普通高校专转本高数统一考试模拟试卷解析(六)

A、 f (x) 0 , f (x) 0
B、 f (x) 0 , f (x) 0
C、 f (x) 0 , f (x) 0
D、 f (x) 0 , f (x) 0
解析：该题考察可导的奇偶函数的导数性质。 f (x) 可导，
若 f (x) 为奇函数，则 f (x) 为偶函数；若 f (x) 为偶函数，则 f (x) 为奇函数。（其逆不全 成立，）因为偶函数的原函数相差常数 C ，当 C 0 时非奇非偶。故本题答案选 C
0
x
解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别
是对称型简化积分计算。
在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的
积分顺序。
积分区域
D
:
0x2
x
y
2x
转化为
D
D1
D2
其中
D1
:
0 y2 1 yx y 2
;
D2
:
2 y4 1 yx 2 2
h0
h
解析：该题考察导数定义
f
(xபைடு நூலகம் )
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
或
f
(x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
；
式子当中的 h 应当理解为中间变量，看成文字。
于是 lim h0
f
( x0
mh) h
f
( x0
nh)
(m n)
f
(x0 )
lim f (h) f (h) 2 f (0) 4 。
的间断点，并说明其类型。
6
解析：函数
f
(
x)
在
x0
处连续的定义为
lim
x x0
f (x)
f (x0) 。实际上包含三个条件
（1） 函数 f (x) 在 x0 处必须有定义；
（2） 函数 f (x) 在 x0 处的极限存在；
（3） 函数 f (x) 在 x0 处的极限值必须等于函数值；
当上述三个条件不全满足时的点即为函数 f (x) 的间断点。而初等函数在定义区间之内均是
不定积分就是找那些导数为 f (x) 的所有函数全体（只相差任意常数 C ），不定积分求解正
确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。
于是，有性质
f
(x)dx
f
(x) C
；
d dx
f
(x)dx
f
(x)
。
f
(ax)dx
1 a
f
(ax)d (ax)
1 a
f
(ax)
C
，故本题答案选
A
6、下列级数条件收敛的是（ ）
2
lim f (x) 1 ， 从而 y 1是水平渐近线；
x
lim f (x) ，从而 x 3 是铅直渐近线；
x3
lim f (x) 1 ，从而 x 2 不是渐进线；
x2
因为 lim f (x) 0 ，从而没有斜渐近线。 x x
该题有两条渐近线 故本题答案选 B
5、设 f (x) 有连续的导函数，且 a 0 、1，则下列命题正确的是（ ）
若 lim f (x) lim g(x) 0 （同一极限过程）
lim f (x) 0 ，称 f (x)是g(x)的高阶无穷小量； g(x)
lim f (x) ，称 f (x)是g(x)的低阶无穷小量； g(x)
lim f (x) C( 0, ) ，称 f (x) 与 g(x) 是同阶阶无穷小量；当 C 1时，称两者为等价无 g(x)
当然，上述 x 0 理解成 0 ，替换原则：乘除可换，加减忌换。（分子分母整体替换）
本题条件： lim x0
x2 ln(1 x2 ) sinn x
lim x0
x4 xn
0
，得 n 4 ；
lim sinn x x0 1 cos x
lim x0
xn 1 x2
0
，得 n
2；
2
故本题答案选 C
3、若 f (x) f (x) ，且在 0,内 f (x) 0 、 f (x) 0 ，则在 (,0) 内必有（ ）
上述两例给出化被积函数为“纯 t ”函数的一般方法：直接分离 t 与 x 或通过定积分换元法
实现。
10、
1
(
1
x tan 2x 1 x2
1 x2 )dx
解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。
a
a
f
(x)dx
0, 2
a 0
f
( x)dx,
f ( x)为奇函数 f (x)为偶函数
x2
2
注意：这种题要弄清楚积分变量 t 与 x 之间的关系，用上述公式，须被积函数为“纯 t ”函
数。例 1
[ x (x t) f (t)dt] [ x xf (t)dt x tf (t)dt]
0
0
0
[x x f (t)dt][ x tf (t)dt](第一项按乘积求导法则)
0
0
另外，可导的周期函数，其导函数仍然是周期函数且周期不变。（这些性质用复合函数求导 法则比较容易得到）
4、曲线
y
x2 4 x2 5x
6
的渐近线共有（
）
A、1 条
B、2 条
C、 3 条
解析：渐近线有三种，水平，铅直和斜渐近线
若 lim f (x) A ，表明 y f (x) 有水平渐近线 y A x
a
b
a
b
sin
，其中
为两向量的夹角。两向量垂直的充要条件是数量积为
0。（平
行的充要条件是向量积为 0 向量或分量对应成比例）
由条件
a
b
3,
,
2
,
2,
1
0
，
即 3 2
20
得： 2 。
5
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。
13、求
f
(x)
(x 1) sin x x (x 2 1)
穷小量。记住九个常用的等价无穷小量。
当 x 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ， arctan x ~ x ， e x 1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
1
ax 1 ~ x ln a ，1 cos x ~ 1 x 2 ， (1 x)a 1 ~ ax 。 2
交错
n1
(1)n np
:当
p
1时绝对收敛， 0
p
1 时条件收敛，
p
0 时发散。
故本题答案选 D (注：A 选项显然绝对收敛，C 选项发散)
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。
7、已知 f (0) 2 ，则 lim f (h) f (h)
2
2x
2
y
4
2
故
dx
0
x
f (x, y)dy
dy
0
1y f (x, y)dx
dy
2
1y f (x, y)dx 。
2
2
12、如果 a 3, , 2,b , 2, 1 ，且 a b ，则 ____________
解结析果：是该一题个考数察量向。量两的向基量本向运量算积—结—果数量是积一与个向向量量积。。a两,b向, a量数b 三量者积为方对向应满分足量右乘手积规之则和，，
:当
p
1时绝对收敛， 0
p
1 时条件收敛，
p
0 时发散。
3
B 选项显然发散，因为 lim n 1 ，破坏级数收敛的必要条件。 n n 1
记住
n1
1 np
:当
p
1时收敛，
p
1时发散。
an 绝对收敛 an 收敛。原级数绝对收敛必收敛。
an 条件收敛 an 发散，而 an 收敛
e
x
x
C、 lim x sin 1 1
x
x
D、 lim x sin 1 1
x0
x
解析：求极限时，先判断极限类型，本题考查两个重要极限
（1）
lim
0
sin
1或
lim
sin
0
；易知
lim
x0
sin x
x
1
lim
x
xsin
1 x
（2） lim(1
1
)
e
1
或 lim(1 ) 0
e
；易知
lim(1
x f (t)dt xf (x) xf (x) 0
x
f (t)dt 0
例 2：
[ x tf (x2 t 2)dt] [ 1 x f (x2 t 2)d (x2 t 2)]
0
20
[ 1 0 f (u)du] [1 x2 f (u)du]
2 x2
20
1 f (x2 ) (x2 ) xf (x2 ) 2
普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（六）
高等数学
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、下列各极限正确的是（ ）
A、 lim(1 1 ) x e
x0
x
B、 lim(1
1
)