画图题(角平分线、中垂线、轴对称)
2020年中考数学必考考点 专题32 尺规作图(含解析)
专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求：（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B＝30°，从而得出答案．在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°。
【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．【答案】见解析。
利用轴对称设计图案--习题精选及答案(二)
利用轴对称设计图案习题精选（二) ★轴对称的性质1．下列图案中，对称轴的条数超过一条的是________。
2．下列说法中，正确说法的个数有（）①对顶角是轴对称图形,其中一个角的平分线是它的一条对称轴；②等腰三角形至少有1条对称轴,至多有3条对称轴；③两个全等的三角形一定关于某直线对称；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
A．1B．2C．3D．43．画出图15－4－1中各图的对称轴.4．如图15－4－2,分别以直线L为对称轴，画出图形的另一半，先猜一猜，再试一试。
5．如图15－4－3,已知△ABC,直线MN,求作△A B C '''，使△A B C '''与△ABC 关于MN 对称，并指出它的对应点、对应线段和对应角。
★利用轴对称设计图案6．如图15－4－4，下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）7．正方形经过适当的剪拼，可得到不同的轴对称图案，如图15－4－5,将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后,得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形，按照哪个正方形剪开后得到哪组图形的对应关系填空：A 与______对应；B 与______对应；C 与______对应；D 与______对应。
［学科综合］8．如图15－4－6，已知△ABC 和直线l ,求作△A B C '''，使△A B C '''与△ABC 关于直线l 轴对称,并指出其对称点.9．如图15－4－7，以虚线为对称轴画出图的另一半。
[创新思维]（一）新型题10．观察图15－4－8中的10种图形，说出哪些图形可以放在一起形成轴对称（可以将图形上下放置或左右放置）。
(二)课本习题变式题11．（课本P57习题第2题变式题）在黑板上钉着20枚钉子（如图15－4－9），相邻的两个钉子间的距离（指上下左右）等于1cm，请从●号钉子开始到★号钉子为止绷上一跟19cm 长的线，使这根线通过所有钉子。
新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习
第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
八年级数学轴对称画图题专题难点训练
八年级数学轴对称画图题专题难点训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，点P是线段AB上的一点，请在图中完成下列操作．（1）过点P画BC的垂线，垂足为H；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q；（3）线段的长度是点P到直线BC的距离．2．作图题:（1）过点A画高AD；（2）过点B画中线BE；（3）过点C画角平分线CF．3．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格．4．如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）画出△DEF关于直线HG的轴对称图形（不写画法）；（2）画EF边上的高（不写画法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF的面积为．5．如图，在每个小正方形的边长均为1 个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A、B、M、N 均在小正方形的顶点上，在方格纸中画四边形ABCD（四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C．6．已知：如图，已知△ABC(1)点A关于x轴对称的点A1的坐标是，点A关于y轴对称的点A2的坐标是；(2)画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(3)画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．7．如图所示的点A、B、C、D、E．（1）点和点关于x轴对称；（2）点和点关于y轴对称；（3）点A和点D关于直线l成轴对称，请画出直线l．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）8．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A’的坐标是；点B关于y轴对称点B’的坐标是；（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A’B’C’（不要求写作法）（3）求△ABC的面积是9．如图，根据要求回答下列问题：（1）点A关于y轴对称点A′的坐标是；点B关于y轴对称点B′的坐标是（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′（不要求写作法）（3）求△ABC的面积．10．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形．11．如图，（1）在网格中画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）写出ABC 关于x 轴对称的222A B C △的各顶点坐标2A （ ）2B （）2C （ ）参考答案1．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）PH．【解析】【分析】利用尺规作出过一点作已知直线的垂线即可解决问题.【详解】解：（1）过点P画BC的垂线，垂足为H，如图所示；（2）过点P画AB的垂线，交BC于Q，如图所示；（3）线段PH的长度是点P到直线BC的距离．故答案为PH．【点睛】本题考查作图-基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）从A点向CB的延长线作垂线．垂足为D，线段AD即所求作的高；（2）作AC的垂直平分线找到中点E，连接BE．BE就是所求的中线；（3）作∠ACB的角平分线，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【详解】解：（1）如图，用圆规以点A为圆心，大于点A与BC的距离长为半径画弧，与直线CB交于点G，H，分别以G、H为圆心，大于GH的一半为半径画弧，两弧的交于点O，连接AO，交CB的延长线于点D，线段AD即所求作的高；（2）如图，分别以A、C为圆心，大于AC的一半为半径画弧，两弧的交于点J、K，连接JK，与AC交于点E，连接BE，BE就是所求的中线；（3）如图，用圆规以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以弧与∠ACB两边的交点M，N 为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧的交点为P，连接CP并延长，与AB交于点F，CF就是所求的角平分线．【点睛】本题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．(1)详见解析;(2)10.【解析】【分析】(1)根据平移性质即可画出图形.(2)由图象格子数即可判断.【详解】(1)由题意画图如下:(2)由图上可得出:若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向左平移10格.【点睛】本题考查平移和对称,关键在于熟练掌握定义.4．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点D、E、F关于直线HG的对称点D′、E′、F′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构以及EF的位置，过点D作小正方形的对角线，与FE的延长线相交于H，DH即为所求作的高线；（3）DE为底边，点F到DE的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）如图所示，△D′E′F′即为所求作的△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）如图所示，DH为EF边上的高线；（3）△DEF的面积＝12×3×2＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查轴对称作图，熟记相关概念是解题关键.5．图详见解析【解析】【分析】过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP找到点D和点C即可.【详解】如图过点A作垂线使AO=DO，过点B作垂线使BP=CP，依次连接ABCD即可.【点睛】本题考查了图形的对称，解题关键在于对称图形的对应点的连线垂直于对称轴，且对应点距离对称轴的距离相等.6．(1) (－4，－2)，(4，2)； (2)图形见解析(3)图形见解析【解析】试题分析：（1）分别利用关于x轴以及y轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标即可；（3）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点坐标即可．试题解析：(1) (－4，－2)，(4，2)；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(3)如图所示：△A2B2C2，即为所求．7．（1）A，E；（2）B，C；（3）详解见图．【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）直接利用线段垂直平分线的作法分析得出答案．【详解】解：（1）点A和点E关于x轴对称；故答案为A，E；（2）点B和点C关于y轴对称；故答案为B，C；（3）如图所示：直线l即为所求．【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及线段垂直平分线的作法，正确得出对应点位置是解题关键．8．（1）（3，2），（4，-3）；（2）见解析；（3）13 2【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出结论；（2）在坐标系内描出A′，B′，C′三点，再顺次连接即可；（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标为相反数，∵A（-3，2），B（-4，-3），∴A′（3，2），B′（4，-3）．故答案为：（3，2），（4，-3）；（2）如图所示；（3）ABC111 35512323 222S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯513153322=---=．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．9．（1）（3，2），（4，﹣3）；（2）图形见解析（3）13 2【解析】试题分析：（1）对照图形可知点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），由此写出点A′、B′的坐标即可；（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′，再顺次连接这三点即可得到所求三角形；（3）如图，由S△ABC=S矩形DBEF-S△ADB-S△BEC-S△AFC，计算出△ABC的面积即可.试题解析：（1）由图可知：点A、B的坐标分别：（-3，2）、（-4，-3），∴点A、B关于y轴的对称点A′和B′的坐标分别为：（3，2），（4，﹣3）；（2）如下图所示；△A′B′C′为所求的图形；（3）如图：S △ABC =S 矩形DBEF -S △ADB -S △BEC -S △AFC =11135512323222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =515332--- =132． 10．见解析【解析】【分析】根据题意，分别找出三角形各顶点与y 轴、x 轴的对应点，再连接即可.【详解】关于y 轴对称：△A’B’C’为所求；关于x 轴对称：△A’’B’’C’’为所求；11．（1）见解析；（2）32--，；4,3-；1,1-；【解析】【分析】（1）在网格中画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1即可；（2）写出△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标即可；【详解】解：（1）如图△A 1B 1C 1即为所求作的图形；∴111A B C 即为所求；（2）∵A （-3，2），B （-4，-3），C （-1，-1），∴△ABC 关于x 轴对称的△A 2B 2C 2的各顶点坐标为：A 2（-3，-2），B 2（-4，3），C 2（-1，1）．故答案为：-3，-2；-4，3；-1，1；【点睛】本题考查了轴对称变换、坐标与图形、以及画轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称性质．。
全等三角形题型归类及解析
全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。
1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。
2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
(1) 求证：∠ABE=∠C ；(2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
．AB C DE PD A CBM N5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）21PFMDBA CE6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1） 若BD 平分∠ABC ，求证CE=12BD ；（2） 若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。
8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想：ED C BA1、想到中线，倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线2、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =D AE FCHGB3、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论。
2024中考备考热点09 尺规作图(7大题型+满分技巧+限时分层检测)(原卷版)
热点09 尺规作图中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。
最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。
当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】满分技巧1、线段垂直平分线的画图痕迹：2、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等1．（2023•凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2023•西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD＝ABC．DE＝BCD．S△ADE：S四边形DBCE＝1：43．（2023•随州）如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（）A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA ＝34°，则∠CAB的度数为．【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】满分技巧1、角平分线的画法：2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等1．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（）A．B．C．D．3．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DMC．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM4．（2023•湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP 的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）A．B．C．D．45．（2023•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（）A．6B．8C．9D．106．（2023•内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（）A．1：2B．1：C．2：5D．3：87．如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD 于点F，则的值为．8．（2023•鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为．9．（2023•甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为°．10．（2023•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD 于点H，则线段DH的长是．考向二：尺规作图画图【题型3 作一条线段的垂直平分线】满分技巧线段垂直平分线的画图步骤：1、分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点；2、过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
人教版初二数学轴对称常考题型例题
人教版初二数学轴对称常考题型例题单选题1、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为（）A．50°B．70°C．75°D．80°答案：B解析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故选B．小提示：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2、如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：C解析：由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；∴∠B＝180°−30°-60°＝90°．故选：C．小提示：主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．3、下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C解析：依据轴对称图形的定义逐项分析即可得出C选项正确．解：因为选项A、B、D中的图形都不能通过沿某条直线折叠直线两旁的部分能达到完全重合，所以它们不符合轴对称图形的定义和要求，因此选项A、B、D中的图形都不是轴对称图形，而C选项中的图形沿上下边中点的连线折叠后，折痕的左右两边能完全重合，因此符合轴对称图形的定义和要求，因此C选项中的图形是轴对称图形，故选：C．小提示：本题主要考查了轴对称图形的定义，学生需要掌握轴对称图形的定义内容，理解轴对称图形的特征，方能解决问题找对图形，同时也考查了学生对图形的感知力和空间想象的能力．4、一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（）A．一个角的平分线是对边的中线或高线B．两边相等，有一个内角是60°C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍D．三个内角都相等答案：A解析：根据等边三角形的判定方法即可解答.选项A，一个角的平分线是对边的中线或高线，能判定该三角形是等腰三角形，不能判断该三角形是等边三角形；选项B，两边相等，有一个内角是60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定该三角形是等边三角形；选项C，两角相等，且两角的和是第三个角的2倍，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形；选项D，三个内角都相等，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形.故选A.小提示：本题考查了等边三角形的判定，熟练运用等边三角形的判定方法是解决问题的关键.AB的长为半径作弧相交于点D和点E，5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于12直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）A．5B．4√3C．2√5D．2√13答案：C解析：利用线段垂直平分线的性质得到FB=FA，AG=BG=2，再证明FC=FB=FA=3，利用勾股定理即可解决问题．解：由作图方法得GF垂直平分AB，∴FB=FA，AG=BG=2，∴∠FBA=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∠FBA+∠FBC=90°，∴∠C=∠FBC，∴FC=FB，∴FB=FA=FC=3，∴AC=6，AB=4，∴BC=√AC2−AB2=√62−42=2√5．故选：C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平分线的性质．6、已知点P(−3,2)与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）A．(−3,2)B．(−3,−2)C．(3,2)D．(3,−2)答案：B解析：根据关于x轴对称的性质：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得解.由题意，得与点P(−3,2)关于x轴对称点Q的坐标是(−3,−2)，故选：B.小提示：此题主要考查关于x轴对称的点坐标的求解，熟练掌握，即可解题.7、已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或10答案：B解析：等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．故选：B．小提示：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．8、如图图形分别是贵州、旅游、河北、黑龙江卫视的图标，其中属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：A解析：根据轴对称性质出发，对题意进行理解并根据选项的不同来选择出正确的答案.解：轴对称的性质：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称.选项A符合此条件.故答案选A.小提示：本题考察轴对称的性质，根据性质进行解题即可.填空题9、若点A(1+m,1−n)与点B(−3,2)关于y轴对称，则(m+n)2021=值是________．答案：1解析：直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．解：∵点A（1+m，1-n）与点B（-3，2）关于y轴对称，∴1+m=3，1-n=2，解得：m=2，n=-1则（m+n）2021=（2-1）2021=1．所以答案是：1．小提示：此题主要考查了关于y轴对称点的性质，解题的关键是掌握两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．10、如图, 在△ABC中, ∠ACB的平分线交AB于点D, DE⊥AC于点E, F为BC上一点,若DF=AD, △ACD与△CDF 的面积分别为10和4, 则△AED的面积为______答案：3解析：如图（见解析），过点D作DG⊥BC，根据角平分线的性质可得DE=DG，再利用三角形全等的判定定理得出ΔCDE≅ΔCDG,ΔADE≅ΔFDG，从而有SΔCDE=SΔCDG,SΔADE=SΔFDG，最后根据三角形面积的和差即可得出答案．如图，过点D作DG⊥BC∵CD平分∠ACB，DE⊥AC∴DE=DG∵CD=CD∴ΔCDE≅ΔCDG(HL)∴SΔCDE=SΔCDG又∵AD=FD∴ΔADE≅ΔFDG(HL)∴SΔADE=SΔFDG∴{SΔACD=SΔADE+SΔCDE=10SΔCDE=SΔCDG=SΔCDF+SΔFDG=4+SΔADE则SΔADE+4+SΔADE=10解得SΔADE=3所以答案是：3．小提示：本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．11、∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=30°，则△MON的周长为___________．答案：15解析：根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出△MON的周长．解：根据题意可画出下图，∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．∴∠MON=2∠AOB=60°．∴△MON为等边三角形。
中考专区二轮专题尺规作图专题训练完整版
B A
l
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
·B A·
l
“1点+2线”型
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶 着马群先到河边a饮水，再带到草地b吃草， 然后回到营地，请你替牧马人设计出最短 的放牧路线．
3、作角的平分线；
4、作线段的垂直平分线（中垂线）；
5、过直线上一点作直线的垂线； 6、过直线外一点作直线的垂线. 7、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三 角形; 8、已知底边和底边上的高作等腰三角形；
1. 作线段
已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
a
M
N
（1）先作射线AC； （2）用圆规量出线段MN 的长； （3）在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段
a P
b
方法总结
“1点+2线”型最短距离问题 要做两次轴对称，构造出最 短路径。
• 如图,已知∠AOB，P为∠AOB内的一点。在
OA上有一点M，OB上有一点N,当三角形
PMN的周长最小时，问M、N位置？（保留
画图痕迹，不要求写作法）
分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连PP＇＇，
与两直线交点即为M，N．
A
BD
C
E
F
G
当堂训练：1. 如图，P 为∠AOB 的边OA上一点， 你能用直尺和圆规过点P 作一条直线EF ，使得 EF∥OB吗？
A P
A
P
E
D
O
BO
C
B
当堂训练:
2.如图，要在长方形木板上截一个平行四边 形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上， 另一组对边中的一条边为AB。请过C点作出 与AB平行的另一条边。
北师版数学七年级下册角平分线的性质
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?
知2－讲
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对 称轴． 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等．
知2－讲
例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若 2cm ． BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为_____ 点D到AB的距离就是过点D作AB的 导引： 垂线段的长度．过D作DE⊥AB于E.
知2－练
怀化】如图，OP为∠AOB的平分线， 1 【2016· PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列
结论错误的是( B )
A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
知2－练
2 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB， 垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是 ( D )
D．角平分线上的点到角
两边的距离相等
知1－练
3 作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度 为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然 后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧， 使两弧相交于一点，则这个适当的长度为( A ) 1 1 A．大于 CD B．等于 CD 2 2 1 C．小于 CD D．以上都不对 2
知1－讲
到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线 导引： 上，到OA，OB距离相等的点在∠AOB的平分线上． (1)仓库应该建在MN的垂直平分线和∠AOB的平分线 解： 的交点P处．如图. (2)MN的垂直平分线l上的点到
M，N两点的距离相等，
∠AOB的平分线OC上的点到 OA，OB的距离相等．P为l和OC的交点，因此P点 即为所求．
AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若 AB＝6 cm，则△DBE的周长是( A ) A．6 cm B．7 cm
初中数学：三角形中垂线性质证明及练习题(附答案)
三角形中垂线性质及相关练习题（附答案）三角形的三条中垂线一定交于一点，称之为三角形的外心，之所以称之为三角形的外心，是因为它是三角形外接圆的圆心。
首先我们证明这个问题。
已知：如图8-21所示，PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。
求证：PD、NE、MF交于一点O。
思路：先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
然后再证明D是BC的中点。
证明：作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点，过O作OD⊥BC于D，其反向延长线与AB交于P。
∵MF⊥AB于F，AF=FB；∴OA=OB；∵NE⊥AC于E，AE=EC；∴OA=OC；∴OB=OC；∵OD⊥BC于D；∴POD是BC边上的中垂线。
∴NE、MF、PD交于一点O；即，三角形的三条中垂线交于一点。
结论：该证法采用直接证法，简单明了，其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。
相关练习题：一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.答案：一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD等腰6.60°三、1.略（2）内部斜边的中点外部四、类比联想：略。
轴对称作图大全含答案
AB AB《轴对称》画图专题训练1、画出线段AB的中垂线。
2、画出∠AOB的角平分线。
3、如图,在直线AB上找一点P,使PC=PD.4.(1)在AB上找一点P，使P到(2).在直线MN上找一点P点，使PM、N两点的距离相等。
到射线OA和OB的距离相等。
5.如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站,分别向A,B两个开发区运货.（1）若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离相等,那么货物中转站应建在哪里? （2）若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应建在哪里？ABBOAABM NBOANM解：如图所示：（1）要使货物中转站到A,B 两个开发区的距离相等，连接AB ，作AB 的中垂线与MN 的交点P 即为货物中转站的位置。
（2）由于两点之间线段最短，所以过点A 作A ’关于MN 对称，连接BA ’与MN 交于点P 即为货物中转站的位置。
6、如图，A 、B 、C 三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等。
解：如图所示：点P 即为所求7.、如图，l 1、l 2交于A 点，P 、Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l 1、l 2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等。
ACl 2解：作∠A 的角平分线l 3和PQ 的垂直平分线l 4，两线交 于点M ，M 即为所求点8、在铁路a 的同侧有两个工厂A 和B ，要在铁路边建一货场C ，使A 、B 两厂到货场C 的距离和最小，试在图上作出C 。
解：作点A 关于直线a 的对称点A'，连接A'B ，与直线工a 交于点C ，点C即为所求点9、如图所示，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 的两定点，在BC 上求一点M ，使△MEF的周长最短。
解：如图，点M 是所求的点 AaC10、△ABC 的顶点A 在∠EOD 的边OD 上， 11、直线l ，A ，B 两点在l 的两侧，B 、C 在∠EOD 内部，分别以OE 、OD 在l 上找一点C ，使C 到A ，B 为对称轴作关于△ABC 的对称图形。
简单的轴对称图形——垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在()ABC AB AC < 中，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，15cm AC =，ABE 的周长为24cm ，则AB 的长为．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点；作直线MN 交AB 于点E ．若16AB =，8AC =，则BE 长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D E 、．(1)若50DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)若ADE V 的周长为19cm ，求BC 的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在,,A B C 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边高线的交点处D ．A ∠，B ∠两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒．(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交BC 与点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）(2)若38ABC ∠=︒，求CAD ∠的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A ，B 所在的直线上建一图书室E ，并使图书室E 到本社区两所学校C 和D 的距离相等．已知CA AB ⊥，DB AB ⊥，垂足分别为A ，B ，且 2.5km AB =，1.5km CA =， 1.0km BD =．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E 到居民区A 的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A ，B ，C 之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥，如果6PC =，那么点P 到OA 的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若6,2AC DE ==，则ACD 的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知P 是AOB ∠平分线上一点，15AOP ∠=︒，CP OB ∥交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为D ，且6PC =，则OPC 的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 上一点，DE 平分ADC ∠，且AE 平分BAD ∠．(1)求证：ED AE ⊥；(2)求证：点E 为BC 的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线①求证：ABD ACD S AB S AC=△△；②另一方面，我们进一步探索，可以证明ABDACD S BD S CD= ．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于ABC 的角平分线AD 的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ∥交BA 的延长线于点E ．求证：BD BA CD EA=．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．(1)在线段AD 上任意取一点F ，过点F 作MN AD ⊥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，通过这样的作图能得到结论MF FN =，那么依据是_________．(2)如果=60B ∠︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，且AD 、CE 相交于点F ，求证：FE FD =．(3)如果100ACB ∠=︒，在边AB 上截取一点E ，连接CE ，使20ACE ∠=︒，连接DE ．请直接写出ADE ∠的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（）A ．在边AC ，BC 两条高的交点处B ．在边AC ，BC 两条中线的交点处C ．在边AC ，BC 两条垂直平分线的交点处D ．在ABC ∠和ACB ∠两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a ，b ，c ，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路OM ，ON 中间区域建有A ，B 两个温室花房．现要在两条马路OM ，ON 之间的空场处建鲜花交易中心P ，使得交易中心P 到两条马路OM ，ON 的距离相等，且到两个温室花房A ，B 的距离也相等．如何确定交易中心P 的位置?如图2，利用尺规作图求作点P （不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知ABC ，CA CB =，ACD ∠是ABC 的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP 平分ACD ∠．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：CP AB ∥．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．(1)若110ACD ∠=︒，求MAB ∠的度数；(2)若CN AM ⊥，垂足为N ，求证：ACN MCN △≌△．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，100,BAC AB AC ∠=︒>．若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（）A ．20︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，534BC AC AB ===，，，点D 是ABC ACB ∠∠，的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．3.53．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线交于点P ，连结BP ，CP ，若50A ∠=︒，则BPC ∠=（）A ．100︒B ．95︒C ．90︒D ．50︒4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，54B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧交AB 于点D ，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF ∠的度数是（）A ．25︒B ．20︒C ．18︒D ．15︒5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①ABE 的面积BCE =△的面积；②=AFG AGF ∠∠；③2FAG ACF ∠=∠；④AF FB =．A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，ABC 的面积是12，8AB =，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是线段AD ，AC 上的动点，则CM MN +的最小值是．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，100A ∠=︒，点D 是BC 上的一点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，则EDF ∠=．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段6AB =，点P 为线段AB 上一动点，以PB 为边作等边PBC ，以PC 为直角边，CPE ∠为直角，在PBC 同侧构造Rt PCE △，点M 为EC 的中点，连接AM ，则AM 的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A 、B 是两个村庄，12L L 、是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD DE =，连接AE ．(1)求证：AB EC =；(2)若ABC 的周长为42cm ，16cm AC =，求DC 的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若75BAC ∠=︒，求B ∠的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B Ð=°探究：如图2，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B ∠<︒，求证：DB DC =．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在ABC 中，AC CB ≠，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于点M 、N ，垂足分别为点D 、E ，分别延长DM 和EN ，相交于点F ．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现MCN ∠与ACB ∠存在一定的数量关系，于是他通过举例的方式进行研究：(1)当100ACB ∠=︒时，MCN ∠=________；当80ACB ∠=︒时，MCN ∠=________．(2)当ACB m ∠=时，求MCN ∠的度数（用含m 的代数式表示，写出推理过程）．(3)当50DFE ∠=︒时，MCN ∠=________°．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等边ABC ，点N 是边AB 上一点，以BN 为边向外作等边BNM ，连AM 、CN ．(1)如图1，求证：AM CN =；(2)如图2，若CN AB⊥，判断BC与MN的关系并证明；(3)如图3，在（2）下，连MC，以MC为边向下作等边MCP，设MC交AB于G，连PG，求证：12PMG PCGS S=△△．。
初中数学常见辅助线的做法
初中数学常见辅助线的做法一、中点模型的构造1.已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：(1)倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形.如图1、图2所示.(2)三角形中位线定理.2.已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.3.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一二4.有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如：直角三角形中斜边中点, 等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加.二、角平分线模型的构造与角平分线有关的常用辅助线作法,即角平分线的四大基本模型.已知。
是4MON平分线上一点，(1)若以_L 0M于点4 ,如图1,可以过户点作PB1ON于点&则与二以.可记为“图中有角平分线, 可向两边作垂线”.(2)若点4是射线0M上任意一点，如图2,可以在ON上截取(用=0/1 ,连接/7人构造△()*?三△ /%.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现二⑶若翼妆舔踹嚼鼠3耳以黠部交0N于点从周造A4 0H基尊健三角形/是底边4加勺中点.可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看二(4)若过P点作PQ//0N交0M于点0,如图4,可以构造△P0Q是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现二三、轴对称模型的构造下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形.(1 )线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称.(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称.(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称.(4)路径最短问题，基本上运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解.所以最短路径问题，需考虑轴对称.几何最值问题的儿种题型及解题作图方法如下表所示.四、圆中辅助线构造在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对.提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
中考复习 轴对称与图案设计(含答案)
中考系列复习之（1）轴对称一、基础知识梳理（一）主要概念1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，•直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．3．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（二）主要性质1．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．3．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．4．两个图形关于某条直线成轴对称，•则对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对就角相等．二、考点与命题趋向分析（一）能力1．通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，•理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．2．能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；•探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．3．探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、•圆）的轴对称性及其相关性质．4．欣赏现实生活中的轴对称图形，•结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．5．了解角平分线及其性质．6．了解线段垂直平分线及其性质．7．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．（二）命题趋向分析1．中考中常在拼图中考查轴对称的有关概念，考查学生动手操作能力．【例1】（2001年福建省福州市）两个全等的三角板，•可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【思路分析】只要对轴对称图形的概念清楚，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下．【解】2．有些找规律题也利用轴对称图形出题．【例2】（2004年烟台市）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5•个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）①F R P J L G □；②H I O □③N S □；④B C K E □⑤V A T Y W U □A．Q X Z W D B．D M Q Z X C．Z X M D Q D．Q X Z D M 【思路分析】第①组不是中心对称图形，也不是轴对称图形，应填Q；第②组既是中心对称图形，也是轴对称图形，应填X；第③组是中心对称图形，不是轴对称图形，应填Z；第④组不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条水平线，应填D；第⑤组也不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条竖线，应填M．【解】选D三、解题方法与技巧方法1：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=•AC=8，BC=6，求△BDC 周长．【解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴点B 、A 关于BD 轴对称∴AD=BD∴△BCD 的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC ∵AC=8，BC=6∴△BCD 周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a 同侧有两个居民小区A 、B ，•现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A 、B 的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a 和a 的同侧两点A 、B ，如同所示．求作：点C ，使C 在直线a 上，并且使AC+BC 最小．作法：1．作A 点关于直线a 的对称点A ′．2．连结A ′B 交直线a 于点C ，则C 就是所求作的点． 【规律总结】本题通过作点A 关于直线a 的对称点A 把AC+BC 的和最短问题转化为A ′、B 两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。
重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案.doc
第四节尺规作图课标呈现——指引方向1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线：过一点作已知直线的垂线．2．会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆：作三角形的外接圆、内切圆：作圆的内接正方形和正六边形．4．在尺规作图中，了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法，考点梳理——夯实基础1．格作图：利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在格中作图称为格作图2．尺规作图(1)尺规作图的定义：在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．(2)五种基本尺规作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作一个角的角平分线：④作线段的垂直平分线：⑤经过一点作已知直线的垂线．(3)尺规作图的步骤：①已知：写出已知的线段和角，画出图形：②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，⑤对所作图形下结论．(4)作三角形：①已知三边作三角形；②已知两边及其夹角作三角形：③已知两角及其夹边作三角形：④已知底边及底边上的高作等腰三角形．(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．考点精析——专题突破【例1】（2019四川巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图，请根据条件画出变换后的三角形．(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1；(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2．(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【答案】解题点拨：作图平移变换、轴对称、中心对称，图略【例2】（2019四川凉山州）如图，在边长为1的正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A(4，3)、B(4，1)，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1 B1C．(1)画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标；(2)求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】解题点拨：(1)根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；(2)利用勾股定理求出AC 酌长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．解：(1)所求作△A 1B 1C 如图所示：由A(4，3)、B(4，1)可建立如图所示坐标系，则点Ai 的坐标为（-1，4），点Bi 的坐标为(1，4)； (2)∵AC=22222313AB BC +=+=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为：S 扇形CAA 1+S△ABC 290(13)1323602π⋅=+⨯⨯ 1334π=+【例3】（2019育才）两个城镇A 、B 与两条公路ME ，MF 位置如图所示，其中ME 是东西方向的公路．现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条公路ME ，MF 的距离也必须相等，且在∠FME 的内部，那么点C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C ．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】解题点拨：此题考查了尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键．到A、B距离相等则作线段AB的垂直平分线，到ME、MF距离相等则作∠FME的角平分线，它们的交点即为所求．解：答案如图：1．（2019浙江舟山）数掌活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q”．分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是 ( )【答案】A2．（2019湖北宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是 ( )A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形 D．△EHF为等腰三角形第2题【答案】B3．（2019吉林长春）如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D;连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为．第3题【答案】104．已知：如图，∠α，∠β，线段m.求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=m．第4题【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．第4题答案图A组基础训练一、选择题1.（2019河北）如图，已知△ABC（AC<BC）,用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题【答案】B2．（2019重庆育才）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS第2题【答案】C3．（2019西大附中）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是 ( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形第3题【答案】B4．（2019河北）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹，步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，与弧①交于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H 。
专题三 无刻度直尺画图中的轴对称
圆的专题三：无刻度直尺画图中的轴对称1.如图，在△AB C中AB=AC，D点为边BC的中点，（1）如图1，点P为边AB上面任意一点，请在AC上找一点Q，使得AQ=AP，保留作图痕迹，不用证明.图1图2图3图4【变式训练1】如图2，连AD，在AD上面画一点H，使得∠AHP=90°；【变式训练2】如图3，在AC上面画一点R，PR∥BC.（2）如图4，点F为线段BD上任意一点，请在CD上找一点G，使得CG=BF，保留作图痕迹，不用证明.【利用三线交于同一点解题】2.在三角形中，三边的高或高的延长线交于一点，这个交点我们叫做三角形的垂心，请根据上述性质，完成下列各题，不用说明理由，保留作图痕迹即可.(1)如图1，△ABC的各顶点在以AB为直径的半圆上，则△ABC的垂心是；(2)如图2，只用不带刻度的直尺（不能用圆规），从半圆外的C点向直径AB作垂线（不写画法）；(3)如图3，作图工具要求不变，从C点向直径AB的延长线作垂线（不写画法）；图1图2图33．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果），如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．【利用轴对称找相等的圆周角，再得弦相等】【2021元调】4．如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P，并画弦BD，使BD平分∠ABC；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P，并画弦FG，使FG＝FA．5．（1）如图1，已知：A、B为格点，C为圆上一点，求作∠ACB的平分线CD，交圆于点D；（2）如图2，已知：A、B、D均为格点，P为圆与格线的交点，在圆上求作一点B，使∠CAP=∠BAP.（3）A、P、B均为格点，C为圆与格线的交点，在圆上求作一点M，使得AC=MC.图1图2图36．如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.用无刻度的直尺作图：（1）在图1中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l；（2）在图2中画出△ABC的外接圆的一条切线AD；（3）在图2中画出△ABC关于直线AB对称的△ABE；（4）在图2中若CE交AB于点H，画出平行四边形HACF.图1图2【利用圆周角定理或者圆内接四边形对角互补的性质画图】7．（本题8分）请仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹．（1）如图1，点O是等腰△ABC底边BC的中点，E是AB上一点，请在AC上作出点F，使EF∥BC；（2）如图2，△ABC为⊙O的内接三角形，请在AB，AC上分别作出点M，N，使MN∥BC；8.（本题8分）如图，已知A，B，C均在⊙O上，请用无刻度的直尺作图．（1）如图1，若点D是AC的中点，试画出∠B的平分线；（4分）（2）若∠A=42°，点D在弦BC上，在图2中画出一个含48°角的直角三角形.（4分）9．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠BAC＝70°，请画出要求的角，并标注．（1）画一个140°的圆心角；（2）画一个110°的圆周角；（3）画一个20°的圆周角．【武昌区七校】10.图1、图2是正八边形，DH 是对角线，图3是圆内接正五边形，请用无刻度的直尺，完成下列要求（辅助线画虚线，要求所作的线画实线）：（1）如图1，在DH 上取点P ，使得PA ＝PB ；（2）如图2，在DH 上取点P ，使得PA+PB 最小；（3）如图3，在圆上取点P ，使得圆周角∠PAB ＝126°．11.【洪山区】(1)如图1，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点在格点上，过点A 画一条直线平分△ABC 的面积(2)如图2，点E 在正方形ABCD 的内部，且EB＝EC，过点E 画一条射线平分∠BEC(3)如图3，点A、B、C 均在⊙O 上，且∠BAC＝120°，在优弧BC 上画M、N 两点，使∠MAN＝60°【三寄宿】12.请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画圏痕迹.(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆的一条直径;(2)如图2, ABC 内接于⊙O ,∠BAC=50°,在图中画一个含有50°的直角三角形;(3)如图3,BA,BD 是⊙O 中的两条弦，C 是BD 上一点，∠BAC=50°,在图中画一个含有50°角的直角三角形;F G H AB C D E 图1F G H A B C D E图2A C B D O E 图3。
八年级数学上册 16 轴对称和中心对称图形 专题练习 线段垂直平分线与角平分线的综合应用 (新版)冀
专题一线段垂直平分线与角平分线的综合应用1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交O M于点B，过点A 作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm，则△OBC的面积为 ________cm2．3.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．专题二利用角平分线的性质求三角形的面积4.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC 的面积是______．5.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30 m，40 m，50 m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.参考答案1.C 解析：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA，∴△ADC≌△ADE.∴∠ADC=∠ADE ，AC=AE ，∵BE+AE=AB ，∴BE+AC=AB.因为在直角△BDE 中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC 中∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.∵△ADC ≌△ADE ，∴AC=AE ，DC=DE ，∴A 、D 两点在线段EC 的垂直平分线上.2.20 解析：作CE ⊥OM ，垂足为E.∵点B 在OA 的垂直平分线上，∴BO=BA=10 cm.∵OP 是∠MON 的角平分线，C A ⊥ON ，CE ⊥OM ，∴CE=CA=4 cm ，∴)(20410212cm S OBC =⨯⨯=∆. 3. 45° 解析：易证△AEF ≌△DEF ，∴∠ADF=∠DAF.又∵∠ADF=∠B+∠BAD ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ，∵∠BAD=∠DAC ，∴∠FAC=∠B=45°．4.42 解析：作OE ⊥AB ，作OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE=OF=OD=4, 1()4=422ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC =++=⨯++⨯△△△△. 5.解：如图所示：分别作∠ABC ，∠ACB 的平分线，交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，则::3:4:5ABD ADC BDC S S S =△△△.。
苏科版八年级上册第二章轴对称图形角平分线和垂直平分线专项训练(Word版无答案)
苏科版八年级上册第二章轴对称图形 角平分线和垂直平分线专项训练（ Word 版无答案）A 三条边的垂直平分线的交点B 三条高的交点C 三条中线的交点D 三条角平分线的交点D 、PD= OD垂直平分线、角平分线专项训练1. 回顾垂直平分线与角平分线的尺规作图方法。
2.村庄铺水管问题，到两个村庄和两条路距离距离相等问题（垂直平分线、角平分线的尺规作图运用）。
（教案垂直平分线部分的第 11题） 3.垂直平分线与角平分线的性质。
基础巩固 角平分线部分、填空题CF.7•如图，已知 AB CD 相交于点 E,Z AEC 及/ AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN 则直线 MNW PQ 的关系是9 •点 0是厶ABC 内一点，且点 O 到三边的距离相等，/ A =60°,则/ BOC 的度数为 10.在△ ABC 中，/ C =90°, AD 平分/ BAC 交 B C 于 D,若 BC =32，且 BD ： C D=9 : 7,贝UD 到 AB 的距离为二、选择题11•三角形中到三边距离相等的点是（1.已知：△ ABC 中，/ B =90°, / A 、/ C 的平分线交于点 O,则/ AOC 勺度数为 角平分线上的点到 距离相等；至L 个角的两边距离相等的点都在M , M 到OA 的距离为 / AOB 勺平分线上一点如图，/ AOB 6O ° CD L OA 于 D, CEL OB 于1.5 cm 贝y M 到OB 的距离为E,且 CD=CE 则/DOC如图，在△ ABC 中，/ C =90° AD 是角平分线,DEL AB 于 E ,且 DE=3 cm,BD=5BC = cm6•如图，CD 为Rt △ ABC 斜边上的高，/ BAC 的平分线分别交 CD CB 于点 E 、F , FGL AB,垂足为 G,贝U CF FGCE8.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到相等.C Q可供选择的地址有（ )A 1处B 2处C 3处D 4处14.如图，△ ABC 中， / O 90°, AC= BC AD 平分/ CAB 交BC 于 D, DE L AB 于 E ,且 AB = 6皿，则厶DEB 的周长为（ ）A 4 cmB 6 cmC 10 cmD 不能确定16.如图在厶 ABC 中，/ ACE =90°, BE 平分/ ABC DE I AB 于 D,如果 AC =3 17.如图，已知 AB=AC AE =AF , BE 与CF 交于点 D ,则对于下列结论：①△ 在/ BAC15.如图，MPL NP,皿0为厶MNP 勺角平分线, M4 MP 连接TQ 贝U 下列结论中不正确的是（A TQ= PQB 、/ MQT=/ MQPC 、/ QTN= 90° 第15题 R第16題)BD / NQT=站17题cm 那么AE +DE 等于（A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cmABE ^A ACF ;②厶 BDF ^A CDE ③ DA.① BP C.①和② D.①②③18.如图，AB=AD, CB=CD AC BD 相交于点 O,则下列结论正确的是（A. OA=OCB.点 O 到 AB CD 的距离相等C./ BDA=/ BDC D.点 O 到 CB CD 的距离相等19.A ABC 中，/ C =90°,点 0为厶ABC 三条角平分线的交点， ODL BC 于 AC BC 的距离为（ AB =10cm, BC=8cm AC=6cm 则点 O 到三边 ABD, )A . 2cm, 2cm, 2cm; B. 3 cm, 3cm, 3cm; 20.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（A 两个三角形全等 C. 4 cm, 4 cm, 4cm; )D. 2 cm, 3 cm, 5cm B 如果还有 C 两个三角形一定不全等角相等，两三角形就全等D 如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等的平分线上.其中正确的是（三、解答与证明（共 30分）21.如图，已知 OE OD 分别平分/ AOB 和/ BOC 若/ AO 号90°, /22.如图，已知△ ABC 中 , AB=AC D 是 BC 的中点，求证： D 到 ABABAC, AD=AE, DB 与 CE 相交于 O ⑴若 DBLAC 于 D, CE! AB 于E ,试判断 OE 与 OD 的大小 ?试说明理由.23.如图, 已知 BE 丄AC 于 E , CF 丄AB 于F , BE CF 相交于点 D,若24.如图, 已知 BE 平分/ ABC CE 平分/ ACD 且交 BE 于E .求证: C BDBD=CD 求证：AD 平分/ BACAE 平分/ FACEOD=70° ,求/ BOC 的度数. AC 的距离相等•已知25.如图, 关系.并26.如图，/ E=Z （=90°, M 是BC 的中点，DM 平分/ ADC 求证：AM 平分/ DAB垂直平分线部分1.如图1,下列说法正确的是（）A.若AC=B （贝U CD 是线段的垂直平分线；B.若AD=DB 贝U AC=BCC. 若CDL AB 贝U AC=BC;D.若CD 是线段AB 的垂直平分线，贝U AC=BC3.如图 2, Rt △ ABC 中，/ C=90°, DE 是 AB 的垂直平分线， AD 分/ CAD / DAB=27.如图6,点。