人教版高中数学必修五 章末检测试卷(一)
【人教版】高中数学必修五期末试卷(附答案)(1)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225493．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．在ABC ∆中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，sin cos20B C +=，4a =，则ABC ∆的面积为（ ）A．2+ B．4 C．6+D．8+6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若1,a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B．2C．4D．48．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．439．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a11．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） AB ．2C．D ．412．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.14．已知x ，y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________.15．已知60A =︒，ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，sin sin B C +=bc 的值为______. 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，b =2ac +的最大值为______．18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围. 22．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.23．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 24．已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边，且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC的面积S c ==sin sin B C 的值 25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).2．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．C解析：C 【分析】在ABC ∆中，()sin sin B A C +=，化简sin (sin cos )sin 0A B B C +-=可得4A π=，又sin cos20B C +=和34B C π+=，解得3B π=，512C π=，最后通过正弦定理求出1)c =，再根据三角形面积公式得到面积.【详解】由sin (sin cos )sin 0A B B C +-=得：sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos sin 0A B A B A B A B A B A B ⋅+⋅-⋅-⋅=⋅-⋅=，∴sin cos A A =，又0()A π∈，，则4A π=，则34B C π+=，又3sin cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，则3222B C k ππ=-+或222B C k ππ=-+，(0)B C π∈、，，则322B C π+=或22C B π-=，又34B C π+=，则取22C B π-=，得3B π=，512C π=，又4a =，根据正弦定理，sin 1)sin a Cc A ⋅==，∴1sin 62ABC S ac B ∆=⋅=+ 故选C. 【点睛】思路点睛：在三角形中，由于A B C π++=,根据诱导公式，()sin sin A B C +=，()sin sin A C B +=,()sin sin C B A +=，()cos cos A B C +=-,()cos cos A C B +=-,()cos cos C B A +=-等，以上常见结论需要非常熟练. 6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．7．D【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222=+⨯=故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ．本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.11．C解析：C 【分析】 先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.12．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.二、填空题13．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由32z x y =+，则322z y x =-+， 平移直线322zy x =-+， 由图象可知当直线322zy x =-+， 经过点A 时，直线322z y x =-+， 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ， 此时322210max z =⨯+⨯=， 故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．6【分析】作出不等式组所表示的平面区域结合图象确定目标函数的最优解即可得到答案【详解】由题意作出不等式组所表示的平面区域如图所示因为目标函数可化为直线当直线过点A 时此时目标函数在轴上的截距最大此时目解析：6 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可得到答案. 【详解】由题意，作出不等式组041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域，如图所示，因为目标函数2z x y =+，可化为直线2y x z =-+，当直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 又由04x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(2,2)A ，所以目标函数2z x y =+的最大值为2226z =⨯+=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15．40【分析】首先根据正弦定理求并表示最后根据余弦定理求的值【详解】根据正弦定理可知根据余弦定理可知得解得：故答案为：40【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更适合或解析：40 【分析】首先根据正弦定理求2R ，并表示sin sin 22b c B C R R+=+，最后根据余弦定理求bc 的值. 【详解】14322sin 3a R R A =⇒==， 根据正弦定理可知1331322b c b c R R +=⇒+=， 根据余弦定理可知()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-， 得249133bc =-，解得：40bc =. 故答案为：40 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得3c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以3a b =，所以22222258cos 2b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==， 所以sin tan 3cos BB B==， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值． 【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为： 【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析：2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果． 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=．所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）见解析（2）0<p <0.3 【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0， 解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1， 所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．22．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围. 试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ （2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立，令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立，又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞. 23．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象， 所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈ （2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin 26ABC S π=⨯⨯⨯=， 当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.24．（1）3A π=；（2）12. 【分析】 （1）由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=，解出1cos 2A =即可求出角A 的大小； （2）利用面积公式可求得b ，再利用余弦定理可求得a ，进而求出ABC 外接圆直径，得出所求.【详解】（1）5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+，25cos()22cos 1B C A ∴++=-，22cos 5cos 30A A ∴+-= 解得1cos 2A =或cos 3A =-（舍去）.0A π<<，所以3A π=. （2）313sin 223S bc π==，6bc∴=， 3,c b =∴= 由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==，由正弦定理得ABC外接圆直径2sin 2a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==，所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简.25．（1）1n a n =+；（2）12n n n T -=. 【分析】（1）根据222n n n S a a =+-可得211122n n n S a a +++=+-，两式作差证明{}n a 为等差数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）先根据232n n n a a b --=求解出{}n b 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和，由此求解出n T .【详解】（1）因为222n n n S a a =+-，所以211122n n n S a a +++=+-，所以两式作差有：221112n n n n n a a a a a +++=+--， 所以()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，且0n a >，所以10n n a a ++>，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差为1的等差数列，且21111222S a a a ==+-，所以12a =或11a =-（舍），所以()2111n a n n =+⋅-=+；（2）因为232n n n a a b --=，所以122n n n b --=， 所以01211012...2222n n n T ---=++++，所以12311012...22222n nn T --=++++， 两式作差可得：012311111112+ (2222222)n n n n T ------=++++-， 所以11111222221212n n n n T --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭=---，所以11112221222n n n n n n T ---⎛⎫-⎛⎫=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列{}n a 的前n 项和n S 的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列n S 的一般形式：123...n n S a a a a =++++； （2）将（1）中的关于n S 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比()1q ≠；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前n 项和公式以及相关计算求解出n S .26．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）22n n T n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ．【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=．在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n n n a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案94588
人教版高中数学必修 5 期末测试题及其详尽答案一．选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1. 由 a1 1，d 3确立的等差数列a n，当a n 298时，序号n等于（）Ａ． 99 Ｂ． 100 Ｃ． 96 Ｄ． 1012. ABC 中，若a 1,c 2, B 60 ，则ABC的面积为（）A．1 B． 3 D. 3 2 23. 已知 x 0 ，函数y 4x 的最小值是（）xA． 5 B ． 4 C ． 8 D ． 64. . 在数列{ a n} 中， a1=1，a n 1 a n 2 ，则a51的值为（）A．99 B ． 49 C ．102 D ． 1015. 在等比数列中， a1 1， q1， a n1，则项数 n 为（）2 2 32A. 3B. 4C. 5D. 66. 不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解集为R，那么（）A. a 0, 0B. a 0, 0C. a 0, 0D. a 0, 0x y 17. 设 x, y 知足拘束条件y x , 则z 3x y 的最大值为（）y 2A． 5 B. 3 C. 7 D. -88. 在 ABC 中, a 80,b 100, A 45 , 则此三角形解的状况是（）A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解9. 在△ ABC中，假如sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么 cosC 等于（）2 2 1D. - 1A. B. - C. -43 3 310. 一个等比数列{ a n}的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前 3n 项和为（）A、63 B 、108 C 、75 D 、83二、填空题（此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）11. 在 ABC中，B 450 , c 2 2, b 4 3，那么 A＝_____________;312. 已知等差数列 a n 的前三项为 a 1, a 1,2a 3 ，则此数列的通项公式为________ .13. 2x 1．不等式1的解集是3x 114. n Snn 2 nn已知数列｛ a ｝的前 n 项和，那么它的通项公式为 a =_____三、解答题 ( 本大题共 6 个小题，共80 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )15(12 分 ) 已知等比数列a n 中，a1 a3 10, a4 a65，求其第 4 项及前 5 项和 .416(14 分 )(1) 求不等式的解集：x x2 4 5 0(2) 求函数的定义域：x 1y 5x 217 (14 分) 在△ ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 22 3x 2 0的两个根，且 2cos(A B) 1。
【人教版】高中数学必修五期末一模试卷带答案
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞4．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．85．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，23A π=，则sin sin A C=（ ） A ．75 B ．57C ．37D ．736．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4Cπ，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B Cb c=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形8．已知ABC ∆中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．45C ．135或45D ．909．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．211．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．3612．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题二、填空题13．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.14．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，且2C A =，则a =______.15．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________． 19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(2)n a n n =+，则4S =___________.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 22．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-. （1）求xy 的最大值； （2）求x y +的最小值23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；（2）若ABC的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 24．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC的内切圆的半径32r =，求ABC 的面积． 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .26．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标；（4）代入求得最小值，得到结果.3．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以242422422228x y xy x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．5．A解析：A利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =， 由正弦定理：sin 7sin 5A a C c ==. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.6．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．B解析：B先由正弦定理求出sin A ，进而得出角A ，再根据大角对大边，大边对大角确定角A ． 【详解】由正弦定理得：sin sin sin a b A B A =⇒=sin 2A B ==， ∴45A =或135，∵a b <，∴A B <，∴45A =，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．9．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.10．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果.【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．①③【分析】结合基本不等式对四个函数逐个分析可得出答案【详解】对于①函数是定义域为的偶函数当时当且仅当时等号成立根据对称性可知函数的最小值为2满足题意；对于②因为所以则当且仅当即时等号成立所以即函数解析：①③ 【分析】结合基本不等式，对四个函数逐个分析，可得出答案. 【详解】对于①，函数1y x x=+是定义域为()(),00,-∞+∞的偶函数，当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立， 根据对称性可知，函数1y x x=+的最小值为2，满足题意； 对于②，11123214124212112y x x x x x x ⎛⎫=++=-++=--+- ⎪---⎝⎭， 因为12x <，所以120x ->，则11244212x x -+-≥=--，当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立， 所以1124212y x x ⎛⎫=--+-≤ ⎪-⎝⎭，即函数1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭的最大值为2，没有最小值，不满足题意；对于③，222114144141x x xy x x x x x +⎛⎫=++=+ ⎪++⎝⎭，因为1x >，所以2104x x+>，所以2214241x x y x x +=+≥=+，当且仅当221441x x x x +=+，即2x =所以()2114141xy x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭的最小值为2，符合题意； 对于④，22221sin cos sin cos y x x x x=+，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x >，所以22221sin cos 2sin cos x x x x +≥=，当且仅当22221sin cos sin cos x x x x=，即sin cos 1x x =时等号成立， 因为11sin cos sin 222x x x =≤，所以sin cos 1x x ≠， 即函数22221sin cos sin cos y x x x x=+的最小值不是2，不符合题意；故答案为：①③. 【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.14．8【分析】根据大边对大角可得可设由已知条件利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可【详解】由题意可得又角ABC 的对边abc 为三个连续偶数故可设由由余弦定理得所以即解得故故答案为：【点睛解析：8 【分析】根据大边对大角，可得a c <, 可设22,2,22a n b n c n =-==+,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于n 的方程求解即可. 【详解】由题意可得A C <,a c ∴<,又角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续偶数，故可设22,2,22,a n b n c n =-==+由2,sin sin 2,sin 2sin cos ,C A C A C A A =∴=∴=sin sin a b A B=,()sin 1cos 2sin 221C c n A A a n +∴===-,由余弦定理得()()()()()()22222224414144cos 222222121n n n b c a n n n A bc n n n n n ++--+-++====+++. 所以()()142121n n n n ++=-+,即()()()2114,n n n +=-+ 解得5n =,故228a n =-=. 故答案为：8. 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.15．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：12【分析】根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-，()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，所以cos C 的最小值是12. 故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案： 点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最解析：4 【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B+的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--. 所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>.所以12112141(2)()(4)[44222A B A B A B A B B A +=⨯+⨯+=++≥+=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B +的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为：【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析：1715【分析】 先化简112n a n n =-+，再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知，41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1715. 【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中，分母是乘积形式，求前n 项和n S 时，可以考虑裂项相消法，即将数列拆分成两项的差的形式，再进行求和.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案.【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）20k =，()16002440,010L x x x =--≥+；（2）30万元. 【分析】（1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得 利润函数；（2）利用基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意，可知当0x =时，28,y =283010k ∴=-， 解得20k =203010y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5yy+⨯元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭4080y x =+-2040803010x x ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-+()16002440,010x x x =--≥+ （2）0x ≥，()1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当16001010x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-=max 2370y ∴=故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 22．（1）4；（2）4. 【分析】（1）由于0x >，0y >，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值. 【详解】解：（1）∵0x >，0y >，∴8xy x y -=+≥80xy +≤，即2)0≤，解得：02<，04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号）， ∴xy 的最大值为4.（2）∵0x >，0y >，28()()2x y x y xy +∴-+=≤， 即2()()802x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥， ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号）， 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力. 23．（1）6π；（2）b =2c =. 【分析】（1）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ； （2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可. 【详解】解：（1）因为cos b A c =-，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，所以22222b c a c +-=-，即222c a b +-=.由余弦定理可得222cos 2c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin6AH AH AHBc Bππ∠===.因为ABC的面积为11sin 22ac B a ==，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-=48422282+-⨯⨯=，则b = 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 24．（1）1:1:2. 【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果； （2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中c =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】 （1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cos sin 3B A C A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin:sin1:1:663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =，()()1132222ABCSa b c r a ⎫=++⋅=⎪⎭，又21sin 2ABCSab C ==，(23222a⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，244ABCS a ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 25．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n nn b nc a ==，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n n n b n c a ==. 即123231233333n n nnT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法．26．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ，由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =， 即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---. 【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法.。
【人教版】高中数学必修五期末模拟试卷(含答案)(1)
一、选择题1．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ） A ．254B ．499C ．14425D ．225493．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-4．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC，则a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ）A．2BC ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B Cb c=，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．76611．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=12．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题二、填空题13．已知x ，y 满足条件1030,1x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则32z x y =-+的最小值为___________.14．在ABC 中，点M 是边BC的中点，AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____17．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．18．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.19．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______.20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________．三、解答题21．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y+的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 22．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)23．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若角C 为23π，且()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++．（1）求::a b c 的值；（2）若ABC 的内切圆的半径332r =，求ABC 的面积．24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．26．若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：1,2,3,4,5,；② 等比数列：11111,,,,24816--；（2）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小， 所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．C解析：C 【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值. 【详解】 由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值； 当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.4．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值，由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．5．C解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A，并利用1sin 24ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 224244ABCSbc A a a ==⨯⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C6．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos0b A B=，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.11．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩ ∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.12．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果.【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题13．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在解析：2-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3 2z x y=-+，根据直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，找到使得目标函数32z x y=-+取得最小值时的最优解，代入计算即可.【详解】作出不等式组10301x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：平移直线32z x y=-+，当直线32z x y=-+经过可行域的顶点()2,1A时，直线32z x y=-+在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，即min32122z=-⨯+=-.故答案为：2-.【点睛】思路点睛：求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：10【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值． 【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-， 在AMC 中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-，同理在AMB 中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cosθθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=，∴2AC AB +的最大值为故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值． 【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =． 设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=， 结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴=解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x+>，解得：223x <<， 故当x =时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．17．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然解析：16 【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移， 当直线经过A 时，z 最大 由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.18．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.三、解答题21．（1）33+；（2）30k -<≤. 【分析】 （1）将代数式()123x y +与11x y+相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，所以，()11111121233333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，当且仅当x =时，等号成立，因此，11x y +；（2）由于不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得230k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 22．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 23．（1）1:1:32）34. 【分析】（1）利用诱导公式可将已知等式化简得到sin sin A B =，知A B =，a b =，由正弦定理可知::sin :sin :sin a b c A B C =，由此可求得结果； （2）根据()12ABC S a b c r =++⋅△和1sin 2ABCS ab C =，根据（1）中3c a =，可构造方程求得a ，代入可得所求面积. 【详解】 （1）A B C π++=，()sin sin A C B ∴+=，()sin sin B C A +=，()cos cos A B C +=-，由()()()sin 2sin cos A C B C A B +=++得：2sin 2sin cos 2sin cos sin 3B A C A A π=-=-=，A B ∴=，a b =，2::sin :sin :sin sin:sin:sin1:1:663a b c A B C πππ∴=== （2）由（1）知：c =，()()1132222ABCSa b c r a ⎫=++⋅=⎪⎭，又21sin 2ABCSab C ==，(23222a⎫⎪⎝⎭∴=，解得：1a =，244ABCS a ∴==. 【点睛】关键点点睛：第二问求解三角形面积的关键是能够利用两种不同方式表示出所求三角形的面积，即()11sin 22S a b c r ab C =++⋅=，从而构造方程求得所需的边长. 24．（1）2C π=或3C π=；（2）33+或1． 【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解.【详解】 （1）由221sincos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A BC +-=， 化简得222cos 12sin2A BC +-=-， 即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =． 又0C π<<，所以2C π=或3C π=． （2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=3， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭12⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎦，故11sin 22ABC S ab C ===△当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 的面积是33+或1． 25．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+. 【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n a a n n +=+， 因为n n a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n n a n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得： 0121233333n n n S n --=++++-⋅13313nn n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+． 【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（1）①不是跳跃数列；②是跳跃数列；（2）()()2,23,21-. 【分析】（1）①根据定义可直接判断其不是跳跃数列；②根据定义可直接判断其是跳跃数列； （2）根据条件分1n n a a +>和1n n a a +<两种情况求出n a 的取值范围，再求出首项1a 的取值范围.【详解】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,，不满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,24816--，满足()()2210()i i i i a a a a i N *+++-->∈，所以是跳跃数列；（2）由()2111955n n n n a a a a +-=--，得()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----， ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----.若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时n a ⎛∈ ⎝⎭.若2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则21195n n a a +⎛-=∈ ⎝⎭，所以()12,2a ∈-；若53,2n a ⎛+∈ ⎝⎭，则()21192,25n n a a +-=∈-，所以(1a ∈，所以()()12,23,21a∈-.【点睛】求解等差等比的综合问题，需要分析清楚条件，根据条件描述的等差数列的性质还是等比数列的性质列式，然后再根据数列{}n a是等差或者等比数列，将式子表示为基本量1,a d 或者1,a q进行化简计算.。
高中数学选择性必修二 第五章导数章末检测(一)(作业)(含答案)
第五章导数章末检测（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( ) A ．10 B ．20 C ．16D ．12解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．－163D ．163 C ．－83D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝⎛⎭⎫－43＝－83， a 5＝(－1)5×2×⎝⎛⎭⎫－83＝163. 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．5D ．－5解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5.5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n}的通项公式a n＝⎩⎨⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( ) A ．2D ．12C ．3D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C.7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝⎛⎭⎫1－13n D ．32⎝⎛⎭⎫1－13n －1C.23⎝⎛⎭⎫1－13n D ．23⎝⎛⎭⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝⎛⎭⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n . 又∵S n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n . 8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m (m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m －2m－2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m－2 019－1D ．3·2m －1－22m－2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1，…，22,2,1，当m ≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m )1－2－1×(1－22m－2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2，…，22,2,1，当m ≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( ) A ．a 9·a 10<0 B ．a 9>a 10 C ．b 10>0D ．b 9>b 10解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝⎛⎭⎫－23<0，故A 正确； 但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10， ∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d <0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D. 10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d ≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2， 若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d [(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n 中最大的项，B对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确． 故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝nD ．a n ＝ln nn ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误； 对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误； 对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln nn ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝2 020－3n >0，得n <2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________. 解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________. 解析：设{a n }的公比为q ，q >0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝8×⎝⎛⎭⎫1－125＝314. 答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675. 18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n . 19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2， 因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)， 则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n ， 即－T n ＝1＋22＋23＋24＋…＋2n －(2n －1)×2n ， 化简得T n ＝(2n －3)×2n ＋3. 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， ∴T n ＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ， ∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列， ∴d ＝3，∴1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， ∴T n ＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13. 若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知， 当n ≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2， 两式相减，得1a n＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2， ∴a n ＝13n －2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13. 22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 由已知，得⎩⎨⎧ 10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1， 所以⎝⎛⎭⎫m m ＋12＝12×k k ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m＝2，此时k＝8.故存在m＝2，k＝8使得b1，b m，b k成等。
2022秋新教材高中数学第五章三角函数章末检测新人教A版必修第一册
第五章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B 【解析】由tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．函数y＝的周期是( )A．2πB．πC． D．【答案】C 【解析】函数y＝＝＝tan 2x的周期为.故选C．3．已知tanα＝2，则＝( )A．B．C．4D．5【答案】D4．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A．－B．C．D．－【答案】B 【解析】易知sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝－，原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝.5．在平面直角坐标系中，点P(sin 100°，cos 200°)位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D 【解析】因为sin 100°＞0，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＜0，所以点P(sin 100°，cos 200°)位于第四象限．故选D．6．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( )A．2或0B．0C．－2或0D．－2或2【答案】D 【解析】由f＝f(－x)得直线x＝＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±2.故选D．7．函数y＝sin的单调递减区间为( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )A．1B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)．将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝.故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列计算正确的选项有( )A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1C．＝D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－【答案】CD 【解析】对于A，sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，故A错误；对于B，sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故C正确；对于D，cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－，故D正确．故选CD．10．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](m＜n)，值域为，则n－m的值不可能是( )A．B．C．D．【答案】CD 【解析】f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin x cos x－＝·＋sin 2x－＝sin 2x－cos 2x＝sin.因为函数的值域为，所以不妨令2n－ ＝ ，则2m－ 的最小值为－，最大值为－，即当n＝ 时，m的最小值为－，最大值为－ .所以n－m的范围为.所以n－m的值不可能是C或D．故选CD．11．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为( )A．－B．C．0D．－【答案】AB 【解析】将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，由于所得函数为一个偶函数，则＋φ＝kπ＋，k∈Z，故当k＝0时，φ＝；当k＝－1时，φ＝－.故选AB．12.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0,0＜|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)的图象关于点对称C．函数f(x)在区间上单调递增D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和【答案】BCD 【解析】由图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝＝π，则ω＝2.又2×＋φ＝π，所以φ＝，满足0＜|φ|＜π，则f(x)＝2sin.因为f＝－1，所以f(x)的图象不关于直线x ＝对称．因为f＝0，所以f(x)的图象关于点对称．由x∈，得2x＋∈，则f(x)在区间上单调递增．由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，所以2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.所以函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为＋π＋＝.故选BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________.【答案】 【解析】由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝＝＝.14．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.【答案】 【解析】由弧长公式l＝|α|r，得r＝＝，所以S扇形＝lr＝×20×＝(cm2)．15．(2020年冀州区校级高一期中)已知θ为第二象限角，若tan＝，则sin－sin(θ－3π)＝________.【答案】 【解析】由tan＝，得＝，解得tan θ＝－.又θ为第二象限角，所以联立解得sin θ＝，cos θ＝－.所以sin－sin(θ－3π)＝－cos θ＋sin θ＝.16．(2020年洛阳高一期中)已知函数f(x)＝sin x＋2cos x在x0处取得最小值，则f(x)的最小值为________．【答案】－ 【解析】f(x)＝sin x＋2cos x＝＝sin(x＋α)，其中cos α＝，sin α＝，所以当x＝2kπ－α－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值为－.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f(x)＝sin－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求f(x)的值域．解：f(x)＝sin－2sin x cos x＝－sin 2x＝sin 2x－cos 2x－sin 2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为x∈，所以2x－∈.所以f(x)的值域为.18．已知角α是第三象限角，tan α＝.(1)求sin α，cos α的值；(2)求的值．解：(1)tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，故或而角α是第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，故(2)＝＝＝＝＝.∵tan α＝，∴＝－3.19．已知函数f(x)＝sin2＋cos ＋sin. (1)求f的值；(2)求函数f(x)在上的值域．解：f(x)＝sin2＋cos＋sin＝＋2sin＝－cos＋2cos＝4cos2－cos－.(1)f＝4cos2－cos－＝.(2)设t＝cos，x∈，所以t∈.则原函数化为g(t)＝4t2－t－，t∈，所以f(t)∈.20．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的最小值．解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx＝sin ωx cos ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＋＝sin＋.因为ω＞0，依题意得＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.由题意，知g(x)＝f(2x)＝sin＋.当0≤x≤时，≤4x＋≤，所以≤sin≤1，所以1≤g(x)≤.故函数y＝g(x)在区间上的最小值为1.21．已知函数f(x)＝cos2x＋sincos－(x∈R)．(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；(2)若f＝，求sin 2α的值．解：f(x)＝cos2x＋sincos－＝＋－＝＝＝＝sin.(1)因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，则f(x)max＝，f(x)min＝－.(2)由f＝，得sin＝，所以sin＝.所以sin 2α＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.22．已知x0，x0＋是函数f(x)＝cos2－sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f的值；(2)若关于x的方程f(x)－m＝1在x∈上有两个不同的解，求实数m的取值范围．解：(1)f(x)＝－＝＝＝＝＝sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T＝π，所以＝π，所以ω＝1.故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.(2)原方程可化为×sin＝m＋1，即2sin＝m＋1.设y＝2sin，0≤x≤，当x＝0时，y＝2sin＝；当x＝时，y的最大值为2.要使方程在x∈上有两个不同的解，需使≤m＋1<2，即－1≤m<1，所以m∈[－1,1)．。
【人教版】高中数学必修五期末第一次模拟试题带答案
一、选择题1．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1212．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．9-C ．92D ．92-3．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A．B．C ．6D ．84．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c△ABC 的面积Scos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ．C ．D ．6．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛ ⎝⎭C．⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭7．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形8．在ABC 中，tan sin 2A BC +=，若2AB =，则ABC 周长的取值范围是( ) A．(2,B．(4⎤⎦C．(4,2+D．(2⎤+⎦9．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =10．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021na <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．202011．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 12．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( ) AB．2 C ．14D ．12二、填空题13．若,x y 满足约束条件5,5,25,x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则25x y +=的整数解的个数为___________.14．如图，点A 是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin CB =，则cos A =________.16．在ABC ∆中，60A ∠=︒，且最大边与最小边是方程2327320x x -+=的两个实根，则ABC ∆的外接圆半径R =外______________.17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.18．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.19．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.20．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=（*n ∈N ），且12S =，则20202021a a +=______. 三、解答题21．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值.22．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<． （1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集．23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()()sin cos cos sin c A A a C C -=-．（1）记AC 边上的高为h ，求b h； （2）若c =1a =，求b ．24．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 2sin .a B b A = （1）若3,a b =，求c ； （2）求cos cos a C c Ab-的取值范围.25．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 26．己知数列{}n a 中，11a =，点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb a =，S n 为数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，若存在，写出()g n 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大，所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=， 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．2．C解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b+的最小值. 【详解】 由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根，由韦达定理可得22a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】运用基本不等式22422x y x y ++≥【详解】因为20,40x y >>，所以24228x y +≥==，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．4．B解析：B 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ．代入目标函数z x y =+得224z =+=． 即目标函数z x y =+的最大值为4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．5．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A 25，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，c 5S 5cos A ＝12bc sin A 5A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A 25. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－525＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论． 【详解】∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+， 由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos cos()cos 2A A A C A A ⎛==∈ -⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．7．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-， 同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+，又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-， 即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==， 即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 3sin 2cos22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则：21sin22C =，即：1cos 1,cos 0,222C C C π-=∴==. 据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，据此有：a b +≤△ABC 的周长：2a b c ++≤+ 三角形满足两边之和大于第三边，则：2,4a b a b c +>∴++>，综上可得：ABC 周长的取值范围是(4,2+. 本题选择C 选项.9．C解析：C 【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案. 【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.10．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈； 7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021na <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C.【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项. 11．B解析：B【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .∵55a =，836S =∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩ ∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111n n n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.12．D解析：D【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2．又m 2+n 2=c 2，∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项，∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 二、填空题13．4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域然后根据画出所表示的直线确定边界再求解满足上整数点的个数【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示作出直线直线与可行域的边界交于两点由解得又且当时 解析：4【分析】先画出约束条件所表示的平面可行域，然后根据画出25x y +=所表示的直线确定边界，再求解满足25x y +=上整数点的个数.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线25x y +=，直线52y x =-与可行域的边界交于,B D 两点，由25,25,x y x y +=⎧⎨-=⎩解得3,(3,1)1,x D y =⎧∴-⎨=-⎩， 又(0,5),[0,3],[1,5]B x y ∴∈∈-，且,x y Z ∈，当0x =时，5y =；当1x =时3y =；当2x =时，1y =；当3x =时，1y =-，∴整数解的个数为4.故答案：4.【点睛】关键点点睛：该题考查线性规划问题，考查最优解的整数点的个数问题，正确解题的关键是画出可行域.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积 解析：23【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解．【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31213423AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC的面积213sin60cos 22AB AC ABθ=⋅⋅︒==OAB的面积11sin122OA OBθθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB的面积3cos2θθ=+13(sin)60)2θθθ==-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB=故答案为：【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosa b c bc A=+-；（2）222cos2b c aAbc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B=，根据正弦定理“边化角”，可得=c，根据余弦定理2222cosa b c bc A=+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A.【详解】sin C B=，根据正弦定理：sin sinb cB C=，∴=c，根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-，又222a b=，故可联立方程：222222cos2ca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A=.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16．【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a 接着由正弦定理可得本题答案【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用解析：3【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a ，接着由正弦定理可得本题答案.【详解】 由题意得，329,3b c bc +==， 所以222264322cos ()22cos 814933a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=--=，得7a =，因为2sin a R A =2R =，得3R =【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用. 17．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：8+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(48c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当338c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即22a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩. 所以，a +3c 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.18．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查 解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩． 目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为12．故答案为：12【点睛】 本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题.19．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键 解析：()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果.【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，所以31n n a =-， 所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=-- ()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】 关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.20．4或0【分析】设等比数列的公比为q 化简已知得再分类讨论即得解【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解由可得即∴若则此时若则此时故或故答案为：4或0【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求 解析：4或0【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，化简已知得()22121n n n n qa a a a +++++=+，再分类讨论即得解.【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解.由422n n n S S S +++=可得422n n n n S S S S +++-=-，即4312n n n n a a a a +++++=+，∴()22121n n n n q a a a a +++++=+，若210n n a a +++=则1q =-，此时()121n n a -=⋅-，若210n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =，故202020210a a +=或202020214a a +=.故答案为：4或0【点睛】 本题主要考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）501010y x =--，(0,5)x ∈；（2）75-【分析】（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；（2）由（1）可得501010y x=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+， 化简可得501010y x=--， 因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<， 所以501010y x=--，(0,5)x ∈； （2）由（1）可得501010y x =--，(0,5)x ∈， 所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---， 因为(0,5)x ∈，所以100x -<，所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=--- 当且仅当2505(10)10x x-=-，即10x =-时等号成立，此时面积250[5(10)]757510S x x =--++≤-- 即ADP △面积最大值为75-【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.22．（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式的解集．【详解】（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根， 由根与系数的关系有4131b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，即(3)()0x x c -+<．其对应方程的两根为13x =，2x c =-①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅；【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．23．（1）2；（2）b =2．【分析】 （1）由正弦定理化边为角后，应用两角和的正弦公式和诱导公式变形后再由正弦定理化角为边，从而可得结论；（2）由（1）所得角的关系中用正弦定理化角为边求得sin C （用b 表示），再用余弦定理求出cos C ，然后由22sin cos 1C C +=可求得b 值．【详解】解：（1）()()sin cos cos sin c A A a C C -=-，由正弦定理可得：()()sin sin cos sin cos sin C A A A C C -=-，化为：()2sin sin sin cos cos sin sin sin C A A C A C A C B =+=+=，∴2sin c A b =，∵sin h c A =， ∴2sin b b h c A==． （2）由（1）有2sin sin sin C A B =， ∴2sin a C b =，即sin 22b b C a ==． 由余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，∴2512cos b b C =+-， 可得24cos 2b C b-=， ∴222224sin cos 122b b C C b ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化为：42680b b -+=，解得22b =或4，解得b =2． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和的正弦公式与诱导公式．解三角形问题已知边角关系时常用利用正弦定理进行边角转换，然后由三角恒等变换公式变形求解或由代数式运算求解．24．（1）2c =；（2）()1,1-.【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 223a C c A A b π-⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，结合锐角三角形的范围可得解.【详解】（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin 2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =， 在ABC ，3B π∴=，由余弦定理2222cos b c a ac B =+-， 得27923cos 3c c π=+-⨯，即2320c c -+=，解得1c =或2c =.当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍），故2c =符合.（2）由（1）得3B π=， 所以23C A π=-，cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴<<，22333A πππ∴-<-<，2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， cos cos 11a C c A b -∴-<<， 故cos cos a C c A b-的取值范围是()1,1-. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.25．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明.【详解】（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=， 所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---， 所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅， 即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面， 111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n n n T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅， 故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． （4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.26．（1）n a n =；（2）存在，()g n n =，证明见解析.【分析】（1）根据点1(,)n n P a a +在直线10x y -+=上，将点坐标代入方程，可得1n a +与n a 的关系，根据等差数列的定义，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b ，进而可求得n S 的表示式，化简整理，可得11(1)1n n n nS n S S ----=+，利用累加法，即可求得121n S S S -++的表达式，结合题意，即可得答案.（1）因为点1(,)n n P a a +，n *∈N 在直线10x y -+=上， 所以110n n a a +-+=，即11n n a a +-=，且11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以1(1)1,()n a n n n *=+-⨯=∈N ； （2）11n n b a n ==，所以111123n S n=+++⋅⋅⋅+， 所以11111111(1)(1)(2)23231n n S S n n n n --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=≥-，即11n n nS nS --=，所以11(1)1n n n nS n S S ----=+，(2)n ≥ 122(1)(2)1n n n n S n S S ------=+，233(2)(3)1n n n n S n S S ------=+⋅⋅⋅21121S S S -=+所以112311n n nS S S S S S n --=+++⋅⋅⋅++- 所以1231(1)(2)n n n S S S S nS n n S n -+++⋅⋅⋅+=-=-≥， 根据题意121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立， 所以()g n n =，所以存在关于n 的整式()g n n =，使得121(1)()(2,)n n S S S S g n n n N *-++=-⋅≥∈恒成立，【点睛】解题的关键是根据n S 表达式，整理得n nS 与1(1)n n S --的关系，再利用累加法求解，若出现1()n n a a f n +-=（关于n 的表达式）时，采用累加法求通项，若出现1()n n a f n a +=（关于n 的表达式）时，采用累乘法求通项，考查计算化简的能力，属中档题.。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
一、选择题1．若正数x，y满足21yx+=，则2xy+的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知正数x，y满足1431x y+=+，则x y+的最小值为（）A．53B．2 C．73D．63．设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．94．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D ，已知()62kmCD=+，30ADB CDB∠=∠=︒，45DCA∠=︒，60ACB∠=︒，则A、B两个中继站的距离是（）A．3km B．10km C10km D．62km 5．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b=，6Bπ=，4Cπ，则ABC∆的面积为（）A．223+B31C．232D316．设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2cos0b a C-=，()sin3sinA A C=+，则2bca=（）A7B14C．23D67．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22tan tanB Cb c=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．139．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D．25910．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________. 15．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 为三个连续自然数，且2C A =，则a =_______．17．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知函数()()()23f x x a x =-+. （1）当72a >-时，解关于x 的不等式()46f x x >+； （2）若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 22．已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.23．在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.（1）求A 的大小； （2）求sin sin B C +的最大值.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．C解析：C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒， 在BDC 中，由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．6．D解析：D 【分析】根据正弦定理把角化边，可得3a b =，进一步得到2cos 3C =，然后根据余弦定理，可得6c b =，最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中，sin sin a b A B=，由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=，所以3a b =①，又2cos 0b a C -=②，由①②可知：2cos 3C =，又2222cos 23a b c C ab +-==③，把①代入③化简可得：c =，则()2293bc b a b ==， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，难点在于将c 用b 表示，当没有具体数据时，可以联想到使用一个参数表示另外两个参数，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B Cb c =， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b cb Bc C=，可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．C解析：C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
人教版高中数学必修五 期末模块综合检测 附答案解析
范围是( ).
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(3,+∞)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)
13 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需
一、选择题
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【解析】因为 a2+a7+a12=(a2+a12)+a7=2a7+a7=3a7=30,所以 a7=10.
所以
S13
13a1
2
a13
13 a7
2
a7
13a7
130
.
【答案】A
4.【解析】由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A= 1 . 25
a1=0,an+1=
an 3an
3 1
(n∈N*),则
a20
等于(
).
A.0
B. 3
C. 3
D.1
11 在 R 上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足 x☉(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为(
).
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
12 已知集合 A={t|t2-4≤0},对于满足集合 A 的所有实数 t,不等式 x2+tx-t>2x-1 恒成立,则 x 的取值
∵A∈
0,
2019-2020人教A版数学必修5章末综合测评1 解三角形
章末综合测评(一) 解三角形满分：150分 时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k >0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个A [由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝62>1，即sin B >1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．]2．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°B [设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝12，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.]3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( ) A ．π4或3π4 B ．3π4 C ．π4D ．π6C [由BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ， 则C 为锐角，故C ＝π4.]4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( )A ．±53 B ．23 C ．－53D ．53A [因为a sin A ＝b sinB ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53.]5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6B [∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎨⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.]6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋22D ．2 3B [∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°＝4b 2－12－63， ∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.]7．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D [由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk ，(m >0)， ∵⎩⎨⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎨⎧m （2k ＋1）>2mk ，3mk >m （k ＋1）， ∴k >12.]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b2c ，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形B [由已知可得1－cos A 2＝12－b 2c ，即cos A ＝bc ，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ， 所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A . 在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )，从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．]9．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2C ． 2D ．22C [∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.]10．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( )A ．154B ．1534C ．2134D ．3534B [∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3，5，7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.]11．如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°，与O 相距15海里的C 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向25海里的B 处的乙船，则甲船到达B 处需要的时间为( )A ．12小时 B ．1小时 C ．32小时D ．2小时B [在△OBC 中，由余弦定理，得CB 2＝CO 2＋OB 2－2CO ·OB cos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB ＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B 处需要的时间为1小时．]12．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A ．33B ．36C ．63D ．66D [设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22×32a ·32a ＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC sin A ＝ABsin C . ∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知△ABC 为钝角三角形，且C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________．a 2＋b 2<c 2[∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，且C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.]14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．2π3 [由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.]15．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于________，AC 的取值范围为________．2 (2，3) [设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)．]16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________．4 [∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2，又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos B sin B cos C ＝sin C （sin B cos A ＋cos B sin A ）sin A sin B cos C ＝sin C sin （B ＋A ）sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2ab a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[解](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝（1＋3）a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B>0，故cos B＝22，所以B＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5.(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．[解](1)∵cos B＝35>0，且0<B<π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5.由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． [解] (1)∵cos A ＝2cos 2A2－1， ∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12， ∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0， 解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ?[解] 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β. 在△CBD 中，由余弦定理得 cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． [解] (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足sin A ＋3cos A ＝2.(1)求角A 的大小；(2)现给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC 的面积．(写出一种方案即可)[解] (1)依题意得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝1，∵0<A <π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝π2， ∴A ＝π6.(2)参考方案：选择①②.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝2 2. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×2＋64＝3＋1.。
【人教版】高中数学必修五期末第一次模拟试题附答案
一、选择题1．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．322．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）3．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．44．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝5．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n π，那么用圆的内接正2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加2n π可表示成（ ）A ．360sinnnπ︒ B ．360cosnnπ︒ C ．180cosnnπ︒ D ．90cosnnπ︒ 6．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43 C ．34- D ．43- 7．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c=+-，则πsin4C⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．1 B．2C．4D．48．已知在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若ABC的面积为S，且222()S a b c=+-，则tan C=（）A．43-B．34-C．34D．439．对于数列{}n a，定义11222nnna a aYn-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a的“美值”，现在已知某数列{}n a的“美值”12nnY+=，记数列{}na tn-的前n项和为nS，若6nS S≤对任意的*n N∈恒成立，则实数t的取值范围是（）A．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．712,35⎛⎫⎪⎝⎭C．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．167,73⎛⎫⎪⎝⎭10．设n S是等差数列{}n a的前n项和，若735S=，则4a=（）A．5 B．6 C．7 D．811．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若10a>，81335a a=，则nS中最大的是( ). A．10S B．11S C．20S D．21S12．在等比数列{}n a中，若1234531a a a a a++++=，2345662a a a a a++++=，则通项n a等于（）A．12n-B．2n C．12n+D．22n-二、填空题13．若关于x的不等式250ax x b-+<的解集为{|23}x x<<，则+a b的值是__________．14．已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________. 15．已知11()2x xf x e e a--=++只有一个零点，则a=____________．16．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A、B两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D、C、E，从D点测得67.5ADC∠=，从点C测得45ACD∠=，75BCE∠=，从点E测得60BEC∠=，并测得DC=CE=A、B两点的距离为___________千米.17．在ABC 中，2AB =，4AC =．BC 边上的中线2AD =，则=ABC S △_____． 18．一渔船在A 处望见正北方向有一灯塔B ，在北偏东45方向的C 处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达D 处，这时灯塔B 和小岛C 分别在北偏西30和北偏东15的方向，则灯塔B 和小岛C 之间的距离为___________海里. 19．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.20．已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为______．三、解答题21．（1）若关于x 的不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1恒成立，求实数m 的取值范围． （2）解关于x 的不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0，其中a ＜1． 22．设1x >，且4149(1)x x +--的最小值为m ．（1）求m ；（2）若关于x 的不等式20ax ax m -+的解集为R ，求a 的取值范围．23．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积； （2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB，求tan DAC ∠的值． 24．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，8AB =，7AD =，点D 在BC 上，且1cos7ADC∠=．（1）求BD；（2）若3cos CAD∠=，求ABC的面积．25．已知正项等比数列{}n a的前n项和为653,2,40nS a S S==+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）令2log4n nb a=+，记数列{}n b的前n项和为n T，求n T的最大值.26．在①121n nS S+=+，②214a=，③112n nS a+=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列{}n a的前n项和为n S，满足____，____；又知正项等差数列{}n b满足13b=，且1b，32b-，7b成等比数列．（1）求{}n a和{}n b的通项公式；（2）设nnnbca=，求数列{}nc的前项和nT．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y在点(1,1)A--处取得最小值()()min2113t=⨯-+-=-，本题选择B选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．A解析：A【解析】试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．3．B解析：B 【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案. 【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1，则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．5．C解析：C 【分析】设圆的半径为r ，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：180180sincosn n n nπ⨯=⨯，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2180sinn n nπ⨯=，问题得解. 【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形， 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得：221360sin2r n r n π≈⨯⨯，整理得：1360sin 2n nπ≈⨯⨯， 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=，即：180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理，由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯，整理得：13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n nπ⨯= 所以2180sin180cos nn n nnππ==⨯ 故选C 【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =， 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222=+⨯=故选：D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．A解析：A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ． 【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．9．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，10．A解析：A 【分析】由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()352a a S +==，解得1710a a +=，又由等差数列的性质，可得17452a a a +==. 故选：A. 【点睛】熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键11．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．【解析】由题意知且2和3是方程的两个根即答案为7【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系求出的值 解析：7【解析】由题意知0a ＞ 且2和3是方程250ax x b -+=的两个根，5321,7632a a a b b b a＝，＝⎧+⎪=⎧⎪∴∴+=⎨⎨=⎩⎪⨯⎪⎩. 即答案为7.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，求出a b ，的值14．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解 解析：1-【分析】 由函数11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，转化为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，结合基本不等式，求得111122x x x x e e e e ----+⋅≥=，得到22a -=，即可求解. 【详解】由题意，函数11()2x x f x ee a --=++只有一个零点，即()0f x =有唯一的实数根，即方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，令()11x x g x e e --=+因为110,0x x ee -->>，所以()112x x g x e e --≥+==，当且仅当11x x e e --=时，即1x =等号成立，因为方程112x x e e a --+=-有唯一的实数解，所以22a -=，即1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正 解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 452CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3.【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】中分别用余弦定理表示再利用解边长再根据余弦定理求角最后根据三角形面积公式求解【详解】设中中解得：中故答案为：【点睛】本题考查解三角形重点考查数形结合分析问题计算能力属于基础题型 【分析】ABD △，ADC 中，分别用余弦定理表示cos ADB ∠，cos ADC ∠，再利用cos cos 0ADB ADC ∠+∠=解边长BC ，再根据余弦定理求角BAC ∠，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】设BD DC x ==，ABD △中，22222cos 224x xADB x +-∠==⋅⋅，ADC 中，22222412cos 224x x ADC x x+--∠==⋅⋅ 180ADB ADC ∠+∠=，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=,212044x x x-∴+=，解得：6x =26BC ∴=， ABC 中，(22224261cos 2244BAC +-∠==-⨯⨯,2115sin 14BAC ⎛⎫∴∠=--= ⎪⎝⎭, 11524152ABCS∴=⨯⨯= 15【点睛】本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.18．【分析】求得在三角形中利用余弦定理求得【详解】依题意画出图象如下图所示在三角形中由正弦定理得所以在中所以在三角形中由余弦定理得所以故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理余弦定理解三角形属于中档题 解析：2【分析】求得,BD CD ，在三角形BCD 中利用余弦定理求得BC . 【详解】依题意，画出图象如下图所示，2AD =，301545BDC ∠=︒+︒=︒，903060BDA ∠=︒-︒=︒，45,180********CAD ACD ∠=︒∠=︒-︒-︒-︒=︒，在三角形ACD中，由正弦定理得2sin30sin45CD=︒︒，所以22CD=.在Rt ABD△中，906030ABD∠=︒-︒=︒，所以24BD AD==.在三角形BCD中，由余弦定理得()2224222422cos458BC=+-⨯⨯⨯︒=，所以22BC=.故答案为：22【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.19．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：21n n+【分析】当2n≥时，()212111n na a a n a--++⋯+=-⋅，作差即可得到111nna na n--=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为212n na a a n a++⋯+=⋅①；当2n≥时，()212111n na a a n a--++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n na n a n a-=⋅-⋅-，即()()22111n nn a n a-⋅-⋅-=，所以()()()21111n nn n a n a--+=⋅-⋅，所以()()111n nn a n a-⋅-⋅+=，所以111nna na n--=+所以2113aa=，3224aa=，4335aa=，……，111nna na n--=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；20．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错 解析：532【分析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】因为()2*32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+==≥， 所以221335231,(2)22n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，又1131122a S ⨯+===满足上式， 所以()*31,n a n n N=-∈，所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫== ⎪-+-⎝⎭-， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为11111111115325582932323232⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：532【点睛】解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.三、解答题21．(1) m 34-＞；(2)见解析 【分析】（1）利用△＜0列不等式求出实数m 的取值范围；（2）讨论0＜a ＜1、a ＝0和a ＜0，分别求出对应不等式的解集． 【详解】（1）不等式m 2x 2﹣2mx ＞﹣x 2﹣x ﹣1化为（m 2+1）x 2﹣（2m ﹣1）x +1＞0， 由m 2+1＞0知，△＝（2m ﹣1）2﹣4（m 2+1）＜0， 化简得﹣4m ﹣3＜0，解得m 34-＞， 所以实数m 的取值范围是m 34-＞； （2）0＜a ＜1时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＞0，且1a＞1， 解得x ＜1或x 1a＞， 所以不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为﹣（x ﹣1）＞0， 解得x ＜1，所以不等式的解集为{x |x ＜1}；a ＜0时，不等式（x ﹣1）（ax ﹣1）＞0化为（x ﹣1）（x 1a -）＜0，且1a＜1， 解得1a＜x ＜1，所以不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}．综上知，0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＜1或x 1a＞}； a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜1}； a ＜0时，不等式的解集为{x |1a＜x ＜1}． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题和含有字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题．22．（1）47=m ；（2）160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得4149(1)x x +--的最小值；（2）不等式20ax ax m -+的解集为R ，分0a =与0a ≠进行分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式求解即可． 【详解】解：（1）因为1x >，所以10x ->， 所以444411249(1)49(1)497x x x x +-=-+=--，当且仅当4149(1)x x -=-，即217x -=，也即97x =时等号成立，故47=m ． （2）由（1）知4,7m =， 若不等式2407ax ax -+的解集为R ，则 当0a = 时，407恒成立，满足题意； 当0a ≠时，201607a a a >⎧⎪⎨∆=-⎪⎩， 解得1607a <， 综上，1607a， 所以a 的取值范围为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次函数的图象及其性质，主要考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题． 23．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得225222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 322222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，即52sin 45sin C=︒，得5sin C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，225cos 1sin C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 55ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠==由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， 5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故25sin DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值. 24．（1）3；（21763． 【分析】（1）先求出cos ADB ∠，再由余弦定理求出BD ；（2）先求出sin CAD ∠，sin C ，再由正弦定理求出CD ，进而得出BC ，再由三角形面积公式求解即可； 【详解】（1）∵()1cos cos πcos 7ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠=-在ABD △中，由余弦定理得2228727cos 3BD BD ADB BD =+-⋅⋅⋅∠⇒=或5-（舍）． （2）由已知sin ADC ∠=，1sin 2CAD ∠=∴()1113sin sin 7214C ADC CAD =∠+∠+⨯= 由正弦定理得17sin 49213sin 1314AD CAD CD C ⨯∠=== ∴498831313BC =+=∴1888213ABC S =⨯⨯=△【点睛】关键点睛：解决本题一的关键是由诱导公式求出cos ADB ∠，再由余弦定理求出BD .25．（1）1322nn a -=；（2）最大值为64.【分析】（1）已知条件用1a 和公比q 表示后解得1,a q ，得通项公式；（2）由（1）求得n b ，由0n b ≥求得n T 最大时的n 值，再计算出最大的n T ． 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由62a =，有512a q =①，又由5340S S =+，有4540a a +=，得341140a q a q +=②，①÷②有21120q q =+，解得14q =或15q =-(舍去)， 由14q =，可求得1112a =，有111113211224n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故数列{}n a 的通项公式为1322nn a -=； （2）1322log 24172nn b n -=+=-， 若0n b ，可得172n ，可得当18n 且*n ∈N 时0n b >；当9n 且*n ∈N 时0n b <， 故8T 最大，又由115b =，可得887158(2)642T ⨯=⨯+⨯-=， 故n T 的最大值为64. 【点睛】思路点睛：本题考查求等比数列通项公式，求等差数列前n 项和最大值，求等差数列前n 项和的最大值方法：数列{}n b 是等差数列，前n 项和为n T ， （1）求出前n 项和n T 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值；（2）解不等式0n b ≥，不等式的解集中最大的整数n 就是使得n T 最大的n 值，由此可计算出最大的n T （注意n b =0时，1n n T T -=）．26．条件性选择见解析，（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-；（2）()110245n n T n +=+-【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得()11n n S a n ->=，根据条件不能求出1a 的值，故不能选①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式； （2）利用错位相减法可求解. 【详解】 （1）选择①②：由121n n S S +=+⇒当2n ≥时，有121n n S S -=+， 两式相减得：12n n a a +=，即112n n a a +=，2n ≥． 又当1n =时，有()2112212S S a a =+=+，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择：②③：由112n n S a +=-⇒当2n ≥时，112n n S a -=-， 两式相减得：122n n n a a a +=-+，即112n n a a +=，2n ≥． 又当1n =时，有12112S a a =-=，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 选择①③：由121n n S S +=+，112n n S a +=-，则112122n n n S S a ++=+=- 即111n n S a ++=-，所以()11n n S a n =->，， 两式相减可得：()1121n n a a n +>=， 当1n =时，由121n n S S +=+，得2121S S =+，即()121221a a S a +=+，即1221a a += 由112n n S a +=-，得1212S a =-，即1212a a =-，与上式相同，不能求出1a 的值. 故不能选择①③所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 设正项等差数列{}n b 的公差为d ，∵13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列， ∴()23172b b b -=，即()()2322336d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍）， ∴()34141n b n n =+-=-，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-． （2）()412nn c n -⨯=所以()1233272112412nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，则()()23123272452412nn n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得()()22164222412nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯()()114126441212n n n -+-=+⨯--⨯-()110254n n +=-+-．∴()110245n n T n +=+-【点睛】关键点睛：本题考查利用{}n a 与n S 的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n 项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由()1233272112412n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，和()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯相减得到()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯，属于中档题.。
人教版高中数学必修5期末测试题及其详细答案
数学必修5试题一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（ ）Ａ．99Ｂ．100Ｃ．96Ｄ．1012.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（ ） A ．21B ．23 C.1 D.33.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ）A ．99B ．49C ．102D ． 101 4.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 5.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（ ） A. 3B.4C. 5D. 66.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ） A.0,0a <∆< B.0,0a <∆≤ C.0,0a >∆≥ D.0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ．5 B. 3 C.7 D.-88.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（ ）2A.32B.-31C.-31D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A 、63B 、108C 、75D 、83 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.在ABC ∆中，045,B c b ===，那么A ＝_____________; 12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为______ 三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(12分) 已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.16(14分)(1) 求不等式的解集：0542<++-x x(2)求函数的定义域：5y =+17 (14分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。
人教版高中数学必修五 章末综合测评1 Word版含答案
章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4. 【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8) 【解析】 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( )A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由已知得a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，又0°<A<180°，∴A＝120°.【答案】 C11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于()A.13 B.12 C.34D．0【解析】∵CD为∠ACB的平分线，∴D到AC与D到BC的距离相等．∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等．∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴ACBC＝32.由正弦定理sin Bsin A＝32，又∵B＝2A，∴sin 2Asin A＝32，即2sin A cos Asin A＝32，∴cos A＝34.【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ()图2A．23＋1 B．23－1C.3－1 D．3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°－＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝6－250＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.【答案】2π315．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于，AC的取值范围为．【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC＝2cos θ∈(2，3)．【答案】2(2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝m.图3【解析】根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN中，MNAM＝sin 60°，∴MN＝1003×32＝150(m)．【答案】150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝＋3a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0， 故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin Bπ－2B＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17， ∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010. ∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2. 又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ， 由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3. 化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9， 即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0， 解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。
【人教版】高中数学必修五期末一模试题(附答案)(1)
一、选择题1．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-12．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ） AB ．C．2D ．23．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．54．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31c a -<<- B ．113c a -<<- C ．21c a -<<- D ．112c a -<<- 5．在三棱锥A BCD -中，已知所有棱长均为2，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A．6B ．16C ．13D6．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C所对的边，若1,a b ==B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2sin a A c C+4ac =+，则ABC 的面积的最大值为（ ） A．B．C．D8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A．B．2C ．32D9．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1010．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．236611．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1312．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则sin sin BC=______. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；②若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形；③若222cos cos cos 1A B C +-=，则△ABC 为直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，则sin A <cos B ．以上结论中正确的有____________.（填正确结论的序号）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为12c ，则ab 的最小值为_______． 17．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 18．已知a ＞0，b ＞0，则p ＝2b a﹣a 与q ＝b ﹣2a b 的大小关系是_____．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 20．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题21．已知函数2()21f x mx nx =++．（1）若不等式()0f x ≤的解集为[]1,2，求m ，n ;（2）设()0{|}A x f x =≥，且1,2A A -∈∉，求3m n +的取值范围． 22．已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+．（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数,a b 的值； （2）若对任意实数,(2)0a f <恒成立，求实数b 的取值范围．23．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b C C a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求角B 的值；（2）若c =222c a b =+，求ABC 的面积.24．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 2sin 0b A -=. （1）求角B ；（2）若b =，5a c +=，求ABC 的面积.25．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，公比为2，且2354b S =，3216b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.2．D解析：D 【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25252a b a b+≥⋅. 【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>， ∴252522a b a b+≥⋅=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题5．A解析：A 【分析】取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，于是得到异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠，然后计算出CEF ∆的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF ∠，即可得出答案． 【详解】如下图所示，取AD 的中点F ，连接CF 、EF ，由于E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则//EF BD ，且112EF BD ==， 所以，异面直线CE 与BD 所成的角为CEF ∠或其补角，三棱锥A BCD -是边长为2的正四面体，则ABC ∆、ACD ∆均是边长为2的等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ⊥，且223CE AC AE =-3CF =在CEF ∆中，由余弦定理得2223cos 26231CE EF CF CEF CE EF +-∠===⋅⨯， 因此，异面直线CE 与BD 3，故选A ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下： （1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角； （2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．6．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．7．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值． 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===，∵2sin 2sin a A c C +4ac =，∴2sin 2sin 2sin 4a A c Cb B ac +-=，即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac BR R +-==，∴R =，又由正弦定理得2sin ,33a R A A c C ===，∴112sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A ππ==⨯⨯⨯=-△21sin (cos sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)3A A =+-)363A π=-+， ∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS 取得最大值33+= 故选：B ． 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力．本题属于中档题．8．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 62222ABCSac B =≤⨯⨯=，∴△ABC 的面积的最大值为2． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+-(2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．10．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 11．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=， 所以13138n a -=. 所以146n a -=. 所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====， 解得12n =. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可.【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC 的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D 是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算解析：12【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果． 【详解】解：ABC中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =，所以1sin 90221sin 302ABD ACD AB AD S AB S ACAC AD ⋅︒==⋅⋅︒△△， 又因为4ABD ACD S BDS CD ==△△，则24AB BD AC CD==， 则sin 1sin 2B AC C AB ==. 故答案为：12.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．①③【分析】结合三角形的性质三角函数的性质及正弦定理对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①由正弦定理所以由sinA ＞sinB 可推出则即①正确；对于②取则而△ABC 不是等腰三角形即②错误；对于③则解析：①③ 【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案. 【详解】对于①，由正弦定理sin sin a b A B=，所以由sin A ＞sin B ，可推出a b >，则A B >，即①正确；对于②，取15,75A B ︒︒==，则sin 2sin 2A B =，而△ABC 不是等腰三角形，即②错误；对于③，()()()222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1A B C A B C +-=-+---=， 则222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，故△ABC 为直角三角形，即③正确；对于④，若△ABC 为锐角三角形，取80,40A B ︒︒==，此时sin80cos40sin50︒︒︒>=，即sin cos A B >，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.16．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：2c cosB ＝2a ＋b ，由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0BB π<，得1cos 2C =-，0C π<<，得23C π=，则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥， 故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.17．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s tt s=，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．18．【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为：【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键 解析：p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小． 【详解】因为0a >，0b >，2b p a a =-与2a qb b=-，所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==，b a =时取等号， 所以p q ． 故答案为：p q ． 【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较，作差法的应用是求解问题的关键．19．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn nS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n na S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.20．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.三、解答题21．（1）12m=，34n=-；（2）1,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【分析】（1）由1x=和2x=是方程2210mx nx++=的解可得；（2）1,2A A-∈∉，得出,m n满足的关系，作出点(,)m n据平面区域，作直线30x y+=，平移该直线得3z x y=+的取值范围，也即3m n+的取值范围．【详解】（1）∵不等式()0f x≤的解集为[]1,2∴2104410m nm n++=⎧⎨++=⎩，解得1234mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）∵()0{|}A x f x=≥，且1,2A A-∈∉，∴2104410m nm n-+≥⎧⎨++<⎩，作出不等式组2104410x yx y-+≥⎧⎨++<⎩表示的平面区域，如图阴影部分（含边界实线，不含虚线部分），由2104410x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得1214xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11,24A⎛⎫-⎪⎝⎭，作直线:30l x y+=，平移直线l知，向下平移直线l，3z x y=+减小，而直线l过点11,24A⎛⎫-⎪⎝⎭时，134z x y=+=，∴14z<，∴3m n+的取值范围是1,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查简单的线性规划问题．解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得结论，注意可行域中虚线部分不可取． 22．（1）29a b =⎧⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由题意知，1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根，即可得到方程3(5)0273(5)0a ab a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得即可． （2）若()20f <恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b 的不等式，解不等式可求出实数b 的取值范围； 【详解】解：（1）由()0f x >，得23(5)0x a a x b -+-+>．23(5)0x a a x b ∴---<又()0f x >的解集为(1,3)-，所以1x =-和3x =是方程23(5)0x a a x b -+-+=的两个根3(5)0273(5)0a a b a a b +--=⎧∴⎨---=⎩29a b =⎧∴⎨=⎩或39a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，得122(5)0a a b -+-+<即2210120a a b -+->又对任意实数a ，(2)0f <恒成立，即2210120a a b -+->，对任意实数a 恒成立，2(10)42(12)0b ∴∆=--⨯-<，解得12b <-，∴实数b 取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．23．（1）π3B =；（2 【分析】（1sin cos sin B C B C =，即得tan B =可求出；（2）由余弦定理求出cos 2C =，得π4C =，计算出sin A ，再由正弦定理求出b ，即可求出面积. 【详解】解：（1）因为cos b C C a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则由正弦定理得sin cos sin B C C A ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭.由πA B C ++=得()sin cos sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C B C =+=+，sin cos sin B C B C =.因为sin 0C ≠，故tan B = 又0πB <<，所以π3B =.（2）由余弦定理及222c a b =+得222cos 22a b c C ab +-==. 又0πC <<，所以π4C =， 则()ππsin sin sin 34A B C ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin 3434=+12=+=由正弦定理得sin sin c Bb C==所以11sin 22ABC S bc A ===△. 【点睛】关键点睛：本题正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理边角互化的作用对条件进行化简.24．（1）3B π=；（2）2. 【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解.（2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解.【详解】（1）∵2sin 0b A -=，∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角， ∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos 3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=， ∵5a c +=， ∴6ac =，∴ABC的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．25．（1）21n a n =-，132n n b -=⋅；（2）2323n n T n =⨯+-.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 、2b 的值，进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()13323392a a S a +===，23546b S ∴==，则32212b b ==， 由3216b S +=可得2122264S a a a d d =+=-=-=，2d ∴=，因此，()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-，221226232n n n n b b ---=⨯=⨯=⋅；（2）12132n n n n c a b n -=+=-+⋅，()()()()01211323325322132n n T n -⎡⎤∴=+⋅++⨯++⨯++-+⨯⎣⎦()()121135213323232n n -=++++-++⨯+⨯++⨯⎡⎤⎣⎦()()2312121323212nnn n n ⨯-+-=+=⨯+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12. 【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n=++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
【人教版】高中数学必修五期末第一次模拟试题含答案
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．4 2．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）A ．42B ．32C ．6D ．83．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ） A ．22B ．3C ．1D ．24．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B ．1b a< C ．lg(a －b )>0 D ．11()()33a b <5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，3c =，则S =（ ） A ．3 B ．36C ．16D ．3 6．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC 的面积为（ ）A ．22B ．2C ．2 D ．227．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．28．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．179．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10112．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在二、填空题13．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________．14．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．15．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______.16．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.17．在ABC ∆中，60A ∠=︒，且最大边与最小边是方程2327320x x -+=的两个实根，则ABC ∆的外接圆半径R =外______________.18．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．19．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．20．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值. 甲给出的解法是：由2122x y xy +=≥，得22xy ≤，则1222228x y xy xy+≥=≥，所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； （2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．23．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若AC =DC 的长度； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．24．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3b =，2a c -=，23A π=． （1）求ABC 的面积； （2）求()sin A C -的值．25．在①246a a +=，945S =②222n n n S =+③()121n n a n n a n -=≥-，11a =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________，数列{}n b 为等比数列，112b a =，222a b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2．D解析：D 【分析】运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40xy>>，所以242422422228x y xy x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）． 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．3．D解析：D先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4．D解析：D 【详解】试题分析：A 中1,2a b ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的5．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 2S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．6．D【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=，即可得到34A π=，然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC 中，所以tan 1A =-，即34A π=，所以sin 2A =，所以11sin 22222ABCSbc A ==⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用，考查两角和的正切公式，属于基础题.7．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．8．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEF AD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．B解析：B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-可得431a S =-，若1q =，则1113a a =-显然不成立，所以1q ≠， 所以()312111q a a q q -++=，即()232111q q a q +=-+， 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，210a >，所以30q <，所以0q <，当1q ≤-时，31q ≤-，211q q ++≥，因为11a >，则()232111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.11．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．12．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S =∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C二、填空题13．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.14．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．【分析】由正弦定理及可得结合两角差余弦公式可得进而可得到值【详解】由正弦定理及可得：在中∴即∴又B 为三角形内角∴=故答案为:【点睛】本题考查三角形中求角的问题涉及到正弦定理两角差余弦公式考查计算能力 解析：π3B =【分析】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合两角差余弦公式可得3tanB =B 值.【详解】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,在ABC 中，sin 0A ≠， ∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+ ∴3tanB =B 为三角形内角，∴B =3π 故答案为:3π. 【点睛】本题考查三角形中求角的问题，涉及到正弦定理，两角差余弦公式，考查计算能力，属于基础题.16．【分析】由题意画出示意图三角形（假设在处追上）然后设乙船速度为由此表示出的长度求出的长度在借助于余弦定理求出的长则速度可求【详解】解：由题意设乙船的速度为且在处乙船与甲船相遇做出图形如右：所以由题意 解析：3【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=， 所以23x =，3x =/小时）． 3 【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．17．【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a 接着由正弦定理可得本题答案【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用解析：73【分析】 综合韦达定理与余弦定理可算得a，接着由正弦定理可得本题答案. 【详解】由题意得，329,3b c bc +==， 所以222264322cos ()22cos 814933a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=--=，得7a =，因为2sin a R A =，即23R =，得73R =. 故答案为：733【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用.18．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数. 则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B .当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.19．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．20．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c =⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠，故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21nn S =-， 当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列， 所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最小值为5+. 【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y+转化为2214y xx y +++，通过基本不等式即可求出最值； （2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()12122221459y xx y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >， 即可将“求函数()1312f x x x=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，因为()13136255n mm n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x=+-取最小值，最小值为5+. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题． 23．（1）7；（2714 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度； （2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值. 【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==，∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去；当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意．∴5BD =．在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==，∴12BC =或3BC =-（舍）． ∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin 4B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin332C B B B B πθθθθ=--=+=+=．法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin 32C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠= 【点睛】 关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.24．（1；（2. 【分析】（1）由余弦定理可得2219232a c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，又2a c -=，代入方程，可求得c 值，代入面积公式，即可求得答案.（2）根据题意，可求得sin ,cos A A 的值，根据正弦定理即可求得sin C 的值，根据同角三角函数的关系及角C 的范围，即可求得cos C 的值，代入两角差的正弦公式，即可求得答案. 【详解】（1）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，所以2219232a c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭． 因为2a c -=，所以()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⋅- ⎪⎝⎭，解得5c =，则7a =．所以ABC的面积11sin 352224ABCS bc A ==⨯⨯⨯=． （2）由23A π=得sin 2A =．由正弦定理得sin sin 14c C A a ==． 在ABC 中，A 为钝角，所以C 为锐角．所以11cos 14C ==． 所以()sin sin cos cos sin 7A C A C A C -=-=． 25．选①或②或③，()1122n n T n +=-⨯+.【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组，求出这两个量，并求出q 的值，可得出数列{}n a 、{}n b 的通项公式，进而利用错位相减法可求得n T ；选②，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T ；选③，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T . 【详解】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 由已知条件可得2419124693645a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=，22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选②，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =也满足n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选③，()121n n a nn a n -=≥-，且11a =， 由累乘法可得321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-. 22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.26．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）22n n T n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ．【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=．在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n n n a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。
【人教版】高中数学必修五期末第一次模拟试题(附答案)
一、选择题1．设,x y满足约束条件321104150250x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y=+的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．10 2．对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B．a2＞b2C．a3＞b3D．a bb a>3．命题p:变量(),x y满足约束条件3450yxx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则yzx=的最小值为14，命题q :直线2x=的倾斜角为2π，下列命题正确的是（）A．p q∧B．()()p q⌝∧⌝C．()p q⌝∧D．()p q∧⌝4．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72︒的等腰三角形（另一种是两底角为36︒的等腰三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，51BCAC-=．根据这些信息，可得sin54︒=（）．A15+B35+C45+D125-5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km6．在ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =，3AC =ABC 的面积为（ ） A ．322B ．32C ．22D ．3327．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．23a <<8．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．129．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1011B ．910C ．89 D ．211．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.14．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy++的最小值是_________．15．已知0a >，0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.16．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______17．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．19．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =， ①0a >，0b >，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 22．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 23．在ABC中，cos sin )sin cos B b C b B C -=． （1）求B ；（2）若2c a =，ABCABC 的周长． 24．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知1b =，面积28sin a S A=，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B π=;（2）B C =.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.25．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，*n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法2．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 3．A解析：A 【分析】由约束条件作出可行域，由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图：目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．4．A解析：A 【分析】在ABC ，由正弦定理可知sin sin BC BAC AC ABC ∠=∠可得51cos36︒+=，进而根据诱导公式得sin54cos36︒=51+= 【详解】在ABC ，由正弦定理可知：sin sin 36sin 36151sin sin 722sin 36cos362cos362BC BAC AC ABC ︒︒︒︒︒︒∠=====∠，∴cos36︒== 由诱导公式()sin54sin 9036cos36︒=-=，所以sin54︒=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】先利用已知条件得到22B A π=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到21sin 3A =，又0A π<<，可得sin 3A =；已知AC =BC 的长度，再根据三角形的面积公式in 12s S ab C =，即可得出结果. 【详解】由题意得：A B C π++=，()B A C π∴=-+，又22C A C A ππ-=⇒=+，()2222B A C A A ππππ⎛⎫∴=-+=-+=- ⎪⎝⎭，21sin sin 2cos 212sin 23B A A A π⎛⎫∴=-==-= ⎪⎝⎭，21sin 3A ∴=，0A π<<，sin A ∴=由正弦定理得，sin sin BC ACA B=， 即3BC =，2C A π=+，A ∴为锐角，cos 3A ==，sin sin cos 23C A A π⎛⎫∴=+==⎪⎝⎭，11sin 322ABCSBC AC C ∴=⋅=⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.7．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，sin 1A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.8．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.9．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.10．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122ni n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=，所以13138n a -=. 所以146n a -=.所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====， 解得12n =.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
【人教版】高中数学必修五期末一模试题含答案
一、选择题1．已知2244x y +=，则2211x y+的最小值为（ ） A ．52B ．9C ．1D ．942．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3-B ．0C ．1D ．33．当x ，y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2=+t x y 最小值是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．324．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且c =3C π=，则a =（ ）A ．1BC ．1D6．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，23A π=，则sin sin A C=（ ） A ．75 B ．57C ．37D ．737．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）ABCD．108．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，a =tan C 等于（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43-9．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） AB ．2C．D ．411．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．3612．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－2二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．14．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.15．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.16．在ABC中，已知,cos 4A B π==BC =D 为AB 的中点，则CD 的长为________．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin C B =，则cos A =________.18．在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边长分别为a ，b ，c .设a ，b ，c 满足222b c bc a +-=和12c b =，则tan B =______19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____ 20．若数列{}n a 满足：15n n a a n ++=，11a =，则2020a =________________.三、解答题21．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 22．（1）解不等式22650k x kx -+<．（2）当1k =时，不等式22650k x kx -+<的解集为(,)a b ，如图，在矩形ABCD 中，,AB b AD a ==，点P 为边AB 上一动点，当DPC ∠最大时，求线段AP 的长．23．a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-.（1）求A ；（2）若2c =，试问b 的值是否可能为5?若可能，求ABC 的周长；若不可能，请说明理由.24．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4c =，面积sin S bc B =． （1）若60C ∠=，求S ； （2）若215S ABC 的周长． 25．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<26．在①246a a +=，945S =②222n n n S =+③()121n n a n n a n -=≥-，11a =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________，数列{}n b 为等比数列，112b a =，222a b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立．故选：D ． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．2．D解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3．B解析：B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-，本题选择B 选项.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.4．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.5．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果． 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴sin3a ==②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =． 综上可得，a =1故选：C ． 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．6．A解析：A 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =， 由正弦定理：sin 7sin 5A a C c ==. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.7．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=，同理可得225AC AB BC =+=，在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．8．D解析：D 【分析】首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由题知：222()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，整理得：222sin 222-+-=C a b c ab，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .2223cos 4sin cos 3sin cos -=+C C CC C，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3C =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.9．C解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===.故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.12．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.二、填空题13．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122zy x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：线性规划常见类型， （1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有2212||(0)(20)3C C a b R r =++-=+=，变形可得：2249a b +=， 222222222222222222111111414(4)()(5)(52)1999a b a b a b a b a b a b a b b a b a+=+=++=+++⨯=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．15．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的解析：1 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.16．【分析】由条件求得利用正弦定理求得在中利用余弦定理即可求得【详解】故由正弦定理知即解得在中所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出利用余弦定理求解考查了运算能力属于中档题【分析】由条件求得sin B ,sin C ,利用正弦定理sin sin BC ABA C=求得AB , 在BCD △中，利用余弦定理即可求得CD . 【详解】cos (0,),5B B π=∈sin B ∴==故333cos cos()cos cos sin sin 444C B B B πππ=-=+⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，n si C ===∴，由正弦定理知sin sin BC ABA C=310，解得6AB =, 在BCD △中，222222cos 32355CD BC AD BC AD B =+-⋅=+-⨯⨯=所以CD =【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出通过三角恒等变换求出cos B ,利用余弦定理求解CD , 考查了运算能力，属于中档题.17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．【分析】先利用余弦定理求得再由正弦定理结合已知条件求得的关系式求得即可【详解】由得又因为得由正弦定理得又因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用属于中档题 解析：12【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再由正弦定理()sin sin sin sin A B c C b B B+==结合已知条件，求得tan B 的关系式，求得tan B 即可.【详解】由222b c bc a +-=得2221cos 22b c a A bc +-==， 又因为()0A π∈，得3A π=.由正弦定理，得()sin sin sin sin A B c C b B B +==sin cos cos sin 1sin 2tan 2A B A B B B +==+又因为12c b =+1=2+12+1tan 2B =. 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正余弦定理的综合运用，属于中档题.19．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值. 【详解】当2n ≥时，1133n nn n a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==， 当2n =时，()321233a S a a λ+==+， 解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.20．【分析】根据写出相减以后可得可以判断出数列是等差数列然后判断出首项和公差即可得【详解】两式相减得故是首项为公差为的等差数列的第项故故答案为：【点睛】要注意等差数列的概念中的从第项起与同一个常数的重要解析：5049. 【分析】根据15n n a a n ++=写出155n n a a n -+=-，相减以后可得115n n a a +--=，可以判断出数列{}2n a 是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得2020a . 【详解】11555n n n n a a n a a n +-+=⇒+=-.两式相减，得115n n a a +--=.12254a a a +=⇒=.故2020a 是首项为4，公差为5的等差数列的第1010项， 故()202041010155049a =+-⨯=.故答案为：5049. 【点睛】要注意等差数列的概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；如果1n n a a +-是常数，则{}n a 是等差数列，如果11n n a a +--是常数，则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列，所以需要注意等差数列定义的推广应用.三、解答题21．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.22．（1）当0k =时，不等式的解集为φ；当0k >时，不等式的解集为15{|}x x k k<<； 当k 0<时，不等式的解集为51{|}x x k k <<； （2）52. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分0k =，0k >和k 0<，三种情况讨论，即可求解； （2）当1k =时，求得不等式2650x x -+<的解集，得到5,1AB AD ==，设AP x =，得到11tan ,tan 5DPA CPB x x∠=∠=-，进而得到则tan DPC ∠的表达式，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）由题意，不等式22650k x kx -+<可化为(5)(1)0kx kx --<， 当0k =时，不等式可化为50<（不成立），所以不等式的解集为空集； 当0k ≠时，不等式可化为251()()0k x kx k k --<，即51()()0x kx k k--<， ①当0k >时，不等式51()()0x kx k k --<，可得15x k k <<； ②当k 0<时，不等式51()()0x kx k k--<，可得51x k k<<， 综上可得：当0k =时，不等式的解集为φ； 当0k >时，不等式的解集为15{|}x x k k <<； 当k 0<时，不等式的解集为51{|}x x k k<<. （2）当1k =时，不等式化为265(1)(5)0x x x x -+=--<，解得15x <<，因为不等式的解集为(,)a b ，所以1,5a b ==，即5,1AB AD ==， 设AP x =，可得5,(05)BP x x =-<<， 可得11tan ,tan 5DPA CPB x x∠=∠=-， 则tan tan(180)tan()DPC DPA CPB DPA CPB ∠=-∠-∠=-∠+∠21155,(05)1151(5)x x x x x x x +-=-=<<-+--， 当DPC ∠最大时，tan DPC ∠的值最大， 因为225951()24y x x x =-+=--，当52x =时，取得最小值， 即线段AP 的长52． 【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解，以及两角和与差正切公式的计算和应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，合理利用两角和与差的正切公式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，综合题强，属于中档试题. 23．（1）3A π=；（2）不可能，理由见解析.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出；（2）由余弦定理得出cos 0B <，得出B 为钝角，与已知矛盾. 【详解】解：（1）因为2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-， 由正弦定理可得22(2)(2)a b c b c b c =-+-，即222a b c bc =+-. 再由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =. 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）假设5b =，则由余弦定理，得2222cos 19a b c bc A =+-=，所以22219425cos 022a c b B ac ac+-+-==<，所以B 为钝角，这与ABC 为锐角三角形矛盾， 故b 的值不可能为5.24．（1；（2）4或4． 【分析】（1）利用三角形的面积公式可得出2a b =，利用余弦定理可求得b 、a 的值，再利用三角形的面积公式可求得S ；（2）由已知条件可得sin B =，由余弦定理得出2316cos 16b B b +=，结合22sin cos 1B B +=可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.【详解】（1）1sin sin 2S bc B bc A ==，所以，sin 2sin A B =，2a b ∴=，由余弦定理可得2222222162cos 423c a b ab C b b b b ==+-=+-=，3b ∴=，a =因此，11sin2223S ab C ===；（2）sin 4sin 3S bc B b B ===，可得sin 6B b=，2222316cos 216a c b b B ac b+-+==，由22sin cos 1B B +=可得222316116b b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得422748010880b b -+=，即()()223891340b b --=，解得3b =或b =.当b =时，ABC的周长为34a b c b c ++=+=；当b =时，ABC的周长为34a b c b c ++=+=. 综上所述，ABC的周长为4或4. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 25．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式； （2）4n ≥时，由111212(2)2n n n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立． 【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =， 又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152nn -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=． 【点睛】 关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．26．选①或②或③，()1122n n T n +=-⨯+.【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组，求出这两个量，并求出q 的值，可得出数列{}n a 、{}n b 的通项公式，进而利用错位相减法可求得n T ；选②，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T ；选③，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T . 【详解】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由已知条件可得2419124693645a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=，22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 因此，()1122n n T n +=-⨯+；选②，当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =也满足n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅， 1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 因此，()1122n n T n +=-⨯+； 选③，()121n n a n n a n -=≥-，且11a =， 由累乘法可得321121231121n n n a a a n a a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-. 22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅， 1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯， ()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 因此，()1122n n T n +=-⨯+.【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
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章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 考点 判断三角形形状题点 利用余弦定理判断三角形形状 答案 B解析 ∵最大边AC 所对角为B ， 又cos B ＝52＋62－822×5×6<0，∴B 为钝角，△ABC 为钝角三角形. 2.在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理，得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.3.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a ＝3，则A 等于( ) A.30°或150° B.30°或60° C.60°或120°D.60°或150°考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案 A解析 根据正弦定理，得a sin A ＝2R ，sin A ＝a 2R ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝30°或A ＝150°.4.在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，则△ABC 的形状是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案 B解析 原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形.5.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12B.1C.2D.3 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin A sin B ＝ab ＝2.6.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.25或 5D.以上都不对 考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形 答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴5＝15＋c 2－215×c ×32， 化简得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0， ∴c ＝25或c ＝ 5.7.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 答案 D解析 由正弦定理，得a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k >12.8.△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D.9 2考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.9.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A.a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B.b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C.a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D.a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 考点 判断三角形形状题点 利用余弦定理判断三角形形状 答案 D解析 A 中，∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，∵sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解，故A ，B ，C 都不正确，由排除法知应选D.10.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 答案 D解析 △A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0， 则△A 1B 1C 1是锐角三角形， 若△A 2B 2C 2是锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，矛盾，若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则cos A 1＝sin A 2＝1，A 1＝0，矛盾. 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.11.在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 答案 A解析 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C ) ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2， 又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4.12.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 考点 几何图形中的计算问题 题点 三角形有关的几何图形计算问题 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ×AM ×cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4×cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ×CM ×cos ∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2×cos ∠AMB ，②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2，所以a ＝106.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos Ccos B ＝－2a ＋c b ，则角B 的大小为________.考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案2π3解析 根据余弦定理，得cos Ccos B ＝a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2×c b ＝－2a ＋c b .化简可得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π3.14.已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C ＝________. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0， 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13.15.在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案3314解析 由正弦定理得7sin 120°＝5sin C ，∴sin C ＝5314，且C 为锐角(A ＝120°).∴cos C ＝1114.∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314. 16.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 答案36解析 如图，∠CAB ＝15°， ∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°， AB ＝1(km).在△ABC 中，由正弦定理，得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝1sin 60°×sin 15°＝32－66(km).设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝32－66×6＋24＝36(km).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值. 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 (1)∵cos B ＝35>0,0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a b sin B ＝25. (2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4，∴c ＝5.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.18.(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值. 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24.又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 19.(12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值.考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理，得 a sin A ＝b sin B ，∴3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A ， ∴cos A ＝63.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63， 则c 2－8c ＋15＝0.∴c ＝5或c ＝3. 当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾.∴c ＝3舍去.故c 的值为5.20.(12分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合 (1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形.(2)解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.21.(12分)如图，已知A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB 与BC 各等于1 km ，从三点分别遥望塔M ，在A 处看见塔在北偏东45°方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路ABC 的最短距离.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 由题意得∠CMB ＝30°，∠AMB ＝45°， ∵AB ＝BC ＝1，∴S △MAB ＝S △MBC ，即12MA ×MB ×sin 45°＝12MC ×MB ×sin 30°， ∴MC ＝2MA ，在△MAC 中，由余弦定理，得 AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ×MC ×cos 75°， ∴MA 2＝43－22cos 75°，设M 到AB 的距离为h ，则由△MAC 的面积得 12MA ×MC ×sin 75°＝12AC ×h ， ∴h ＝2MA 22×sin 75°＝22×43－22cos 75°×sin 75°＝7＋5313(km). ∴塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313km.22.(12分)如图所示，在扇形AOB 中，∠AOB 的大小为π3，半径为2，在半径OA 上有一动点C (不与O ，A重合)，过点C 作平行于OB 的直线交AB 于点P .(1)若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；(2)若∠COP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值. 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合解 (1)在△POC 中，∠OCP ＝2π3，OP ＝2，OC ＝1，由OP 2＝OC 2＋PC 2－2OC ·PC cos 2π3， 得PC 2＋PC －3＝0， 解得PC ＝13－12. (2)∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝π3－θ.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ，即2sin2π3＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ， 又OC sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝OPsin 2π3， ∴OC ＝43sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ. 记△POC 的面积为S ， 则S ＝12CP ·OC ·sin 2π3＝12×43sin θ×43sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ×32 ＝43sin θ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ ＝43sin θ·⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θcos θ－23sin 2θ ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－33， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴2θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，S 取得最大值，最大值为33.。