2014年高考双曲线专题复习总结
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距两准线的距离;通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点长加短减原则：构成满足与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的.位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
双曲线 高考数学知识点总结 高考数学真题复习
§9.6双曲线2014高考会这样考 1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应用．复习备考要这样做 1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程，理解双曲线的基本量对图形、性质的影响；2.理解数形结合思想，掌握解决直线与双曲线问题的通法．1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[难点正本 疑点清源]1． 双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|.这两点与椭圆的定义有本质的不同． 2． 渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1． (2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1. 由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.2． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 答案 2解析 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.3． (2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1， 所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.4． 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B ．5C. 2D ．2答案 A解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为bca 2＋b 2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2， ∴离心率e ＝ca＝ 5.5． (2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为 ( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8答案 C解析 设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴|AB |＝216－a 2＝43，∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.题型一 求双曲线的标准方程例1 (1)(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________． 思维启迪：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c .答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274， 所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.探究提高 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.题型二 双曲线的几何性质例2 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．思维启迪： (1)分别设出椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1 (m >0，n >0)．(2)由已知条件分别求出a 、b 、m 、n 的值．(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cos ∠F 1PF 2.解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线半实、虚轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝47·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.探究提高 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.(1)(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)(2011·浙江)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2答案 (1)C (2)C解析 (1)由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4， ∴a ＝2，c ＝2.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. (2)由题意知，a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12.题型三 直线与双曲线的位置关系例3 过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求|AB |；求O 到直线的距离，代入面积公式得△AOB 的面积． (1)解 由双曲线的方程得a ＝3，b ＝6，∴c ＝a 2＋b 2＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝33(x －3)，x 23－y26＝1，得5x 2＋6x －27＝0. ∴x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝43·3625＋1085＝1635. (2)解 直线AB 的方程变形为3x －3y －33＝0. ∴原点O 到直线AB 的距离为d ＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32. ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×1635×32＝1235.探究提高 双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.忽视“判别式”致误典例：(12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误． 规范解答解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．[2分] 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0)．① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分]当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[12分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧1． 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．2． 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程． 失误与防范1． 区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2． 双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3． 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .4． 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5． 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±bax ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .② 由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.2． (2012·福建)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 ( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5， ∴a 2＝4.∴e ＝c a ＝32.3． 设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 答案 A解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.4． (2011·课标全国)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知中心在原点的双曲线C ，过点P (2，3)且离心率为2，则双曲线C 的标准方程为______________________． 答案 x 23－y 29＝1或y 253－x 25＝1解析 ∵双曲线C 的离心率为2，∴2＝1＋b 2a 2，∴ba＝3， ∴可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 23a 2＝1或y 2a 2－x 23a 2＝1，把P (2，3)代入得，a 2＝3或a 2＝53，∴所求双曲线C 的标准方程为x 23－y 29＝1或y 253－x 25＝1.6． 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________.答案 －14解析 由题意知a 2＝1，b 2＝－1m，则a ＝1，b ＝－1m. ∴－1m ＝2，解得m ＝－14. 7． 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 答案62解析 如图，∠B 1F 1B 2＝60°， 则c ＝3b ，即c 2＝3b 2， 由c 2＝3(c 2－a 2)， 得c 2a 2＝32，则e ＝62. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.∴|5a |b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.9． (12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 方法一 由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0. 方法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－bc ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.2． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2，＋∞)答案 D解析 根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b 2a >a ＋c ，即b 2>a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.3． 若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞答案 B解析 由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1.OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1＝43⎝⎛⎭⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3， 故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·重庆)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1相交，由⎩⎨⎧y ＝b 3ax ，x 2a 2－y 2b 2＝1消去y 得x ＝32a4，又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝324.5． 设点F 1，F 2是双曲线x 2－y 23＝1的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 315解析 据题意，|PF 1|＝43|PF 2|，且|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝4，在△PF 1F 2中，由余弦定理得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝78.所以sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝158， 所以S △PF 1F 2＝12×6×8×158＝315.6． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53， 即e 的最大值为53. 三、解答题7． (13分)直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0. 解得k 的取值范围是－2<k <－ 2. (2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2k 2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0. 解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)， 可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习1. 双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222c a b =+），焦点在y 轴上时2222-b x a y ＝1（0a b >>）。
双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>这样设的好处是为了计算方便。
（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。
）例一：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。
）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线2. 双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-2222>>=b a by a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=，双曲线⇔1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。
⑥通径22b a（2）渐近线：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________例四：双曲线1422=+by x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________例五：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的一条渐近线l 于)36,33(P ．求该双曲线的方程为：3．直线与双曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交或直线与渐近线平行。
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结知识点梳理： 1. 双曲线的定义第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222>=-b a by a x )0,(12222>=-b a bx a y 图像性 质焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 (1,)ce a=∈+∞ 渐近线x aby ±= x ba y ±= 2．共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝c ，tan ∠AOB＝ba ， △OF 2D 中，|F 2D |＝b .4. 注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 5. 注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 214＝1D. x 22－y 214＝1或x ＝0解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b ＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1. 由①②③④可知选D.练习1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》---------双曲线主要知识点1、 双曲线的定义:(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：2、 双曲线的标准方程：注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22221(0,0)x y a b b a-=>>），则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。
（2）待定系数法求双曲线的方程①与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；②若双曲线的渐近线方程是by x a=±，则双曲线的方程可表示为_____________________；③与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；⑤与椭圆22221x y a b+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
高三双曲线知识点总结
高三双曲线知识点总结双曲线是高三数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分和物理等领域都有广泛的应用。
本文将对高三双曲线的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、双曲线的定义和性质1. 定义：双曲线是平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
2. 式子：双曲线的标准方程可以表示为x²/a² - y²/b² = 1（a>0,b>0）。
3. 中心与焦点：双曲线的中心为原点O(0,0)，焦点位于x轴上的点F1(a,0)和F2(-a,0)。
4. 焦距和离心率：焦距为F1F2 = 2a，离心率为e = c/a，其中c 为焦点到中心的距离。
二、双曲线的图像与性质1. 分类：根据离心率的不同取值，双曲线可分为椭圆、抛物线和双曲线三种情况。
a) 当离心率e<1时，双曲线为两支开口朝左右的曲线，称为实双曲线。
b) 当离心率e=1时，双曲线为无限远点的开口朝左右的曲线，称为渐近双曲线。
c) 当离心率e>1时，双曲线为一对开口朝左右的曲线，称为虚双曲线。
2. 图像：实双曲线的图像为对称于x轴和y轴的两支曲线，并且与渐近线相交于无穷远处。
3. 渐近线：实双曲线的渐近线可用直线y = ±b/a * x表示。
4. 对称性：实双曲线关于x轴、y轴和原点对称。
5. 参数方程：双曲线的参数方程可表示为x = a * secθ，y = b * tanθ。
三、双曲线的基本变形1. 平移：双曲线可以通过平移变形到不同的位置，平移后的双曲线的中心坐标发生相应改变，但离心率、焦点等性质保持不变。
2. 伸缩：双曲线可以通过伸缩变形到不同的大小，伸缩后的双曲线的离心率、焦点等性质发生相应改变，但中心坐标保持不变。
四、双曲线的应用1. 物理学：双曲线在物理学中广泛应用于描述光学、天体力学等问题，如光的反射和折射、行星的轨道等。
2. 工程学：双曲线在工程学中常用于设计桥梁、天线等结构，以满足特定的要求和条件。
高中数学双曲线知识点归纳总结
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。
具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。
在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。
二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。
对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。
2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。
3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。
双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。
4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。
5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。
6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。
三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。
在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。
四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。
双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。
五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
2014届高考数学一轮复习讲义：8.5双曲线
(4)双曲线的渐近线 经过 A1、A2 任作平行 y 轴的平行线 x＝±a，经过 B1、B2 作 x 轴 的平行线 y＝±b，四条直线围成一个矩形，矩形两条对角线的方程 y ＝±bax，双曲线xa22－by22＝1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接 近．
我们把 y＝±bax 叫作双曲线的渐近线．
注意：①双曲线有渐近线这是双曲线与椭圆和抛物线的最大不
同．
②画双曲线的图像一般要先画双曲线的渐近线，这样精确．
③在双曲线方程xa22－yb22＝1 中，若 a＝b，那么双曲线的方程为 x2－y2＝a2，渐近线方程为 y＝±x，它们互相垂直，实轴与虚轴等长，
这样的双曲线称为等轴双曲线．
④渐近线的记法只需把“xa22－ yb22＝ 1”中的“1”换成 “0”即
(6)与双曲线xa22－ yb22＝1(a＞ 0， b＞0)共焦点的圆锥曲线方程为
x2 a2－
λ－b2y＋2
＝ λ
1(λ＜
a2，且
λ≠－b2)．
3．双曲线的几何性质(以标准方程xa22－by22＝1(a，b＞0)为例) (1)双曲线的范围(如图所示)
由双曲线方程xa22－by22＝1 可知xa22≥1，从而 x≤－a 或 x≥a，双曲 线在两直线 x＝a，x＝－a 的外侧，是无限延伸的．需要指出的是， 双曲线在直线 x＝－a 和 x＝a 之间没有图像，当|x|无限增大时，|y| 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线．
∴ac11＝＝51，3，
∴焦距为 2c1＝10， 又∵8＜10，∴曲线 C2 是双曲线，设其方程为xa222－yb222＝1(a2＞0，
b2＞0)，
则 a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32， ∴曲线 C2 的方程为4x22－3y22＝1.
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线
2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。
※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC ==-∴-=。
又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴<|1C 2C |。
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。
222222,4,141(214a c b c a x y M x ==∴=-=∴-=≥点的轨迹方程是 （二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。
同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线 （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。
高考复习—双曲线相关知识点概要
第一部分双曲线相关知识点讲解一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：到两个定点F1与F2 的距离之差的绝对值等于定长（< |F1F2|）的点的轨迹（PF1 PF2 2a F1F2 （a为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a<|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2 为端点向外的两条射线；当2a> | F1F2| 时，动点轨迹不存在.2 2 2 22.双曲线的标准方程：x2y2 1和y2x2 1（a>0，b>0）.这里b2 c2 a2，a2b2a2b2其中| F1F2|=2c. 要注意这里的a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：221(a 0,b 0) 的内部x02y20 1.a 2b2221(a 0,b 0) 的外部x02y20 1.ab四．双曲线的简单几何性质x 2y2(1) 点P( x0 , y0)在双曲线点在2 2 2 2 yby 2 2 2 2 2x2x三. 双曲线的方程与渐近线方程的关系22x 2y21 渐近线方程：a2b2y bx a2（1 ）若双曲线方程为22xy22abaxby 0 双曲线可设为2x2aby x.a2y.b2.2（3）若双曲线y2 1有公共渐近线，a b2轴上，0，焦点在y 轴上）. 2 可设为x2 a22yb2 焦点在xx2－y2=1（a>0，b> 0）a2b2⑴范围：|x|≥a，y∈R⑵对称性：关于 x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点 A 1（－ a ， 0），A 2（ a ， 0） ⑷渐近线： x2 y 2x2 y 2①若双曲线方程为 2 2 1 渐近线方程 2 2 0 y xa b a b a22 ②若渐近线方程为 y bx x y 0 双曲线可设为 x 2 y 2a ab a 2 b 222 2 2③若双曲线与 x 2y2 1有公共渐近线，可设为 x 2y2（ 0 ，焦点a bab在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）222 2④与双曲线 x2 y2 1共渐近线的双曲线系方程是 x2 y2 （ 0）a 2b 2a 2 b22222⑤与双曲线 x2y 21共焦点的双曲线系方程是 2x2y 1 a2 b 2a 2 kb 2k6.弦长公式：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A 、B ，且x 1,x 2分别五．双曲线 x 2 y 2 1(a,b 0) 与 y 2x 2 1(a,b 0) 的区别和联系a2b 2a2 b 22 2 2 2为A、B的横坐标，则AB＝ 1 k2 x1 x2 ，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝y1 y2 。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长＜|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点：1距离之差的绝对值;22a ＜|F 1F 2|;当|MF 1|－|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee ＞1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上：12222=-b y a x a ＞0,b ＞0焦点在y 轴上：12222=-bx a y a ＞0,b ＞01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a ＞0,b ＞0上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a ＞0,b ＞0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =； 2;离心率2=e ；3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±； 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠； 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点； b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点；20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点； 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点；0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2＞0,b ＞0⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．图3解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 十四、双曲线中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!2．设集合P＝错误!,Q＝{x,y|x－2y＋1＝0},记A＝P∩Q,则集合A中元素的个数是A．3 B．1 C．2 D．43．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为A．2 B．3 C．4 D．54．双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,－2,则它的离心率为6．设双曲线错误!－错误!＝1a>0的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为A．4 B．3 C．2 D．17．从错误!－错误!＝1其中m,n∈{－1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆x－32＋y2＝r2r>0相切,则r＝B．3 C．4 D．6图K51－19．如图K51－1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB＝2AD,设∠DAB＝θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2＝________.10．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的一条渐近线方程为y＝错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________．12．13分双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且经过点错误!,4．1求双曲线C的方程；2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝120°,求△F1PF2的面积．13．16分已知双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝60°,则|PF1|·|PF2|＝A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A ．12-B ．2C ．12+D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,满分15分8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________． 三、解答题：本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12．本小题满分20分已知三点P5,2、1F －6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；2设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1．C解析双曲线方程可化为错误!－错误!＝1,所以a2＝4,得a＝2,所以2a＝4.故实轴长为4.2．B解析由于直线x－2y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1的渐近线y＝错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B解析双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x－4y＝0,由点到直线的距离公式可得d＝错误!＝3.故选B.解析双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线是错误!－错误!＝1,所以a＝3,b＝错误!,所以c＝4,所以离心率e＝错误!.能力提升5．D解析设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y＝±错误!x,因为点4,－2在渐近线上,所以错误!＝错误!.根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!,所以e＝错误!,故选D.6．C解析根据双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程得：y＝±错误!x,即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0,所以有a＝2,故选C.7．B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种：2,－1,3,－1,－1,－1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P＝错误!.故选B.8．A解析双曲线的渐近线为y＝±错误!x,圆心为3,0,所以半径r＝错误!＝错误!.故选A.9．1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB＝2,则DM＝sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD＝错误!,所以e1＝错误!＝错误!,e2＝错误!＝错误!,所以e1·e2＝1.10．2,＋∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°＝错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.－错误!＝1解析错误!＝错误!,即b＝错误!a,而c＝6,所以b2＝3a2＝336－b2,得b2＝27,a2＝9,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.12．解答1椭圆的焦点为F10,－3,F20,3．设双曲线的方程为错误!－错误!＝1,则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!－错误!＝1,②解①②得a2＝4,b2＝5或a2＝36,b2＝－27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1.2由双曲线C的方程,知a＝2,b＝错误!,c＝3.设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则|m－n|＝2a＝4,平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2＝m2＋n2－2mn cos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝错误!,所以△F1PF2的面积为S＝错误!mn sin120°＝错误!.难点突破13．1B2B解析1依题意有错误!·错误!＝1,化简整理得a2＋b2＝m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°＝错误!,＝错误!,＝错误!＋1＝错误!＋1.因为b＝1,所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.一、选择题1．D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2．C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4．A.5． A 思路分析：设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析：考察圆锥曲线的相关运算6． C 思路分析：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10． (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x += 12．1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； 2点P5,2、1F －6,0、2F 6,0关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结椭圆、双曲
椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式： 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质（特别是离心率），以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题2以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大.主干知识梳理…考点一圆锥曲线的定义与标准方程2 2 2xv y 2例1 (1)设椭圆2+ m= 1和双曲线3 —x2= 1的公共焦点分别为F、F2, P为这两条曲线的2 rm 3一个交点，则| PF| •〔P冋的值等于__________ .(2)已知直线y= k(x + 2)( k> 0)与抛物线C： y2= 8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若| FA = 2|FB，则k = __________________ .答案(1)3 ⑵乎解析(1)焦点坐标为(0, ± 2),由此得m—2= 4,故m= 6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF| + |PR| = 2寸6, || PF| —|PB|| = 2击,两式平方相减得4|PF|| P冋=4X 3,所以| PF| • PF = 3.(2)方法一抛物线C: y2= 8x的准线为I : x = —2，直线y= k(x+ 2)( k> 0)恒过定点R —2,0).如图，过A、B分别作AM L I于点MBNL l于点N由|FA = 2| FB|，则|AM = 2|BN，点B 为AP的中点.1连接OB 则|OB = 2I AF ,•••IOB = | BF，点B的横坐标为1,故点B的坐标为（1,2 .：2）.2迈—0 式2•k= 1- ' - 2 = 3 .方法二如图，由图可知，BB' = BF, AA = AF,又|AF = 2| BF| ,•| BQ = | BB | 1•|Aq = | AA | = 2,即B是AC的中点.2X B =X A— 2,•与2y B= y Ay A= 8X A,2y B= 8X B,联立可得A (4,4⑵,B (1,2 ：2).(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求 |PF | + | PF 2| > | F i F a |，双曲线的定义中要求 || PF | - | PF 2|| < | F i F a |，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. ⑵ 注意数形结合，提倡画出合理草图. C ： L 单=1(a >b >0)的离心率为£a b 2(1)(2012 •山东)已知椭圆.双曲线x 2- y 2=近线与椭圆C 有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆C 的方程为2 2x yA. — += 12 2x yB.+ = 1 12 6(2)如图，过抛物线 2 2x y D .20+弋=1y 2= 2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点 交其准线I 于点C,若|BC = 2|BF ，且|AF = 3,则此抛物线的方程A. 2y = 9x B . y 2= 6x C. 2y = 3xD. y 2= ;3xA , B,⑵如图，分别过A, B作AA丄I于A, BB丄I于B,由抛物线的定义知，|AF = |AA| , |BF = |BB| , ry F/ r1 J rjl" / _答案(1)D (2)C解析(1) T椭圆的离心率为卫-C亠色^ —• a= 2b. •椭圆方程为x2+ 4y2= 4b2.T双曲线x2- y2= 1的渐近线方程为x± y = 0,渐近线x ± y= 0与椭圆x2+ 4y2= 4b2在第一象限的交点为•••由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 2a = 4b = 20.2 2 •椭圆C的方程为20+5 = 1竽b x=4, • b = 5,Hi -•••| Bq = 2| BF | Bq = 2| BB | ,•••/ BCB= 30°,.・./ AFx= 60°. 连接人尸，则厶AAF 为等边三角形， 过F 作FF 丄AA 于F i ,贝U F i 为AA 的中点，1 1 32设I 交x 轴于N 则|NF = | AF i | = qI AA l = J AF ，即p = -,•抛物线方程为 y 2= 3x , 故选C .考点二圆锥曲线的几何性质2 x(1) (2013 •辽宁)已知椭圆C ：2+ a4交于A,B 两点，连接AF, BF.若| AB = 10, | BF = 8, cos / ABF ^-,则C 的离心率为()52 2x y⑵ 已知双曲线--2= 1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支a b上，且| PF | = 4| PF |，则双曲线的离心率 e 的最大值为 ____________5答案(1)B⑵3解析 (1)在厶ABF 中，由余弦定理得| AF 2= | AB 2+ | BF 2- 2| AB •丨 BF cos / ABF2•••|AF = 100 + 64- 128= 36，•丨 AF = 6, 从而 | AB 2= | AF 2+ | BF 2,则 AFL BF 1• c = | OF = ?| AB = 5,利用椭圆的对称性，设 F '为右焦点, 则 | BF | = | AF = 6,••2 a = | BF | + | BF | = 14, a = 7.c 5因此椭圆的离心率 e =-=-.a 7⑵设/ RPF= e ,2b >= 1(a >b >0)的左焦点为F , C 与过原点的直线相A.5 B.7C.5D.78| PF | = 3a , 得2| PF = 3a ,|PF | -| P 冋=2a , 由 | PF | = 4| PF 由余弦定理得cos e 17a 2- 9c 28a 217 9 2- 8e17 9 2••• e € (0,180 °] ,••• cos . e € [ —1,1) , - 1< -—g e<1,解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a, b, c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式•建立关于a, b, c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.(1) 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D,且B乍=2 F1D，贝U C的离心率为________ •2 2 2(2) 过双曲线扌一b = 1(a>0, b>0)的左焦点F作圆x2+ y2= 4的切线，切点为E延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 ____________ •答案(1) # (2)甲解析(1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0 , b), JF(c, 0), D(X D, y D),则B~F = (c，—b), nF~D = ( X D— c, y D),••• BF = 2F1D,c= 2 X D—c ,—b= 2y D,3cXD= 7b y D=—2.又•••点D在椭圆C上,3c 2 b 2~2—2 21—+ 2- = 1,即卩e = ~. •- e=a b 3⑵设c= /a2+ b2,双曲线的右焦点为F' 则| PF —| PF | = 2a, | FF | = 2c.•/ E为PF的中点，O为FF的中点，• OE/ PF，且| PF | = 2| OE.•••OEL PF, |OE = 2,••• PF丄PF , |PF | = a,•••I PF T PF' | + 2a = 3a.•••|PF2+ |PF |2= |FF I2,c 2 2,2• 9 a + a = 4c ,•双曲线的离心率为亠考点三直线与圆锥曲线的位置关系已知椭圆C： £+b^=1(a>b>0)的离心率e=¥圆的右焦点，点A B分别为椭圆的左、右顶点，点圆的上顶点，且满足FB= .'2 —1.(1)求椭圆C的方程;⑵是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△ PQM勺垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)根据题意得，F( c, 0)( c>0), A—a,0) , B(a,Q) , M O, b),•MF= (c,—b) , FB= ( a—c, 0),•MF- FB^ ac —c2= .''2 —1.又e =:二乎，• a= '2c,• ''2^ —c = '2—1,•c2= 1, a2= 2, b2= 1,2•椭圆C的方程为x2+y = 1.(2) 假设存在满足条件的直线I .k MF=—1,且MFLI , • k i = 1.设直线I 的方程为y = x+ m P(x1 , y1) , Q X2 , y2),y = x + m,由X222 + y2= 1消去y 得3x2+ 4m)+ 2n i—2= 0 ,则有A = 16吊—12(2n i—2)>0,即m<3 ,4m 2n i—2又X1+ X2=—— , X1X2= —3 —,• y1y2= (X1+ n)( X2+ n) = X1X2+ m(X1 + X2) + m22m — 2 3又F 为厶MPQ 勺垂心，连接 PF ,贝y PFL MQ.PF- MQX 2+ y i — X 1X 2—y i y 2 =X 2 + x i + m- X 1X 2— y i y 22 242m —2 m —2=—3m+ m3 ---------------------2 m 4 i 2m —3+ 3= — 3(3 m+ m- 4)i(3m^ 4)( m- i) = 0,4••• m=— 3或 m= i(舍去), 4经检验m=— 3符合条件，• •存在满足条件的直线 I ，其方程为3X — 3y — 4= 0.(1) 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关 系时，要注意使用条件 A > 0,在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2) 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直 关系时也往往利用根与系数关系、 设而不求法简化运算； 涉及过焦点的弦的问题， 虑用圆锥曲线的定义求解.2X 2(20i3 •北京)已知A , B, C 是椭圆 W - + y = i 上的三个点，O 是坐标原点.(i)当点B 是W 勺勺右顶点，且四边形 OAB (为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点B 不是W 勺顶点时，判断四边形 OAB (是否可能为菱形，并说明理由.2X r解 ⑴由椭圆 W -+ y 2= i ,知B (2,0)•线段OB 的垂直平分线X =i. 在菱形 OAB (中, Ad OB将X = i 代入牛+ y 2 = i ，得丫二土三3又PF = (1 — x i ,— y i ),MQ= (X ,y 2— i), 可考•I A( = | y2—y i| = . 3.因此菱形的面积S=勺OB •l AC f = 2 x 2X 3 = ,3.⑵假设四边形OABC 为菱形.因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y = kx + m ( k 丰0, m 0).x 2 + 4y 2= 4,由y = kx + m222消 y 并整理得(1 + 4k ) x + 8kmx + 4m —4= 0. 设 A (x i , y i ) , C (X 2, y 2)，则x i + X 2 4km y i + y x i + X 2 m丁 =— i T 4k"，=k • 丁 + m = i T 4F,4kmm•••线段 AC 中点 M — i + 4k 2, i + 4k 2 ,i=——_工——4• AC 与 OB 不垂直.故OAB (不是菱形，这与假设矛盾. 综上，四边形 OABB 是菱形.i.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2+ By 2= i ，其中A 、B 是不等的常数，A >B>0时,表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；AGO 时表示双曲线.c3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a , c ,计算e =-；方法二：根据ac已知条件确定a ，b ,c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求孑4. 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径最短.••• M 为 AC 和 OE 交点,i k0B =—示i4k 径长为 过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通椭圆上点到焦点的最长距离为a+ c,最短距离为a—c.5. 抛物线焦点弦性质：已知AB是抛物线y2= 2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x i, y i)、耳比,y2).22 P(i) y i y2= —P , X i X2=-；(5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点，△ ABE 是锐角 三角形，则该双曲线的离 心率e 的取值范围是 ( )A. (1 ,+^) B . (1,2) C. (1,1 + 2) D. (2,1 + 2)答案 B解析 由AB 丄x 轴，可知△ ABE 为等腰三角形，又△ ABE 是锐角三角形，所以/ AEB 为b 2锐角，即/ AEF <45°，于是 | AF <| EF , 一<a + c ,于是 c 2— a 2<a 2+ ac ,即 e 2— e — 2<0,a解得一1<e <2.又双曲线的离心率 e >1，从而1<e <2.2212.设椭圆厶+1( a >b >0)的离心率为e =1，右焦点为F (c, 0)，方程ax 2 + bx — c = 0的两a b22 2 2X 1 + X 2 =(X 1 + X 2) — 2X 1X 2AEB = x i + X 2 + p =耳( sin a为弦AB 的倾斜角);S ^AOB =2P2sin a 1fFAi |FB| 为定值P ；1.已知点F 是双曲线 2 2x y 厂 b ，= i (a >°.b >0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点个实根分别为X1和X2,则点()A.必在圆x2+ y2= 2内C.必在圆x2+ y2= 2外答案A解析■/ X1 + X2= —b,X1X2P(X1, X2)B.必在圆x2+ y2= 2上D. 以上三种情形都有可能cab22c b2+ 2ac2 + = 2.a a ac 1 1e=盯c=2a,.2 2 2 2 12 3 2 .b = a —c = a —尹=4a .解析p由题意知：F 2, 0，抛物线的准线方程为x = —2,则由抛物线的定义知，X M= 5—P，设以MF为直径的圆的圆心为y M 5 2 y M 2 25—，所以圆的方程为x — 2 + y—~2 = ~~A，又p因为圆过点（0,2），所以y M= 4,又因为点M在C上，所以16 = 2p 5 —$，解得p= 2或p= 8，所以抛物线C的方程为y2= 4x或y2= 16x，故选C.2. 与椭圆2 2X^+器=1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是A y2—2x-=132y 2彳B.3—x = 13 .3x2C W解析2 23y 3xD. —= 14 816 一12 1椭圆二+ ±= 1的离心率为=7，且焦点为（0 , 士2）,所以所求双曲线的16寸16 22 2x y_12 ' 162焦点为（0，士2）且离心率为2,所以c = 2, a= 2得a= 1, b2= c2—a2= 3,故所求双曲22 x线方程是y —— = 1.（2013 •江西）已知点A，抛物线C：x2= 4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交3 9 1a + 2a x 想.2 2 4 27 门--X1 + X2 = 2 ----- = <2.a 42 2••• P(X1, X2)在圆x + y = 2 内.、选择题（推荐时间：1 . （2013 •课标全国n ）设抛物线C: y2= 2px(p>0)的焦点为F,点M在C上, | Mff = 5,若以MF为直径的圆过点（0,2）, 则C的方程为( )A. y2= 4x 或2= 4x 或C. y2y = 8xy2= 16x2 2B. y = 2x 或y = 8xD. y2= 2x 或y2= 16x答案于点M与其准线相交于点N则I FM ：| MN等于A. 2 : ：5 B . 1 : 2 C . 1 : ：5 D . 1 ：3答案C解析由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线I的距离MH即I FM ：| MN = | MH ：| MN=I F(O ：| AF| = 1 :店.4.过双曲线才一合=1( a>0, b>0)的右焦点F,作圆x + V = a的切线FM交y轴于点P,切2 2XV 2 2 2圆于点M,20M= 0阡OP则双曲线的离心率是A. .'2B. ：'3C. 2D. ：5答案A解析由已知条件知，点M为直三角形OFP斗边PF的中点，故OF=Q2OM即卩c=^2a, 所以双曲线的离心率为,221 o X o5. (2013 •山东)抛物线C : y =环x (p >0)的焦点与双曲线 C 2： y - y = 1的右焦点的连线 交C 于第一象限的点 M 若C 在点M 处的切线平行于 C 2的一条渐近线，则p 等于()答案 D2P解析 抛物线C 的标准方程为x = 2py ,其焦点F 为0, 2，双曲线G 的右焦点F'为 (2,0)，渐近线方程为y =± fx.由y '= p x 得X =¥P ，故皿鸟丹,6. 由F 、F '、M 三点共线得p =《f.2 26.椭圆M 字+ y 2= 1(a >b >0)的左、右焦点分别为 R 、F 2, P 为椭圆M 上任一点，且PF • P F 2的最大值的取值范围是[C 2,3C 2]，其中c = ：'a 2- b 2,则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )1 1 A. [4，1]1 -42 B . [2,万]也 C . (y , 1) 1 D.[》1)答案 B解析 设 P (x , y ), F i ( — c,0) , R(c,O),则PF = ( — c — x ,— y ) , PF = (c — x ,— y ),PF • Pfe = x 2 + y 2 — c 2.又x 2+ y 2可看作Rx , y )到原点的距离的平方， 所以(X 2 + y 2) max = a 2,所以(Pfc ・ P F 2) max = H , 所以 c 2w b 2= a 2— c 2<3 c 2，即 4 w e 2< 2， 所以ew#故选B. 二、填空题2 2x y l7.(2012 •江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线m — 齐4= 1的离心率为.'5,则m的值为 _________ 答案 2解析 建立关于m 的方程求解.2 2 ,■/ c = m + 4,22cA.16 D.<■3…e = ~2 = am —4m^ 4 = 0,.・.m= 2.2 2x y& (2013 •福建)椭圆r：才+ b2= 1(a>b>0)的左，右焦点分别为F i, F2,焦距为2c.若直线y = ；'3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MFF2= 2/ MET，则该椭圆的离心率等于________ .答案;3 — 1MF丄MF,所以| MF| = c, | MF| = ：3c所以| MF| + | MF| = c+:；：』；3c= 2a. 即e = c= ；3 — 1.a 丫2 2x y9. ______________________________________________________________ (2013 •辽宁)已知F为双曲线C - —16= 1的左焦点，P, Q为C上的点•若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上,则厶PQF的周长为 _____________________________________ .答案44解析由双曲线C的方程，知a= 3, b= 4, c= 5,•••点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且| PQ = | QA +1 PA = 4b= 16,由双曲线定义，| PF| —|PA = 6, |QFf —| QA = 6.• I PF + | QF = 12+ | PA + | QA = 28,因此△ PQF的周长为| PF + | QF + | PQ = 28+ 16= 44.2 210. 已知P为椭圆莘+丄=1上的一点，M N分别为圆(x+ 3)2+ y2= 1和圆(X—3)2+ y2= 425 16上的点，^「PM + |PN|的最小值为__________ .答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1, F2分别是两圆的圆心，且| PF| + | PR| = 10,从而| PM + | PN 的最小值为| PF| + | P冋—1 —2 = 7.三、解答题2 2x y11. (2013 •课标全国n )平面直角坐标系xOy中，过椭圆M -+吕=1(a>b>0)右焦点的直a b1线x + y—.-3 = 0交M于代B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为㊁(1)求M的方程;⑵C, D为M上的两点，若四边形ACBD勺对角线CDLAB求四边形ACB［面积的最大值.解(1)设A(X1, yj , B(X2, y2)，则2 2X1 y12+ 2= 1a b2 2X2 y22+ 2= 1a by — y 2因为 =—1，设 P (X 0, y o ),X 1 — X 2①一②，得X 1— X 2X 1 + X 22+ay 1 — y 2y 1 + yb 2=0.因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1, 所以可以解得 a = 2b ，即a = 2( a — c )，即a = 2c , 又因为c = ：3所以a 2= 6,2 2所以M 的方程为X + y = 1.6 3⑵ 因为CDL AB 直线 AB 方程为x + y —护=0,所以设直线CD 方程为y =x + m2 2将 x + y — :3 = 0 代入 X + 3 = 1 得： 3x 2— 4 '3x = 0，即 A (0，⑶，B 导，一# , 所以可得| AB =乎；2 2将y = x + m 代入x ；+ £ = 1得：6 3 3x 2 + 4m 灶 2n i — 6= 0,设 C (X 3, y 3), Q X 4,y 4),__ 2 2又因为 A = 16m —12(2 m — 6)>0，即—3<n r3, 1所以当m = 0时，| CD 取得最大值4,所以四边形 ACB 爾积的最大值为 可| AB 「CD =8*63的方程为x = 4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点F )，设直线 AB 与直线I 相交于点M 记PA PB PM 的斜率分别为 总、k 2、k 3.问：是否存在常数 入，使得k 1 + k 2= Xk s ?若存在， 求入的值；若不所以 1y 0=尹,1y 1+ y 2= 2(X 1 + X 2)12. (2013 •江西)如图，椭圆 2 2x yC ：孑+詁=1(a >b >0)经过点 P 1, 2，离心率e = 1，直线l2—4X X = 18— 2吊,存在，说明理由.3 x2 y2解⑴由P 1，在椭圆-+ 2= 1上，得2 a bC 1 2 2 2 2又 e =—=亍，得 a = 4c , b = 3c ,a②代入①得，C = 1, a = 4, b = 3.2 2故椭圆方程为x +y = 1. 4 3⑵设直线 AB 的方程为 y = k (x - 1), A (x 1, y" , B (x 2, y 2).y = k x — 1得,2 2 2 2(4 k + 3)x — 8kx + 4k —12= 0,3 y1— 2 k 1+ k 2=4X 1 — 1 X 2— 1X 1— 1,3 X 1 + X 2 — 2 =2k —丁 X 1X 2 — X 1 + X 2 +18 k 22— 24k + 32 219 _a 4b 1, k X 1 — 1 3k X 2— 18 k2 * 4x1+ x2=刁，24k — 12 X 1X 2 = 2 .3 y 2— 2X 2—12k —2 2--k + k 2 = 2k 3.故存在常数 入=2符合题意.13. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为1,其一个顶点的抛物线 x 3 4=- 4 ?3y 的焦点.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点 M 求直线I 的方程和点M 的坐标；⑶ 是否存在过点P (2,1)的直线l i 与椭圆C 相交于不同的两点 A, B ,且满足PA- P B= PM?若存在，求出直线l i 的方程；若不存在，请说明理由.2 2x y解(1)设椭圆C 的方程为云+話=1 ( a >b >0),厂 c 1由题意得 b = p ："3, a = 2，解得 a = 2, c = 1.2 2故椭圆C 的标准方程为x +3=1.⑵ 因为过点P (2,1)的直线I 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线I 的斜率存在，故可设直线I 的方程为y = k (x — 2) + 1 ( k 丰0).2 2y = k x — 2+12 2 2得(3 + 4k ) x — 8k (2 k — 1)x + 16k — 16k — 8 = 0. ①3 一 一3 将k = — 2代入①式，可以解得 M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为1, .(3)若存在直线l 1满足条件，则直线11的斜率存在，设其方程为y = k 1(x —2) + 1,代入椭圆C 的方程得4 2 2(3 + 4k 1)x — 8k 1(2 k 1— 1)x + 16k 1 — 16k — 8= 0.设A (X 1, y 1) , B (X 2, y 2)，因为直线I 1与椭圆C 相交于不同的两点 A , B, 所以 A = [ — 8k 1(2k 1 — 1)] 2— 4(3 + 4k 1)(16 k 1— 16k 1 — 8) = 32(6%+ 3)>0. 1所以k 1>— 233k — 3因为直线l与椭圆C相切，所以A = [ —8k(2k —1)] 2—4(3 + 4k2)(16 k2—16k —8) = 0.整理，得32(6 k+ 3) = 0,解得k = — 2.1 1所以直线l的方程为y = —yx —2) +1 = —?x+ 2.28k i 2k i —1 I6k i —16k i —8X1+ X2=3T4ik，XlX2=3+4k1 .因为PA・P B= P M,5 即(X1 —2)( X2—2) + (y i—1)( y — 1)=玄，25所以(x i—2)( X2—2)(1 + k i) = 4,25即[X1X2—2(x1 + X2)+ 4](1 + k" = 4.16k2—16k1 —8 8k1 2k— 1 2所以—3+^k ——23+^k —+ 4 (1 + k1)4+ 4 k25=3+ 4k1 = 4，解得k1=± 21因为A, B为不同的两点，所以k1 = 2一一 1 于是存在直线11满足条件，其方程为y = §x.4k —12 8k “4 k2+ 3 4k2+ 3=2k — 1.又将x= 4 代入y = k(x —1)得M4,3 k),。
【一线教师整理】2014年高考数学(新课标)考点汇总精析：考点40 双曲线 Word版含解析
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考点40 双曲线一、选择题1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()22123,PF PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为（ ）A.C. 4【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值. 【解析】选D.由双曲线的定义知，()22124,PF PF a -=又()22123,PF PF b ab -=-所以2243a b ab =-等号两边同除2a ，化简得2340b b a a ⎛⎫-∙-= ⎪⎝⎭，解得4,b a =或1b a =-（舍去）故离心率c e a ===== 2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以0210,c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有2,ba =结合222,c ab =+得225,20,a b ==所以双曲线的标准方程为120522=-y x3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2 【解题提示】椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，12||a a PF -=，因为123F PF π∠=，由余弦定理得22211114()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-，所以212234aa c +=，即2122122221)(2124ca c a c a c a c a +≥+=-，所以212148)11(e e e-≤+，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为3. 4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0<k<9,则曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【解题提示】先判断两曲线是哪种圆锥曲线,进而求a,b,c,e 加以判断. 【解析】选A.因为0<k<9,所以曲线225x -29y k-=1与曲线225x k --29y =1都表示焦点在x 轴上的双曲线,且25≠25-k,9-k ≠9,但a 2+b 2=34-k,故两双曲线的焦距相等.5. （2014·山东高考理科·Ｔ10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ）A 、0x =B 0y ±=C 、20x y ±=D 、20x y ±=【解题指南】 本题考查了考查了椭圆、双曲线的几何性质，利用椭圆，双曲线中a,b,c 之间的关系即可求解.【解析】选 A.椭圆的离心率为2222221a b a a c e -==，双曲线的离心率为2222222a b a a c e +==，所以()43444221=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 22±=，即02=±y x ，故选A.6.(2014·江西高考文科·T9)过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( )A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16,故a=2,b 2=12,所以方程为112422=-y x . 二、填空题7. （2014·四川高考文科·Ｔ11）双曲线2214x y -=的离心率等于____________. 【解题提示】本题主要考查双曲线的离心率，属于基本题．【解析】c e a ===.8. （2014·浙江高考文科·Ｔ17）与（2014·浙江高考理科·Ｔ16）相同设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 、B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是______________.【解题指南】求出,A B 的坐标，写出AB 中点Q 的坐标，因为PBPA =，所以PQ 与已知直线垂直，寻找a 与c 的关系.【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为b y x a =与by x a =-，分别与)0(03≠=+-m m y x 联立方程组，解得,33am bm A a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，,33am bm B a b a b -⎛⎫⎪++⎝⎭，设AB 的中点为Q ，则3333,22amam bm bm a b a b a b a b Q ---⎛⎫++ ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为PB PA =，所以PQ 与已知直线垂直，所以3PQk =-，解得2222288()a b c a ==-，即2254c a=，c a =答案：关闭Word 文档返回原板块。
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2014年高考双曲线专题复习总结知识点梳理： 1. 双曲线的定义第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222>=-b a by a x )0,(12222>=-b a bx a y 图像性 质焦点 )0,(),0,(c c -),0(),,0(c c -焦距 c 2范围R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率 (1,)ce a=∈+∞ 渐近线x aby ±= x ba y ±= 2．共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上． 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝c ，tan ∠AOB＝ba ， △OF 2D 中，|F 2D |＝b .4. 注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 5. 注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义[例1] 已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B. x 22－y 214＝1(x ≥2) C. x 22－y 214＝1 D. x 22－y 214＝1或x ＝0解析：如右图，动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆M 与两圆都相内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切. ④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b ＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1. 由①②③④可知选D.练习1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
2. 如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ）A ．9B ．16C ．18D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C3. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+ ［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8. ∴所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.练习4. 已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5. 以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为______________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6. 已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac aPF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．总结（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；（2）点P 在变化过程中，||||21PF PF 的范围变化值得探究；（3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键练习7. 已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为 ．[解析]当0,0>>n m 时，169=n m ，9252=+=m n m e ，当0,0<<n m 时，916=n m ，16252=+=n n m e ，=∴e 53或54 8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+ B ．2 C ．215+或2D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c abAD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e【新题导练】9. 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( C )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x10.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（ ）A.abB.a 2＋b 2 C ．aD ．b解析：右焦点为F (c,0)，渐近线为bx ±ay ＝0，所求圆半径r 等于F (c,0)到直线bx ±ay ＝0的距离．考点3 双曲线的综合应用[例6] 已知等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上一定点P (x 0，y 0)及曲线C 上两动点A 、B 满足(OA →－OP →)·(OB→－OP →)＝0.(其中O 为原点)(1)求证：(OA →＋OP →)·(OB →＋OP →)＝0.(2)求|AB |的最小值．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AP 、BP 中点分别为M 、N ，则x 21－y 21＝a 2，x 20－y 20＝a 2，∴x 21－x 20＝y 21－y 20∴y 1－y 0x 1－x 0＝x 1＋x 0y 1＋y 0 同理y 2－y 0x 2－x 0＝x 2＋x 0y 2＋y 0∵(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＝0， ∴AP →·BP→＝0，即AP →⊥BP → ∴y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，∴x 1＋x 0y 1＋y 0·x 2＋x 0y 2＋y 0＝－1 ∴OM ⊥ON 即(OA →＋OP →)·(OB→＋OP →)＝0 (2)又∵∠MON ＋∠MPN ＝π易知O 、M 、N 、P 四点共圆，且MN 为圆的直径，OP 为圆的任一弦，故|MN |≥|OP | ∴|AB |≥2|OP |＝2x 20＋y 20 因此|AB |最小值为2x 20＋y 20.10. (2010·广州一中)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C ，若AB→＝12BC →，则双曲线的离心率是 ( ) A. 2B. 3C. 5D.10解析：过点A (a,0)的直线的方程为y ＝－x ＋a ，则易求得该直线与双曲线的渐近线y ＝±b a x 的交点B 、C 的坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b 、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，由AB→＝12BC →得b ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝ 5.故选C 课后练习1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A2. 已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A3. 两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且,b a >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53B ．414C ．54D ．415[解析] 414,5=∴==c b a ，选D4. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为( )A ．21B ．1C ．2D ．不确定[解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，2224)()(c m a m a =-++21122221222=+∴=+∴e e c m a 5.已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c c a b ，选B6. 曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n-=，即x y 43±=，． （2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||cAB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 8. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y .（2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A B x y x y k k，由2∙> OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k .于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ②由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭。