欧氏空间与酉空间

基；
⇔ (4) σ 在任一组规范正交基下的矩阵是酉矩阵。 3： On 关于变换的合成构成一个群。
8.5 对称变换与厄米特变换
1 ：（ 8.5.1 对 称 变 换 的 定 义 ） 设 σ 欧 氏 空 间 V 的 线 性 变 换 ∀α , β ∈V ， 如 果 满 足 (σ (α ), β ) = (α ,σ (β )) 则称σ 为V 的一个对称变换。
⇔ (2) σ 保持内积不变，即对任意的α , β ∈V ，都有 (σ (α ),σ (β )) = (α , β ) ；
⇔ (3) 如果 ε1,ε 2 ,L,ε n 是规范正交基，那么σ (ε1 ),σ (ε 2 ),L,σ (ε n )也是规范正交
基；
⇔ (4) σ 在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵。 （对比：）（命题 8.6.6）设σ 是 n 维酉空间 V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系：
⇔
a1i a1 j
+ a2i a2 j
+ L + ani anj
=
⎧0,当i ≠ ⎩⎨1,当i =
j j
⇔
ai1a j1
+ ai2a j2
+ L + ain a jn
=
⎧0,当i ≠ ⎩⎨1,当i =
j j
⇔ A是n 维欧氏空间V 中两组标准正交基之间的过渡矩阵
⇔ σ (ε1,ε 2 ,L,ε n ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n ) A ，σ 其中是正交变换，ε1,ε 2 ,L,ε n 是 V 的一组标准正交基。
（对比：）设{α1,α2,α3 ^ αn} 是 n 维酉空间的 V 的一组规范正交基，( β1，β2，……，βn ) = (α1，α2，……，αn ) U ，则{β1, β2, ^, βn} 是 V 的规范正交基，当且仅当 U 是酉矩阵。
4
3： A = (aij ) nn 是正交矩阵 ⇔ AT A = I ⇔ AAT = I ⇔ A−1 = AT
(α
i
,α
j
)
=
⎧0, 当i ≠
⎨ ⎩
1,当i
=
j j
n
n
∑ ∑ 3：设{α1,α2, ^,αn} 是 n 维欧氏空间 V 的一组规范正交基则 ∀ξ = x1αi ,η = y1αi ∈V ,
i
i
下述结论成立：（1） (ξ ,αi ) = xi ,i = 1, 2, ^n ；
n
∑ （2） (ξ ,η ) = yi xi ； i
定的，不同基的度量矩阵是合同的
2：规范正交基的定义: n 维欧氏空间的一组基 {α1,α2 ,α3 ^ αn} 叫做规范正交基，如果
(α
i
,α
j
)
=
⎧0, 当i ≠
⎨ ⎩
1,当i
=
j j
（ 对 比 ：） n 维 酉 空 间 的 一 组 基 {α1,α2 ,α3 ^ αn} 叫 做 规 范 正 交 基 ， 如 果
8.4 正交变换与酉变换
5
1：正交变换的定义：（8.4.1）欧式空间 V 的一个线性变换σ 叫做正交变换，如果 ∀ξ ∈ V ，
都有 σ (ξ ) = ξ （正交变换的特点：保内积，保夹角，正交变换是可逆变换）
2：（定理 8.4.2）设σ 是 n 维欧式空间 V 的上的一个线性变换。则有下列等价关系： (1) σ 保持向量的长度不变，即α ∈V ， σ (α ) = α ；
（对比：）令 W 是酉空间 V 的一个有限维的子空间，则 V=W ⊕W⊥ ，因而 ∀ξ，η ∈ V ，ξ 可 以唯一表示成ξ =η +ς，其中η ∈ W，ς ∈ W⊥ 7： n 维欧氏空间V 的每一个子空间都有唯一的正交补。 8：如果子空间V1,V2 ,L,Vs 两两正交，那么和V1 + V2 + L + Vs 是直和。
V 的规范正交基下的矩阵是对称矩阵。
（对比：）（定理 8.6.8）设σ 是 n 维酉空间 V 的一个线性变换，则σ 是厄米特变换，当且仅 当σ 在 V 的规范正交基下的矩阵是厄米特矩阵。
3：（引理 8.5.3）实对称矩阵的特征值都是实数。 （对比：）（定理 8.6.9）厄米特矩阵的特征值都是实数。
4：(定理 8.5.4)设σ 是 n 维欧式空间 V 的一个对称变换。则存在一组规范正交基，使得σ 关 于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设 A 是一个 n 阶的实对称源自文库阵。则存在
合, k = 1, 2 ^ n .
（对比）：设 V 是一个酉空间,{α1,α2 , ^,αn} 是 V 的一个线性无关的向量组,那么可以求出 V 的一个正交组{β1, β2 , ^, βn} ,使得 βk 是α1,α2 , ^,αn 的线性组合, k = 1, 2 ^ n .
7： n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。 8： ε1,ε 2 ,L,ε n 是 n 维欧氏空间的一组规范正交基
⇔
(ε i
,ε
j
)
=
⎧0, 当i ⎩⎨1,当i
≠ =
j j
⇔ 基ε1,ε 2 ,Lε n 的度量矩阵为单位矩阵。
⇔ 存 在 规 范 正 交 基 e1,e2,L, en 及 正 交 矩 阵 Q ， 使 (ε1,ε 2 ,L,ε n ) = (e1, e2 ,L, en )Q
8.3 正交矩阵与酉矩阵
1：（正交矩阵的定义 8.3.1）一个 n 阶实矩阵 U 叫做正交矩阵.
任意向量正交.
（对比）：酉空间的两个向量ξ 与η 称为正交的,如果 (η,ξ ) =0 我们约定零向量与任意向量
正交.
6：在欧氏空间中,如果 ξ 与η1η2 ^ηn 中的每一向量都正交,那么 ξ 与η1η2 ^ηn 的任意线性组
合都正交.
7，对于欧氏空间的两个向量α ， β 有 α + β ≤ α + β ,当且仅当α , β 正交是等号成立. 更 一 般 地 ， ( 采 用 数 学 归 纳 法 证 明 ) 对 于 欧 氏 空 间 中 两 两 正 交 的 向 量 α1,α2 , ^,αn 有 α1 + α2 + ^ + αn = α1 2 + α2 2 + ^ + αn 2 8.几个重要的不等式推论:设 V 是欧氏空间. ∀η,ξ，ζ ∈V .则
（对比：）酉空间 V 中两两正交的非零的向量是线性无关的
6：（正交化方法，定理 8.2.4）设 V 是一个欧氏空间,{α1,α2 , ^,αn} 是 V 的一个线性无关的 向量组,那么可以求出 V 的一个正交组 {β1, β2 , ^, βn} ,使得 βk 是 α1,α2 , ^,αn 的线性组
3
(1) σ 保持向量的长度不变，即α ∈V ， σ (α ) = α ；
⇔ (2) σ 保持内积不变，即对任意的α , β ∈V ，都有 (σ (α ),σ (β )) = (α , β ) ；
⇔ (3) 如果 ε1,ε 2 ,L,ε n 是规范正交基，那么σ (ε1 ),σ (ε 2 ),L,σ (ε n )也是规范正交
1
长度为 1 的向量叫做单位向量.任意一个非零向量ξ 的一个单位向量表示为 ξ ξ
3：重要不等式。（定理 8.1.3） 在一个欧氏空间中。对于任意的向量 ξ ,η ,有不等式
(ξ ,η )2 ≤ (ξ，ξ )(η，η ) 当且仅当ξ ,η 线性相关时等号成立
（对比）：在一个酉空间中。对于任意的向量 ξ ,η ,有不等式 (ξ ,η )(ξ ,η ) ≤ (η,η )(ξ ,ξ ) 当
且仅当 ξ ,η 线性相关时等号成立。
4：夹角的定义:设ξ 和η 是欧氏空间的两个非零的向量.ξ 与η 的夹角θ 由一下的公式定
义: cosθ = (ξ ,η ) , 0 ≤ θ ≤ π .说明：酉空间夹角没有定义
ηξ
5：正交的定义:欧氏空间的两个向量 ξ 与η 称为正交的,如果 (η,ξ ) =0 我们约定零向量与
一个 n 阶的正交矩阵 U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是 A 的特征值。
（对比：）（定理 8.6.10）σ 是 n 维欧式空间 V 的一个厄米特变换。则存在一组规范正交基， 使得σ 关于这组基的矩阵是一个厄米特矩阵。（矩阵的语言）设 A 是一个 n 阶的厄米特矩阵。
则存在一个 n 阶的酉矩阵 U，使得U T AU 是一个实对角矩阵，对角线上的元素是 A 的特征
（对比：）（定义 8.6.7 厄米特变换的定义：）设σ 酉空间V 的线性变换 ∀α , β ∈V ，如果满
6
足 (σ (α ), β ) = (α ,σ (β )) 则称σ 为V 的一个厄米特变换。 2：（定理 8.5.2）设σ 是 n 维欧式空间 V 的一个线性变换，则σ 是对称变换，当且仅当σ 在
(1) (ξ ,η ) = (η,ξ );(2) (ξ + ζ ,η ) = (ξ ,η ) + (ζ ,η )（; 3）(aξ ,η ) = a (ξ ,η（) 4）当ξ ≠ 0时(ξ ,ξ ) f 0
对比：（酉空间的定义 8.6）设V 是复数域 C 上一个向量空间，在V 上定义了一个二元复函
数， (,) :V ×V → C ，对于 ∀α , β ,γ ∈V ，满足下列条件：
值。
5：（引理 8.5.5）设σ 是 n 维欧式空间 V 的一个对称变换。则σ 的属于不同的特征值的特征
4：称两个欧氏空间 V 与 V⋅ 同构，如果（1）存在向量空间的一个同构映射σ ：V → V，（2）
∀ξ，η ∈ V ， (ξ，η ) = (σ (ξ )，σ (η ))
5：任意有限维的欧氏空间同构的的充要条件是维数相同。特别地。任意一个 n 维的欧氏空
间同构于 Fn
6：（命题 8.3.5）令 W 是欧式空间 V 的一个有限维的子空间，则 V=W ⊕W⊥ ，因而 ∀ξ，η ∈ V ， ξ 可以唯一表示成ξ =η +ς，其中η ∈ W，ς ∈ W⊥
（1）η ≠ ξ时，d (η,ξ ) （2）d (ξ ,η ) =d (η,ξ ) （3）d (ζ ,η ) ≤ d (ξ ,η ) +d (ξ,ζ )
2
（4）d (ζ ,η )2 =d (ξ ,η )2 +d (ξ ,ζ )2
8.2 规范正交基
1 ：（ 基 的 度 量 矩 阵 ） ε1,ε 2 ,L,ε n 是 n 维 欧 氏 空 间 V 的 一 组 基 ， 令 α ij = (ε i ,ε j ), i, j = 1,2,L, n ，称 A = (aij )nn 为基 ε1,ε 2 ,L,ε n 的度量矩阵。度量矩阵是正
(1) (α , β ) = (β ,α ) ，这里 (β ,α )是(β ,α ) 的共轭复数； (2) (kα , β ) = k(α , β ) ； (3) (α + β ,γ ) = (α ,γ ) + (β ,γ ) ； (4) (α ,α ) ≥ 0 ，当且仅当α = 0 时， (α ,α ) = 0 。
若
U
T
U
=U
T
U=I
（说明：） UT =U-1
对比：设U
是
n
阶复矩阵，如果
U
T
U
=U
T
U=I
，则称
U
是一个酉矩阵。
2：设 {α1,α2,α3 ^ αn} 是 n 维欧氏空间的 V 的一组规范正交基， ( β1，β2，……，βn ) = (α1，α2，……，αn ) U ，则{β1, β2, ^, βn} 是 V 的规范正交基，当且仅当 U 是正交矩阵
则称 V 是一个酉空间。函数 (,) 叫做酉空间的内积 2：向量长度的定义：设ξ 是欧氏空间的一个向量，非负实数 (ξ ,ξ ) 的算数根 (ξ ,ξ ) 叫做 向量ξ 的长度，记作 ξ ： ξ = (ξ ,ξ ) . （对比）：设ξ 是酉空间的一个向量，非负实数 (ξ ,ξ ) 的算数根 (ξ ,ξ ) 叫做向量ξ 的长度， 记作 ξ ： ξ = (ξ ,ξ ) .
第八章 欧氏空间
8．1 欧氏空间与酉空间
1：欧氏空间的定义：设实数域 R 上的向量空间 V 带有一个正定的对称的双线性函数
(,) ：V ×V → R ，则称 V 是一个欧氏空间，函数 (,) 叫做内积. 等 价 于 ： 欧 氏 空 间 是 实 数 域 R 上 带 有 二 元 函 数 (,) V ×V → R 的 向 量 空 间 ∀ξ ,η,ζ ∈V , a ∈ R , (,) 满足下述条件：
（3） d (ξ ,η ) = ( x1 − y1 ) +2 ( x2 − y2 )2 + ^ + ( xn − yn )2
4：（正交组的定义和规范正交组的定义）两两正交的非零向量组为 V 的一个正交组,若正交 组中的每个向量都是单位向量,则称为规范正交组.
5：（引理 8.2.3）欧氏空间 V 的任意正交组{α1,α2 , ^,αn} 是线性无关的