+1)，因为k和k+1中至少有一个是偶数，所以4k(k+1)是偶数，因此n^2 - 1是奇数。

初中数学pisa测试题及答案

初中数学pisa测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方根是2B. 圆的周长等于直径乘以πC. 直角三角形的内角和是180度D. 所有偶数都是质数答案：B2. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 无法确定答案：A3. 下列哪个等式是正确的？A. 3x + 2 = 5x - 4B. 2x - 3 = 2x + 3C. 4x = 8D. 5x + 3 = 5x - 3答案：C二、填空题4. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______或______。

答案：5或-55. 如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，且这两边的夹角为90度，那么这个三角形的周长是_______cm。

答案：8三、解答题6. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加2cm，长减少2cm，长方形的面积减少了32平方厘米。

求原长方形的长和宽。

答案：设原长方形的宽为x cm，则长为2x cm。

根据题意，有方程：x(2x) - (x+2)(2x-2) = 32。

解得x=8，所以原长方形的长为16cm，宽为8cm。

7. 一个工厂生产了100个零件，其中有10个是次品。

如果随机抽取一个零件，抽到次品的概率是多少？答案：抽到次品的概率为10/100，即1/10。

四、应用题8. 一个农场有鸡和兔子共50只，腿的总数是140条。

问农场里有多少只鸡和多少只兔子？答案：设鸡有x只，兔子有y只。

根据题意，有方程组：x + y = 50 和 2x + 4y = 140。

解得x=35，y=15。

所以农场里有35只鸡和15只兔子。

PISA数学素养测试例题分析

PISA数学素养测试例题分析一、“空间和形状”部分这部分涵盖的数学知识包括空间现象、几何现象和两者的关系。

考查的内容包括分析图形组成部分，找出异同点，找出以不同形式、不同角度呈现的图形，并了解对象的性质和他们相对的位置关系。

例题1：木匠一个木匠想用一条32米长的木条来围着花园。

以下哪个花圃的设计可以用32米长的木条造出来？答案：ACD题型：多项选择题内容：空间和形状过程：联系能力群情境：教育情境难度：687分这道多选题属于教育情境，因为它是一个准真实问题，经常能在数学课堂上碰到。

它是一道非常规问题，属于联系能力群，学生必须具备能力认识A、C、D的周长相等才能解决问题，因此，需要学生解读形象信息并看到存在的形似和差异。

在四个图形中，32米要围成平行四边形显然长度不够，矩形的答案非常明显。

关键考察学生运用洞察力、论证技巧和几何知识解答出A、C两个图形的周长与矩形的周长是相等的。

本题属于6级水平。

二、“变化和关系”部分这部分涵盖的数学内容，包括变化的数学表现形式和变量间的函数关系及从属关系。

考查学生对于不同的表征方式相互转换的能力，因为表征转换常常是处理情境和任务的关键。

例题2：成长下图是1998年，荷兰男女青年的平均身高：问：1）自1980年以来，20岁女性的平均身高增加了2.3cm，达到了170.6cm。

1980年20岁女性的平均身高是多少？答案：168.3cm题型：简答题内容：变化和关系过程：再现能力群情境：科学情境难度：477分科学经常使用图标表征，这道题把身高变化和年龄联系起来，把问题情境转化成数学背景，考查的是基本算法之一：减法。

属于再现能力群：所要求的思维和推理能力涉及问题最基本的形式。

对于论证能力的考查也是如此：学生只需照着标准的数量计算过程就行。

这道题的冗余信息是“图”本身，学生不需看图即可做出答案。

总之，这道题目是要求学生从单个来源提取相关信息，使用单一的表征形式，并进行减法运算，属于2级能力水平。

江西省中考数学复习难题突破专题十：基于PISA理念测试题

(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD＝________cm，由C，O′，B′三点共线可得CB′＝________cm，所以显示屏的顶部B′比原来升高了________cm.
(3)没有旋转之前O′B′与水平线的夹角为________度，要使显示屏O′B′与水平线的夹角保持120°，则还需按顺时针方向旋转________度．
图Z10－7
6．[2019·绍兴]如图Z10－8①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
图Z10－8
7．[2019·余干二模]如图Z10－9是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°，则垂直支架CD的长度为________厘米．(结果保留根号)
2[2019·丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运动时间为t(秒)，经过多次测试后，得到如下部分数据：
t(秒)
0
0.16
0.2
0.4
1[2019·嘉兴]小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图Z10－1①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥CA于点C，O′C＝12 cm.

四川省中考数学复习难题突破专题十：基于PISA理念测试题

难题突破专题十基于PISA理念测试题PISA是国际学生评估项目的缩写，是一项由经济合作与发展组织统筹的学生能力测试项目．PISA类测试可强化对考生知识面，综合分析，创新素养等方面的考查，测试的重点是考生全面参与社会的知识与技能，发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本数学思想进行独立思考．PISA测试题是中考命题的最新方向．1 [2019·嘉兴] 小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图Z10－1①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥CA于点C，O′C ＝12 cm.图Z10－1(1)求∠CAO′的度数；(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？例题分层分析(1)根据题意可得：O′C＝12 cm，AO′＝AO＝24 cm，O′C⊥CA于C，所以sin∠CAO′＝________，从而可求得∠CAO′＝________．(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD＝________cm，由C，O′，B′三点共线可得CB′＝________cm，所以显示屏的顶部B′比原来升高了________cm.(3)没有旋转之前O′B′与水平线的夹角为________度，要使显示屏O′B′与水平线的夹角保持120°，则还需按顺时针方向旋转________度．2 [2019·丽水] 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(米)，与桌面的高度为y(米)，运动时间为t(秒)，经过多次测试后，得到如下部分数据：(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？(3)乒乓球落在桌面上弹起，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长1.4×2米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．图Z10－2例题分层分析(1)根据表格中数据直接可知当t＝________秒时乒乓球达到最大高度．(2)以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系，根据表格中数据先画出大致图象，根据图象的形状，可判断y是x的________函数．可设函数表达式为____________．选一个点代入即可求得函数表达式为________________，然后将y＝0代入即可求得乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离．(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，只要利用待定系数法求出函数解析式即可；②由题意可得，扣杀路线在直线y＝110x上，由①得y＝a(x－3)2－14a，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．专题训练1．[2019·金华] 一座楼梯的示意图如图Z10－3所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ，现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要( )A.4sin θ米2 B.4cos θ米2C ．(4＋4tan θ)米2 D ．(4＋4tan θ)米2图Z10－3 图Z10－42．[2019·绍兴] 如图Z10－4，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS3．[2019·绍兴] 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z10－5中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走( )A ．②号棒B ．⑦号棒C ．⑧号棒D ．⑩号棒图Z10－5 图Z10－64．[2019·绍兴] 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图Z10－6①，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm ，若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图②，则此时A ，B 两点之间的距离是________cm.5．[2019·江西]已知不等臂跷跷板AB 长为3 m ，当AB 的一端点A 碰到地面时(如图Z10－7①)，AB 与地面的夹角为30°，当AB 的另一端点B 碰到地面时(如图②)，AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH ＝________m.图Z10－76．[2019·绍兴] 如图Z10－8①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.图Z10－87．[2019·余干二模] 如图Z10－9是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC ＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°，则垂直支架CD的长度为________厘米．(结果保留根号)图Z10－98．[2019·金华] 图Z10－10①是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面上的实物图，此时点A，B，C在同一直线上，且∠AC D＝90°.图②是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″.(1)小床这样设计应用的数学原理是________；(2)若AB∶BC＝1∶4，则tan∠CAD的值是________．图Z10－109．[2019·舟山] 太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图Z10－11②所示，BC＝10米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．(结果精确到0.1米) (参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)图Z10－1110．[2019·赤峰]王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图Z10－12①所示．已知AC ＝20 cm ，BC ＝18 cm ，∠ACB ＝50°，王浩的手机长度为17 cm ，宽为8 cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．(提示：sin50°＝0.8，cos50°＝0.6，tan50°＝1.2)图Z10－1211．[2019·临夏州] 图Z10－13①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC ＝0.66米，BD ＝0.26米，α＝20°.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(1)求AB 的长(精确到0.01米)；(2)若测得ON ＝0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ︵的长度．(结果保留π)图Z10－1312．[2019·威海] 图Z10－14①是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能．玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好．假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光线与玻璃吸热管垂直)，请完成以下计算．如图②，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10 cm，DE＝120 cm，FG⊥DE，垂足为点G.(1)若∠θ＝37°50′，则AB的长约为________cm；(参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78)(2)若FG＝30 cm，∠θ＝60°，求CF的长．图Z10－1413．[2019·常德] 图Z10－15①和②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC与支架AC所形成的的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD ＝1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离(精确到0.01米)．(参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732)图Z10－15参考答案例1 【例题分层分析】(1)12 30° (2)123 36 (36－12 3) (3)90 30解：(1)∵O′C⊥CA 于C ，OA ＝OB ＝24 cm ， ∴sin ∠CAO ′＝O′C O′A ＝O′C OA ＝1224＝12， ∴∠CAO ′＝30°.(2)过点B 作BD⊥AO 交AO 的延长线于D ， ∵sin ∠BOD ＝BDOB ，∴BD ＝OB·sin ∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠BOD ＝60°， ∴BD ＝OB·sin ∠BOD ＝24×32＝12 3. ∵O ′C ⊥OA ，∠CAO ′＝30°，∴∠AO ′C ＝60°， ∵∠AO ′B ′＝120°，∴∠AO ′B ′＋∠AO′C＝180°， ∴B ′，O ′，C 三点共线，∴O′B′＋O′C－BD ＝24＋12－12 3＝36－12 3， ∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12 3)cm.(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°. 理由：∵显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°， ∴∠EO ′F ＝120°，∴∠FO ′A ＝∠CAO′＝30°， ∵∠AO ′B ′＝120°， ∴∠EO ′B ′＝∠FO′A＝30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°. 例2 【例题分层分析】(1)0.4 (2)二次 y ＝m(x －1)2＋0.45 y ＝－15(x －1)2＋0.45解：以点A 为原点，以桌面中线为x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系． (1)由表格中的数据，可得t ＝0.4(秒)．答：当t 为0.4秒时，乒乓球达到最大高度．(2)由表格中数据，可画出y 关于x 的图象，根据图象的形状，可判断y 是x 的二次函数．可设y ＝m(x －1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，可得m ＝－15.∴y ＝－15(x －1)2＋0.45.当y ＝0时，x 1＝52，x 2＝－12(舍去)，即乒乓球与端点A 的水平距离是52米．(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为(52，0)，代入y ＝a(x －3)2＋k ，得a×(52－3)2＋k ＝0，化简整理，得k ＝－14a.②由题意可知，扣杀路线在直线y ＝110x 上．由①，得y ＝a(x －3)2－14a.令a(x －3)2－14a ＝110x ，整理，得20ax 2－(120a ＋2)x ＋175a ＝0.当Δ＝(120a ＋2)2－4×20a×175a＝0时符合题意．解方程，得a 1＝－6＋3510，a 2＝－6－3510.当a 1＝－6＋3510时，求得x ＝－352，不符合题意，舍去．当a 2＝－6－3510时，求得x ＝352，符合题意．答：当a ＝－6－3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点A.专题训练 1．D 2.D3．D [解析] 按照条件中的游戏规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，第7次应拿走⑦号棒，第8次应拿走③号棒，第9次应拿走④号棒，第10次应拿走①号棒，因此，本题应该选D.4．185.35 [解析] 设OH ＝x m ，∵当AB 的一端点A 碰到地面时，AB 与地面的夹角为30°，∴AO ＝2x m. ∵当AB 的另一端点B 碰到地面时，AB 与地面的夹角的正弦值为13，∴BO ＝3x m.则AO ＋BO ＝2x ＋3x ＝3，解得x ＝35.故答案为：35.6．25 [解析] 如图，设圆的圆心为O ，连结OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 的半径为R cm.易知OC⊥AB，∴AD ＝DB ＝12AB ＝20 cm ，∠ADO ＝90°，在Rt △AOD 中， ∵OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴R 2＝202＋(R －10)2， ∴R ＝25.故答案为25.7．38 3 [解析] ∵支架CD与水平面AE垂直，∴∠DCE＝90°.在Rt△CDE中，∠DCE＝90°，∠CED＝60°，DE＝76厘米，∴CD＝DE·sin∠CED＝76×sin60°＝38 3(厘米)．故答案为38 3.8．(1)三角形的稳定性和四边形的不稳定性(2)8 159．解：∵∠BDC＝90°，BC＝10米，sinB＝CD BC，∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9(米)．∵在Rt△BCD中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°，∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD＝AD CD，∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)．故改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．10．解：过点A作AD⊥BC于D，得AD＝ACsin50°＝20×0.8＝16，CD＝ACcos50°＝20×0.6＝12.∵BC＝18，∴BD＝BC－CD＝6.∵AB2＝AD2＋DB2＝162＋62＝292，172＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．11．解：(1)过B作BE⊥AC于E，则AE＝AC－BD＝0.66－0.26＝0.4(米)，∠AEB＝90°，所以AB ＝AE sin ∠ABE ＝0.4sin20°≈1.17(米)． (2)∠MON＝90°＋20°＝110°，所以MN ︵的长度是110π×0.8180＝2245π(米)． 12．解：(1)83.2.(2)如图，过M 点作MN∥AB，过点E 作EP∥AB，交CB 于点P ，分别延长ED ，BC ，两线交于点K ，∴MN ∥EP ，∴∠1＝∠2.∵AB ⊥BK ，EP ∥AB ，∴KP ⊥EP ，∴∠2＋∠K＝90°.∵∠θ＋∠1＝90°，∴∠K ＝∠θ＝60°.在Rt △FGK 中，∠KGF ＝90°，sinK ＝GF KF， ∴KF ＝GF sin60°＝20 3(cm)．又∵CD∥AB，AB ⊥BK ，∴CD ⊥CK.在Rt △CDK 中，∠KCD ＝90°，tanK ＝CD CK ， ∴CK ＝CD tan60°＝10 33(cm)． ∴CF ＝KF －CK ＝50 33(cm)． 13．解：如图，过点A 作AM⊥FE 交FE 的延长线于M ，∵∠FHE ＝60°，∴∠F ＝30°.在Rt △AFM 中，FM ＝AF·cosF ＝AF·cos30°＝2.50×32≈2.165(米)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝BC·tan75°≈0.60×3.732＝2.2392(米)．∴篮板顶端F点到地面的距离为FM＋AB＝2.165＋2.2392＝4.4042(米)，∴篮筐D到地面的距离为4.4042－FD＝4.4042－1.35＝3.0542≈3.05(米)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列分式中，最简分式是（） A.2211x x -+ B.211x x +- C.2222x xy y x xy -+- D.236212x x -+ 2．若一组数据9、6、x 、7、5的平均数是2x ，则这组数据的中位数是（）A ．5B ．6C ．7D ．9 3．在的环湖越野赛中，甲乙两选手的行程(单位：)随时间(单位：)变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，下列说法中，错误的是：( )A.出发后1小时，两人行程均为；B.出发后1.5小时，甲的行程比乙多； C.两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；D.甲比乙先到达终点. 4．若整数a 使关于x 的不等式组()222233a x x x x +⎧≥-⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩的解为2x <，且使关于x 的分手方程15444x a x x -++=---的解为正整数，则满足条件a 的的值之和为（） A ．12 B ．11 C ．10 D ．95．在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1，1，将三张卡片背面朝上洗匀，从中抽出一张，并记为x ，然后从余下的两张中再抽出一张，记为y ，则点（x ，y ）在直线y=-x-1上的概率为（） A.12B.13C.23D.1 6．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是( ) A ．-x 2+1 B ．-x 2-4 C ．x 2-x D ．x 2+ 25 7．如图所示，是两木杆在同一时刻的影子，请问它们是太阳光线还是灯光下的投影？请问这一时刻是上午还是下午？（）北东西南A ．太阳光线，上午B ．太阳光线，下午C ．灯光，上午D ．灯光，下午8．如图，这是一幅2018年俄罗斯世界杯的长方形宣传画，长为4m ，宽为2m.为测量画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宜传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4左右.由此可估计宜传画上世界杯图案的面积为( )A ．22.4mB ．23.2mC ．24.8mD ．27.2m9．下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为（）A ．24B ．16C ．14D ．1211．如图，在矩形ABCD 中，，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AM MD的值为（）A.12B.2C.53D.3512．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（）A.23πB.232π-C.11122π- D.23π﹣1二、填空题13．如图，直线y＝15x﹣1与x，y轴交于B、A，点M为双曲线ykx=上的一点，若△MAB为等腰直角三角形，则k＝_____．14．当x变化时,分式22365112x xx x++++的最小值是___________.15．如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____16．写出一个比5大且比6小的无理数________.17．已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y＝(x+1)2向下平移m个单位(m＞0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是_____．18．已知x＞y，且（m﹣2）x＜（m﹣2）y，则m的取值范围是_____．三、解答题19．一张圆形纸片如图，请你至少设计出两种方法找出它的圆心（不必写作法，但要有作图痕迹）．20．先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣6，b＝1 321．在等腰三角形ABC中，底边BC为y，腰长AB长为x，若三角形ABC的周长为12．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）当腰长比底边的2倍多1时，求x 的值．22．计算：()022)sin 45︒23．如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接CE 并延长交AB 于点F ，连接ED ．（1）若BC 是⊙O 的切线，求证：∠B+∠FED ＝90°；（2）若FC ＝6，DE ＝3，FD ＝2．求⊙O 的直径．24．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆A 上一点，满足BD BC =，且点C ，D 位于直径AB 两侧，连接CD 交圆于点E ，F 为BD 上一点，连接 EF ，分别交AB ，BD 于点G ，H ，且EF BD =．（1）求证：//EF BC ；（2）若4EH =，2HF =，求BE 的长．25．如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点．（1）请用尺规作图法作出边AC 的中点E ，并连接DE （保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，若S △ADE =2，求△ABC 的面积．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．414．415．(0,-5)1617．2≤m≤818．m＜2．三、解答题19．见解析【解析】【分析】方法一：作两个顶点在圆上的直角，连接两个直角与圆的交点，两条连线的交点即是所求的圆心.方法二：作弦AB，BC，再作出线段AB，BC的垂直平分线相交于点O，则O点即为所求．【详解】方法一：利用直角作出圆的两条直角AB，CD，AB与CD的交点O即为圆心．方法二：在圆上取A，B，C三点，作线段AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为圆心．【点睛】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．90°的圆周角所对的弦是直径；弦的垂直平分线经过圆心.20．-8【解析】【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【详解】原式＝a 2﹣4b 2﹣a 2+4ab ﹣4b 2+8b 2＝4ab ，当a ＝﹣6，b ＝13时，原式＝﹣8．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）12-2(36)y x x =<<；（2）x=5【解析】【分析】（1）等腰三角形的底边长=周长﹣2×腰长；（2）根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）∵等腰三角形的腰长为x ，底边长为y ，周长为12，∴y=12﹣2x ；∵2x ＞y ＞0，∴2x ＞12﹣2x ＞0，解得：3＜x ＜6．故y=12﹣2x （3＜x ＜6）；（2）∵腰长比底边的2倍多1，∴x=2y+1，∴x=2（12﹣2x ）+1，解得：x=5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据实际问题列一次函数关系式；判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．22．8【解析】【分析】根据二次根式的运算法则和特殊锐角三角函数值进行计算.【详解】原式341=+-=8【点睛】考核知识点：含有特殊锐角三角函数值的运算.23．（1）见解析；（2）⊙O 的直径为9．【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A ，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED ∽△FAC ，进而求出即可．【详解】（1）证明：∵∠A+∠DEC ＝180°，∠FED+∠DEC ＝180°，∴∠FED ＝∠A ，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BCA ＝90°，∴∠B+∠A ＝90°，∴∠B+∠FED ＝90°；（2）解：∵∠CFA＝∠DFE，∠FED＝∠A，∴△FED∽△FAC，∴DE DF AC FC=，∴326 AC=，解得：AC＝9，即⊙O的直径为9．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．24．（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）先求出//BF DC，再利用同位角相等两直线平行进行求证即可（2）连接DF，根据题意先求出112HG FG HF EF HF=-=-=，再利用三角函数求出60BHG∠=︒，再由（1）得出圆的半径为【详解】（1）证明：EF BD=，∴EF BD=∴EF BF BD BF-=-即BE DF=∴BDE DBF∠=∠，∴//BF DC．DF DF=，∴DBF DEF∠=∠，∴BDE FED∠=∠．BD BC=，∴C BDE∠=∠，∴FED C∠=∠，∴//EF BC．（2）解：连接DF．AB为直径，BC为切线，∴AB BC ⊥，∴90ABC ∠=︒，//EF BC ，∴90BGF ABC ∠=∠=︒，∴AB EF ⊥， ∴12FG EG EF ==， BF BE =， ∴BDF BDE ∠=∠．4EH =，2HF =，∴6EF FH HE =+=，112HG FG HF EF HF =-=-= =BE BE ，∴BFE BDE DBF ∠=∠=∠，∴2BH FH ==．在 Rt BGH ∆中，1cos 2HG BHG BH ∠== ∴60BHG ∠=︒，由（1）得30FED BDE ∠=∠=︒，∴30BDF ∠=︒，∴18090DFE BDF BDE DEF ∠=︒-∠-∠-∠=︒， ∴DE 为直径．在Rt DEF ∆中，cos30EF DE ==︒∴圆的半径为=BE BE ，30BDE ∠=︒，∴BE 所对的圆心角为60︒，∴BE 的长60=1803π⨯ 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，圆周角定理，解题关键在于先判定//BF DC25．(1)见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用尺规作图作线段AC 的中垂线即可得其中点E ，连接DE 即可；（2）先由DE 是△ABC 的中位线知DE ∥BC 且DE BC =12，继而由△ADE ∽△ABC 得ADE ABC S S =（DE BC）2，据此求解可得．【详解】解：（1）如图所示，作AC 的中点E ，即DE 即为所求．（2）∵D 是AB 中点，E 是AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，且DE BC =12， ∴△ADE ∽△ABC ，则ADEABC S S =（DE BC ）2=14，又S △ADE =2，∴S △ABC =8．【点睛】本题主要考查作图-基本作图和相似三角形性质，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图、相似三角形的判定与性质．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）．A.1个B.2个C.3个D.4个2．（2015秋•怀柔区期末）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．113．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA4的运算结果应在()A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间5．不等式组111324(1)2()xxx x a-⎧-<-⎪⎨⎪--⎩…有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5 6．实数在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A. B. C. D.7．如图,在边长为6的菱形ABCD 中,60DAB ∠=︒ ,以点D 为圆心,菱形的高DF 为半径画弧,交AD 于点E ,交CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是（）A.183π-B.9πC.92π-D.3π8．已知a ，b ，c 满足a+c=b ，4a+c=-2b ，抛物线y=ax²+bx+c（a ＞0）过点A （-12，y 1），B y 2,）C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A.y 2＜y 1＜y 3B.y 3＜y 1＜y 2C.y 2＜y 3＜y 1D.y 1＜y 2＜y 39．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ＞AB ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，连接CE ，若平行四边形ABCD 的周长为20，则△CDE 的周长是（）A.10B.11C.12D.1310．如图，已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为( )D.1011．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．（11·丹东）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°, BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ，若AC=9，则AE 的值是（）A ．B ．C ．6D ．4二、填空题 13．若分式293x x -+的值为零,则x=________. 14．已知反比例函数y=k x（k≠0）的图象在第二、四象限，则k 的值可以是：____（写出一个满足条件的k 的值）．15．如图，点 A 、B 、C 、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为_____．16．若关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的的图象与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0），若1＜m ＜3，则a 的取值范围为______ ．17．已知，，三个数的平均数是，且，，，四个数的平均数是，则的值为____．18．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，边长为2，点C 在第一象限，∠AOC ＝60°，若将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B 的对应点B'的坐标为_____．三、解答题19．如图所示，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且DE ∥AB ，DF ∥AC ．试说明：DE+DF ＝AB ．20．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a、b．（1）求a、b之积为偶数的概率；（2）若c＝5，求长为a、b、c的三条线段能围成三角形的概率．21．下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边．作法：如图，①过A任意作一条射线l；②在射线l上任取两点D，E；③分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线BP交射线l于点 C．所以△ABC就是所求作的直角三角形．思考：(1)按上述方法，以线段AB为斜边还可以作个直角三角形；(2)这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是，理由是．22．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A：书法；B：绘画C：象棋；D：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？（2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，交BC 于点D ．（1）求证：BE ＝EF ；（2）若DE ＝4，DF ＝3，求AF 的长．24．某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买A 、B 两种品牌的钢笔作为奖品．已知一支A 品牌钢笔的价格比一支B 品牌钢笔的价格多5元，且买100元A 品牌钢笔与买50元B 品牌钢笔数目相同．（1）求A 、B 两种品牌钢笔的单价分别为多少元？（2）根据活动的设奖情况，决定购买A 、B 两种品牌的钢笔共100支，如果设购买A 品牌钢笔的数量为n 支，购买这两种品牌的钢笔共花费y 元．①直接写出y （元）关于n （支）的函数关系式；②如果所购买A 品牌钢笔的数量不少于B 品牌钢笔数量的13，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花费的钱最少？此时花费是多少？25．如图所示，将矩形纸片OABC 放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0).(I).如图，经过点O 、B 折叠纸片，得折痕OB ，点A 的对应点为1A ,求1A OC 的度数；(Ⅱ)如图，点M 、N 分别为边OA 、BC 上的动点，经过点M 、N 折叠纸片，得折痕MN ，点B 的对应点为1B ①当点B 的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形1MBNB 的形状，并求出它的周长；②若点N 与点C 重合，当点1B 落在坐标轴上时，直接写出点M 的坐标.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．314．-2(答案不唯一) 15．9016．113a<<或31a-<<-17．818．．三、解答题19．见解析；【解析】【分析】已知DE∥AB，DF∥AC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得四边形AEDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得DF＝AE，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得∠C＝∠EDC，即可得DE＝CE，由此即可证得结论．【详解】证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF＝AE，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DF+DE＝AE+CE＝AC＝AB．【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.20．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.21．(1)无数；(2)以AB为直径的圆(点A、B除外)；直径所对的圆周角为直角．【解析】【分析】（1）由于过点A可作无数条射线，利用作法可得到无数个直角三角形；（2）利用圆周角定理可判断这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形．【详解】(1)以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；(2)这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆(点A、B除外)，理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以AB为直径的圆(点A、B除外)；直径所对的圆周角为直角．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（1）见解析；（2）AF＝214.【解析】【分析】（1）通过证明∠6=∠EBF 得到EB=EF ；（2）先证明△EBD ∽△EAB ，再利用相似比求出AE ，然后计算AE-EF 即可得到AF 的长．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠5，∴∠4＝∠5，∵BF 平分∠ABC ，∴∠2＝∠3，∵∠6＝∠3+∠4＝∠2+∠5，即∠6＝∠EBF ，∴EB ＝EF ；（2）解：∵DE ＝4，DF ＝3，∴BE ＝EF ＝DE+DF ＝7，∵∠5＝∠4，∠BED ＝∠AEB ，∴△EBD ∽△EAB ，BE DE EA BE ∴=，即74EA 7=， ∴EA ＝494， ∴AF ＝AE ﹣EF ＝4921744-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．24．（1）一支A 、B 品牌的钢笔价格分别为10元和5元；（2）①y ＝5n+500；②购买A 品牌钢笔25支，B 品牌钢笔75支，花钱最少．此时的花费为625元．【解析】【分析】（1）设一支B 品牌钢笔的价格为x 元，根据一支A 品牌钢笔的价格比一支B 品牌钢笔的价格多5元可得一支A 品牌钢笔的价格为（x+5）元，根据且买100元A 品牌钢笔与买50元B 品牌钢笔数目相同可列方程求出x 的值，即可得答案；（2）①由题意可知购买B 品牌钢笔的数量为（100-n ）支，根据总费用=A 钢笔的单价×A 数量+B 单价×B 数量，即可得出y （元）关于n （支）的函数关系式；②根据购买A 品牌钢笔的数量不少于B 品牌钢笔数量的13可得n≥13(100-n)，解不等式可求出n 的取值范围，根据一次函数的性质即可得y 的最小值.。

中考数学难题突破题型10 基于PISA理念测试题

图 Z10-2
难题突破题型(十) 基于PISA理念测试题
针对训练 1.[2018·义乌] 某校建立了一个身份识别系统,图 Z10-3 是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示 1,白色小正方形表示 0,将第一行数字从左到右依次记为 a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为 a×23+b×22+c×21+d×20,如图第一行数字从左到右依次为 0,1,0,1,序号为 0×23+1×22+0×21+1×20=5,表示该生为 5 班学生.表示 6 班学生的识别图案是 ( )
图 Z10-1
难题突破题型(十) 基于PISA理念测试题
【分层分析】 (1)根据表格中数据可求乒乓球达到最大高度时 t 的值. (2)以点 A 为原点,以桌面中线为 x 轴,乒乓球运动方向为正方向,建立平面直角坐标系,根据表格中数据先画出大致图象,确定函数表达式类型,然后根据表中数据求出函数表达式,得到乒乓球落在桌面上时,与端点 A 的水平距离. (3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时,得出对应点坐标,只要利用待定系数法求出函数解析式即可; ②由题意可得,扣杀路线在直线 y= x 上,由①得 y=a(x-3)2- a,进而利用根的判别式求出 a 的值,进而求出 x
(1)当 t 为何值时,乒乓球达到最大高度? (2)乒乓球落在桌面时,与端点 A 的水平距离是多少?
难题突破题型(十) 基于PISA理念测试题
(3)乒乓球落在桌面上弹起,y 与 x 满足 y=a(x-3)2+k. ①用含 a 的代数式表示 k; ②球网高度为 0.14 米,球桌长 1.4×2 米.若球弹起后,恰好有唯一的击球点,可以将球沿直线扣杀到点 A,求 a 的值.
难题突破题型(十) 基于PISA理念测试题

【中考压轴题专题训练】PISA专题训练(解析版)

【中考压轴题专题训练】PISA 专题训练（解析版）选择题（本大题有30小题，每小题5分，共150分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，M 是边CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且AF ⊥ME ，垂足为点G.若EB =2，BF =1，则GE MG 的值为（）A ．13B ．310C ．25D ．12【答案】B【解析】过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示则∠MHE=∠ABF=90°∵ME ⊥AF∴∠FAE+∠GEA=90°又∠HME+∠GEA=90°∴∠FAE=∠HME∴△ABF ∽△MHE∴AB MH =BF EH =AF ME∵AB=2BC ，M 为CD 中点∴设BC=x ，则AB=2x ，CM=BH=AH=x ，MH=BC=x∴2x x =1EH =AF ME解得：EH=12∴BH=BE+EH=52，AE=3在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AF=√52+12=√26在Rt △MEH 中，由勾股定理得：ME=√(52)2+(12)2=√262由∠GAE=∠BAF ，∠AGE=∠ABF=90°得：△AEG ∽△AFB∴AE AF =EG BF =AG AB ∴3√26=EG1 解得：EG=3√2626∴MG=ME －EG=5√2613∴GE MG =3√26265√2613=310故答案为：B.2．如图，正方形ABCD 被分成五个面积相等的矩形，若FG=4，则正方形的面积为（）A ．64B ．2254C ．49D ．36【答案】B【解析】设KJ=LI=x ，∵正方形ABCD 被分成五个面积相等的矩形，∴IF=JG=KJ=LI=x ，∴EB=2x ，又∵FG=4，∴EB·EL=2x·EL=AE·EK=KJ·FG=4x ，∴EL=2，EK=2+4=6，∴AE=23x ，∴CD=AB=AE+BE=23x+2x=83x ， ∴4x=CG·CD=CG·83x ，∴CG=32，∴BC=EL+FG+GC=2+4+32=152，∴正方形ABCD 的面积=BC 2=（152）2=2254.故答案为：B.3．两个全等的矩形ABCD和矩形BEFG如图放置，且FG恰好过点C. 过点G作MN平行AD交AB，CD于M，N. 知道下列哪个式子的值，即可求出图中阴影部分的面积()A．CF⋅CD B．CF⋅CN C．CF⋅CG D．CF⋅CB【答案】A【解析】如图，作CH⊥BE于点H.阴影部分面积= S矩形ABCD−S矩形BCNM=S矩形ABCD−2S△BCG=S矩形BEFG−S矩形BHCH=S矩形CHEF= CF·EF=CF·CD故答案为： A.4．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>a)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2.则S1−S2的值表示正确的是（）A．BE⋅FG B．MN⋅FG C．BE⋅GD D．MN⋅GD【答案】A【解析】∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b），∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b）=（AB-a ）•a -（AB-a ）（AD-b ）=（AB-a ）•（a-AD+b ）=BE•FG故答案为：A.5．用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为( )A ．23B ．43C ．1112D ．116【答案】A 【解析】设面积为1的长方形长为a ，宽为b ，则ab=1，∴面积为3的长方形宽为a ，长为3a， ∵面积为4的长方形和面积为8的长方形的长相等，∴它们的宽之比为1：2，∴面积为4的长方形的宽=13×（b+3a ）=ab+33a =43a ，长=443a=3a ，两个阴影三角形的底=43a-b ， ∴整个阴影部分面积=两个阴影三角形的面积之和=12×（43a -b ）（3a+a ）=23ab=23. 故答案为：A.6．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示.作EM ∥NG ∥AD .若GF =2FM ，则MN ：FD 的值为（）A ．2√33B ．√52C ．54D ．1【答案】B【解析】连结CF ，设AF=a ，DF=b ，∵ME ∥AD ，∴△FME ∽△FAD ，∴FM FA =FE FD ，即FD FA =FE FM =2FM FM=2， ∴DF=2AF ，∴b=2a ，∵AF=DE=HC=BG=a ，∴FE=GF=GH=EH=AG-AF=2a-a=a ，∴点E 为DF 的中点，∵CE ⊥DF ，∴CF=CD ，∵四边形FGHE 为正方形，∴GF ∥EH ，即MG ∥NE ，又∵ME ∥GM ，∴四边形MGNE 为平行四边形，∴GM=EN ，∵GF=EH ，∴MF=HN=12FG =12a ， ∴NC=CH-HN=a −12a =12a ， ∴MF=CN ，且MF ∥CN ，∴四边形MFCN 为平行四边形，∴MN=FC=DC ，在Rt △AFD 中，AD=√AF 2+DF 2=√a 2+4a 2=√5a ，∴MN=CD=AD=√5a ，∴MN ：DF=√5a ：2a =√5：2=√52.7．如图，图中小正方形的组合图形是棱长为1的正方体一种表面展开图，过小正方形的顶点A ，B ，C ，D 的线段AB ，CD 与经过小正方形的顶点E ，F 的直线交于点M ，N ，则线段MN 的长为（）A ．2√2B ．1+√2C ．52D ．74√2 【答案】D 【解析】如图所示，以点A 为原点，AE 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则点E 的坐标为（2，0），点D 的坐标为（1，2），点F 的坐标为（3，1），点B 的坐标为（3，-1），点C 的坐标为（4，1），设直线CD 的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =24k +b =1， ∴{k =−13b =73， ∴直线CD 的解析式为y =−13x +73，同理求出直线EF 的解析式为y =x −2，直线AB 的解析式为y =−13x ，联立{y =−13x y =x −2，解得{x =32y =−12， ∴点M 的坐标为(32，−12) ，联立{y =−13x +73y =x −2，解得{x =134y =54， ∴点N 的坐标为(134，54) ，∴MN =√(32−134)2+(−12−54)2=7√24.8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN，正方形BQPC，正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上.其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5=（）A．2B．2√3C．3D．3√52【答案】C【解析】如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W.∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，∴∠ABC＝∠MBQ，∵BA＝BM，BC＝BQ，∴△ABC≌△MBQ（SAS），∴∠ACB＝∠BQM＝90°，∵∠PQB＝90°，∴M，P，Q共线，∵四边形CGMP是矩形，∴MG＝PC＝BC，∵∠BCT＝∠MGB＝90°，∴∠BTC＋∠CBT＝90°，∠BWM＋∠CBT＝90°，∴∠BWM＝∠BTC，∴△MGW≌△BCT（AAS），∴MW＝BT，∵MN＝BM，∴NW＝MT，可证△NWE≌MTP，∴S1＋S5＝S3＝1，∵∠F=∠ACB=90°，AF=AC，AN=AB，∴Rt△ANF≌Rt△ABC（HL），∴S2=S3=1，∵AC2＋BC2＝AB2，∴S1＋S2＋S左空＋S右空＋S5＝S3＋S4＋S左空＋S右空，∴S1＋S2＋S5＝S3＋S4，∴S2＝S4=1∴S1+S2+S4+S5=3，故答案为：C9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB，AC，BC为边作三个等边三角形：△ABD，△ACE，△BCF，其中∠CAB=15°，AB=2+43√3，BD与CE交于点M，AC与BD交于点N，连结AM，则△AMN的面积为（）A．3+√33B．2+√32C．3+2√33D．√6+√32【答案】B【解析】连接ED，作DF∥BC交EC与F，在AM上截取AG=NG，∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=∠AEC=60°，∴∠CAB=∠EAD，∴△AED≌△ACB，∴ED=BC，∠AED=ACB=90°，∴∠DEF=30°，∵DF∥BC，∴∠DFC=FCB=150°，∴∠DEF=∠DFE=30°，∴ED=DF，∴BC=DF，∵∠DMF=∠BMC，∴△DFM≌△BCM，∴BM=DM，∴AM⊥DB，∠MAB=30°，∵AB=2+43√3，∴MB=12AB=1+23√3，MA=BM·tan60°=√3+2，∵∠CAB=15°，∴∠MAN=15°，∵AG=NG，∴∠GAN=∠GNA=15°∴∠MGN=∠GAN+∠GNA=30°设MN=x，则GN=AG=2x，MG=√3x，∴2x+√3x=2+√3，解得，x=1，△AMN的面积为12×(2+√3)×1=2+√3 2.故答案为：B.10．由四个全等的矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示.连结CH，延长EF交CH于点G，作PG⊥CH交AB于点P，若AH=2DH，则APBP的值为（）A．97B．1611C．32D．2【答案】B【解析】如图，∵正方形ABCD中，∴∠D=90°，AD=CD，∵AH=2DH，∴可设小矩形的宽为3x，则长为6x，∵HM∥CR，∴△NMH∽△NRC，∴MNNR=HMRC=3x6x=12，∴MN=2NR=23MR=2x，∴QG=8x，∵FG∥MN，∴△HFG∽△HMN，∴HFHM=FGMN，∴12=FG2x，∴FG=x，∴QG=7x，∵PG⊥CH，∴∠PGQ+∠HGQ=90°，∵∠HFG=90°，∴∠MHN+∠HGQ=90°，∴∠MHN=∠PGQ，∵∠PQG=∠PGQ=90°，∴△NMH∽△PQG，∴MNHM=QPQG，即2x6x=QP7x，∴QP=73x，∴AP=3x+73x=163x，BP=6x−73x=113x，∴APBP=163x113x=1611.故答案为：B.11．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EB，EG，延长EG交CD于点M，若∠BEM=90°，则BE：EM的值为（）A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12【答案】B【解析】∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得正方形ABCD与正方形EFGH，∴∠FEG=45°，∠EFG=∠HEF=90°，∵∠BEM=90°，∴∠BEF=45°，∴∠EBF=45°，∴BF=EF，连接DG，延长BG交CD于N，设EF=x，则BE=EG=√2x，∵DE⊥EF，BG⊥EF，∴DE∥BG，∵DE=BG，∴四边形BEDG是平行四边形，∴DG=BE=√2x，∠HGD=∠EDG=∠EBF=45°，∴∠DGM=90°，∵GN ∥ED ，∴△MNG ∽△MDE ，∴NG DE =GM EM， ∵∠CBG=∠NBC ，∠BGC=∠BCN=90°，∴△CBG ∽△NBC ，∴BC 2=BG ⋅BN ，∵BC =√CG 2+BG 2=√x 2+(2x)2=√5x ，∴BN =BC 2BG =5x 22x =52x ，NG =BN −BG =52x −2x =12x ， ∴12x 2x =GM GM+√2x，解得GM =√2x 3， ∴EM=EG+GM=√2x +√2x 3=4√2x 3， ∴BE EM =√2x 4√2x 3=34.故答案为：B.12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，以BC 为边向上作正方形BCDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，点D 落在GF 上，连结AE ，EG ．若DG ＝2，BC ＝6，则△AEG 的面积为（）A ．4B ．6C ．5√2D ．8【答案】D 【解析】过点E 作EH ⊥AG 于点H ，过点E 作EH ⊥EK ，垂足为E ，交FG 的延长线于点K∴∠EHB=∠EHG=90°，∠KEH=90°在正方形BCDE中，BE=DE=BC=CD=6，∠EBC=∠BCD=∠EDC=90°正方形ACFG中，AC=FC=AG，∠ACF=∠CAG=∠AGF=∠F=90°∴∠KGH=180°−∠AGF=90°∴四边形EHGK是矩形在Rt△ABC和Rt△FDC中，∵BC=DC，AC=FC∴Rt△ABC≅Rt△FDC(HL)∴∠1=∠2∵∠2+∠3=180°−∠EDC=90°，∠1+∠4=∠EBC=90°∴∠3=∠4∵∠BAC+∠CAG=180°∴B、A、G三点同在一条直线上，∵四边形EHGK是矩形∴∠K=90°∴∠K=∠EHB△EKD与△EHB中∵∠K=∠EHB，∠3=∠4，DE=BE∴△EKD≅△EHB(AAS)∴EK=EH∴四边形EHGK是正方形设正方形EHGK的边长为x则EK=EH=KG=xRt△EKD，EK2+DK2=ED2∵DK=DG+KG=2+x∴x2+(2+x)2=36x1=√17−1，x2=−√17−1（舍去）∴DK=2+√17−1=√17+1，EH=√17−1∵∠2+∠5=90°，∠2+∠3=90°∴∠3=∠5△EKD与△DFC中∵∠K=∠F=90°，∠3=∠5，ED=DC∴△EKD≅△DFC(AAS)∴KD=FC∴AG=KD=√17+1∴S AEG=12AG⋅EH=12(√17+1)(√17−1)=12×(17−1)=8故答案为：D.13．在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连接，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案．若正方形的边长为2√5，则阴影部分面积之和为（）A．43B．2C．3√55D．2√105【答案】A【解析】如图，过点T作TL⊥AB，连接OH，则OH⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为各边中点，∴∠DAH=∠ABE=90°，DA=AB，AH=BE，∴△DAH≌△ABE，∴∠DHA=∠AEB，∠ADH=∠BAE，∴△A TH∽△ABE，∵AB=2√5，∴AH=BE=√5，∴AE=√AB2+BE2=5，∴AT AB=AHAE=THBE，∴AT=2，TH=1，∴TM=AE-AT-ME=AE-AT-TH=2，同理可得ST=NS=NM=2，∵∠ADH+∠DHA=90°，∴∠DHA+∠BAE=90°即∠STM=90°，∴四边形STMN是正方形，∴OT=√2，∵TL⊥AB，OH⊥AB，∴TL∥OH，∵TL∥AD，∴△DAH∽△TLH，∴TH DH=TL DA，∵TL∥OH，∴△TKL∽△OKH，∴TK OK=TL OH，TK TK+√2=2√55√5，∴TK=2√23，OK=2√23+√2=5√23，在Rt△OKH中，KH=√OK2−OH2=√53，∴S△TKH=12×KH×TL=13，∴四个阴影部分的面积为43．故答案为：A.14．将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形（如图中①②③④⑤），并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN.若AM＝1，DE＝4，EF＝3，那么矩形BEHN的面积为（）A．20B．24C．30D．45【答案】C【解析】如图，由题意知AN =EF =3，BC =AD =MN =AN +AM =4∴MD =AD −AM =3∵∠BEH =90°∴∠PED +∠BEC =∠BEC +∠EBC =90°∴∠PED =∠EBC∵BC =DE =4∴△BCE ≌△EDP(AAS)∴PD =EC设HM =EC =PD =x ，MP =3−x ，∵∠HMP =∠EDP =90°，∠HPM =∠EPD∴△HPM ∽△EPD∴MP PD =MH DE 即3−x x =x 4解得x =2∴EC =2，DC =6∴S 矩形BEHN =S 矩形ABCD +S 矩形CEFG=BC ×DC +EC ×EF=4×6+2×3=30故答案为：C.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB ，AC 为边分别向外作正方形ABFG 和正方形ACDE ，CG 交AB 于点M ，BD 交AC 于点N.若GM CM =12，则AN CN=（）A．12B．34C．2√55D．1【答案】B【解析】如图，过点D作DH⊥BC交BC延长线于点H，延长AC交DH延长线于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥FG，AB=BF，∴GMMC=FBBC=12，∴ABBC=12，设AB=x，则BC=2x，∵∠ABC=90°，∴AC=√5x，∵四边形ACDE是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∴∠1+∠ACB=∠2+∠ACB=90°，∴∠1=∠2，∵DH⊥BH，∴∠CHD=∠ABC=90°，∴△ABC≌△CHD，∴AB=CH=x，DH=BC=2x，∵∠ABC+∠CHD=180°，∴AB∥DQ，∴∠1=∠Q，∵∠ACB=∠QCH，∴△ABC∽△QHC，∴ABQH=BCCH=ACCQ=2，∴QH=12AB=12x，QC=12AC=√52x，∴AQ=AC+CQ=3√52x ，DQ=DH+HQ=52x，∵∠1=∠Q，∠ANB=∠QND，∴△ABN∽△QDN，∴ANNQ=ABDQ=x52x=25，设AN=2a，则NQ=5a，∴AQ=2a+5a=7a=3√52x，∴a=3√514x，∴AN=2a=3√57x，NQ=5a=15√514x，∵CQ=√52x，∴NC=NQ−CQ=4√57x，∴ANCN=34.故答案为：B.16．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交CD于点P.若AE=3EF=3，则DP的长为（）A．207B．209C．3D．157【答案】A【解析】依题意，可得AF=4，即ED=4，在Rt△ADE中，可得AD=√AE2+ED2=5，则正方形ABCD的边长为5，过P作PM⊥CG与M，∵△EGH为等腰直角三角形，∠EGH=45°，∴△GMP为等腰直角三角形，∠MGP=45°，设GM=x，PM=x，CM=3−x，又∠DHC=∠PMC=90°，∠HCD=∠MCP，∴△HCD∽△MCP，∴CH DH=CMPM，即43=3−xx，故x=9 7，故CM=3−97=127，在Rt△PCM中，PC=√PM2+CM2=157，∴DP=5−157=207，故答案为：A.17．如图，两个大小不等的正方形被切割成5部分，且②与⑤的面积之差为8，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，连结AC交DF于点E，若DEEF=43，则大正方形ABCD的面积为（）A．18B．25C．32D．50【答案】D【解析】如图，图2中∵两个大小不等的正方形被切割成5部分，将这5部分拼接成一个大正方形ABCD，∴AD∥BC，AM⊥DF，CN⊥DF，∴△ADE∽△CFE，∴ADCF=DEEF=AMCN=43由④③可知CN=KJ，AM=GT=IH，∴GTKJ=43设GT=QT=HI=4x，KJ=QI=IJ=3x，∴HQ=HI-QI=4x-3x=x，图1中RQ∥JI，∴△HRQ∽△HJI，∴QRIJ=HQHI∴RQ3x=x4x解之：RQ=34x；S②=S梯形HQTG−S△HQR=12(HQ+GT)·TQ+12HQ·QR∴S②=12(x+4x)·4x+12x·34x=778x2；S⑤=12(RQ+IJ)·QI=12(34x+3x)·3x=458x2；∵②与⑤的面积之差为8，∴778x2−458x2=8∵x＞0∴x=√2.∴GT=4x=4√2，QI=3x=3√2，∴正方形ABCD 的面积=GT 2+QI 2=(4√2)2+(3√2)2=32+18=50. 故答案为：D.18．中国古代数学家张爽证明勾股定理的弦图如图所示，它由四个全等的直角三角形和．一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成大正方形ABCD ．作直线EG 分别交AD ，BC 于点M ， N ．若图中两个正方形的面积分别是13和1，则MN 的长为（）A ．3√2B ．14√25C ．13√25D ．12√25【答案】C【解析】如图，过点F 作FK ∥MN ，交BC 于点K ，根据题意知：∠AEB=90°，BF=AE=CG ，CF=BE=AH ，FG=EF=EH=1，AB=√13， ∴AE=CG ，EG=√2， ∵AE 2+BE 2=AB 2，∴BF 2+（BF+1）2=（√13）2， ∴BF=2或BF=-3（不符合题意）， ∴BF=AE=CG=2，CF=BE=3， ∵FK ∥MN ，∴△CGN ∽△CFK ，△BFK ∽△BEN ， ∴FK GN =CF CG =32，EN FK =BE BF =32， ∴FK=32GN ，∴EG+GN FK =√2+GN FK =32，∴√2+GN32GN =32， ∴GN=4√25，∵∠AME=∠CNG ，∠AEM=∠CGN=45°，AE=CG ， ∴△AEM ≌△CGN ，∴ME=GN=4√25，∴MN=4√25+4√25+√2=13√25.故答案为：C.19．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以AB 为边向上作正方形ABDE ，以AC 为边作正方形ACFG ，点E 落在GF 上，连结CD ，DF ．若要求出五边形ACDFE 的面积，则只要知道（）A ．AB 的长B ．AC 的长 C ．△ABC 的面积D ．△DEF 的面积【答案】B【解析】如图，过点D 作DH ⊥CF 于点H ，∴∠DHB=90°， ∵正方形ABDE ， ∴∠ABD=90°，DB=AB ，又∵∠ACB=90°， ∴∠DBH=∠BAC ，∴△ACB ≌△BHD （AAS ），同理可证：△ACB ≌△AGE ， ∴△ACB ≌△BHD ≌△AGE ， ∴S △ACB =S △BHD =S △AGE ，∴S 五边形ACDFE =S △DCF +S 梯形ACFE =S △AGE +S 梯形ACFE =S 正方形ACFG ， ∴当AC 已知时，可求得S 正方形ACFG ， ∴可求出五边形ACDFE 的面积.故答案为：B.20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连接DH，FH.记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB 的长为（）A．2√6B．3√2C．3√3D．4√2【答案】A【解析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，∵四边形ACDE，BCFG是正方形，∴AD⊥EC，BF⊥CG，AD=EC，BF=CG，DM=12AD，FN=12BF，设AC=a，BC=b，∵∠EAC=90°，AE=AC=a，∴EC=√AE2+AC2=√2a∴AD=√2a，∴DM=12AD=12×√2a=√22a，同理可证：CG=√2b，FN=√22b，∵EG=EC+CG，∴EG=√2(a+b)，∵H为EG的中点，∴HG=EH=12×√2(a+b)=√22(a+b)，∴CH=EH−EC=√22(b−a)，∵S1=SΔFG1H=12⋅HG⋅FN=ab+b24，S2=SΔ(DH=12CH·DM=ab−a24又∵S 1−S 2=6 ， ∴ab+b 24−ab−a 24=6 ，整理得， a 2+b 2=24 ， ∵∠ ACB =90° ，∴AB =√AC 2+BC 2=√24=2√6. 故答案为：A.21．如图，点 H ， F 分别在菱形 ABCD 的边 AD ， BC 上，点 E ， G 分别在 BA ， DC 的延长线上，且 AE =AH =CG =CF .连结 EH ， EF ， GF ， GH ，若菱形 ABCD 和四边形 EFGH 的面积相等，则 AH AD的值为（）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】D【解析】连接HC 、AF 、HF 、AC ，HF 交AC 于O ，连接EG.∵四边形ABCD 是菱形， ∠D=∠B ，AB=CD=AD=BC ， ∵AE=AH=CG=CF ， ∴DH=BF ，BE=DG ，在△DHG 和△BFE 中， {DH =BF ∠D =∠B BE =DG， ∴△DHG ≌△BFE ， ∴HG=EF ，∠DHG=∠BFE ， ∵BC ∥AD ，∴∠BFE=∠DKF，∴∠DHG=∠DKG，∴HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形.∵AH=CF，AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AC与HF互相平分，∵四边形EFGH是平行四边形，∴HF与EG互相平分，∴HF、AC、EG互相平分，相交于点O，∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，∴∠EAH=∠D，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，∴EH∥AC，∴S△AEH=S△EHO=S△AHO= 12S△AHC= 14S四边形EFGH= 14S四边形ABCD，∴S△AHC= 12S四边形ABCD=S△ADC，∴AD=AH，∴AH AD=1.故答案为：D.22．如图，正六边形ABCDEF中，点P是边AF上的点，记图中各三角形的面积依次为S1，S2，S3，S4，S5，则下列判断正确的是（）A．S1+S2=2S3B．S1+S4=S3C．S2+S4=2S3D．S1+S5=S3【答案】B【解析】如图，作正六边形ABCDEF的外接圆O，连接BE，DF，记DF与BE的交点为Q，PD，BE的交点为N，过O作OH⊥CD于H，∴∠COD=60°，设正六边形ABCDEF的边长为a，则CO=DO=CD=a，∴CH=DH=12a，OH=√32a，由正六边形的性质可得：∠DEF=120°，EF=DE，BE⊥DF，FQ=DQ，∴∠EFQ=30°，EQ=12a，FQ=√32a，∴DF⊥AF，DF=2OH=√3a，∴S3=12×a×√3a=√32a2，设PF=x，则AP=a−x，∴S1=12AP·FQ=12(a−x)×√32a=√34a2−√34ax，S4=S△PDF+S△DEF−S5=12x×√3a+12×√3a×12a−12x×√32a=√34a2+√34ax∴S1+S4=√34a2−√34ax+√34a2+√34ax=√32a2，S3=12a×√3a=√32a2，∴S1+S4=S3，故B符合题意；由S1+S4=S3，同理可得：S2+S5=S3，∴S1+S2+S4+S5=2S3，故S1+S2=2S3，S2+S4=2S3，S1+S5=S3都错误，故A，C，D都不符合题意；故答案为：B.23．将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形ABCD内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设右上角与左下角阴影部分的周长的差为l.若知道l的值，则不需测量就能知道周长的正方形的标号为（）A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d，由题意得,（a+d−b−c+b+a+d−b+b−c+c+c）−（a−d+a−d+d+d）=l，整理得，2d=l，则知道l的值，则不需测量就能知道正方形④的周长，故答案为：D.24．如图，以Rt △ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC=90∘，连接DG，点H为DG的中点，连接HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（）A．△ABC的面积B．正方形ADEB的面积C．正方形ACFG的面积D．正方形BNMC的面积【答案】B【解析】如图，延长HA交BC于点P，交MN于点O，连接CE、AN，由题意可得：AB=AD，∠DAG=∠BAC，AC=AG，∴△DAG≌△BAC（SAS），∴∠2=∠4，由题意可得：BE=AB，∠EBC=∠ABN=90°+∠ABC，BN =BC，∴△ABN≌△EBC（SAS），S△ABN=S△EBC，∵点H为DG的中点，∠DAG=90°，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠3+∠4=90°，∴HA⊥BC，∴BN∥HQ，∴S△HBN=S△ABN，又∵BE∥CD，∴S△EBC=S△EBA=12S正方形ABED，S△HBN=12S正方形ABED.故答案为：B.25．如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和B．△BDG与△AGF的面积之和C．△BDG与△CDH的周长之和D．△BDG与△AGF的周长之和【答案】C【解析】如图，连接AD，由题意可知：AB=BC=AC=DF=EF=ED，∠B=∠C=∠E=∠F=60°，∴△ABD≌△DFA（SAS），∴BD=AF，∴△AGF≌△BGD（AAS），∴BG=AG=FG=GD，同理可证得：△ACD≌△DEA（SAS），∴AE=DC，∴△AEH≌△CDH（AAS），∴AH=HC=DH=HE，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH=BD+CD+BG+AG+AH+CH=BC+AB+AC，∴△ABC的周长=BD+BG+DG+CD+DH+CH=△BGD周长+△CDH周长.故答案为：C.26．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP 的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（）A．10：7B．20：7C．49：10D．49：20【答案】D【解析】∵正方形ABCD，正方形FPQG，∴∠EAD=∠ADG=∠DQG=GCF=90°，AB=AD，QG=GF，∴∠GDQ=∠DEA，∠QGD=∠GFC，∴△ADE∽△DQG，△QGD∽△GFC，∴AE：AD=QD：QG=GC：CF，∵E 为AB 的中点， ∴AD=AB=2AE ，∴QD ：QG=GC ：CF=1：2，设QD=x ，则QG=GF=2x ，GC=y ，则CF=2y ， ∴S 2=QG 2=4x 2，在Rt △DQG 中，由勾股定理得：DG=√x 2+4x 2=√5x ， ∴DC=DG+GC=√5x+y ，在Rt △GCF 中，由勾股定理得：GC 2+CF 2=GF 2， ∴y 2+4y 2=4x 2，∴√5y=2x ，整理得：y=2√55x ，∴DC=7√55x ，∴S 1=DC 2=495x 2，∴S 1：S 2=495x 2：4x 2∴S 1：S 2=49：20. 故答案：D.27．如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（）A ．⑤和③的面积差B ．③和②的面积差C ．④和②的面积差D ．⑤和②的面积差【答案】C【解析】设7个等边三角形的边长依次为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，∴S 阴影=12（c-b ）·√32c=√34c·（c-b ），S ④-S ②=12d·√32d-12b·√32b=√34（d 2-b 2）=√34（d+b ）（d-b ），∵a+b=c ，a+c=d ， ∴d+b=2c ，d-b=2a∴S ④-S ②=√34×2c·2a=√3c·a ，又∵a=c-b ，∴S ④-S ②=√3c·（c-b ），∴S ④-S ②=4S 阴影，∴只要知道④和②的面积之差就能求出阴影部分的面积.故答案为：C.28．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长BC 分别交AG ，HG 于点M ，N ，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记△MNG 的面积为S ，△GDF 的面积为9S ，则阴影部分的面积为（）A ．20SB ．21SC ．22SD ．24S【答案】B 【解析】设直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，斜边长为c ，∵△MNG 的面积为S ，△GDF 的面积为9S ， ∴12ab=9s ，正方形MNHA 的面积为8S ，S △MNG S △AGH =19=(MG AG )2， ∴MG AM =12， ∴△AMC 的面积为4S ，∴正方形ACNH 的面积为a 2=12S ，∴b 2=(18s a )2=27s ， ∴c 2=a 2+b 2=39s ，∴阴影部分的面积=39s-9s-9s=21s.故答案为：B.29．如图，在正△ABC 中， D 、E 分别为边AB 、AC 上的点， BD =2CE ，过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连结DF ，若想求△ABC 的周长，则只需知道下列哪个三角形的周长? 该三角形是( )A ．△CEFB ．△BDFC ．△DEFD ．△ADE【答案】B【解析】过点A 作AO ⊥AB ，过点C 作CO ⊥BC 于点C ，连接BO ，延长BC ，使CG=AD ，连接OG ，OE ，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠ACB=60°，∴∠OCE=90°-60°=30°，在Rt △BAO 和Rt △BCO 中，{BA =BC BO =BO∴Rt △BAO ≌Rt △BCO （HL ），∴OA=OC ，∠ABO=∠CBO=30°，∴OB=2OC∵BD=2CE ，∴BD CE =BO CE=2 ∵∠OCE=∠OBD=30°，∴△OBD ∽△OCE ，∴∠DOB=∠EOC ，OD OE =BO CO=2， ∴∠DEO=90°，∵∠DEF=90°，∴点O ，E ，F 三点在同一直线上，在△OAD 和△OCG 中{OA =OC ∠BAO =∠BCO AD =CG∴△OAD ≌△OCG （SAS ），∴OD=OG ，∠AOD=∠COG ，∴∠DOG=∠DOC+∠COG=∠DOC+∠AOD=∠AOC=120°，∴∠FOG=∠DOG-∠DOF=120°-60°=60°，在△ODF 和△OGF 中{OD=OG ∠DOF=∠GOF OF=OF∴△ODF≌△OGF（SAS），∴DF=FG∴△BDF的周长为：BD+DF+BF=BD+FG+BF=BD+BC+CG=BC+BD+AD=BC+AB=2AB，∴要想求出△ABC的周长，只需知道△BDF的周长.故答案为：B.法二：过点E作EG∥BC，交AB于G，交DF于H，如图：由题意可知：三角形AGE是正三角形；G是BD中点、H是DF中点；EH是DF一半（斜边中线），GH是BF一半△BDF的周长=2（a+b+c）,AG=EG=b+c；AB=AG+BG=a+b+c，∴要想求出△ABC的周长，只需知道△BDF的周长.30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，以其三边为边向外作正方形．P是AE边上一点，连结PC并延长交HI于点Q，连结CG交AB于点K．若PCCQ=34，则CKKG的值为（）A．1225B．34C．1325D．45【答案】A【解析】如图，过点C，作CN⊥FG，分别交AB于点M，交FG于点N，∵Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以其三边为边向外作正方形，∴△ CAP=∠CIQ=90°，IC=BC ，AB ∥FG ，BG ⊥FG ，BG= AB ， ∵∠ACP=∠ICQ ，∴△ ACP ∽△ICQ ，∴IC AC =PC CQ =34，设AC= 3p ，则BC=IC=4p ，在Rt △ ABC 中，∴AB=√AC 2+BC 2=5p ，∴AB ∥FG. CN ⊥FG ，∴CM ⊥AB ，∴CM=AC×BC AB =12P 5， ∵CN ⊥FG ，BG ⊥FG ，∴MN ∥BG ，∴AB ∥FG ，CN ⊥FG ，∴四边形MNGB 为矩形，∴MN=BG=5p ，∴CN=CM+MN=37p 5， ∵∠MCK=∠NCG ，CN ⊥FG ，CM ⊥AB ，∴△MCK ∽△NCG ，∴CK CG =CM CN =1237， ∴CK CK+KG =1237， ∴CK KG =1225. 故答案为：A.。

2018挑战中考数学压轴题全套含答案及解析

第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年市中考第28题例2 2014年市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年市中考第25题例5 2016年市中考第26题例6 2016年市中考第24题例7 2016年市崇明县中考模拟第25题例8 2016年市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年市中考第26题例10 2014年市第25题例11 2014年市中考第26题例12 2014年市中考第27题例13 2015年市中考第22题例14 2015年市中考第26题例15 2016年市中考第26题例16 2016年市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年市中考第21题例20 2015年市中考第26题例21 2016年市中考第26题例22 2016年市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年市中考第24题例25 2014年市中考第20题例26 2014年市中考第25题例27 2015年市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年市中考第26题例30 2016年市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年市中考第28题例38 2016年市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年市中考第26题例41 2016年省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年市中考第25题例47 2016年市中考第26题例48 2016年市闵行区中考模拟第24题例49 2016年市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年市中考第28题例54 2015年市中考第25题例55 2016年市中考第26题例56 2016年市中考第24题例57 2016年市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年市中考第26题例2 2014年市中考第25题例3 2014年市中考第25题例4 2015年市中考第25题例5 2015年市中考第26题例6 2015年市中考第25题例7 2015年市中考第26题例8 2016年市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年市中考第25题例2 2014年市中考第23题例3 2014年市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年市中考第27题例6 2015年市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年市中考第22题例11 2016年市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年市中考第25题例14 2016年市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年市中考第26题例16 2014年市中考第26题例17 2014年市中考第23题例18 2015年市中考第26题例19 2015年市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年市中考第23题例22 2016年市中考第25题例23 2016年市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年市中考第15题例2 2015年市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年市闵行区中考模拟第18题例8 2016年市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年市普陀区中考模拟第18题例10 2016年市中考第15题例11 2016年市中考第14题例12 2016年市中考第18题例13 2016年市中考第15题例14 2016年市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年市崇明县中考模拟第18题例17 2016年市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年市闸北区中考模拟第18题例20 2016年市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年省中考第10题例23 2016年市中考第10题例24 2016年省中考第16题例25 2016年市中考第10题例27 2016年市中考第10题例28 2016年省中考第14题例29 2016年江市中考第11题例30 2016年市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年市中考第4题例33 2016年市中考第6题例34 2016年市中考第16题例35 2016年市中考第14题例36 2016年市中考第13题例37 2016年市中考第18题例38 2016年市中考第17题例39 2016年市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年市中考第17题例42 2016年市中考第16题例43 2016年市中考第17题例45 2016年市中考第18题例46 2016年市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年市中考第17题例49 2016年市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年市中考第12题例54 2015年市中考第12题例55 2015年市中考第10题例56 2015年市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年市中考第18题例59 2016年市中考第19题例60 2016年市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年市中考第8题例64 2016年市中考第16题例65 2016年市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年市中考第13题例70 2016年市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年市中考第14题例73 2016年义乌市市中考第9题例74 2016年市中考第12题例75 2016年市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A 、B 两点的坐标，怎样求A 、B 两点间的距离呢？我们以AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB 的长了．水平距离BC 的长就是A 、B 两点间的水平距离，等于A 、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是A 、B 两点间的竖直距离，等于A 、B 两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年省市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1428”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9，所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++．所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1．此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得2m =．此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++．图6例2 2014年省市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“1421”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝43，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以AP AD ＝23＝3．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM ＝3(1)m -．所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年省湘西市中考第26题如图1，已知直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，△APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE //y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF //y 轴，交抛物线于点F ，连结EF ，当EF //PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连结BP 、BM 、MQ ，问：是否存在t 的值，使以B 、Q 、M 为顶点的三角形与以O 、B 、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)．将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩ 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ ＝2t ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA ＝90°时，AP ＝2AQ ．解方程3－t ＝2t ，得t ＝1（如图2）．②当∠QPA ＝90°时，AQ ＝2AP ．解方程2t ＝2(3－t )，得t ＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ．因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝2．由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OB BQ OP =23322t t=-．解得94t =（如图5）． ②当BM OP BQ OB =23322t t =-．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB ＝5厘米，以线段AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ＝6厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C ．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“1426”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0．将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-+＞214x ．而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23．此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+．如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23．此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-．如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年省市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1 动感体验请打开几何画板文件名“1425”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =．所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--．抛物线的顶点为125(5,)24-．（3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=．所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ： ①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例11 2014年省市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“1426”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan ∠1＝tan ∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB ＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=-（如图4），或51n -=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C (0, mn )，当点C 的坐标是(0,－1)，mn ＝－1．由A (m , 0)，B (n , 0)，C (0,－1)，得AB 2＝(m －n )2＝m 2－2mn ＋n 2＝m 2＋n 2＋2， BC 2＝n 2＋1，AC 2＝m 2＋1．所以AB 2＝BC 2＋AC 2．于是得到Rt △ABC ，∠ACB ＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC 时，对于CA ＝CB 的情况，此时A 、B 两点关于y轴对称，可以直接写出B (－2, 0)，n ＝－2．例 12 2014年省市中考第27题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连结PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图2，连结PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“1427”，拖动点Q 在AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ．所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10t t --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158．（2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况：①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ．解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．图8例 13 2015年省市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“1522”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ t AD AP t===．所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ t CP t-==-．又因为623CB CD ==，所以CQ CB CP CD =．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ．在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图2 图3 图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDS AP S AD =△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24．因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -，所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ．如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535t =．所以35QP t =．如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ．在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-．分三种情况讨论等腰三角形PQC ：（1）①当PC ＝PQ 时，解方程358t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)55t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=．所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=．解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）．综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝35t ．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．图4例19 2015年省市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．。

PISA测试数学试题

PISA测试数学试题题目一：USB随身碟USB随身碟是一种小巧便携的计算机储存设备。

冠达的USB随身碟容量为1GB（1000MB），里面存有音乐和照片。

目前，他的USB随身碟存储状态为：音乐（650MB），照片（198MB），可用空间（152MB）。

问题1：___想要将350MB的照片集转存到他的USB随身碟中，但USB随身碟没有足够的可用空间。

他不想删除USB随身碟中的任何照片，但他可以删除USB随身碟中的两个音乐专辑。

冠达的USB随身碟中存有8个不同大小的音乐专辑，它们的大小分别为：专辑1：100MB专辑2：75MB专辑3：80MB专辑4：55MB专辑5：60MB专辑6：80MB专辑7：75MB专辑8：125MB如果最多只能删除两个音乐专辑，那么冠达的USB随身碟是否有足够的空间来存储新的照片集？请在选项中选择“是”或“否”，并列出计算过程来支持你的答案。

题旨：比较并计算数值以满足给定条件。

内容领域：数量。

情境脉络：个人。

数学历程：解释。

满分答案：是。

明确表示或暗示，并举出任何一个例子，其中两个专辑所使用的空间为198MB或更多。

他需要删除198MB（350-152），因此他需要删除任意两张加起来空间大于198MB的音乐专辑，例如专辑1和8.是。

他可以删除专辑7和8，这样得到的可用空间为152+75+125=352MB。

题目二：冰淇淋店下图是雯雯冰淇淋店的平面图，她正在装修店铺。

服务区周围是柜台。

问题1：___想沿着柜台的外缘加装新的边饰，她一共需要多长的边饰？请列出你的计算过程。

题旨：利用勾股定理或使用正确的测量方法，找出直角三角形的斜边并进行比例尺的转换。

内容领域：空间与形状。

情境脉络：职业。

数学历程：应用。

满分答案：介于4.5到4.55之间的答案（以公尺或米为单位，有、无写单位皆可）。

部分分数：答案中有部分计算步骤是正确的（如使用勾股定理或使用比例尺），但有错误，如比例尺不正确或计算错误。

初中数学pisa题型教案

初中数学pisa题型教案一、教学目标1. 理解PISA数学题型的特点和考查方向，提高学生的数学素养。

2. 通过PISA题型的训练，培养学生的逻辑思维、数据分析、问题解决等能力。

3. 提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的创新意识。

二、教学内容1. PISA数学题型概述：PISA（Program for International Student Assessment）是全球学生能力评价体系，其数学题型注重考查学生的实际应用能力、创新思维和团队合作精神。

2. PISA题型例题解析：通过分析典型PISA题型，让学生掌握解题技巧和方法。

3. 针对性训练：设计符合PISA题型的练习题，让学生在实践中提高解题能力。

4. 总结与反思：引导学生总结解题经验，提升数学素养。

三、教学过程1. 导入：介绍PISA数学题型的背景和意义，激发学生的学习兴趣。

2. 例题解析：选取具有代表性的PISA题型，进行分析讲解，让学生体会PISA题型的特点和解题思路。

3. 针对性训练：布置符合PISA题型的练习题，让学生独立完成，教师进行点评和指导。

4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队合作精神。

5. 总结与反思：引导学生总结解题过程，提升数学素养。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度等，评价学生的学习态度。

2. 练习成果：评估学生在针对性训练中的解题能力，检验学习效果。

3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，包括沟通、协作、创新等方面。

五、教学资源1. PISA数学题型资料：包括题库、解析、训练等。

2. 教学课件：展示PISA题型的特点、解题方法等。

3. 网络资源：利用互联网查找相关资料，丰富教学内容。

六、教学建议1. 注重学生个体差异，因材施教。

对于不同水平的学生，提出不同的解题要求，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提升。

2. 强化实践操作，培养学生的动手能力。

PISA测试题例举

P I S A测试题例举知识■圆球下图有两种不同大小的三合土圆球。

这些圆球是为了防止车辆停泊而放置的。

每一个圆球都被牢固在地面的某一点，相邻圆球固定点之间相距1.6米(m)。

而两个大圆球之间放置了11个小圆球。

问题 1：圆球试计算出某一大球定点位与下一个大球定点位的距离。

■砌积木小珊喜欢用图中的小正方体砌成不同大小的方块：小正方体她有大量这种小正方体。

她会用胶水将小正方体粘在一起，砌成方块。

首先，她用八块小正方体砌成方块，如图A：图A然后，再砌成图B和图C的实心方块：问题 2：砌积木小珊要用多少块小正方体才可砌出图B的方块？问题 3：砌积木小珊要用多少块小正方体才可砌出图C的实心方块？问题 4：砌积木小珊发现她砌图C的方块时，比实际需要多用了一些小正方体。

她发现可以砌出一个像图C的方块，但里面是空心的。

那么，她最少要用多少块小正方体，才可以砌出一个看起来像是图C但却是空心的方块？问题 5：砌积木小珊又要砌一个看起来像是实心的方块，这个方块长6块小正方体，阔5块小正方体，高4块小正方体。

她要用最少数目的小正方体，而方块里要保留最大的空心。

那么，她最少要用多少块小正方体来砌成这个方块？■地图这是某大城市的街道图。

地图上标示出两个地点，A点是市政大厦，B点是火车站。

问题 6：地图试运用地图上的数据，估算出由市政大厦到火车站，以虚线标示出的路线的大约距离。

A 1050米B 1350米C 1650米D 1950米■角下图的长方形内有一个三角形。

现在已知其中两个角，另外三个角分别称为a, b, r。

问题 7：角请计算出 a, b, r 三个角的数值。

a =b =r =■驾车小丽驱车出外兜风，半途中突然有一只猫冲在车前，她用力剎车才没撞到它。

小丽受惊后决定开车回家。

以下的曲线图是小丽行车的速度记录。

问题 8：驾车小丽行车期间的最高车速是多少？问题 9：驾车小丽在什么时间为躲避那只猫而踏剎车？问题 10：驾车由上图的数据，能否知道小丽回程的路线，是不是比她从家里出发到发生此意外事件的路线距离短？请解释你的答案。

PISA视野下中考数学概率与统计题中的情境分析——以2015至2018年湖北省八市中考题为例

初中2018年9月《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程的实施建议部分，非常注重数学与现实之间的联系，强调教材呈现内容的素材要贴近学生的“生活现实”、“数学现实”和“其他学科现实”，从学生已有的生活经验出发，在具体的情境中学习数学，由此来促进学生对生活现象和社会热点的关注，体会到数学的价值，从而培养学生良好的情感、态度与价值观.根据新课标的课程理念，近年来，各地的数学中考命题者越来越重视试题中的情境设置，考查学生运用已有的数学知识解决现实情境问题的能力.这些情境都具有什么样的特点？作为具有导向性的中考试题，还需要哪些改进？为此，对湖北省2015至2018年八市中考数学概率与统计题做了统计与分析，针对发现的问题提出了相关思考，以期对数学教材编写、数学教学及中考命题提供一些参考.一、统计的简单说明首先，本次统计选取的样本是湖北省武汉市、黄冈市、宜昌市、黄石市、孝感市、襄阳市、荆州市、随州市八个地级市2015至2018年32道中考数学概率与统计题.其次，关于情境的分析框架主要是基于PISA 对数学题的情境分析框架，PISA 是一个由“国际经济合作与发展组织”（OECD ）策划并组织的评价临近义务教育末期即15周岁学生的阅读、数学、科学素养的“国际学生评价项目”（Program for International Student Assessment ）.它对数学问题的情境类型在宏观维度上从低到高分为五大层次：无情境、个人情境、职业情境、社会情境和科学情境.因此，本文也把中考概率与统计题的情境分为上述5类.其中“无情境”是指只包含数学自身世界，不含有现实生活的情境；“个人情境”主要指学生个人能够亲身经历或者周围其他人亲身亲历的情境.如个人知识竞赛、阅读和娱乐等；“职业情境”是指学生一般很少亲身经历的、属于某个职业领域的情境，如成本计算、商场计算利润等；“社会情境”是指与社会团体有关的情境，如公共单车租用等；“科学情境”是指其他学科中涉及的数学知识背景，如物理、化学和生物情境中的数学题，建筑中的数学问题等.二、结果与分析1.概率与统计题情境总体分布情况统计发现，近四年中考概率与统计题的情境设置在PISA 的情境类型分布中呈现显著差异.其中32道样本试题中，出现最多的是个人情境类试题（27题），所占比例约为84.4%，超过了总试题数的五分之四.其次是社会情境类试题（3道），所占比例约为9.4%.最后是职业情境类试题和科学情境类试题（均为1道），分别约占样本总试题的3.1%.无情境题数为0，这可能是由于概率与统计题需要学生根据所给现实数据条件来分析和解决问题.2.概率与统计题情境具体分布及其特点统计又发现，个人情境类试题中涉及最多的是以知识竞赛为背景的试题，如2018年孝感的“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，共有11道，约占个人情境中试题总数的41%，其余背景所占比例相差不大（如图1）.其次，涉及“学习阅读”（如2017年襄阳的“四大古典名著阅读”）和“娱乐爱好”（如2016年武汉的“喜爱的电PISA 视野下中考数学概率与统计题中的情境分析*———以2015至2018年湖北省八市中考题为例◉南昌师范学院数学与计算机科学系孙庆括◉南昌师范学院数学与计算机科学系汪子怡*本文是基金项目:江西省教育科学“十三五”规划2017年度一般课题“江西城乡义务教育数学教师有效教学行为对比研究”(17YB261)的研究成果之一.教谋学参新颖试题77初中2018年9月视节目”）背景的题目分别有5道，均占近19%.最后，涉及“体育锻炼”（如2016年黄石的“学生体育测试成绩及课外锻炼”）和“生活出行”（如2016年襄阳的“假期景区游玩计划”）背景的题目分别为3道，均占近11%.总的来看，个人情境类试题其背景围绕学生的日常生活实际展开，与学生的学习和生活密切相关.比如2018年荆州的“中小学生首届诗词大会”、2017年黄冈的“学生喜爱的体育活动”、2016年宜昌的“学生早餐选择概率”、2015年孝感的“课外学习时间”背景等，都与学生的生活紧密联系，让学生在中考数学试题中感受到了数学与生活的联系.知识竞赛41%%娱乐爱好18%读19%生活出行11%图1个人情境类试题背景分布情况然而，由于个人情境类型背景题材有限，许多地区出现了类似题材背景重复应用考查的情况，比如随州市2015至2018年中概率与统计试题背景都是以活动及竞赛的方式出现、宜昌市2015至2018年概率与统计试题背景都是与校园社团相关（见表1）.同时，不同地区试题背景也存在着关联，比如2017年襄阳市概率与统计试题背景为“阅读四大名著”，与2016年黄冈市概率与统计试题背景为“诵读经典名著”类似；襄阳市2018年概率与统计试题背景为“中华诗词大赛”，与荆州市2018年概率与统计试题背景为“中小学首届诗词大会”类似.值得注意的是，湖北省近四年中考概率与统计题还出现了3道社会情境题，所占比例虽然不大，但体现了中考题关注社会现实问题的导向，具有很强的现实意义.像2015年黄冈市的“关爱留守儿童”背景，能够很好地对学生进行人文关怀的熏陶教育，潜移默化地影响学生关爱他人的情感，符合我国中学生的德育要求.2017年宜昌市的“公共单车租用”背景，关注了绿色出行的热门话题，不仅让学生感受到数学在社会中的应用，还让学生明白了低碳出行的重要性.2018年黄石市的“微信朋友圈步数分享”背景，凸显了较强的时代感，不仅让学生体会到高科技在生活中的应用，也让学生感受到了数学在信息统计方面的应用.表1近四年湖北省各地概率与统计题情境问题设置分布三尧结论与思考近四年来湖北省中考数学统计与概率试题中具有社会情境背景题占到一定数量，说明在新课程改革中数学中考题在课标要求“加强数学课程与社会生活的联系”方面有了一定的重视.然而，就所涉及的情境类型来看，依然存在一些问题，如科学情境和职业情境过少，这与课标中所强调的“加强数学与其他学科相联系”方面存在差距.1.科学情境的设置应该得到重视近四年湖北省中考概率与统计题情境中所含的科学情境比例极少，仅仅有一道，明显不足.另外，有研究者通过对我国多个版本的初中数学教材的例题情境比较发现，科学情境呈现严重的边缘化倾向..进一步，对中国与美国、澳大利亚、新加坡等国初中数学教材习题比较发现，外国教材中具有科学情境背景的习题数量远远教谋学参新颖试题78初中2018年9月高于我国.事实上，数学是自然科学的基础，也是重大技术发展的基础.正如马克思所说，数学和其他学科的相互联系、相互渗透不仅仅表现在物理、化学、生物等自然科学领域，经济学、语言学等社会科学中同样也可以看到数学的影子.数学教育虽独立于科学教育，但不是说科学教育与数学教育毫无关系.这两者是能够相互渗透，并彼此提供知识和能力的支持的.《义务教育数学课程标准（2011年版）》就明确指出，数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系，随着学生学习的深入，其他学科的知识也就成为学生的“现实”.因此，科学情境的设置应该得到高度的重视，这不仅是局限于中考数学试题中，更应该体现于数学教材和数学教学中.2.社会情境的设置应该得到加强2015至2018年湖北省中考数学概率与统计题中的情境设置大多数是围绕学生的个人情境，社会情境所占比例较少，仅涉及关爱留守儿童、赠学习用品活动、公共单车租用情况分析、微信朋友圈步数分享情况等.这些情境都与学生的日常生活有一定的联系，也是社会的热点话题，通过适当的社会情境设置，不仅让学生体会到数学来源于生活，更能够潜移默化培养学生关注社会现实问题的意识.事实上，社会情境还涉及公共交通、公共政策、人口统计、广告、国家统计和国家经济等，主要与社会团体有关，虽然个体也有参与这些情境，但社会情境主要是站在社会团体的视角看待这些问题.因此，建议中考数学题中社会情境的设置应该注意公共生活经验之间各种类型情境设置的均衡性和交叉性，比如可以设置一个情境不仅涉及公共单车租用还可以涉及环境问题，以期这样的设置对教科书或者教学情境设置能有更好的帮助.因此，在数学教学中应当积极开发和利用社会教育资源，在报纸、杂志、电视广播和网络媒体中寻找合适的贴近时代的学习素材，向学生介绍其中与数学有关的知识，并组织学生对某些内容进行交流，以便增强学生的社会责任感.3.个人情境的背景来源应该均匀分布研究发现，近四年湖北省部分地区中考概率与统计题中个人情境下具体情境大多为知识竞赛，以个人“知识竞赛”和“学习阅读”为背景的试题约占个人情境试题的59.3%，体现了对学生知识与技能的关注与重视，其余三个背景所占比例大致相同，体现了背景分布的不均衡性.事实上，个人情境不仅与个体自身活动，还与个体所在家庭、个体同伴等有关，其中包括食品的准备、购物、游戏、个人健康、个人交通、运动、旅行、个人日常安排和个人理财等.因此，以学生个人经验为背景的题目应该以多种背景均衡分布于数学试题中，对数学日常教学情境创设起到引导性作用.比如体育锻炼及生活出行的背景题应该得到重视，学生不仅需要在智力上得到发展，德智体美劳需要全面均衡发展.同时，情境设置所覆盖的广度也应有所提高.这样才能更好地落实数学新课程所强调的“人人学习有价值的数学”，促进学生对数学价值的理解.总之，中考作为我国重要的学业水平测试，其数学试题情境的设置也将深深影响教师的教和学生的学.因此，无论对于命题者，还是数学教材的编写者及一线数学教师，从学生实际出发考虑的同时还要注意情境设置的多样性.参考文献院1.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S ].北京:北京师范大学出版社,2012.2.陈志辉,刘琼琼,等.PISA 影射下数学学业水平考试的问题情境比较研究[J ].比较教育研究,2015(10).3.束鹏,吴晓红.我国初中数学教材例题情境的设置分析[J ].江苏教育,2018(3).4.贾随军,吕世虎,李保臻.中国与美国初中数学教材习题的个案比较[J ].数学通报,2014(9).5.王淑芬,唐恒钧,徐元根.澳大利亚数学教科书中的章前活动及启示[J ].中学数学(下),2017(10).6.孙雨琴,朱哲.中、新初中数学教科书中“反比例函数”的比较研究[J ].中学数学(下),2018(1).7.田晨,张维忠.中考数学解方程应用题中的情境分析[J ].中学数学杂志,2012(8).教谋学参新颖试题79。

2018年中考数学总复习专题提升十二关于pisa测试题的问题试题

专题提升十二关于pisa测试题的问题热点解读Pisa是国际学生评估项目的缩写，是一项由经济合作与发展组织统筹的学生能力测试项目，pisa类测试可强化对考生知识面，综合分析，创新素养等方面的考察，测试的重点是考生全面参与社会的知识与技能，发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、技能和基本思想进行独立思考．pisa测试题是中考命题的方向．母题呈现(2016·绍兴)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是( )A．84 B．336 C．510 D．1326对点训练1．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )第1题图A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长2．(2017·绍兴)一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( )第2题图3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除④外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( ) A．14分钟 B．13分钟C．12分钟 D．11分钟4．△PQR是直角三角形，∠R是直角．RQ的长度比PR短，M是PQ的中点，N是QR的中点，S是三角形内部一点，MN的长度比MS长．则符合以上描述的三角形是( )5．(2015·台州)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5人．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是( )A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对6．(2015·绍兴)挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走( )A．②号棒 B．⑦号棒C．⑧号棒 D．⑩号棒第6题图7．(2015·台湾)已知A地在B地的西方，且有一以A、B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？( )第7题图A．309 B．316 C．336 D．3398．木匠制作一个如图的书架需要以下材料：4块长木板，6块短木板，12个短夹，2个长夹和14颗螺丝．现在木匠有26块长木板，33块短木板，200个短夹，20个长夹和510颗螺丝，则木匠可以做个书架．第8题图9．(2017·永嘉模拟)魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为__________________．第9题图10．(2016·温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示)，则该凸六边形的周长是cm.第10题图11．(2017·温州)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为____________________cm.第11题图12．(2017·宁波模拟)某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：(1)当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？(2)一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？第12题图参考答案专题提升十二关于pisa测试题的问题【母题呈现】C【对点训练】1．D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D7.C8．59.61010.(322＋16) 11.(24－82)12．(1)第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人．即有n张桌子时是6＋4(n－1)＝(4n＋2)人．第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人，即6＋2(n －1)＝(2n＋4)人．(2)打算用第一种摆放方式来摆放餐桌．因为，当n＝25时，4×25＋2＝102人＞98人，当n＝25时，2×25＋4＝54人＜98人，所以，选用第一种摆放方式.。

PISA数学试题总结

PISA试题(B)卷共25题考试时间100分钟学校-----------班级----------性别--------出生--------年------月1. 地衣全球性暖化会造成一部分冰川融化的结果。

约在冰川消失的十二年后，微小的植物—地衣，会开始在岩石间生长。

地衣生长的形式有如圆圈一般，圆圈的直径与地衣的年龄之间关系约可用下列公式来表示：，其中，d 表示圆圈直径(每毫米)，t 表示冰川消失后的年数。

问题1：利用公式，算出冰川消失后16年的地衣直径。

写出你的计算方法。

问题2：安安测量出某地区地衣的直径为35毫米。

请问在这地区的冰川是多少年前消失？写出你的计算方法。

2. 苹果农夫将苹果树种在正方形的果园。

为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树。

在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)，和苹果树数量及针叶树数量的规律：问题1：完成下表的空格n 苹果树数针叶树数1 1 82 4345问题2：你可以用以下的2个公式来计算上面提到的苹果树数量及针叶树数量的规律：苹果树的数量= n2 针叶树的数量= 8n n代表苹果树的列数当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量。

找出n值，并写出你的计算方法。

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………问题3：若农夫想要种更多列，做一个更大的果园，当农夫将果园扩大时，那一种树会增加得比较快？是苹果树的数量或是针叶树的数量？解释你的想法。

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. 骰子问题1：在这张相片中你可以看见六个骰子，分别被标记(a)到(f)。

中考高频考点1：PISA题

中考高频考点1：PISA题1．如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B 时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A 到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）2．如图（1）是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且AB＝CD＝CP＝DM＝20cm．（1）当点P向下滑至点N处时，测得∠DCE＝60°时.①求滑槽MN的长度；②此时点A到直线DP的距离是多少？（2）当点P向上滑至点M处时，点A在相对于（1）的情况下向左移动的距离是多少？（结果精确到0.01cm732）3．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝30cm，DF＝20cm，AF＝25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB ＝75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）4．某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转．．．的支撑臂CD，AC＝30cm．（1）如图2，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；（2）如图3，当∠BAC＝12°时，求AD的长．（结果保留根号）（参考数据sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20）5．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°．李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m 时，安装起来比较方便．（1）求相邻两条踏板间的垂直高度．（2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说明．（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）6．我市城市风貌提升工程正在火热进行中，检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现准备制作一批新的公交车候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后，设计师画了两幅侧面示意图，AB，FG均为水平线段，CD⊥AB，PQ⊥FG，E，H为垂足，且AE＝FH，AB＝FG＝2米，图1中tan A＝25，tan B＝35，图2点P在弧FG上．且弧FG所在圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2.（1）求图1中的CE长；（2）求图2中的PH长．。

湖南省中考数学复习难题突破专题十：基于PISA理念测试题

(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，得出对应点坐标，只要利用待定系数法求出函数解析式即可；
②由题意可得，扣杀路线在直线y＝ x上，由①得y＝a(x－3)2－ a，进而利用根的判别式求出a的值，进而求出x的值．
专题训练
1．[2019·金华]一座楼梯的示意图如图Z10－3所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ，现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要()
A. 米2B. 米2
C．(4＋ )米2D．(4＋4tanθ)米2
图Z10－3图Z10－4
2．[2019·绍兴]如图Z10－4，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()
0.6
0.64
0.8
…
x(米)
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
y(米)
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
(3)乒乓球落在桌面上弹起，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.
①用含a的代数式表示k；
②球网高度为0.14米，球桌长1.4×2米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．
图Z10－2
例题分层分析