第一章质点振动学基础

1.1.2单质点的阻尼振动 1.1.3单质点的强迫振动
1.2力—电—声类比（了解）
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1单质点振动系统
1.1.1 单质点振动系统的自由振动
Q1:什么是质点？
质点：这是经典力学中常用的一种简化模型，指具有 一定质量而几何尺寸可忽略不计的物体，则可视为质点 。 声学中也有同样的简化近似。在声学中，尺度比声波 波长小很多的物体，可视为质点。 决定一个系统是否为质点振动系统，不是看它的绝对 几何尺寸，而是看其与振动产生的声波波长之比。
0 arctan
角频率
B A
振幅
初相位
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
③ 和振动相关的重要参量：
a. 相位:在一个振动周期内质点所处的具体振动状 态；一个质点开始振动的相角值就称为初相位。 此外，还有同相和反相的概念。
重庆医科大学生物医学工程系
1.1.2 单质点的阻尼振动
Fk

FR

合力：F合 F k FR M a
2




Rm 2M
衰减系数 /阻尼比
x dx 振动方程 M d 2 Rm kx 0 dt dt
d 2x dx 2 2 0 x0 2 dt dt
阻尼振动的解
x xa e
t
第一章 质点振动学基础
曾德平
重庆医科大学生物医学工程系 超生医疗国家工程研究所中心
Chap. 1 质点振动学基础
总课时分配
1. 理论：绪论 2h、质点振动学基础2h、声学基础6h、 超声波的产生以及声场分析和测量6h、超声波的传 播特性8h、生物组织的超声性质2h、超声空化4h、
超声生物学效应4h、HIFU技术及临床应用14h、其
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动

A1
A1 t A2 t

t


A1
A2
相位差为0 或2π
同相
A1 t A2 t

t

A2
反相
相位差为π
简谐振动的参考圆图
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
4) 振动的复数表示
数学知识——欧拉公式：
e jt cos t j sin t
e
jt
cos t j sin t
Real number Imaginary number
cos t Ime sin t
Re e
jt jt
取实部 取虚部
j 1
为虚数单位
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
根据上述数学公式，单质点自由振动方程可表示为： (可简化计算，特别是微积分运算时）
x xa Re e

j (0t 0 )

对上式求一阶和二阶微分，即：
单质点的自由振动
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
1）(振)运动方程及其解（自由振动的规律，X随t变 化的规律,与k,M之间的关系？），如何得方程？
分析
物理学现象
物理规律/物理模型
数学公式/数学模型
受力分析
Fk
质量块M受到弹簧的 （拉/推）力Fk作用。
《现代压电学》
张福学
科学出版社
2002年第1版
《超声换能器的原理及设计》
科学出版社
林书玉
2004年6月第1版
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
20世纪后期，美国物理学会曾邀请一些全球物理学界
权威人士就物理学的各个分支的发展前景作出评估和 预测，结果一致认为：声学在物理学中是一个外在性 最强（学科渗透性强，体现交叉学科），同时又是研 究的最不充分的一个分支（大有作为）。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1单质点振动系统
地球VS（地球到太阳的）距离
earth
SUN
振动系统(直径0.8cm) VS 声波波长(25cm)
振动系统
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1单质点振动系统
所谓质点振动系统，就是一个质量集中/物 理性质集中的系统，对于这种系统，它们 的运动状态都是均匀的。
t 0 ) cos(0
0 2 2 0
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.2单质点的阻尼振动
阻尼振动的一般规律 1. 衰减模量：振幅衰减到 最大振幅的1/e时的时间。 2. 相隔一个周期的相邻两 次振动的振幅幅值的比 值：
振幅的衰减以几何级数规律进行
小结
1. 掌握 1.1 单质点自由振动系统、运动方程及其解， 简谐振动、相位和圆频率； 1.2 位移、速度、加速度与时间的关系；如何根据初 始条件确定运动方程； 1.3 自由振动的能量：动能和势能； 1.4 振动的复数表示； 2. 了解 2.1 单质点阻尼振动，强迫振动 2.2 力-电-声类比
重庆医科大学生物医学工程系
求解方程得到自由振动方程的通解。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
② 自由振动方程的通解
x
式中A，B为待定常数，自由振动初始条件确定。 将上述解变形可得：
x xa (0t 0 )
A B
2 2
这种用余弦（或正弦 ）函数表示其位移（或 振速、加速度）的振动 称为简谐振动。
v xa Re j0e 0 xa cos(0t 0 ) 2 2 j (0t 0 ) 2 a xa Re 0 e 0 xa cos(0t 0 )
j (0t 0 )



注：在振动及其声学中，没有特殊说明一般均取实部。
重庆医科大学生物医学工程系
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
虎克定律： Fk kx
d x 牛顿第二定律： Fk Ma M 2 dt
即： 令：
2
d 2x M 2 kx 0 dt
则有：d
2
自由振 动方程
k 0 M
x
2
dt
x 0
2 0
该方程能为我们提供什么信息？
共振？
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
2)位移x，振速v和加速度a与时间t之间的关系
知道了质点振动的方程，通过对时间t求一阶、二阶 导数便可以求出质点振动的速度和加速度。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
x xa dx v xa0 sin(0t 0 ) dt va cos(0t 0 ) v a 2
Chap. 1 质点振动学基础
百度文库
中科院声学所
南京大学声学研究所
陕西师范大学、上海交通大学、北京大学、清华大学、 复旦大学、同济大学----------
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
参考书
《声学基础 》
杜功焕 朱哲民 龚秀芬
南京大学出版社
2001年第2版
《现代声学理论基础》 马大猷
1.1.3强迫振动
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.3强迫振动
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.2力—电—声类比
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.2力—电—声类比
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.2单质点的阻尼振动
阻尼力的存在使得能量消耗，消耗的能量 以声能或者热能等形式散发/传播出去。
阻尼力 FR Rm v Rm
dx dt
阻力系数或力阻 1. 阻尼力是速度的函数 2. 在讨论小阻力情况下，可以认为 阻尼力和速度成线性关系。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
他治疗技术2h、超声治疗新进展4h。 2. 实验：三个实验、一次实验教学
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
教学要求
1. 理论教学 掌握与了解； 重点与难点； 课后习题与思考； 平时考核（习题与纪律） 2. 实验教学： 实验设计和实验报告 3. 复习与考试
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
本章的地位和作用
数学和物理知识回忆：
物理：牛顿定律、受力分析…. 数学：微分方程、通解、欧拉方程……
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
本章内容提要
1.1单质点振动系统
1.1.1自由振动（ ★掌握，重点）

1）运动方程及其解 2）自由振动的能量
重庆医科大学生物医学工程系
第一章 质点振动学基础
Chap. 1 质点振动学基础
本章的地位和作用
超声是声波的一种， 属于声学范畴
超声治疗学 Chap.3...
Chap.2
声波又是如何产生的呢？
声学
（质点）振动学
Chap.1
振动！
超声 3....
2 1
声学 振动学
重庆医科大学生物医学工程系
声波是机械波，是机械振 动在弹性媒质中的传播。 振动是声波的波源(因)， 声波是振动的传播形式(果 )。
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.2单质点的阻尼振动
1.1.1讨论了理想情况下的自由 振动。 任何实际的振动系统在作自由 振动时都会出现逐渐衰减的过 程，即系统在振动过程中会受 到阻尼力的作用。这种振动称 为阻尼振动，也称衰减振动。
k
M FN
Rm 为阻力系数
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
Q3:单质点系统如何产生自由振动？
假设有一个外力突然在 x 方向拉动质量块，使得弹簧 产生拉伸， 随即释放，此后质量块在弹簧弹力的作用下，将在平衡位置附近作 往复运动，也就是发生了振动。如果振动过程中不考虑外力作用及 能量衰减，那么该质点将一直保持周期性的振动，这种振动就称为 自由振动 。
x
xa
当初相为零时：
t
v
xa 0
2 xa 0
t
a
t
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
3）自由振动的能量
Kinetic energy
动能
势能
Potential energy
k x x 总的振动能量
1 2 2 1 2
k x
k x
2
E kxa Mva
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.3强迫振动
一个振动系统受到阻力作用后，振动不能永远 维持，而要渐渐衰减直至停止，因此要使得振 动持续不停，就要不断从外部获得能量，这种 受到外界持续作用下的振动就称为强迫振动。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
b. 圆/角频率 ：在一个振动周
期内，单位时间振动相位的变化
2 定义：0 2f 0 T
k 在弹簧k 质量M振动系统中：0 M
1 0 1 f0 T 2 2 k M
振动系统的固 有(角)频率
振动系统的固有 频率 重庆医科大学生物医学工程系
最简单的振动系统应是单质点振动系统。
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1单质点振动系统
Q2:该系统如何构成？
单质点振动系统由一个质量(M) 和一个弹簧k(弹性系数或者劲 度系数)构成。不受力时，系统 保持在平衡位置0，静止状态。 单质点振动系统
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
习
题
重庆医科大学生物医学工程系
2
0 xa
dv d x a 2 aa cos(0t 0 ) dt dt
质点振动加速度的振幅
质点振动速度的振幅
aa va0 x
2 0 a
重庆医科大学生物医学工程系
Chap. 1 质点振动学基础
1.1.1单质点自由振动
位移x，振速v和加速度a与时间t之间的关系