电磁学第三章例题

物理与电子工程学院方法作业注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。

重复班授课可不另填写教案。

教学内容须另加附页。

总结：1、E P χε0=（1）极化率χ各点相同，为均匀介质（2）τ∆=∑ip P各点相同，为均匀极化2、极化电荷体密度 ()τρ∆⋅-='⇒⋅-='⋅='⎰⎰⎰⎰SSSd P S d P q d S d P q（1）对均匀极化的介质：0='='ρq（2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ρρ''===，则：， （第5节小字部分给出证明）3、极化电荷面密度 ()nP P ˆ12⋅-='σ 2P、1P 分别为媒质2、1的极化强度，nˆ为界面上从2→1的法向单位矢。

当电介质置于真空（空气中）或金属中：n P n P =⋅='ˆ σ n P：电介质内的极化强度 n ˆ：从电介质指向真空或金属的法向单位矢。

例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P。

--z解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P平行的球极坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则：A nP ˆ⋅='σ 由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷σ'的分布情况由A nˆ与P的夹角而定，即σ'是θ的函数（任一点的nˆ都是球面的径向r ˆ） A A A P n P θσcos ˆ=⋅='任一点有： θσcos P ='所以极化电荷分布：()()()14023003022Pθσθσθθπσππθθσ⎧'>⎪⎪'<⎪⎨'===⎪⎪⎛⎫'===⎪ ⎪⎝⎭⎩右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强由以上分析知σ'以z 为轴对称地分布在球表面上，因此σ'在球心处产生的E '只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。

在球表面上任意选取一面元S d，面元所带电荷量dS q d σ'='，其在球心O 处产生场强为：()R R dS E d ˆ420-'='πεσ其z 分量为： θπεσθcos 4cos 20RdSE d E d z '-='=' （方向为z 轴负方向）全部极化电荷在O 处所产生的场强为：202220cos 4cos sin cos 4zS dSE dE RP R d d Rππσθπεθθθϕθπε'-''==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰22000cos sin 12cos cos 423P d d P d P ππθθθπθθθπεεε=-==⎰⎰E '的方向为z 轴负方向，大小为03εP 。

例1：书P103例题1半径为R ，电荷量为0q 的金属球埋在绝对介电常量为ε的均匀无限大电介质中，求电介质内的场强E及电介质与金属交界面上的极化电荷面密度。

ε解：（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P 点作一个半径为r与金属球同心的球面S 为高斯面，S 上各点的D大小相等且沿径向，由高斯定理得：SD ds q⋅=⎰⎰204r D q π⋅= 0022ˆ44q q D D r r rππ=⇒=因 E Dε=，得：002ˆ0ˆ4ˆ0q E rq E r rq E r πε⎧>⎪=⎨<⎪⎩，与同向,背离球心，与反向,指向球心（2）在交界面上取一点B ，过B 点作界面的法线单位矢nˆ（由介质指向金属），则：0ˆˆB B P n E n σεχ'=⋅=⋅ 而02ˆ4B q E r Rπε= 0024q R εχσπε'=又 ()0001εεεεχχε-=+⇒=故 0000002244q q R R εεεεεεσσπεεπε---'=-=-⋅=- 讨论：（1）0εε>，故交界面上σ'与0q （0σ）始终反号：0q 为正，则σ'为负；0q 为负，则σ'为正。

（2）交界面上的极化电荷总量为：204q R q εεπσε-''=⋅=-即 0q q '<： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。

（3）交界面上的总电荷量为：00r q q q q ε'=+=这说明总电荷减小到自由电荷的r ε1倍。

（4）把介质换为真空，则场强为20ˆ4q rrπε，此式与前面有介质时的结果比较知：充满均匀介质时场强减小到无介质时的r ε1倍：02020414r q r q r πεεπε=例2（补充）：类似于P104例题2平行板电容器两极板面积S ，极板上自由电荷面密度σ±，两极板间充满电介质1ε、2ε，厚度分别为d 1、d 2，①求各电介质内的电位移和场强；②电容器的电容。

解：（1）如图，由对称性知介质中的E 及D 都与板面垂直。

在两介质分界面处作高斯面S 1，S 1内自由电荷为零，故有111210S D ds D S D S ⋅=-+=⎰⎰得 D 1=D 2为求电介质中D 和E的大小，作另一高斯面S 2，对S 2有：21221S D ds D S S D σσ⋅=-=⇒=⎰⎰而 σεσε=====2212111E D D E D ，11012202r r E E σσεεεσσεεε⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2）正负两极板A 、B 间的电势差为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-221122112211εεεεσd d S q d d d E d E V V B A∴ 2211εεd d SV V q C B A +=-= （此电容值与电介质的放置次序无关）也可理解为两电容的串联：C d C d C ⇒==222111SSεε， =结果例1：书上P112例题在均匀无限大电介质中有一个金属球，已知电介质的绝对介电常量为ε，金属球的半径和自由电荷分别为R 及q 0，求整个电场的能量。

ε解：（1）电场的分布：前例已求出，介质中的电位移为：0202ˆ4ˆ4q D r r q E r r ππε⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而金属内部：00===ωE D（2）场能体密度：2ED⋅=ω=202432q r πε 整个电场的能量为：22024sin 32q W dV r drd d rωθθϕπε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（=22024432Rq r dr r ππε∞⋅⎰）=22200221sin 328R o o q q dr d d r R ππθθϕπεπε∞=⎰⎰⎰例2（补充）：平行板空气电容器，极板面积S ，间距d ，用电源充电后，两极板上带电分别为±Q 。

断开电源后，再把两极板的距离拉开到2d 。

求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力（空气的介电常量取为0ε）解法1：由静电能求解（1）两极板的间距为d 和2d 时，平行板电容器的电容分别为：10202SS C C ddεε== 极板间带电±Q 时所储存的电能分别为：22212100122Q Q d Q d W W C S Sεε===拉开极板后，电容器中电场能量的增量为：22102Q dW W W Sε∆=-=由于电容器两极板间有相互吸引力，要使两极板间的距离拉开，外力必须作正功，而外力所作的功应等于两极板间电场能量的增量，即：2012Q dA W S ε=∆=外（2）设两极板间的相互吸引力为F ，拉开两极板时，所加外力应等于F ，外力所作的功： A F d F F =⋅=外外，而∴ 202A Q F F d Sε===外解法2：由电场的能量求解两极板的间距为d 和2d 时，极板间电场大小为：1200Q E E S σεε===极板间场能体密度：2201122022E Q S εωωε===两极板间的电场为均匀电场，能量的分布也是均匀的，所以极板间整个电场的能量为：2111102Q dW V Sd S ωωε=⋅=⋅=22202Q dW S d S ωε=⋅⋅=后面的计算与前面解法1相同。

例3（补充）：计算一个球形电容器电场中所储存的能量。

解：在半径为r 的球面上（R A ≤ r ≤R B ）电场强度是等值的（方向沿球半径方向），取体积元（在电场区域）dr r dV 24π=，其中的电场能量为：dr r E dV E dV dW 222221πεεω===全部电场中所储有的能量为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰⎰B A R R R R R R Q dr r r Q dr r E dW W BABA118422222222πεπεπεπε =C Q R R R R Q AB B A 2221421=-πε。