2019年四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案解析)

2019年四川省成都七中自主招生数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值一定是( )

A. 非负数

B. 负数

C. 正数

D. 零 2. 将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3

个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2−100a +7=0以及7b 2−100b +6=0，且ab ≠1，则a

b 的值为( )

A. 50

3

B. 6

7

C.

1007

D. 7

6

4. 若a =

√3

√2+√3+√5

，b

=2+√6−√10，则a

b 的值为( )

A. 1

2

B. 1

4

√2+√3

√6+√10

5. 满足|ab|+|a −b|−1=0的整数对(a,b)共有( )

A. 4个

B. 5个

C. 6个

D. 7个

6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，

AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2

7. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+⋯+20192的个位数字是( )

A. 0

B. 1

C. 5

D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1

x+1+1

y+2+1

z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 36

9. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两

次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组

{ax +by =22x +y =3

，只有正数解的概率为( ) A. 1

12

B. 1

6

C. 5

18

D. 13

36

10. 方程3a 2−8a −3b −1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数

b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个

11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为

( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个

12. 若关于x 的方程x 2+ax +b −3=0有实根，则a 2+(b −4)2的最小值为( )

A. 0

B. 1

C. 4

D. 9

二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）

13.已知x=3+√13

2

，则代数式x4−3x3−3x+1的值为______．

14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______

个．

15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为

AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得

到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△

ABE面积的1

4

，则BE的长为______．

16.已知关于x的方程√x2−2x+1−√x2−4x+4+2√x2−6x+9=m恰好有两个

实数解，则m的取值范围为______．

17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥

PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=2

3

，PE=

5DF，则PF

PE

=______．

18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N

分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN=DM，则线段MN的最小值为______．

19.若−1

2

1+x−2x2

=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．

三、解答题（本大题共2小题，共38.0分）

20.已知二次函数y=x2+(a−7)x+6，反比例函数y=a

x

(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；

(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条

件的正整数a的值；

(3)若这两个函数的交点都在直线x=1

2

的右侧，求a的取值范围．

21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于

点G，且满足∠ADF=∠ABE

(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=2

3

，GE=3，求AE的长(用含n的代数式

表示)；

(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE

，求DE的长．

的对称点A′，A′到CG的距离为3√2

4