直线与方程总结
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(2)倾斜角与斜率的对应关系：当 α＝90°时，直线的斜率不存 在；当 α≠90°时，斜率 k＝tanα，且经过两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2) 的直线的斜率 kAB＝xy22－－xy11.
(3)当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐 增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0)．
(2)直线 l 过点 B(－4,1)时，即为直线 MB，倾斜角 α2 为最大值， 所以 tan α2＝1－－4－ －30＝－1，即 α2＝135°.
所以直线 l 倾斜角 α 的取值范围是[45°，135°]． 当 α＝90°时，直线 l 的斜率不存在； 当 45°≤α＜90°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≥1； 当 90°＜α≤135°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≤－1. 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．
当 l1∥l2∥l 时，l1 与 l 间的距离等于 l2 与 l 间的距离．
要点整合
专题一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 α 的范围是 0°≤α＜180°，任何一条直线都有唯 一的倾斜角，它决定着直线的倾斜方向．斜率 k 是由倾斜角 α 定义 的，即 k＝tan α，所以当 α＝90°时，直线的斜率不存在，当 α＞ 90°时，k＜0，当 0°＜α＜90°时，k＞0，当 α＝0°时，k＝0.直线的 斜率还可以由直线上两点的坐标求得：即经过两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)的直线的斜率，当 x1＝x2 时，斜率不存在；当 x1≠x2 时，k＝yx22－ －yx11 ＝yx11－ －yx22.
方法点评：
所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用 l1 ⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 和 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0 来判定两条直线是否垂直或平行，比用斜率来判定更简便，它不需
要讨论斜率不存在的情况．
专题四 交点、距离问题 求直线的交点坐标，计算点与点、点与线之间的距离，多数不 单独命题，通常与直线方程、直线的位置关系一起考查，要做到熟 记公式、准确计算．交点、距离问题中以直线过定点问题和对称问 题最有代表性．
可得 Q 点的坐标．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对
称．
【例 5】 已知 A(4,1)，B(0,4)两点，在直线 l：3x－y－1＝0 上找一点 M， 使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点 M 的坐标及最大值．
解：
设 B(0,4)关于直线 l：3x－y－1＝0 的对称点为 B′(x0，y0)，则
【例 1】 过点 M(0，－3)的直线 l 与以点 A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围及倾斜角的范围．
解：如图所示
(1)直线 l 过点 A(3,0)时，即为直线 MA，倾斜角 α1 为最小值， 所以 tan α1＝0－3－－03＝1，即 α1＝45°.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)，若 P 关于 l 的对称点 Q 的坐标为(x，y)，则 l 是 PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ 的中点在 l 上．
解方程组Ayx－ －·x＋yx200·x0－＋ABB＝ ·y＋－2 y10＋，C＝0，
【例 3】 a 为何值时， (1)直线 x＋2ay－1＝0 与直线(3a－1)x－ay－1＝0 平行？ (2)直线 ax＋(1－a)y＝3 与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2 互相垂 直？
【解析】 (1)由题意有 1×(－a)－2a(3a－1)＝0 且 1×(－1)－(3a－ 1)×(－1)≠0，即 a＝0 或 a＝16.故所求 a 的值为 0 或16. (2)由题意有 a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即 a＝1 或 a＝－3. 故所求 a 的值为 1 或－3.
法二：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则直线的斜率 k＝－ba.因为 l 与直线 y＝43x＋53垂直，所以 k＝－ba＝－34，即ba＝34.又因为与坐标 轴围成三角形的面积为 24，所以12|ab|＝24，即|ab|＝48，所以 a＝8， b＝6 或 a＝－8，b＝－6.所以直线 l 的方程为8x＋6y＝1 或－x8＋－y6＝ 1，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋24＝0.
方法点评： (1)直线 l 过点 M，斜率变化时，可以理解为直线 l 绕定点 M 旋转，使直线 l 与线段 AB 的公共点 P 从端点 A 运动到端点 B，直 线 l 的倾斜角就由最小值 α1 变到最大值 α2.这是数形结合的思想方 法． (2)当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾 斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜 率也越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角不 确定是锐角或钝角时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不 一定随倾斜角的增大而增大．
6．“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．
(1)中心对称 ①两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1，y1)关 于 P(a，b)对称的点为 P2(2a－x1,2b－y1)，即 P 为线段 P1P2 的中点．特 别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x，－y)． ②两直线关于点对称，设直线 l1，l2 关于点 P 对称，这时其中 一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另一条直线上，并且 l1∥l2， P 到 l1，l2 的距离相等．
设正方形相邻两边方程为 x＋3y＋m＝0 和 3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴|－1＋m|＝ 3 和|－3＋n|＝ 3 ，
10
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∴m＝4 或 m＝－2(舍)，或 n＝6 或 n＝0.
∴其他三边方程为 x＋3y＋4＝0，
3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
方法点评： 本题求正方形的中心是解题的切入点，然后设出正方形边所在 直线方程，利用中心到每一边的距离相等确定待定系数进而求得方 程．
方法点评：由条件易求得 l 的斜率，设 l 的截距为 b，利用三 角形面积列出方程，解出 b 的值即可．另外，若从三角形面积的表 达式上考虑，也可设直线的截距式来解．
专题三 直线的位置关系 两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查两条 直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的 位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断， 可以避免讨论斜率不存在的情况．
专题二 求直线方程 直线的方程有五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式， 其中以点斜式、斜截式最为常用，通常采用待定系数法求直线的方 程．
【例 2】 求与直线 y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三 角形的面积为 24 的直线 l 的方程．
解：
法一：由直线 l 与直线 y＝43x＋53垂直，可设直线方程为 y＝－ 34x＋b，则直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 x0＝43b，y0＝b.又因 为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，所以 S＝12|x0||y0|＝ 24，即1243b|b|＝24，b2＝36，解得 b＝6 或 b＝－6，故所求的直线 方程为 y＝－34x＋6 或 y＝－34x－6，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋ 24＝0.
yx300·x－ －0＋240＝0－－y310，＋2 4－1＝0，
解得xy00＝＝33，， 所以 B′(3,3)．
设 M′为直线 l：3x－y－1＝0 上任意一点，则||M′A|－|M′B||
【例 4】 已知正方形的中心为直线 x－y＋1＝0 和 2x＋y＋2＝ 0 的交点，正方形一边所在直线方程为 x＋3y－2＝0，求其他三边 方程．
解：
由x2－x＋y＋y＋1＝2＝0，0， 得xy＝ ＝－ 0，1， ∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为|－112＋－322|＝
3， 10
直线与方程总结
知识网络
要点归纳
1．详析直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜 程度，但倾斜角 α 是角度(α∈[0°，180°))，是倾斜程度的直接体现； 斜率 k 是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题 的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便．
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4．直击距离问题
(2)平行于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Ax＋By ＋λ＝0(λ 是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Bx－Ay ＋λ＝0(λ 是参数)；
(4)过两条已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 是参数，当 λ＝0 时，方程变为 A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线 l1； 当 λ≠0 时，方程表示过直线 l1 和 l2 的交点，但不含直线 l1 和 l2 的 任一条直线)．
专题五 对称问题
对称问题的常见类型为：
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式解决．点 P(x， y)关于 Q(a，b)的对称点为 P′(2a－x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点 P(x0，y0)， 求直线 l 关于 P 点的对称直线方程． 设 P′(x′，y′)是对称直线 l′上任意一点，它关于 P(x0，y0) 的对称点(2x0－x′，2y0－y′)在直线 l 上，代入得 A(2x0－x′)＋ B(2y0－y′)＋C＝0.
(2)轴对称 ①两点关于直线对称，设 P1，P2 关于直线 l 对称，则直线 P1P2 与 l 垂直，且线段 P1P2 的中点在 l 上，这类问题的关键是由“垂直” 和“平分”列方程．
②两直线关于直线对称，设 l1，l2 关于直线 l 对称． 当三条直线 l1，l2，l 共点时，l 上任意一点到 l1，l2 的距离相 等，并且 l1，l2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条 直线上；
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件 的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数 关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．
最新试题
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2．直线方程的五种形式及比较
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽 然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况 进行讨论．
3.深入理解两直线的平行与垂直
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意 义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
5．妙用直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有 某一共同性质的直线系表示成一个含参数的方程，然后根据直线所 满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程．直线系方程 的常见类型有： (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k 是参数， 直线系中未包括直线 x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方 程；
(3)当 α 由 0°→90°→180°(不含 180°)变化时，k 由 0(含 0)逐渐 增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到 0(不含 0)．
(2)直线 l 过点 B(－4,1)时，即为直线 MB，倾斜角 α2 为最大值， 所以 tan α2＝1－－4－ －30＝－1，即 α2＝135°.
所以直线 l 倾斜角 α 的取值范围是[45°，135°]． 当 α＝90°时，直线 l 的斜率不存在； 当 45°≤α＜90°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≥1； 当 90°＜α≤135°时，直线 l 的斜率 k＝tan α≤－1. 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．
当 l1∥l2∥l 时，l1 与 l 间的距离等于 l2 与 l 间的距离．
要点整合
专题一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 α 的范围是 0°≤α＜180°，任何一条直线都有唯 一的倾斜角，它决定着直线的倾斜方向．斜率 k 是由倾斜角 α 定义 的，即 k＝tan α，所以当 α＝90°时，直线的斜率不存在，当 α＞ 90°时，k＜0，当 0°＜α＜90°时，k＞0，当 α＝0°时，k＝0.直线的 斜率还可以由直线上两点的坐标求得：即经过两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)的直线的斜率，当 x1＝x2 时，斜率不存在；当 x1≠x2 时，k＝yx22－ －yx11 ＝yx11－ －yx22.
方法点评：
所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用 l1 ⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0 和 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0 来判定两条直线是否垂直或平行，比用斜率来判定更简便，它不需
要讨论斜率不存在的情况．
专题四 交点、距离问题 求直线的交点坐标，计算点与点、点与线之间的距离，多数不 单独命题，通常与直线方程、直线的位置关系一起考查，要做到熟 记公式、准确计算．交点、距离问题中以直线过定点问题和对称问 题最有代表性．
可得 Q 点的坐标．
(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线对
称．
【例 5】 已知 A(4,1)，B(0,4)两点，在直线 l：3x－y－1＝0 上找一点 M， 使得||MA|－|MB||的值最大，并求此时点 M 的坐标及最大值．
解：
设 B(0,4)关于直线 l：3x－y－1＝0 的对称点为 B′(x0，y0)，则
【例 1】 过点 M(0，－3)的直线 l 与以点 A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围及倾斜角的范围．
解：如图所示
(1)直线 l 过点 A(3,0)时，即为直线 MA，倾斜角 α1 为最小值， 所以 tan α1＝0－3－－03＝1，即 α1＝45°.
(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设 P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)，若 P 关于 l 的对称点 Q 的坐标为(x，y)，则 l 是 PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥l；②PQ 的中点在 l 上．
解方程组Ayx－ －·x＋yx200·x0－＋ABB＝ ·y＋－2 y10＋，C＝0，
【例 3】 a 为何值时， (1)直线 x＋2ay－1＝0 与直线(3a－1)x－ay－1＝0 平行？ (2)直线 ax＋(1－a)y＝3 与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2 互相垂 直？
【解析】 (1)由题意有 1×(－a)－2a(3a－1)＝0 且 1×(－1)－(3a－ 1)×(－1)≠0，即 a＝0 或 a＝16.故所求 a 的值为 0 或16. (2)由题意有 a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即 a＝1 或 a＝－3. 故所求 a 的值为 1 或－3.
法二：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，则直线的斜率 k＝－ba.因为 l 与直线 y＝43x＋53垂直，所以 k＝－ba＝－34，即ba＝34.又因为与坐标 轴围成三角形的面积为 24，所以12|ab|＝24，即|ab|＝48，所以 a＝8， b＝6 或 a＝－8，b＝－6.所以直线 l 的方程为8x＋6y＝1 或－x8＋－y6＝ 1，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋24＝0.
方法点评： (1)直线 l 过点 M，斜率变化时，可以理解为直线 l 绕定点 M 旋转，使直线 l 与线段 AB 的公共点 P 从端点 A 运动到端点 B，直 线 l 的倾斜角就由最小值 α1 变到最大值 α2.这是数形结合的思想方 法． (2)当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾 斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜 率也越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角不 确定是锐角或钝角时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不 一定随倾斜角的增大而增大．
6．“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称．
(1)中心对称 ①两点关于点对称，设 P1(x1，y1)，P(a，b)，则 P1(x1，y1)关 于 P(a，b)对称的点为 P2(2a－x1,2b－y1)，即 P 为线段 P1P2 的中点．特 别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P′(－x，－y)． ②两直线关于点对称，设直线 l1，l2 关于点 P 对称，这时其中 一条直线上任一点关于点 P 对称的点在另一条直线上，并且 l1∥l2， P 到 l1，l2 的距离相等．
设正方形相邻两边方程为 x＋3y＋m＝0 和 3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴|－1＋m|＝ 3 和|－3＋n|＝ 3 ，
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∴m＝4 或 m＝－2(舍)，或 n＝6 或 n＝0.
∴其他三边方程为 x＋3y＋4＝0，
3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
方法点评： 本题求正方形的中心是解题的切入点，然后设出正方形边所在 直线方程，利用中心到每一边的距离相等确定待定系数进而求得方 程．
方法点评：由条件易求得 l 的斜率，设 l 的截距为 b，利用三 角形面积列出方程，解出 b 的值即可．另外，若从三角形面积的表 达式上考虑，也可设直线的截距式来解．
专题三 直线的位置关系 两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查两条 直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的 位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断， 可以避免讨论斜率不存在的情况．
专题二 求直线方程 直线的方程有五种形式，在求直线方程时要选择恰当的形式， 其中以点斜式、斜截式最为常用，通常采用待定系数法求直线的方 程．
【例 2】 求与直线 y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三 角形的面积为 24 的直线 l 的方程．
解：
法一：由直线 l 与直线 y＝43x＋53垂直，可设直线方程为 y＝－ 34x＋b，则直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 x0＝43b，y0＝b.又因 为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，所以 S＝12|x0||y0|＝ 24，即1243b|b|＝24，b2＝36，解得 b＝6 或 b＝－6，故所求的直线 方程为 y＝－34x＋6 或 y＝－34x－6，即 3x＋4y－24＝0 或 3x＋4y＋ 24＝0.
yx300·x－ －0＋240＝0－－y310，＋2 4－1＝0，
解得xy00＝＝33，， 所以 B′(3,3)．
设 M′为直线 l：3x－y－1＝0 上任意一点，则||M′A|－|M′B||
【例 4】 已知正方形的中心为直线 x－y＋1＝0 和 2x＋y＋2＝ 0 的交点，正方形一边所在直线方程为 x＋3y－2＝0，求其他三边 方程．
解：
由x2－x＋y＋y＋1＝2＝0，0， 得xy＝ ＝－ 0，1， ∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为|－112＋－322|＝
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要点归纳
1．详析直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜 程度，但倾斜角 α 是角度(α∈[0°，180°))，是倾斜程度的直接体现； 斜率 k 是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映．在解题 的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便．
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4．直击距离问题
(2)平行于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Ax＋By ＋λ＝0(λ 是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线 Ax＋By＋C＝0 的直线系方程是：Bx－Ay ＋λ＝0(λ 是参数)；
(4)过两条已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0 的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ 是参数，当 λ＝0 时，方程变为 A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线 l1； 当 λ≠0 时，方程表示过直线 l1 和 l2 的交点，但不含直线 l1 和 l2 的 任一条直线)．
专题五 对称问题
对称问题的常见类型为：
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式解决．点 P(x， y)关于 Q(a，b)的对称点为 P′(2a－x,2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点 P(x0，y0)， 求直线 l 关于 P 点的对称直线方程． 设 P′(x′，y′)是对称直线 l′上任意一点，它关于 P(x0，y0) 的对称点(2x0－x′，2y0－y′)在直线 l 上，代入得 A(2x0－x′)＋ B(2y0－y′)＋C＝0.
(2)轴对称 ①两点关于直线对称，设 P1，P2 关于直线 l 对称，则直线 P1P2 与 l 垂直，且线段 P1P2 的中点在 l 上，这类问题的关键是由“垂直” 和“平分”列方程．
②两直线关于直线对称，设 l1，l2 关于直线 l 对称． 当三条直线 l1，l2，l 共点时，l 上任意一点到 l1，l2 的距离相 等，并且 l1，l2 中一条直线上任意一点关于 l 对称的点在另外一条 直线上；
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件 的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数 关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程．
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2．直线方程的五种形式及比较
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和 斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直 的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽 然可以表示任何直线，但要注意 A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况 进行讨论．
3.深入理解两直线的平行与垂直
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意 义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合．
5．妙用直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有 某一共同性质的直线系表示成一个含参数的方程，然后根据直线所 满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程．直线系方程 的常见类型有： (1)过定点 P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k 是参数， 直线系中未包括直线 x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方 程；