第八章 组合变形
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第八章 组合变形
例题
[ 已知： 例8.1 已知： = 15kN , e = 300mm, 许用拉应力σ 1 ] = 32 MPa, P
试设计立柱直径d 试设计立柱直径d。
解： 将力P向立柱轴线简化，立柱 向立柱轴线简化， 将力 向立柱轴线简化 承受拉伸和弯曲两种基本变 形 任意横截面上的轴力和弯矩 为：
FN = P = 15kN
cos ϕ sin ϕ + I I z y
2 2
ω= ω
2
y
+ω
2
z
Fl 3 = 3E
ωz I z tanψ = = tan ϕ ωy I y
I 一般情况下， z ≠ I y ， 故 ϕ ≠ ψ ，这表明挠度所在 一般情况下， 的平面与外力作用平面并不重合。 的平面与外力作用平面并不重合。
以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F 以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面 ϕ 形心，与y轴夹角为 形心， 建立坐标系， 建立坐标系，将F分解 分解 成沿y和 的分量 成沿 和z的分量
Fy = F cosϕ
Fz = F sin ϕ
图6.4
梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯 Fy、 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩 值为： 值为：
σ1
σw
4×15×103 32×15×103 ×300 + ≤ 32 2 3 πd πd
d = 114mm
所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 例8.2 图a所示起重机的最大吊重 所示起重机的最大吊重 ， 试为横梁AB选择合适的工字钢 选择合适的工字钢。 力 [σ ] = 100MPa ，试为横梁 选择合适的工字钢。 的受力图， 解：根据横梁AB的受力图，由 根据横梁 的受力图 平衡方程可得： 平衡方程可得：
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学第八章组合变形
例题: 图示吊车大梁,由32a热轧普通工字钢制成，许 用应力 [σ]＝160MPa ，L＝4m 。起吊的重物重量F ＝80kN,且作用在梁的中点,作用线与y轴之间的夹角α ＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。
F
Fy F cos 50
L2
L2
解：1. 外力分解
Fy F cos 80 cos 50 79.7kN Fz F sin 80 sin 50 6.96kN
材料力学
Mechanics of Materials
例：图示梁，已知F1=800N，F2=1650N，截面宽度 b=90mm，高度h=180mm。求：
1、梁上的max及所在位置； 2、若改为a=130mm的正方形截面，梁上的max； 3、若改为d=130mm圆形截面，梁上的max。
F2
F1 z
32
32 6
d3
72.6mm
取 d 73mm
构件在荷载的作用 下如发生两种或两种以 上基本形式的变形，且 几种变形所对应的应力 （和变形）属于同一数 量级，则构件的变形称 为组合变形。
❖组合变形的分析方法 线弹性小变形范围内，采用叠加原理
材料力学
Mechanics of Materials
二.组合变形分析方法 条件:线弹性小变形
组合 变形
0.642q 106 31.5 103
0.266q 106 237 103
160MPa
q 7.44kN / m
材料力学
Mechanics of Materials
M zD 0.456q
M zA 0.266q
z
M yD 0.444q
M yA 0.642q
A截面
y
max
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
材料力学第八章组合变形及连接部分的计算
t . max
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
Mz 0 FN Iy A
F
350
M
FN
425 10 3 F 0.075 F 5.3110 5 15 10 3 667 F Pa F Mz c. max 1 N Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
50 150
425F 103 N.m
A 15000 mm2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm4
y1
z0
y
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 FN F 50 M 425103 F N.m （3）立柱横截面的最大应力
az
中性轴
z0 0 y0 0
i z2 a y yo ey 2 iy a z zo ez
截面核心
y
中性轴
F (e y , e z )
z
求直径为D的圆截面的截面核心.
d a y1 2
i z2 ay ey
a z1
az
2 iy
2 4 d d 64 2 iy i z2 2 A d 4 16
F
1， 首先将斜弯曲分解 为两个平面弯曲的叠加
Fy F cos
L2
L2
Z y
My Wy
Fz F sin
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Z y
Wz 70.758cm 3
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表： W y 692.2cm 3
建筑力学第8章组合变形
• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
第八章组合变形构件的强度
偏心距e。
P
εa
P
e e h
【解】1）将P向轴线平移。
M e Pe
P
2）由虎克定律得：
Me
z
εb
b
εa
P
εb
Me
a b
a
E
b
E
1 E
1 E
P A
P A
Me Wz
Me Wz
1 E
1 E
P bh P bh
12Pe b h3
12Pe b h3
P
Ebh( a
2
e
h(
a
b)
6( a b)
A
F
+
σ'
2)当梁上只有P作用时，其弯
P ab
矩图和应力图为：
A
B
C
σ''
正应力：σ M (x) y
Iz
3)F、P同时作用时正应力：
Pab/(a+b)
+
AC
B
σmin σ σmax
F M (x) y
A
Iz
4)整个梁正应力在C截面上 下边缘取得极值：
Hale Waihona Puke 5)梁处于单向应力状 态，强度条件为：
σ
态，处于二向应力状态。
τ
5)强度计算：
eq3 2 4 2
2 m
ax
4
2max
M ma Wz
x
2
4
Tm W
ax t
2
M max Wz
2
4
T max 2W z
2
1 W
z
M
2 m
ax
T
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
材料力学刘鸿文第六版最新课件第八章 组合变形
667 667
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
F c 160 106 171300N
934 934
许 可 压 力 为 F 45000N 45kN
§8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合
例２图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹 具受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离
e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆 的强度。
4、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[ t ]
c ,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN
My
Байду номын сангаас
|z| 0
A
Iy
| z | FN I y A M y
+_
（-z y)
y -_
z
_
_
+
|z|
第三组
圆截面、弯扭组合变形
§8-4 扭转与弯曲的组合
扭转+双向弯曲
求合弯矩
M
2
M
2 y
M
2 z
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题1 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩
Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合 力F1=1400N，轴的材料许用应力〔σ 〕=100MPa。试按 第三强度理论设计轴的直径d。
§8-1 组合变形和叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
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2020/6/18
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材料力学>>组合变形>> 8.4 弯曲与扭转的组合受力
危险截面在固定端A，其上的内力为
M Fl T M e Fa
点C1和C2为危险点，点C1的单元体
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材料力学>>组合变形>>弯曲与扭转的组合受力
ay
i
2 z
ey
az
i
2 y
ez
截面核心
2020/6/18
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
8.3.3 截面核心
ay
i
2 z
ey
az
i
2 y
ez
2020/6/18
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
10
材料力学>>组合变形>>
8.3 拉压与弯曲的组合受力
8.3.1 拉压与弯曲组合的强度条件 8.3.2 偏心拉伸（压缩） 8.3.3 截面核心
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
8.3.1 拉压与弯曲组合的强度条件
相互影响 刚度大，忽略相互影响
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材料力学>>组合变形>>弯曲与扭转的组合受力
当圆形危险截面有两个弯矩My和Mz同时作用时，应按矢量求和的 方法，确定危险截面上总弯矩M的大小和方向。
r,3
M2 T2 Wz
M
2 y
M
2 z
T
2
Wz
r,4
M 2 0.75T 2 Wz
M
2 y
M
2 z
0.75T
2
Wz
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M
c
os Iz
y
sin Iy
z
中性轴方程
cos Iz
y0
s in Iy
z0
0
tan
z0 y0
I I
y z
cot
max
M y,max Wy
M z,max Wz
M
m
ax
sin Wy
cos Wz
max
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M Fl
T M e Fa
M Wz
Wz
πd 3 32
T Wp
Wp
2Wz
πd 3 16
按第三强度理论，其强度条件为 2 4 2
r,3
M2 T2 Wz
按第四强度理论，其强度条件为
2 3 2
r,4
M 2 0.75T 2
Wz
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Байду номын сангаас
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材料力学>>组合变形>>弯曲与扭转的组合受力
例8-4 图（a）所示为一钢制实心圆轴，轴上齿轮的受力如图所示。齿
轮C的节圆直径dC=500mm，齿轮D的节圆直径dD=300mm。许用应力[]
=100MPa，试按第四强度理论设计轴的直径。
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3
材料力学>>组合变形
8.1 概述
工程实际中，许多杆件往往所受荷载是组合受力，即其变形是由两 种或三种基本变形所组成。 线弹性，变形很小，从而可按原始尺寸原理来分析其内力，任一载 荷在杆内引起的应力不受其它载荷的影响 方法：首先将其分解为若干基本变形的组合，并计算出物体内某截 面上一点相应于每种基本变形的应力，然后将所得结果迭加（代数 和或矢量和），即得杆件在组合变形时的应力。
z
M z y M cos y
Iz
Iz
M y z M sin z
Iy
Iy
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材料力学>>组合变形>>梁的斜弯曲
8.2.2 斜弯曲时梁的中性轴方程与强度条件
M
c
os Iz
y
sin Iy
z
max
M y,max Wy
例8-2 图（a）所示矩形截面短柱受偏心压力F的作用，作用点在y轴 上，偏心距e=60mm，试求任一截面上的最大拉压应力。
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
例8-3 如图（a）所示，短柱受荷载F1和F2的作用，试求固定端截面上角 点A、B、C、D的正应力。图中几何尺寸单位：mm。
配套南京大学出版社《材料力学》（苏振超等主编） ISBN: 978-7-305-18566-3
材料力学>>
第八章 组合变形
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2
材料力学>>
第八章 组合变形
8.1 概述 8.2 梁的斜弯曲 8.3 拉压与弯曲的组合受力 8.4 弯曲与扭转的组合受力
5
材料力学>>组合变形>>梁的斜弯曲
8.2.1 斜弯曲及横截面上的正应力 挠曲线不再位于外力所在的纵向平面内的弯曲称为斜弯曲。
M z Fy (l x) F cos(l x) M cos
M y Fz (l x) F sin (l x) M sin
M
c
os Iz
y
sin Iy
t,max
FN A
M max Wz
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
8.3.2 偏心拉伸（压缩）
1. 单向偏心压缩
FN F AA
M y z Fez
Iy
Iy
F Fez A Iy
例8-6 面积大小为2.0m1.2m的广告牌，由内径d=180mm、外径 D=220mm的空心圆钢管支撑，如图（a）所示。若不计钢管和广告 牌的质量，已知钢管的许用应力为[]=160MPa，垂直作用在广告 牌上的风压为2kPa。试按第三强度理论校核钢管的强度。
2020/6/18
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材料力学>>组合变形>>弯曲与扭转的组合受力
例8-5 图（a）所示圆弧形小曲率圆截面杆，承受铅垂荷载F作用。设
杆轴半径为r，许用应力为[]，试根据第三强度理论设计杆的直径。
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材料力学>>组合变形>>弯曲与扭转的组合受力
M z,max Wz
M
m
ax
sin Wy
cos Wz
max
中性轴方程
cos Iz
y0
sin Iy
z0
0
tan
z0 y0
I I
y z
cot
:中性轴与y轴的夹角
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材料力学>>组合变形>>梁的斜弯曲
8.2.2 斜弯曲时梁的中性轴方程与强度条件
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本章结束
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9
材料力学>>组合变形>>梁的斜弯曲
例8-1 跨长的简支梁，由25a号工字钢制成，受力如图所示。F力的作 用线通过截面形心，且与y轴间的夹角 15 ，材料的许用应力
170 MPa ，试校核此梁的强度。
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8.3.3 截面核心
FN M y z M z y F Fez z Fey y
A Iy
Iz
A Iy
Iz
设中性轴上任一点坐标为（z0，y0），则有
F Fez z0 Fey y0 0
A Iy
Iz
1
ez z0 iy2
ey y0 iz2
0
设ay，az分别是中性轴在y , z轴上的截距，则可得
2. 双向偏心压缩
FN F
M y M ey Fez
M z M ez Fey
FN M y z M z y F Fez z Fey y
A Iy
Iz
A Iy
Iz
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材料力学>>组合变形>>拉压与弯曲的组合受力
• 优点？ • 缺点？
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4
材料力学>>组合变形>>
8.2 梁的斜弯曲
8.2.1 斜弯曲及横截面上的正应力 8.2.2 斜弯曲时梁的中性轴方程与强度条件 8.2.3 斜弯曲时梁的变形