浙江省 金丽衢十二校第二次联考-高三 数理
2020金丽衢十二校第二次联考数学试卷及答案
第 19 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）
对任意非零数列an , 定义数列 f an ，其中 f an 的通项公式为
求
S1 S2 S2
的最大值.
第 21 题图
22．（本小题满分 15 分）
设 a R ，已知函数 f x ex x 6 x a ，函数 g x ex ln x 1 . xx
（Ⅰ）若 a 5 ，求函数 f x 的最小值； （Ⅱ）若对任意实数 x1 和正数 x2 ，均有 f x1 g x2 ≥4a 8 ，求 a 的取值范围.
（Ⅱ）因为
f
an 2nn1 ，所以1
1 a1
4, a1
1 ，又当 n ≥ 2 时，1 4 1
1 an
4n , an
1， 4n 1
所以对任意 n N*
， an
1 .
4n 1
………………………………………10 分
又由1 1 1 an1 Sn1 ，于是 f
bn
Sn
Sn
bn
S n 1
一动点，P 到底面 ABCD 的距离与到直线 AD1 的距离相等，
则 P 点的轨迹是（ ▲ ）
A．直线
B．圆
A
C．抛物线
D．椭圆
B1 P
D
第 9 题图
C B
10. 设集合 S 20, 21, 5, 11, 15, 30, a ，我们用 f S 表示集合 S 的所有元素之和，用 g S
表示集合 S 的所有元素之积，例如：若 A 2 ，则 f A g A 2 ；若 B 2, 3 ， 则
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。
参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。
最新浙江省金丽衢十二校高三第二次联考数学(理)试题及答案
浙江省金丽衢十二校20xx 届高三第二次联考数学（理）试题1.设全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,3,4}P =,集合{3,4,5}Q =,()U PC Q =（ ） A. {1,2,3,4,6} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,5} D. {1,2}2.等比数列{}n a 中143,24a a ==，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.1893.二项式2111()x x -的展开式中，系数最大的项为（ ）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六和第七项4、“函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()f x 的导数'()f x 的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴交点坐标为(1,0)，则(0)f 与(3)f 的大小关系为（ ）A. (0)(3)f f <B. (0)(3)f f >C. (0)(3)f f =D.无法确定6.已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c =①若a 与b 是异面直线，则c 至少与,a b 中的一条相交；②若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直；③若a b ，则必有a c ；④若,a b a c ⊥⊥，则必有M N ⊥.其中正确的明确的命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.B.C.D.x8. 已知三个正实数,,a b c 满足2,2b a c b a b c a <+≤<+≤，则a b 的取值范围为（ ） A. 23(,)32 B. 12(,)33 C. 2(0,)3 D. 3(,2)29.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()21(0)f x a x a a =-->若函数[()]y f f x =恰有10个零点，则a 的取值范围为（ ） A. 1(0,)2 B. 11(,)23 C. 1(0,]2 D. 3[,)2+∞10. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ） A. 17 B. 27 C. 37 D. 47第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11.若复数12,1z a i z i =+=-(i 为虚数单位)且12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为_________.12. 已知等差数列{}n a 中，前n 项的和为n S ，若396a a +=，则11S =_________.13.若在平面直角坐标系内过点(1P 且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为___________.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.15.设,a b 为向量，若a b +与a 的夹角为3π,a b +与b 的夹角为4π,则a b=______________. 16. 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A .若OA b =,则该双曲线的离心率为__________________. 17. 已知不等式20()ln()0m m n n-⋅≥对任意正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围是_______ 三、解答题（72分）18．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan ,32cos C A c C==-． (1) 求b a； (2) 若ABC ∆的面积为3，求cos C ．19．（本题满分14分）已知盒中有n 个黑球和m 个白球，连续不放回地从中随机取球，每次取一个，直到盒中无球，规定：第i 次取球若取到黑球得2分，取到白球不得分，记随机变量ξ为总的得分。
浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题(含答案与解析)_2761
金丽衢十二校2024学年高三第二次联考数学试题（考试时间为120分钟，试卷总分为150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. {}22. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z （ ） A. 2B.C.D. 53. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 14. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 25. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ）为A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.最大值2+D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f <D. 1x =-是函数()f x 的极大值点11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13.为C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.13. 某中学A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r ，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：的测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；的（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ， 所以{2}A B = . 故选：D.2. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z 为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出z ，进而求出z . 【详解】设()i,,R z a b a b =+∈，则i,z a b =- 所以23i=32i z z a b +=--，即1,2a b ==，所以z ==.故选：C.3. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 1【答案】A【解析】【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解. 【详解】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()f x f x -=，即()()()()ln e 11ln e 1120x x a x ax a x +-+=++⇒+=，故120a +=，解得12a =- 故选：A4. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题得到1a >或a<0，再利用离心率c e a ==.【详解】由(1)0a a ->，得到1a >或a<0，当1a >时，c e a ====<，当a<0，双曲线2211y x a a -=--，c e a ====<，所以1e <<故选：A.5. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，而πA B C ++=，则π3B =， 由sin ,sin ,sin A BC 成等比数列，得2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22ac a c ac =+-，解得a c =，因此ABC 是正三角形；若ABC 是正三角形，则π3A B C ===，sin sin sin A B C ===， 因此A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，所以“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的充要条件. 故选：C6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ） A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆2C 圆心, 所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等， 故点F 到直线CD 的距离1d = ， 所以直线AB 的方程为：32y = ，所以32A ⎫⎪⎭， 故圆2C 的半径2r AF === ，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A. [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞【答案】B的【解析】【分析】由题意可知1211ln 2x x +=，转化为21222ln 2x x x x -=-+.结合图像构造函数()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈，求出函数值域即为本题答案.【详解】由题意可知1211ln 2x x +=，即122ln 2x x =-，所以21222ln 2x x x x -=-+. 由图像可得(]20,e x ∈，设()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈. 则22()1x h x x x-'=-=，(]0,e x ∈.令2()0x h x x -'==,则2x = 当()0h x '>时(]2,e x ∈，当()0h x '<时()0,2x ∈所以()2ln 2h x x x =-+在()0,2单调递减，在(]2,e 单调递增. 所以()h x 在2x =时取得最小值()242ln 2h =-， 可得2142ln [2,)x x -∈-+∞. 故选：B8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π【答案】A 【解析】【分析】记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、，易得OE OF ==，1EF =，由cos OEF ∠=，即可求出21912r =，由此即可求出答案.【详解】如图所示：记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、， 记外接球半径为r ，的在Rt ABD中，BD =∥OE BD,OE =，在ABC 中，//EF AC ，112EF AC ==, 在Rt OBF中，OF =所以AC 与BD 所成角为OEF ∠，即cos OEF ∠=， 在OEF 中,OE OF ==，1EF =，所以12cos EFOEF OE ∠===解得：21912r =， 所以该外接球的表面积为：219194π4ππ123r =⨯= 故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.2+ D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】())22sin cos sin 2cos 21f x x x x x x =⋅+=+，π2sin 23x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫-=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x图象关于点π6⎛- ⎝中心对称，故B 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2，故C 正确；由5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2,322x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以函数()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误. 故选：BC10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f < D. 1x =-是函数()f x 的极大值点【答案】AB 【解析】【分析】由()()()1xf x x f x '=+，令0x =，即可判断A ；由已知得()()f x f x x x'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即得函数()e x f x c x=+，确定0c =，从而可得()()e xf x x c =+，求导数，即可判断B ；令()(),(0)f x g x x x=>，判断其单调性，即可判断C ；根据极值点与导数的关系可判断D.【详解】由R x ∀∈，()()()1xf x x f x '=+，令0x =，则()()()00100,0f f ∴==+，A 正确； 当0x ≠时，由()()()1xf x x f x '=+得()()()xf x f x xf x -'=，故()()()2f x x f x f x xx'⋅-=，即()()f x f x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()e xf x c x =+（c 为常数），则()()e x f x x c =+， ()00f =满足该式，故()()e x f x x c =+，则()e e x x f x c x '=++，将()()e xf x x c =+代入()()()1xf x x f x '=+中，得()()()e e 1e x x xx c x x x c ++=++，即222e e e e x x x x x xc x x x c cx x ++=+++，而x ∈R ，故0c =，则()e x f x x =，()e e x xf x x ='+，()e e e e (2)x x x xf x x x ''=++=+，故()2e (22)0xf =''--=，B 正确；令()(),(0)f x g x x x=>，()e 0xg x '=>，故()g x 在(0),+∞上单调递增，故()()2121f f >，即()()221f f >，C 错误； 由于()e e x xf x x ='+，令()()0,e 10x f x x '>∴+>，即得1x >-，令()()0,e 10xf x x '<∴+<，即得1x <-，故()f x 在(1),-∞-上单调递减，在(1),-+∞上单调递增， 故1x =-是函数()f x 的极小值点，D 错误， 故选：AB11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）【答案】ACD 【解析】【分析】先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.【详解】设移动n 次后，点P 在点1111,,,A B C D 的概率分别为,,,n n n n a b c d ， 其中11111110,,,,1424n n n n a b c d a b c d ====+++=， 111111111111111442111442111442111442n n n n n n n n n n n n n n n n a b d c b a c d c b d ad a c b ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩，解得：111+42211142214nn n n n na cb d ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎪⎪⎩， 对于A ，移动两次后，“PC =表示点P 移动两次后到达点1A ，所以概率为2211134228a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，因为()()11,1,0,0,1,1DB DC == ，()()()1110,1,1,1,0,1,1,1,1B A D A A C =--=-=--，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ， 取1y =，可得1,1x z =-=-，所以()1,1,1n =--，而110,0B A n D A n ⋅=⋅= ，11,B A D A ⊄平面1BDC ，所以当点P 位于1B 或1D 时，//PA 平面1BDC ， 当P 移动一次后到达点1B 或1D 时，所以概率为1112423⨯=>，故B 错误； 对于C ，()11,1,1,A C n =--=所以当点P 位于1A 时，PC ⊥平面1BDC ，所以移动n 次后点P 位于1A ，则1111+4222nn a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()11111111=n A BDC n B BDC n C BDC n D BDC E V a V b V c V d V ----⋅+⋅+⋅+⋅12BDC S == ()11,0,1DA = ， 所以点1A 到平面1BDC的距离为11DA n d n ⋅===同理点111,,B C D 到平面1BDC所以111111111111,,03336A BDCB BDCD BDC C BDC V V V V ----======， 所以()11111111111=+0+42234646662n n E V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为偶数，所以()11151=+662245nE V ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，当n 为奇数，所以()11111=66265nE V ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.【答案】 【解析】【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值. 【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知得24lr =，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为4π2L r l =+≥=侧，当且仅当4π2r l =时，即r =，l =.故答案为：13. 某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 【答案】8 【解析】【分析】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有可能情况可得答案.【详解】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课， 按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得 若A 班排课为aabbc ，则B 班排课为bbcaa ， 若A 班排课为bbaac ，则B 班排课为aacbb ，若A 班排课为aacbb ，则B 班排课为bbaac ，或B 班排课为cbbaa ， 若A 班排课为bbcaa ，则B 班排课为aabbc ，或B 班排课为caabb ， 若A 班排课为cbbaa ，则B 班排课为aacbb ， 若A 班排课为caabb ，则B 班排课为bbcaa ， 则共有8种不同的排课方式. 故答案为：8.14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）【答案】5 【解析】【分析】由题意确定P 点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及7n ≥时不符合题意，说明5n =时满足题意，即可得答案.【详解】由题意知点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，则P 点在以12A A 为直径的圆上， 当6n =时，设,,,B C D M 为123456,,,A A A A A A CD 的中点，如图，61||2||2|2|k k PA PB PC PD PB PM ==++=+∑ ，当,PB PM共线且方向时，即,,B P M 三点共线时，1||n k k PA =∑ 取最小值，此时1||2PB BM ==,||，则1||2PM = ，则min 2|2|31PB PM +=->，故6n =时，不满足题意；当5n =时，设,C N 为1235,A A A A 的中点，如图，541|||22|k K PA PC PN PA ==++∑ ，当4,PC PA共线且反向时，51||k K PA =∑ 取最小值，此时4,,,C P N A 共线，144442tan 3672,tan 72 3.13,|tan 72 1.56,||| 1.061tan 36211||22A A C CA PA CA ︒︒︒︒∠===⨯--≈≈=≈，453436||1sin 3610.59,|| 1.060.590.47,A A A A N PN ∠==⨯≈≈≈-=∴ ，则4min |22||120.47 1.06|1PC PN PA ++≈-⨯-=，则当4,PC PA 共线且同向时，必有4max |22|1PC PN PA ++>，故5n =时，存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；当7n ≥时，如图，正七边形的顶点到对边的高h 必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；故n 的最小值为5， 故答案为：5【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n 边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）*1,2n a n n =+∈N（2）22323n T n =-+ 【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由2221n n S a n =+-①所以当2n ≥时，21122(1)1n n S a n --=+--②②-①得：122221n n n a a a n -=-+-，整理得：11,22n a n n -=-≥， 所以*1,2n a n n =+∈N . 【小问2详解】 由（1）知12n a n =+， 所以1111122131321232222n n a a n n n n n n +==-=-++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以122311112222222235572123323n n n T a a a a a a n n n +=+++=-+-++-=-+++ . .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.的（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角. 【答案】（1）证明见解析（2）π3. 【解析】【分析】（1）连接EC 交BD 于N ，连接MN ,根据条件证明MN //PE 即得；（2）先证明PE ⊥平面ABCD ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB 与平面BDM 的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】如图，连接EC 交BD 于N ，连接MN ,由E 是AD 的中点可得11122DE AD BC ===， 易得DEN 与BCN △相似，所以12EN NC =， 又12PM MC =，所以MN //PE ， 又MN ⊂平面,BDM PE ⊄平面BDM ，所以PE //平面BDM ； 【小问2详解】因平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，由PA PD ==，点E 是线段AD 的中点可得,PE AD ⊥又PE ⊂平面PAD ，故得PE ⊥平面ABCD .如图，取BC 的中点为F ,分别以,,EA EF EP为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()()0,0,0,1,0,0E A ，()()()()1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2D B C P --，()11221,2,2,,,3333PC PM PC ⎛⎫=--==-- ⎪⎝⎭ ，则124,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设平面AMB 的法向量为()1111,,n x y z =，由()4240,2,0,,,333AB AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则11111120424333n AB y n AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，故可取()11,0,1n = ； 设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，由()4442,2,0,,,333BD BM ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则2222222220444333n BD x y n BM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可取()21,1,0n =- . 故平面AMB 与平面BDM的夹角余弦值为1212121cos ,2n n n n n n ⋅〈〉===， 所以平面AMB 与平面BDM 的夹角为π3. 17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件） 【答案】（1）2343（2）（i ）证明见解析；（ii ）不可信. 【解析】【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可； （2）（i ）由1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭求出()()50,25E X D X ==，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，()100,0.9X B :，由切比雪夫不等式判断出()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=，进而可得出结论. 【小问1详解】记事件A 为抽到一件合格品，事件B 为抽到两个合格品，()()222701003022100100C C C 161301,C 330C 330P AB P A -==== ()()()16123.30143P AB P B A P A ===∣ 【小问2详解】（i ）由题：若1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()50,25E X D X == 又()()1001001C100,2k P X k P X k ⎛⎫====- ⎪⎝⎭所以()1025(0252P X P X ≤≤=≤≤或()175100)50252X P X ≤≤=-≥ 由切比雪夫不等式可知，()225150252525P X -≥≤= 所以()102550P X ≤≤≤；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则()100,0.9X B :， 所以()()90,9E X D X ==，由切比雪夫不等式知，()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 的标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.【答案】（1）22:19x L y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率为k ，联立直线():3AD y k x =+和椭圆方程，得到()22,,D x y 联立直线:1BC y kx =-和椭圆方程()11,,C x y 由于AD //BC ，所以MP DP PNPC=，可得点()00,P x y ，利用消元法可得点P 的轨迹方程，即可得证. 【小问1详解】由已知得：3,a c ==1b =，所以椭圆22:19x L y +=【小问2详解】设直线,AD BC 的斜率为()()()112200,,,,,,k C x y D x y P x y .则直线():3AD y k x =+，直线:1BC y kx =-，得()10,3,,0M k N k ⎛⎫⎪⎝⎭联立()223,99y k x x y ⎧=+⎨+=⎩得()222219548190kxk x k +++-=，易知Δ0>.由222819319k x k --⨯=+，得22232719k x k -=+，于是()2226319k y k x k =+=+.同理：211221891,1919k k x y k k -==++ 由于AD //BC ，所以MP DP PN PC =，即20200023271911819k x x k k x x k k--+=--+，得0331x k =+①，同理0331ky k =+②，由①②得00330x y +-=， 故点P 在直线330x y +-=上运动.【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出直线,AD BC 的方程，联立直线方程和椭圆方程，得到点,C D 的坐标，从而得解.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）10lim(1)e xx x →+=（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为区间[]0,a 上k 阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造()()=ln h x g x ，再结合()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=即可得到结果；（3）通过换元令令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭，再通过构造函数()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，根据题干中函数()f x 为区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的k 阶无穷递降函数的定义证出()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，即可证明结论.【小问1详解】 设()()373282x F x f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于()731082F =-<， 所以()2x f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭不成立， 故()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数.【小问2详解】设()1(1)xg x x =+，则()()()ln 11ln ln 1x g x x x x+=+=， 设()()ln 1x h x x+=，则0001ln(1)1lim ()lim lim 11x x x x x h x x →→→++===，所以0lim ln ()1x g x →=，得1lim(1)e xx x →+= 【小问3详解】的.令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭， 即证23tan sin π1,0,2t t t t ⋅⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭， 记()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则238tan sin 222t tt f t ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()2233224cos tan sin 1218tan sin 1tan 1tan 22222tf t t t t t t t t t t f ⋅=⋅==>⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭， 即有对任意π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均有()2t f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()22n t t f t f f ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为00sin limlim cos 1x x xx x→→==，所以33233sin sin tan sin 12222lim lim lim lim lim 12cos cos 22222n n n n n n n n n n n n n n n t t t t t f t t t t t →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥===⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.。
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）集合A={x|x2−2x>0}，B={x}−3<x<3}，则（）A．B．C．D．2．（1分）点F1和F2是双曲线y2−x23=1的两个焦点，则|F1F2|=（）A．B．2C．D．43．（1分）复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1⋅z2|=（）A．5B．6C．7D．4．（1分）某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．（1分）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“ α∥β”是“ l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（1分）甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（）A．1.2B．1.5C．1.8D．27．（1分）函数f(x)=lnx8−x的图像大致为（）A．B．C．D．8．（1分）已知a⇀，b⇀，c⇀和d⇀为空间中的4个单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，则|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|不可能等于（）A．3B．C．4D．9．（1分）正三棱锥P−ABC的底面边长为1cm，高为ℎcm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在ℎ从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．（1分）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1an，则a2018的值所在区间为（）A．B．C．D．二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．12．（2分）(1−2x)5展开式中x3的系数为；所有项的系数和为．13．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≥1,x+2y≤2,x≤1,则目标函数Z=2x+3y的最小值为；最大值为．14．（2分）在ΔABC中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为13(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则tanB=；ca的取值范围是．15．（1分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）16．（1分）定义在R上的偶函数f(x)满足：当x>0时有f(x+4)=13f(x)，且当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，若方程f(x)−mx=0恰有三个实根，则m的取值范围是．17．（1分）过点P(1,1)的直线l与椭圆x24+y23=1交于点A和B，且AP⇀=λPB⇀.点Q满足AQ⇀=−λQB⇀，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为．三、解答题 (共5题；共10分)18．（2分）已知函数f(x)=sin2x+√3sinxsin(x+π2 ).（1）（1分）求f(x)的最小正周期；（2）（1分）求函数f(x)在区间[0,23π]上的取值范围.19．（1分）在三棱拄ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，AB=C1C=2.（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.20．（2分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，对任意n∈N∗，有a n+1=2S n+1.（1）（1分）求数列{a n}的通项公式；（2）（1分）若b n=a n+1a n，求数列{log3b n}的前n项和T n.21．（2分）已知抛物线E：y=ax2(a>0)内有一点P(1,3)，过P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，C和B，D两点，且满足AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀(λ>0,λ≠1)，已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.（1）（1分）求证：点M的横坐标为定值；（2）（1分）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求ΔPAB的面积的最大值.n(n−lnx)，其中n∈N∗，x∈(0,+∞).22．（3分）函数f(x)=√x（1）（1分）若n为定值，求f(x)的最大值；（2）（1分）求证：对任意m∈N∗，有ln1+ln2+ln3+⋯ln(m+1)>2(√m+1−1)2；（3）（1分）若n=2，lna≥1，求证：对任意k>0，直线y=−kx+a与曲线y= f(x)有唯一公共点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B符合题意．故答案为：B．【分析】通过解不等式求出集合A，根据集合的关系逐一判断即可. 2．【答案】D【解析】【解答】由y2−x 23=1可知a2=1,b2=3所以c2=a2+b2=4，则c=2,2c=4，所以|F1F2|=2c=4.故答案为：D【分析】根据双曲线的标准方程，得到两个焦点坐标，即可求出线段的长度.3．【答案】D【解析】【解答】因为|z1|=|2−i|=√5，|z2|=|3+i|=√10，所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=√5×√10=5√2故答案为：D.【分析】根据复数的乘法运算，得到z1·z2，结合复数的模运算即可求出相应的值.4．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为S=2πrl=2×π×1×√2=2√2π，故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可求出几何体的表面积.5．【答案】A【解析】【解答】根据已知题意，由于直线l⊥平面α，直线m∥平面β，如果两个平面平行α//β，则必然能满足l⊥m，但是反之，如果l⊥m，则对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故答案为：A【分析】根据直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.6．【答案】C【解析】【解答】由已知得ξ=1,2,3，P(ξ=1)=C53C31C53C53=310, P(ξ=2)=C53C32C21C53C53=35, P(ξ=3)=C53C53C53=110,所以E(ξ)=1×310+2×610+3×110=1.8,故答案为：C【分析】求出随机变量的可能取值及相应的概率，即可求出数学期望. 7．【答案】A【解析】【解答】函数定义域为(0,8)，当x→0时，x8−x→0，lnx8−x→−∞，故排除B,D，当x→8时，x8−x→+∞，lnx8−x→+∞，故排除C,故答案为：A.【分析】根据函数的定义域及函数值的变化情况，逐一排除，即可确定函数的大致图象.8．【答案】A【解析】【解答】因为|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|a⇀−d⇀+b⇀−d⇀+c⇀−d⇀|=|a⇀+b⇀+c⇀−3d⇀|而a⇀+b⇀+c⇀=0，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|−3d⇀|=3因为a⇀，b⇀，c⇀，d⇀是单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，所以a⇀−d⇀，b⇀−d⇀，c⇀−d⇀不共线，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|>3，故答案为：A.【分析】根据向量的关系，求出|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|的最小值，即可确定|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+ |c⇀−d⇀|不可能的取值.9．【答案】D【解析】【解答】当ℎ→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；当ℎ→+∞，有θ→θ3=5π2；当ℎ刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，则cosθ26=3+3−42×3=13，于是cos θ23=2×(13)2−1=−79>−√32，所以θ23<5π6，即θ2<5π2，所以与θ的变化情况相符合的只有选项D.故答案为：D【分析】根据几何体的结构特征，求出角的余弦值，即可得到角的变化情况. 10．【答案】A【解析】【解答】因为a1=1，所以a n+12=a n2+2+1a n2≤a n2+3an+12≤an2+3≤an−12+3+3…可得：a n+12<a12+3n所以a2018<√a12+3×2017<√10000=100.故答案为：A【分析】根据递推关系式得到数列项之间的关系，解不等式即可确定a2018的值所在区间.11．【答案】7；53【解析】【解答】设共有x人，由题意知8x−3=7x+4，解得x=7，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【分析】设共有x人，通过解方程即可求出共有人数和商品价格.12．【答案】-80；-1【解析】【解答】因为T r+1=C5r(−2)r x r，令r=3，T4=−80x3，所以x3的系数为-80，设(1−2x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=1，则a0+a1…+a5=−1，所以所有项的系数和为-1.【分析】写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数及所有项的系数之和. 13．【答案】2；【解析】【解答】作出可行域如下：由Z=2x+3y可得y=−23x+z，作出直线y=−23x,平移直线过B(1,0)时，z有最小值z=2+0=2，平移直线过A(1，12）时，z有最大值z=2×1+3×12=72.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线即可求出目标函数的最大值和最小值.14．【答案】；【解析】【解答】因为S=12acsinB=13(a2+c2−b2)，所以34sinB=a2+c2−b22ac=cosB即tanB=43，因为∠C为钝角，所以sinB=45,cosB=35，由正弦定理知ca=sinCsinA=sin(B+A)sinA=cosB+sinBcosAsinA=35+45cotA因为∠C为钝角，所以A+B<π2,即A<π2−B所以cotA>cot(π2−B)=tanB=43所以ca>35+45×43=53，即ca的取值范围是(53,+∞).【分析】通过面积公式及正弦定理，确定三角形边和角的关系，即可求出相应的值和取值范围. 15．【答案】210【解析】【解答】分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210【分析】根据加法原理和乘法原理，即可确定不同的分配方案种数.16．【答案】【解析】【解答】因为当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，设4≤x≤8，则0≤x−4≤4，所以f(x−4)=3|x−4−3|=3|x−7|，又f(x+4)=13f(x)，所以f(x)=13f(x−4)=|x−7|，可作出函数y=f(x)在x∈[0,8]上的图象，又函数为偶函数，可得函数在[−8,8]的图象，同时作出直线y=mx，如图：方程f(x)−mx=0恰有三个实根即y=f(x)与y=mx图象有三个交点，当m>0时，由图象可知，当直线y=mx过（8,1），即m=18时有4个交点，当直线y=mx过（4,3），即m=34时有2个交点，当18<m<34时有3个交点，同理可得当m<0时，满足−34<m<−18时，直线y=mx与y=f(x)有3个交点.故填(−34,−18)∪(18,34).【分析】通过函数的性质，作出函数的图象，数形结合即可求出实数m的取值范围. 17．【答案】【解析】【解答】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,n)则{x1+λx2=1+λ,x1−λx2=m(1−λ),于是x12−(λx2)2=m(1−λ2)，同理y12−(λy2)2=n(1−λ2)，于是我们可以得到(x124+y123)+λ2(x224+y223)=(1+λ2)(m4+n3).即m4+n3=1，所以Q点的轨迹是直线，|OQ|min即为原点到直线的距离，所以|OQ|min=1√116+19=125【分析】设出点A 和B 的坐标，根据向量的关系，确定Q 的轨迹是直线，即可求出线段长度的最小值.18．【答案】（1）解： f(x)=sin 2x +√3sinxsin(2x +π2)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12所以 T =π（2）解：由 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ 得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈z 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−π6+kπ,π3+kπ],k ∈z ． 由 x ∈[0，2π3] 得 2x −π6∈[−π6,76π] ，所以 sin(2x −π6)∈[−12,1]所以 f(x)∈[0,32] ．【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f （x ）的单调区间，即可求出函数f （x ）的取值范围.19．【答案】解：（Ⅰ）因为 BC =1 ， ∠BCC 1=π3 ， C 1C =2 ，所以 BC 1=√3 ，BC 2+BC 12=CC 12 ，所以 BC 1⊥BC 因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， BC 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 BC 1⊥AB ，又 BC ∩AB =B ， 所以， C 1B ⊥ 平面 ABC（Ⅱ）取 C 1C 的中点 E ，连接 BE ， BC =CE =1 ， ∠BCC 1=π3 ，等边 ΔBEB 1 中， ∠BEC =π3同理， B 1C 1=C 1E 1=1 ， ∠B 1C E 1=2π3，所以 ∠B 1EC 1=π6 ，可得 ∠BEB 1=π2 ，所以EB 1⊥EB因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， EB 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 EB 1⊥AB ，且 EB ∩AB =B ，所以 B 1E ⊥ 平面 ABE ，所以；（Ⅲ） AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， AB ⊂ 平面，得平面 BCC 1B 1⊥ 平面 ABC 1 ， 过 E 做 BC 1 的垂线交 BC 1 于 F ， EF ⊥ 平面 ABC 1连接AF，则∠EAF为所求，因为BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，E为CC1的中点得F为C1B的中点，EF=12，由（2）知AE=√5，所以sin∠EAF=12√5=√510【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（2）根据线面垂直的定义，证明直线与平面垂直，即可说明直线与平面内任何一条直线垂直；（3）通过作垂线得到直线与平面所成的角，通过解三角形求出线面所成角的正弦即可. 20．【答案】（1）解：由a n+1=2S n+1知a n=2S n−1+1(n≥2)两式相减得：a n+1=3a n(n≥2)又a2=2s1+1=2a1+1=3，所以a2a1=3也成立，故a n+1=3a n,n∈N∗即数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1(n∈N∗).（2）解：因为log3b n=log3a n+1an=3n−1log33n=n⋅3n−1，所以T n=1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−13T n=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n两式相减得：−2Tn =(12−n)⋅3n−12，所以T n=(n2−14)3n+14.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义确定数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据对数恒等式，结合错位相消求和法，即可求出前n项和T n.21．【答案】（1）证明：设CD中点为N，则由AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀可推得AB⇀=λDC⇀，MP⇀=λPN⇀，这说明AB⇀∥CD⇀，且M，P和N三点共线.对A，B使用点差法，可得y A−y B=a(x A−x B)(x A+x B)，即k AB=2a⋅x M.同理k CD=2a⋅x N.于是x M=x N，即MN⊥x轴，所以x M=x P=1为定值.（2）解：由k=2得到a=1，设y M=t∈(1,3)，|PM|=3−t，联立{y=x2,y−t=2(x−1),得x2−2x+2−t=0，所以|x A−x B|=2√t−1, |AB|=√1+k2|x A−x B|=√5⋅2√t−1,根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为d=|t−3|√5，于是SΔPAB=(3−t)√t−1，令x= √t−1，x∈(0,2),则S=−x3+2x，S′=−3x2+2，令S′=0得x=√63，当x∈(0,√63)时，S′>0,函数为增函数，当x∈(√63，2)时，S′<0，函数为减函数，故当x=√63，即t=53时，SΔPAB有最大值4√69.【解析】【分析】（1）根据向量之间的关系，采用点差法，即可确定点M的坐标为定值；（2）根据点斜式写出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，通过弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出三角形面积的最大值.22．【答案】（1）解：n为定值，故f′(x)=1n x 1n−1(n−lnx)+√xn(−1x)=−√xn lnxx（x>0)，令f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数有极大值f(1)，也是最大值，所以f(x)max=f(1)=n.（2）解：由前一问可知lnx≥n−n√xn，取n=2得lnx≥2−2√x，于是∑m+1 i=1lni≥∑(2−2i)m+1i=2>2m−4∑m+1i=21√i+√i−1=2m−4∑(√i−√i−1)m+1i=2=2m−4√m+1+4=2(√m+1−1)2.（3）解：要证明当a≥e，k>0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g(t)=kt2+2t−2tlnt−a有唯一零点，先证明g(t)存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】x(1−lnx)≤1（由第1问取n=1即可）【引理2】lnx≥1−1x（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x−1（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1.下面我们先证明函数g(t)存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a.令t=√a−2k，可知g(t)≤0.再由【引理3】得到lnx<x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)>t√t(k√t−4)(2t−a).令t>16k2，且t>a2，可知g(t)>0.由连续性可知该函数一定存在零点.下面我们开始证明函数g(t)最多只能有一个零点.我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lnt t).令ℎ(t)=lntt ，则ℎ′(t)=1−lntt2，则ℎ(t)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，即ℎ(t)max=1e.当k≥1e时，有g′(t)≥0恒成立，g(t)在(0,+∞)上递增，所以最多一个零点.当0<k<1e时，令g′(t1)=g′(t2)=0，t1<e<t2，即lnt1=kt1，于是g(t1)=t1lnt1+2t1−2t1lnt1−a=t1(2−lnt1)−a.再令t1=eT(0<T<1)，由【引理1】可以得到g(t1)=eT(1−lnT)−a<e×1−a≤0.因此函数g(t)在(0,t1)递增，(t1,t2)递减，(t2,+∞)递增，t=t1时，g(t)有极大值但其极大值g(t1)<0，所以最多只有一个零点.综上，当k>0，a≥e时，函数y=f(x)与y=−kx+a的图像有唯一交点.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数确定函数的单调性，结合单调性求出函数的最大值即可；（2）由（1）可得不等式lnx≥n−n√xn，结合放缩法，即可证明相应的不等式；（3）构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的极值，根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，数形结合，即可证明相应的结论.。
浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题
浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan 2sin θθθ-=6．在三角形ABC 中，7,AB =MN BC ⋅=（）A ．14B ．157．在平行四边形ABCD 中，角形A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD 所成角的正弦值为（）A ．64B ．338．设正数()1,2,3i x i =满足1x +222250i j j i x x x x +-≤，则乘积1x A ．5027B ．2二、多选题9．已知函数()()sin f x x ϕ=+-A ．π8B ．π410．某学校为了调查学生某次研学活动中的消费支出情况，其频率分布直方图如图所示，其中支出在A ．样本中消费支出在50元到60元之间的频率为0.3B ．样本中消费支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生参加研学，则约有20人消费支出在20元到30元之间11．设点00(,)P x y 在圆22:1O x y +=上，圆Γ方程为()()22001x x y y -+-=，直线l 方程为y kx =.则（）A ．对任意实数k 和点P ，直线l 和圆Γ有公共点B ．对任意点P ，必存在实数k ，使得直线l 与圆Γ相切C ．对任意实数k ，必存在点P ，使得直线l 与圆Γ相切D ．对任意实数k 和点P ，圆O 和圆Γ上到直线l 距离为1的点的个数相等12．已知递增数列{}n a 的各项均为正整数，且其前n 项和为n S ，则（）A ．存在公差为1的等差数列{}n a ，使得142023S =B ．存在公比为2的等比数列{}n a ，使得32023S =C ．若102023S =，则4285aD ．若102023S =，则10208a 三、填空题四、解答题-的体积；(1)求三棱锥D BCE--的余弦值.(2)求二面角B CD E20．某公司生产一种大件产品的日产为的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立知生产一件产品的利润如下表：等级一等二等利润（万元/每件）0.80.6(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；。
浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题(小题解析版)
金丽衙十二校2018-2019学年高三第二次联考数学试题2018.12一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）．1、集合A=｛x|x 2－2x ＞0}，B=｛x|－3<x<3｝，则（ ）A 、A ∩B ＝∅ B 、 A ∪B ＝RC 、B ⊆AD 、A ⊆B 答案：B考点：集合的运算，一元二次不等式。
解析：因为A=｛x|x ＜0或x ＞2}，在数轴上表示如下图，可知：A ∪B ＝R ，选B 。
2、点F 1和F 2是双曲线223x y -＝1的两个焦点，｜F 1F 2｜＝（ ）A 、2B 、 2C 、2 2D 、 4答案：D考点：双曲线的性质。
解析：依题意，得：1,3a b ==，所以，22c a b =+＝2， ｜F 1F 2｜＝2c ＝4。
3、复数122,3z i z i =-=+，则12||z z ＝（ ）A 、 5B 、 6C 、 7D 、 52 答案：D考点：复数的运算。
解析：12z z ＝(2)(3)i i -+＝7－i ， 所以，2212||71z z =+＝524、某几何体的三视图如右图所示（图中单位:cm)，则该几何体的表面积为（ ）A、2πcm2B、22πcm2C、（22＋1）πcm2D、（22＋2）πcm2答案：B考点：三视图。
解析：由三视图可知，该几何体为有同底的两个圆锥组成，圆锥的底面半径为1，高为1，所以，母线长为：2表面积为两个圆锥的侧面积，S＝2×12122π⨯⨯⨯＝22πcm25.已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：A考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的平等与垂直关系，充分必要条件。
解析：当α∥β时，由直线l⊥平面α，有直线l⊥平面β，又直线m∥平面β，所以，l⊥m，充分性成立。
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷
，对任意
，有
； .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若
，求数列
11. 已知抛物线 ：
和 ， 两点，且满足 斜率为 .
的前 项和 .
内有一点
，过 的两条直线 ， 分别与抛物线 交于 ，
，
，已知线段 的中点为 ，直线 的
答案第 4页，总 18页
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 姓名：____________班级：____________学号：___________
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A.
B.
C.
D.
5. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
”的（ ）
6. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为 ，则 为（ ） A . 1.2 B . 1.5 C . 1.8 D . 2
参数答案
第 5页，总 18页
与曲线
；
有唯一公共点.
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
种.（用数字作答）
6. 定义在 上的偶函数 满足：当
时有
，且当
时，
，
若方程
恰有三个实根，则 的取值范围是
浙江省金丽衢十二校2020届高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
金丽衢十二校2019学年高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{0,1,2,3,}I =集合{0,1},{0,3},M N ==则()I N M =I ð（ ）A. {0}B. {3}C. {0，2，3}D. ∅ 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义计算可得；【详解】解：因为集合}{0,1,2,3I =，集合{0,1},{0,3}M N ==，所以{}2,3I M =ð，{}()3I N M =I ð故选：B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.双曲线2231x y -=的渐进线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. y =D. 3y x =±【答案】C【解析】【分析】先将双曲线的方程化为标准方程，求得,a b ，写出其渐进线方程. 【详解】因为双曲线的标准方程为：22113x y -=，所以1a b ==，所以双曲线的渐进线方程为b y x a=±=. 故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.若实数x ，y 满足约束条件236021x y y x -+⎧⎨-⎩……，则z =3x +y 的最小值为（ ） A. 13 B. 3 C. 2D. 1 【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，根据z 的几何意义求解即可.【详解】22,12|1|22,1x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩Q∴该不等式组对应的平面区域，如下图所示3z x y =+可化为3y x z =-+平移直线3y x =-，当直线过点(0,2)A 时，z 取最小值即min 3022z =⨯+=故选：C【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. 2B. 23C. 1D. 4 【答案】A【解析】【分析】将三视图还原可得一个以俯视图为底面直三棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案.【详解】解：将三视图还原可得一个以俯视图为底面的直三棱柱， 所以112222V Sh ==⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图求体积，根据已知分析出几何体形状，是解答的关键.5.设m ∈R ，已知圆1:C 221x y +=和圆2C ：2268300x y x y m +--+-=，则“21m >”是“圆C 1和圆C 2相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 的【解析】【分析】根据题意先求出两圆心的距离12C C ，再利用圆C 1和圆C 2相交列不等式121212||r r C C r r -<<+求出m 的范围，即可得答案.【详解】解：由已知圆2C ：()()22345x y m -+-=-，若圆C 1和圆C 2相交，则121||5C C <==<，解得2141m <<，“21m >”是“2141m <<”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查充分性和必要性的判断，关键是熟练判断圆与圆的位置关系，是基础题.6.已知函数f （x ）的定义域为D ，其导函数为()f x '，函数'sin ()()y x f x x D =⋅∈的图象如图所示，则f （x ）（ ）A. 有极小值f （2），极大值f （π）B. 有极大值f （2），极小值f （0）C. 有极大值f （2），无极小值D. 有极小值f （2），无极大值【答案】D【解析】【分析】 通过sin x 的正负取值以及'sin ()x f x ⋅的正负取值，可判断函数()f x 在定义域D 上的单调性，进而可判断极值的取值情况．【详解】解：当()0,x π∈，sin 0x >，当()(),0,2x πππ∈-U ，sin 0x <则由图像可得当(),2x π∈-时，()0f x '≤，当()2,2x π∈时，()0f x '≥，故函数()f x 在(),2π-上单调递减，在()2,2π上单调递增，则由图像可得函数f （x ）在定义域D 上，先减后增，有极小值f （2），无极大值.故选：D.【点睛】本题考查导函数的图像和原函数单调性之间的关系，考查函数在某点取得极值的条件，考查学生识图用图能力，是基础题.7.设01,a n R <<∈，随机变量X 的分布列是则随机变量X 的方差D （X ）（ ）A. 既与n 有关，也与a 有关B. 与n 有关，但与a 无关C. 既与a 无关，也与n 无关D. 与a 有关，但与n 无关【答案】D【解析】【分析】根据分布列计算()E X n a =+，再计算()2D X a a =-，得到答案. 【详解】根据分布列得到()()()11E X n a n a n a =-++=+，故()()()()()()2223232112D X a n E X a n E X a a a a a a a =--++-=-+-+=-. 故选：D.【点睛】本题考查了根据分布列求方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设正数数列{}n a 满足12n n a a a S +++=L ，21n n S S S T =L ，1n n S T +=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和属于（ ）A. (0,500)B. (500,1000)C. (1000,2000)D. (2000,3000) 【答案】A【解析】【分析】由已知可得211n n S S S S =-L ，对n 赋值分别求出123,,S S S ，猜想n S ，然后验证，进而可求出n a ，从而可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和.【详解】因为21n n S S S T =L ，1n n S T +=，所以211n n S S S S =-L ，当1n =时，111S S =-，所以112S =， 当2n =时，1221S S S =-，即22112S S =-，所以223S =， 当3n =时，12331S S S S =-，即33113S S =-，所以334S =， 猜想：1n n S n =+，则11n T n =+，代入已知检验等式21n n S S S T =L ，1n n S T +=成立， 所以当2n ≥时，2211111(1)(1)n n n n n n n a S S n n n n n n ---+=-=-==+++，又1112a S ==， 所以1(1)n a n n =+，所以1(1)n n n a =+， 所以12101111223910330(0,500)a a a +++=⨯+⨯++⨯=∈L L . 故选：A.【点睛】本题主要考查数列和的概念及知n S 求n a ，属于中档题.9.在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，记直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角的大小分别为α，β，γ则（ ）A. 2αβγ<<B. 2βαγ<<C. 2αγβ<<D. 2βγα<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，画出三棱锥P ABC -，作PH ⊥平面ABC ，即可得直线PD ，PE ，PA 与平面ABC 所成角，由三角形边角关系即可判断大小.【详解】三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，PCB ∠为钝角，D ，E 分别在线段AB ，AC 上，使得,AE PE AD PD ==，作出几何关系如下图所示：作PH ⊥平面ABC ，连接,,DH EH AH ，则PDH ∠即为直线PD 与平面ABC 所成角α,即sin sin PH DPDH P α∠==， 则PEH ∠即为直线PE 与平面ABC 所成角β,即sin sin PH EPEH P β∠==， 则PAH ∠即为直线PA 与平面ABC 所成角γ,即sin sin PH A PAH P γ∠==， 且α，β，γ0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.因为PCB ∠为钝角，,AD PD =所以PE PD <，则PH PH PD PE<，所以sin sin αβ<，即αβ<， 由E 在线段AC 上，平面PBC ⊥平面ABC ，所以EAP V 为钝角三角形，AEP ∠为钝角；AEH △为钝角三角形，AEH ∠为钝角； 由余弦定理可知222cos 02EA EP PA AEP EA EP+-∠=<⋅，因为AE PE =， 所以222EP PA <. 而22sin 22sin cos 2PH AH PH AH PA PA PAγγγ⨯==⨯⨯= 22sin sin 2PH AHPH AH AH AH PE PE PE AEPE ββ⨯<=⨯=⋅=⋅， 即sin 2sin AH AEγβ<⋅，因AEH ∠为钝角，所以1AH AE >，所以sin 2sin γβ>，即2γβ>， 综上可知2αβγ<<，故选：A【点睛】本题考查了直线与平面夹角的作法与大小比较，关键是找到直线与平面夹角，再由边角关系比较即可，属于难题.10.设t ∈R ，已知平面向量,a b r r 满足：||2||2a b ==r r ，且1a b ⋅=r r ，向量()c xa t x b =+-r r r ，若存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r ，则实数t （ ）A. 有最大值为2，最小值为32 B. 无最大值，最小值为32 C. 有最大值为2，无最小值D. 无最大值，最小值为0 【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得出2223,3a c x t c x t ⋅=+=+r r r ，从而将方程2230c a c -⋅+=r r r 化为2236230x x t t -+-+=，利用二次函数零点的分布求出t 的范围，即可得出答案. 【详解】设向量,a b r r 的夹角为θ ||||cos 2cos 1a b a b θθ⋅===r r r r Q ，1cos 2θ∴= [0,]θπ∈Q ，3πθ∴= ()2()()43a c xa t x b a xa t x b a x t x x t ⋅=+-⋅=+-⋅=+-=+r r r r r r r r 222222[()]2()()c xa t x b x a x t x a b t x b =+-=+-⋅+-⋅r r r r r r r 22222242223x xt x t xt x x t =+-+-+=+ 存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2230c a c -⋅+=r r r即存在两个不同的实数[0,]x t ∈，使得2236230x x t t -+-+= 即22()3623f x x x t t =-+-+在[0,]t 内有两个不同的零点 .22(0)0230()048300026016f t t f t t t t t t ⎧⎧-+≥⎪⎪⎪-+≥⎪⎪⇒∆>⎨⎨<<⎪⎪-⎪⎪<-<>⎩⎪⎩……，解得3,22t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 则实数t 的最小值为32，无最大值 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，利用二次函数零点分布求参数范围，属于中档题. 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.复数z满足：1,z i ⋅=+其中i 为虚数单位，则z 对应的点位于复平面的第______象限；|z |=______.【答案】 (1). 四 (2). 2【解析】【分析】根据条件得到z =，根据复数的除法运算整理为z a bi =+的形式，即可求解.【详解】因为1,z i ⋅=所以z i === 所以z对应的点的坐标为)1-， 故z 对应的点位于复平面的第四象限，因为z i =，所以2z =.故答案为：四；2.【点睛】本题考查复数的运算及几何意义，复数模长的计算，考查运算能力，属于基础题.12.若二项式23()nx x -展开式中各项系数之和为64，则n =______；其展开式的所有二项式系数中最大的是______（用数字作答）【答案】 (1). 6 (2). 20【解析】【分析】取1x =得到264n =，解得6n =，再计算二项式系数最大值得到答案.【详解】取1x =得到(13)64-=n ，解得6n =；故二项式系数为6r C ，当3r =时，二项式系数最大为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：6；20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在看考查学生的计算能力和应用能力. 13.设R,0,a b ∈>已知函数()21,12,1x a x f x b x x x π+-≤=⎨⎪+>⎪⎩是奇函数，则a =______；若函数()f x 是R 上的增函数，则b 的取值范围是______.【答案】 (1).12(2). 1,1⎤⎦ 【解析】【分析】由()00f =可算出12a =，由函数()f x 是R 上的增函数可得b y x x =+在()1,+∞上单调递增且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值，然后即可求出b 的取值范围.【详解】因为()f x 是奇函数，定义域为R所以()0210f a =-=，解得12a =因为函数()f x 是R 上的增函数 所以b y x x=+在()1,+∞上单调递增，所以1b ≤且2x y π=在1x =处的函数值要小于或者等于b y x x =+在1x =处的函数值12b π≤+，解得1b ≥-综上：b的取值范围是1,1⎤⎦ 故答案为：12；1,1⎤⎦ 【点睛】本题考查的是分段函数的奇偶性和单调性，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =4，C =2A ，3a =2c ，则cosA =______；a =______.【答案】 (1).34(2). 165 【解析】【分析】 由正弦定理可知3sin 2sin 2A A =，结合二倍角的正弦公式可求出3cos 4A =；由余弦定理结合32a c =可得22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，从而可求出165a =或4，由22C A π=<可排除4a =这一情况，进而可得正确答案. 【详解】解：由正弦定理知，sin sin a c A C=，因为32a c =，2C A =， 所以3sin 2sin24sin cos A A A A ==，即3cos 4A =； 由余弦定理知，2222216cos 28b c a c a A bc c+-+-==，因为32a c =， 所以22316323482a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅，整理得，2536640a a -+=，解得165a =或4.因为3cos 42A =>，所以4A π<，则22C A π=<.当4a =时，6c =， 则2222224461cos 22448a b c C ab +-+-===-⨯⨯，此时2C π>不符合题意，因此165a =. 故答案为: 34;165【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了二倍角公式.本题的关键是由正弦定理边角互化求出cos A .本题的易错点是未对a 的结果进行取舍.15.设F 是椭圆22143x y +=上右焦点，P 是椭圆上的动点，A 是直线34120x y --=的动点，则PA PF -的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】根据椭圆方程可知()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-.根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==，则()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-， 即PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值即可，利用图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，利用点到直线的距离公式求出AF '的值，进而可得出结论.【详解】解：Q F 是椭圆22143x y +=上的右焦点， 24a =，23b =， ∴2221c a b =-=，即()1,0F ，设F '是椭圆22143x y +=上的左焦点，则()1,0F '-. 根据椭圆的定义可知24PF PF a '+==. ∴4PF PF '=-，()44PA PF PA PF PA PF ''-=--=+-. 则PA PF -的最小值即求PA PF '+的最小值，根据图象可知，PA PF '+的最小值，即当AF '垂直于直线34120x y --=时AF '的值，则3AF '==. 则此时44341PA PF AF ''+-=-=-=-.所以PA PF -的最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，考查点到直线的距离公式，考查数形结合能力，属于中档题. 16.两个同样的红球、两个同样的黑球和两个同样的白球放入下列6个格中，要求同种颜色的球不相邻，则可能的放球方法共有______种.（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】对于不相邻的问题，运用插空的方法，先排出红球，再将黑球插空在红球的空隙之中，再将白球插在红球和黑球的空隙中可得答案.【详解】第一步：先将两个相同红球，排成一排，只有一种排法，第二步：情况1:再在两个红球的空隙中插入一个黑球，剩下的一个黑球有122C =种排法， 再将两个相同的白球插在红球和黑球的空隙中有2510C =种排法，所以由分步乘法原理得共有21020⨯=种排法，所以情况1共有20种排法；情况2：两个黑球分别放在红球的两侧，有1种方法，再将1个白球放于两个红球之间，剩下的1个白球再在红球和黑球之间插空，有14C 4=种方法，因此对于情况2共有4种排列方法；情况3：两个黑球一起放在红球的一侧，有2种方法，再分别在相邻的红球和相邻的黑球之间各放一个白球，只有一种放法，因此情况3共有2种放法；情况4：两个黑球一起放在红球之间，有1种放法，再在两个黑球之间放一白球，红球和黑球的空隙中再插入1个白球，共有4种放法，因此情况4共有4种放法；根据分类计数原理可得：所有的放球方法共有20+4+2+430=种方法；故答案为：30.【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的,对于较难问题，我们可以采取分步来做,不相邻的问题运用插空法，属于中档题.17.已知函数()()()()ln ,3f x x x a g x ff x =-+=+有4个零点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】()21,2e -【解析】【分析】利用导数求得函数()f x 的单调性与最值，得到10a ->，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，得出()13f x x +=有两个零点，再结合()23f x x +=，得出22x a <+，代入即可求解. 【详解】由题意，函数()ln f x x x a =-+，可得()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递递减， 所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为()11f a =-，要使函数()f x 有零点，则10a ->，可得1a >，设函数()f x 的两个零点分别为12,x x ，则1201x x <<<，令()0g x =，即()()30f f x +=，则()13f x x +=，即()13f x x =-，则()13(3,1)f x x =-∈--有两个零点，又由()23f x x +=，即()23f x x =-，只需231x a -<-，即22x a <+，即(2)ln(2)20f a a +=+-<，解得22a e <-，综上可得：实数a 的取值范围是()21,2e -.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中利用导数求得函数的单调性，以及合理应用函数性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()()4sin 0,02x x f ϕωϕπω=+><<的部分图象如图所示(),f x 经过()1,0，当2x =-时(),f x 取到最小值.（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数()()()2g x f x f x =++的单调递增区间.【答案】（Ⅰ）6π=ω，116πϕ=. （Ⅱ）[]123,123k k -+，k Z ∈.【解析】【分析】（Ⅰ）根据图像中特殊点的位置，先求周期，进而求出ω的值，再代入特殊点，根据特殊点的对应关系可求出ϕ的值. （Ⅱ）根据题意求出()g x 的解析式，然后利用整体思想的应用求出函数的单调区间.【详解】解：（Ⅰ）由图像可知，34T =，∴ 12T =，则2=126ωππ=； 又()4s =16in 0f πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴5+k 6πϕπ=.因为在1x =处为上升零点，且02ϕπ<<，所以116πϕ=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()6114sin 6x x f ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，11()4sin 4sin 6666x x g x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8sin cos 666x x πππ==， 解22262x k k πππππ-≤≤+得：123123k x k -≤≤+， 所以()g x 的单调递增区间是[]123,123k k -+，k Z ∈.【点睛】本题考查根据三角函数的图像求解析式，考查三角函数式的恒等变换以及正弦函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题.19.如图，三棱锥P ABC -的底面是边长为3的等边三角形，侧棱3,4,5,PA PB PC ===设点M ，N 分别为PC ，BC 的中点.（Ⅰ）求证：BC ⊥面AMN ；（Ⅱ）求直线AP 与平面AMN 所成角.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）30°【解析】【分析】（Ⅰ）根据边长关系可以计算PB BC ⊥，由传递性可得MN BC ⊥，再根据等边三角形的性质可知AN BC ⊥，由此可证明. （Ⅱ）利用BC ⊥面AMN 的关系，过P 做面AMN 的垂线PQ ，则PAQ ∠为所求角，根据长度关系可求出角的正弦值，进而求出角的大小.【详解】（Ⅰ）因为3BC =，4,5,PB PC ==所以PBC ∆为直角三角形，由勾股定理逆定理可知PB BC ⊥，所以MN BC ⊥，在等边三角形ABC 中，N 为BC 中点，所以AN BC ⊥，又PB BC B ⋂=，所以BC ⊥面AMN .（Ⅱ）延长NM 到Q ，使NM MQ =，连接PQ ，AQ ，于是四边形PQNB 为平行四边形.所以PQ BN P ， 根据前一问的结论可知PQ ⊥面AMN ，所以PAQ ∠直线直线AP 与平面AMN 所成角.在直角三角形PAQ 中，312sin 32PQ PAQ AP ∠===，所以30PAQ ∠=︒.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面角的求法，考查线面角的定义，熟练掌握线面角的定义是解题的关键，本题属于中档题.20.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：()*21N n n n a S n n n -+∈+=.（Ⅰ）求证：数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求S n ，并求S n 的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1112n n S n =-+，1180. 【解析】【分析】（Ⅰ）由题得21n n n a S n n -+=+，①，1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥ ②，两式相减得1112(1)(1)n n a a n n n n -⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭，即得数列1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为等比数列； （Ⅱ）求出11121n n a n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，再利用分组求和裂项相消法求出n S ；分析得到当5n ≥时，1n n S S ->，当4n ≤时，1n n S S -≤，即得n S 的最大值为4S 得解.【详解】解：（Ⅰ）因为21n n n a S n n-+=+，① 1122n n n a S n n---+=-，(2)n ≥， ② 由①-②可得， 当2n ≥时，122122n n n n a a n n n n ----=-+-， 所以122122(1)n n n n a a n n n n --++--=-+-， 所以1222122(1)n n n n a a +n n n n n n --+--=-++-， 所以1222212(11)(1)(1)n n n a a +=+n n n n n n n n n -----=-+-+- 整理得，1112(1)(1)n n a a n n n n-⎛⎫+=+ ⎪+-⎝⎭， 所以11(1)112(1)n n a n n a n n-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+-， 又11122a +=，所以1(1)n a n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为首项公比均为12的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）得11(1)2n n a n n +=+， 所以111112(1)21n n n a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以1111111122231n n S n n ⎛⎫=---+-++- ⎪+⎝⎭L ， 故有1112n n S n =-+， 因为111(1)12(1)(1)2n n n n n a n n n n +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 令(1)()12n n n f n +=-，则1(1)(2)(1)()2n n n f n f n ++-+-=， 所以(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f <=>>L ，又()10f =，()40f >，()50f <，所以当5n ≥时，0n a <即1n n S S ->，当4n ≤时，0n a ≥即1n n S S -≤，因此n S 的最大值为4111151680S =-=. 【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查分组求和裂项相消法求和，考查公式法求和，考查数列n S 的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2y ax =上一点()0,5M x 到焦点的距离为214，过()1,0P -作两条互相垂直的直线1l 和2l ，其中斜率为()0,k k >1l 与抛物线交于A ，B ，2l 与y 轴交于C ，点Q 满足：,.AP PB QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r（1）求抛物线的方程；（2）求三角形PQC 面积的最小值.【答案】（1）2y x =； （2）12【解析】【分析】 （1）根据抛物线定义，()0,5M x 到焦点的距离等于到其准线的距离，求得抛物线方程；（2）应用设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式，将点,Q C 的纵坐标均用k 表示出来，再表示出,PQ PC ，从而表示出三角形的面积，再求最值.【详解】解：（1）抛物线2y ax =化为标准方程为：21x y a=，其准线为14y a =-， 则1215()44a --=，得1a =,故抛物线的方程为2y x =. （2）由题1:(1)l y k x =+,21:(1)l y x k =-+，则1(0,)C k -， 设112200(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ，则2(1)y k x y x =+⎧⎨=⎩，得20x kx k --=， 则12x x k +=，12x x k =-.由AP PB λ=u u u r u u u r ,则1122(1,)(1,)x y x y λ---=+,得12y y λ=-, QA QB λ=u u u r u u u r ,则10102020(,)(,)x x y y x x y y λ--=--,得1020y y y y λ-=-, 故101220y y y y y y --=-,得120122y y y y y =+ 又221212()y y x x k ==,21212(2)2y y k x x k k +=++=+,则20222k y k k=+,0||PQ ==2222k k k =+,||PC = 又PQC S ∆12PQ PC =⋅⋅2212k k k +=+, 令()g k =2212k k k++，0k > 则2222(1)()(2)k k g k k k --+'=+=22112(22(2)k k k k +---+则()g k在递减，在1()2++∞递增，故当12k +=时，()g k的最小值为12g ⎛+= ⎝⎭12， 故三角形PQC【点睛】本题考查了抛物线定义，直线与抛物线的位置关系，考查了设而不解，联立方程组，根与系数的关系，以及向量式化简等常用技巧，表示出三角形的面积公式后，表达式较复杂，可利用导数工具求最值. 22.已知函数())0f x a =>有两个不同的极值点. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意R,m ∈存在[),,x e ∈+∞使得()f x m k -≥成立，证明：k < 【答案】（Ⅰ）1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求得'()f x ，令()'0f x =，得到2ln 20a x x --+=，设2()ln 2a g x x x=--+， 利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，列出不等式组，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到()210a g e e=->，把对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立，转化为()()0022f x b f x k -≤≤，化简()0f x == 令()2ln ()x h x e x e x=<<，利用导数求得函数()h x 的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由函数())0f x a =>，则'2ln 2())a x f x x a --+=>， 令()'0f x =，可得2ln 20a x x--+=， 设2()ln 2a g x x x =--+，则'22()a x g x x -=，令()'0g x =，解得2x a =， 列表如下：所以()g x 的极大值为()()21ln 2g a a =-，又因为()2220a g e e =-<， 所以函数()f x 有两个不同的极值点等价于()0(2)0g a g a <⎧⎨>⎩，解得12e a <<， 因此实数a 的取值范围为1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()210a g e e =->， 设()g x 的较大零点为0x ，则()20,x e e∈， 且()0,x e x ∈，()'0f x >；()0,x x ∈+∞，()'0f x <，所以()f x 在()0,e x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，从而()f x 有最大值为()0f x ，又当x e ≥时，()0f x >，故可设函数()f x 的值域为()(0,b f x ⎤⎦，其中0b ≥，由题意：对任意m R ∈，存在[)3,x ∈+∞，使得()f x m k -≥成立， 等价于()()0022f x b f x k -≤≤， 而()0f x =，且()000022ln 2x a a x x x -=-=，所以()0f x ==20e x e <<， 令()2ln ()x h x e x e x=<<，则'21ln ()0x h x x -=<， 所以()h x 在()2,e e 上单调递减， 所以1()()h x h e e <=，故()0f x < 因此()02f x k ≤<. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题
一、单选题二、多选题1.把化成弧度为（ ）A．B．C．D．2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．3.已知函数满足，且当时，成立，若，则的大小关系是A．B．C．D．4.已知集合，则A．B．C．D．5. 下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）A．B．C．D．6. 若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）A．B．C．D．7.已知曲线，直线，则直线与曲线的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定8. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．9. 已知一组样本数据为不全相等的个正数，其中，若由生成一组新的数据，则这组新数据与原数据中可能相等的量有（ ）A ．极差B ．平均数C ．中位数D ．标准差10. 下列结论正确的有（ ）A ．相关系数越接近1，变量，相关性越强B．若随机变量，满足，则C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D．设随机变量服从二项分布，则11. 如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B 的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题浙江省金丽衢十二校2023届高三下学期第二次联考数学试题三、填空题四、解答题A．在末，点的坐标为B．在末，扇形的弧长为C．在末，点在单位圆上第二次重合D ．面积的最大值为12.关于函数，下列说法中正确的有（ ）A ．是偶函数B ．在区间上为增函数C ．的值域为D ．函数在区间上有六个零点13. 已知函数，则的最小正周期为___________；当时，的值域为___________.14. A ，B ，C ，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为__________.15. 甲、乙、丙3个公司承包7项不同工程，甲、乙公司均承包3项，丙公司承包1项，则共有________种承包方式.（用数字作答）16.已知函数有三个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.17.如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．18. 在非等腰中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，且，，.(1)求的值；(2)求b 的值；(3)求的值.19. 已知函数，．(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；(2)若在上单调递减，求．20. 某市场研究机构为了解用户在选购相机时品牌因素的影响，用A，B两个品牌的相机各拍摄了一张照片，然后随机调查了200个人，让他们从中选出自己认为更好的一张照片.这200个人被分成两组，其中一组不知道两张照片分别是哪个品牌的相机拍摄的.称为“盲测组”；另一组则被告知相关信息，称为“对照组”.调查结果统计如下：选择A品牌相机拍摄的照片选择B品牌相机拍摄的照片盲测组6634对照组4456(1)分别求盲测组和对照组认为A品牌相机拍摄的照片更好的概率；(2)判断是否有99%的把握认为相机的品牌对用户有影响.附：，其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.82821.已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.。
2021届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
2021届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．设集合{}2A x R x x =∈<，集合{}11B x R x =∈-<，则AB =（ ）A ．()0,2B ．()1,2C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．∅【答案】B【分析】分别求两个集合，再求AB .【详解】2x x >，1x >或0x <，得{1A x x =>或0}x <，11111x x -<⇔-<-<，得02x <<，{}02B x x =<<，{}12A B x x ⋂=<<.故选：B2．已知点A 、B 在平面α的两侧，则点A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求解即可.【详解】如图，设AB 的中点为C ，过A 、B 分别作平面α的垂线，垂足为A '、B '. 则//AA BB ''，,,,A A B B ''四点共面. 过C 作CC A B '''⊥，垂足为C '，则//CC AA ''， 又AA α'⊥，则CC α'⊥.即C C '即为所求点到平面α的距离. 在平面AA BB ''中，5,3A A BB ''==，C 为AB 中点，则3512C C -+'==. 故选：D.【点睛】立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是“找——证——求”三步法；二是等体积法；三是法向量法.3．已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．9 B ．6C ．5D ．4【答案】A【分析】由已知条件可判断点P 在双曲线的左支上，设双曲线的右焦点为1F ，则由双曲线的定义可得118PF =，再利用三角形中位线定理可求得答案【详解】解：由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,5,30a b c ===， 设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为8530a c <+=+， 所以点P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =， 因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点， 所以1192OM PF ==， 故选：A4．若实数x ，y 满足约束条件，4304307y x x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，则1011z x y =+的最小值为（ ）A ．74B ．73C ．70D ．0【答案】A【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【详解】作出可行域如图阴影部分所示，由1011z x y =+可得：10=1111z y x -+， 如图示，把直线10=1111zy x -+平移到()3,4A 时直线的纵截距最小， 此时103114=74z =⨯+⨯最小. 故选：A【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．5．过原点O 作曲线()()222166800a x y a x y a +-++=≠的切线OA ，OB ，则cos AOB ∠=（ ）A ．35B ．45C ．725D ．2425【答案】C【分析】化简方程，得到圆心和半径，求出OC ，得到sin AOC ∠，利用二倍角公式得到答案.【详解】化简()()222166800a x y a x y a +-++=≠得222(3)(4)9x a y a a ++-=，∴圆心为(3,4)a a -，半径为3a易知22(3)(4)5OC a a a =-+= ∴33sin 55AC a AOC OC a ===∠ ∴cos AOB ∠=223712sin 12525AOC ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭∠故选：C.6．已知0a >，0b >，则“100ab ≥”的一个充分不必要条件是（ ） A ．1115a b +≤ B ．20a b +≥C ．10ln ln a ba b--≤ D ．22200a b +≥【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析求解即可 【详解】解：对于A ，因为0a >，0b >，1115a b +≤，所以5()a b ab +≤，所以10ab ab ≥，即100ab ≥，当且仅当a b =时取等号，而当100,1a b ==时，满足100ab ≥，而不满足1115a b +≤，所以“100ab ≥”的一个充分不必要条件是1115a b +≤， 所以A 正确； 对于B ，取1,20a b ==时，满足2120a b +=≥，但20ab =不满足100ab ≥，所以20a b +≥为不充分条件，所以B 错误；对于C ，取2,a e b e ==时满足22210ln ln ln ln a b e e e e a b e e--=-≤--=，但3ab e =不满足100ab ≥，所以10ln ln a ba b--≤为不充分条件，所以C 错误；对于D ，取1,20a b ==时，满足221400200a b ++=≥，但20ab =不满足100ab ≥，所以22200a b +≥为不充分条件，所以D 错误，故选：A7．已知函数()f x 的大致图象如下，下列选项中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．x x eB ．1x x e +C ．2x x e e-- D ．x xxxe e e e--+- 【答案】D【分析】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项.【详解】由图可知，函数()f x 为奇函数. 对于A 选项，函数()x x f x e =的定义域为R ，()()x xx xf x f x e e---=≠-=-， 函数()xxf x e =不是奇函数，排除A 选项； 对于B 选项，函数()1x x f x e +=的定义域为R ，()()11x xx x f x f x e e --+-=≠-=-， 函数()1x x f x e+=不是奇函数，排除B 选项； 对于C 选项，由0x x e e --≠可得0x ≠，即函数()2x xe ef x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()2x x f x f x e e --==--，函数()2x xe ef x -=-为奇函数，()22221f e e-=<-， C 选项不满足要求； 对于D 选项，由0xxe e--≠可得0x ≠，即函数x x x xe ef x e e的定义域为{}0x x ≠，()()x xx x e e f x f x e e --+-==--，函数x x x xe ef xe e为奇函数，当0x >时，()1x xx xe ef x e e--+=>-，满足题意. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.8．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（ ）A ．25B ．26C ．27D ．5【答案】D【分析】根据侧视图得侧棱长与底面的高，结合垂直关系即可求解正视图的腰长． 【详解】将正三棱锥置于一长方体中如图所示：则正视图为MEF ,由侧视图可得27,33==MG AD 由于O 为底面中心，所以133==ED AD ，又27==MD MG 所以正视图的腰长222835=-=-=EM MD ED 故选：D9．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -中，P 为平面11AB D 内一动点，P 到底面ABCD 的距离与到直线1AD 的距离相等，则P 点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆【答案】A【分析】过A 作11//l B D ，作1PF AD ⊥，PE l ⊥，作PH ⊥底面ABCD ，根据图形可将PF PH =转化为6PF PE =，即可确定P 点轨迹. 【详解】过A 作11//l B D ，作1PF AD ⊥，PE l ⊥，作PH ⊥底面ABCD ，如图，设正方体棱长为1，由平面几何知识可得菱形11D B 与AE 62602︒=所以6sin 36PEH ∠== 所以63PF PH PE ==所以在平面11AB D 内满足63PF PE =所以P 点的轨迹是直线， 故选：A【点睛】关键点点睛：该题难度大，关键在于将点P 到面的距离与到线的距离相等在平面内转化出来，通过辅助线转化为平面内动点到两线的距离比为常数得到轨迹，属于难题.10．设集合{}20,21,5,11,15,30,S a =---，我们用()f S 表示集合S 的所有元素之和，用()g S 表示集合S 的所有元素之积，例如：若{}2A =，则()()2f A g A ==；若{}2,3B =，则()23f B =+，()23g B =⨯．那么下列说法正确的是（ ）A ．若0a =，对S 的所有非空子集i A ，()i f A 的和为320B ．若0a =，对S 的所有非空子集i B ，()i f B 的和为640-C ．若1a =-，对S 的所有非空子集i C ，()i g C 的和为1-D ．若1a =-，对S 的所有非空子集i D ，()i g D 的和为0 【答案】C【分析】对于选项A 、B ：当0a =时，{}20,21,5,11,15,30,0S =---，则()=10f S .由()f S 的定义，计算出所有()f S 的值，即可判断； 对于C 、D ：根据()g S 的定义，计算()g S ，进行判断. 【详解】对于选项A 、B ：当0a =时，{}20,21,5,11,15,30,0S =---，则()=10f S .（1）当S 的所有非空子集中只有一个元素时，显然所有的()i f A 的和为10；（2）当S 的所有非空子集中有两个元素时，共有2721C =个子集，且21个子集共有42个元素，所以S 的每一个元素都被取到6次（每个元素被取到的可能性相等），此时所有的()i f A 的和为()6=60f S ⨯；同理，以此类推，可类推出子集有3、4、5、6、7个元素时，()i f A 之和分别为()37376531015073217C f S ⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯； ()4747654410200743217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯； ()575765435101507543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯； ()6767654326106076543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯； ()777765432171010776543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故A 、B 错误； 对于C 、D ：当1a =-时，{}20,21,5,11,15,30,1S =----.（1）当子集中有7个元素时，()()()()()7120215111530g B =-⨯-⨯⨯⨯-⨯-⨯, （2）当子集中有6个元素时，记61B 为不含元素-1的子集，则有()()617g B g B =-. 其他含-1的子集分别即为()627i B i ≤≤，则有()()()7767612iii i g B g B g B ===-+∑∑.同理可以得到：当当子集中有5个元素时，记51B 为不含元素-1的子集，则有()()75162i i g B g B ==-∑.其他含-1的子集分别即为()627i B i ≤≤，则有()()()7767612iii i g B g B g B ===-+∑∑，所以对于由()7n n <个元素的子集，都可以分成两类：含-1的与不含-1的，其中，不含-1的部分刚好为()1n +元素中含-1的子集元素积之和的相反数，那么相加可以抵消，指导最后仅有一个元素的子集时，仅有含-1的一个子集未被抵消，则S 的所有()i g C 之和为-1，故C 正确，D 错误. 故选:C【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.二、填空题11．设复数z 满足：13z z i =++（i 是虚数单位），则z =_________． 【答案】5【分析】设(),z a bi a b R =+∈，列方程，利用复数相等的条件求出a 、b ，即可求出z . 【详解】设(),z a bi a b R =+∈,则z =13i a bi +++，由复数相等的条件可得：130a b ++=⎪⎩，解得：43a b =⎧⎨=-⎩，所以5z = 故答案为：512．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，23AB CD ==，2AD =，若EF 在线段AB 上运动，且1EF =，则CE CF ⋅的最小值为_________． 【答案】154【分析】根据题意建立直角坐标系，把CE CF ⋅转化为()215=1+4CE CF t -，利用二次函数求最值即可.【详解】如图示，以A 为原点，AB 为x 轴正方向，AD 为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则：、()()()30,0,3,0,,2,0,2,2A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不妨设()()(),0,1,002E t F t t +≤≤则31,2,,2,22CE t CF t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()2313115,2,2=+4=1+22224CE CF t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴CE CF ⋅的最小值为154，当且仅当1t =时取得. 故答案为：154【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理； (2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．13．设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：30a <，且56160S S +=，则11S 的最小值为_________．【答案】88【分析】从56160S S +=入手，换成1,a d 的形式，因为关于d 的方程有实数解，故0∆≥，求出其范围即可．【详解】由题意，31020a a d <⇒+<.()()5611160510615160S S a d a d +=⇒+++=.设15a d x +=.则()()1151061516015(3)(25)160a d a d x d x d +++=⇔--+=2222516530160d xd x ⇔-++=．因为关于d 的方程有实数解，故0∆≥.即()22(165)422530160x x --⨯⨯+≥，解得8x ≥或8x ≤-（舍去）. 故()1111151188S a d x =+=≥.此时12044,315a d =-=，满足120a d +<． 即11S 的最小值为88. 故答案为：88．【点睛】本题关键之处是利用主元法，通过整体换元，找到方程有解条件，进而求出其最小值．三、双空题14．已知()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++，则017a a a +++=_________，6a =_________．【答案】16- 20-【分析】令()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++中的1x =，可求出017a a a +++的值，()()43112x x +-展开式中6x 的系数可由以下二种方式得到：一是用4(1)x +展开式中含3x 的项乘以3(12)x -的展开式中含3x 的项，另一种是用4(1)x +展开式中含4x 的项乘以3(12)x -的展开式中含2x 的项，从而可求得结果【详解】解：将1x =代入()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++可得43017(11)(121)16a a a +++=+⨯-⨯=-，根据题意可知6a 为()()43112x x +-展开式中6x 的系数，而()()43112x x +-展开式中6x 的系数可由以下二种方式得到：一是用4(1)x +展开式中含3x 的项乘以3(12)x -的展开式中含3x 的项，另一种是用4(1)x +展开式中含4x 的项乘以3(12)x -的展开式中含2x 的项，因为4(1)x +展开式中含3x 的项为134C x ，含4x 的项为044C x ，3(12)x -的展开式中含3x 的项为333(2)C x -，含2x 的项为223(2)C x -， 所以()()43112x x +-展开式中6x 的项为134C x 333(2)C x -044C x +223(2)C x -666321220x x x =-+=-，所以620a =-， 故答案为：16-，20-15．函数()sin f x x x =-，()0,x π∈的值域为_________，若()f x =()0,x π∈，则cos 2x =_________．【答案】⎡-⎣ 【分析】先把()f x 化简，利用换元法借助于sin y x =的性质求出值域；由()f x =712x π=，代入cos 2x 即可.【详解】()()1sin =2sin =2sin 0,23f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=----∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵()0,x π∈，∴2,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 令2,,333t x t πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∴32sin 2,3,t t y ππ⎛⎫∈-= ⎝-⎪⎭，∴min 2sin 2=2y π=--，32sin y π⎛- ⎝-⎪⎭<⎫∴值域为：⎡-⎣；当()f x =()0,x π∈，即2sin =3x π⎛⎫--⎪⎝⎭712x π=，所以，此时cos 2x =77cos 2cos 1262ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：⎡-⎣； 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.16．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背，规定至少要背出2篇才能及格．同学甲只能背出其中的6篇，则甲同学能及格的概率为_________，设抽取的3篇课文中甲能背诵的课文有ξ篇，则随机变量ξ的期望()E ξ为_________． 【答案】23 95【分析】依题意可以先求出随机变量ξ的分布列，由此可以求出甲同学能及格的概率(2)P ξ≥，也可求出随机变量ξ的期望()E ξ.【详解】依题意，ξ可取0,1,2,3，且服从超几何分布.所以，364310()(0,1,2,3)k k C C P k k C ξ-===， 所以，ξ的分布列为所以，甲同学能及格的概率为112(2)(2)(3)263P P P ξξξ≥==+==+=； 随机变量ξ的期望13119()01233010265E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：①23；②95. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出随机变量ξ的分布列.17．函数(),,x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若存在实数0x ，使得对于任意x ∈R ，都有()()0f x f x ≥，则实数a 的取值范围是_________；若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()0,1 【分析】首先画出函数()x x f x e=和y x =的图象，根据分段函数存在最大值，确定a 的取值范围；存在平行于x 轴的直线与分段函数的图象有3个交点，分析()0,1a ∈和[)1,a ∈+∞的图象，确定a 的取值范围.【详解】()xx f x e=，()1x xf x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数取得最大值()11f e=，如图，画出函数的图象，根据题意可得函数的最大值，将x a =平移可得，当1a e≤时，()f x 的最大值()11f e =，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；用一条平行于x 轴的直线，截图象，有3个交点时，存在1x ，2x ，3x ，使()()()123f x f x f x ==，当()1,a ∈+∞时，如图，最多有2个交点，所以不成立，当()0,1a ∈时，如图，存在3个交点，所以a 的取值范围是()0,1.故答案为：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；()0,1 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的最值，以及根据函数零点个数求参数的取值范围，本题的关键是能根据分界点，画出分段函数的图象，数形结合分析问题.四、解答题18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （Ⅰ）若12cos cos 2sin sin A B A B +=，求角C ；（Ⅱ）若()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，求角C ．【答案】（Ⅰ）3C π=；（Ⅱ）34C π=． 【分析】（Ⅰ）根据12cos cos 2sin sin A B A B +=，利用两角和的余弦公式转化为()1cos 2A B +=-求解；，（Ⅱ）根据()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，求出tan A ，然后利用余弦定理和正弦定理求解；【详解】（Ⅰ）因为12cos cos 2sin sin A B A B +=， 所以()1cos 2A B +=-， 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 所以3C π=．（Ⅱ）因为()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，显然2A π≠， 所以2222222cos cos tan tan 2cos cos tan c a b ab C a C AA b c a bc A c A C-----====+-， 又由tan 0A ≠， 所以tan 1=-C ， 因为()0,C π∈， 所以34C π=． 【点睛】方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，2CD =，6PD =．（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）105． 【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，做辅助线，连接AC ，交MD 于E ，再连接NE ，证明//PC NE ，即可证明；（Ⅱ）点A 到平面的距离转化为点M 到平面PBC 的距离的2倍，利用//MD BC ，即MD 上任何一个点到平面PBC 的距离相等，通过做辅助线转化.【详解】（Ⅰ）连接AC ，交MD 于E ，再连接NE 因为MDBC ，M 是AB 的中点，所以E 是AC 的中点，又N 是AP 的中点，所以NE PC ，且NE ⊂平面MND ，PC ⊄平面MND 所以PC平面MND ；（Ⅱ）过C 作CF MD ⊥于F ，连接PF ，又因为MD PC ⊥，且CF PF F ⋂= 所以MD ⊥平面PFC ， 所以BC ⊥平面PFC ，所以平面PFC ⊥平面PBC ，过F 作FG PC ⊥于G ， 又因为平面PFC平面PBC PC =，且FG ⊂平面PFC ， 所以FG ⊥平面PBC ． 在Rt PBC 中，2222PC PB BC =-=在直角梯形MBCD 中1MB BC ==，2CD ，则1FD FC == 在Rt PFD 中，225PF PD FD -=在PFC △中，5PF =，1FC =，22=PC则2225cos 2PF FC PC PFC PF FC +-∠==⋅ 所以25sin PFC ∠=2sin 2PFC S PF FC PFC FG PC PC ⋅⋅∠===， 又由MF FD =，PF MD ⊥，知6PM PD =所以由()22222PB PA PM MA +=+可得5PA =因为点A 到平面PBC 的距离是点M 到平面PBC 的距离的2倍，点M 到平面PBC 的距离和点F 到平面PBC 距离相等，所以点A 到平面PBC 的距离是点F 到平面PBC 的距离的2倍，所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为2105FG PA =【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，线面角的综合应用，本题第二问的关键是利用中点，利用线面平行，转化点到平面的距离，即转化点A 到平面PBC 的距离是2FG .20．对任意非零数列{}n a ，定义数列(){}n f a ，其中(){}n f a 的通项公式为()12111111n n f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）若n a n =，求()n f a ；（Ⅱ）若数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前n 项和为n S ，且()()12n n n f a +=，1n n n b a S +⋅=．求证()43n f b <． 【答案】（Ⅰ）()()*1n f a n n =+∈N ；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（Ⅰ）利用相乘相消法求出通项公式即可； （Ⅱ）由()()12n n n f a +=可求出141n na =-，利用111n n nS b S ++=，由相乘相消法求出()n f b ，根据14134n n --≥⨯进行放缩，即可证明出结论. 【详解】（Ⅰ）因为n a n =，()12111111n n f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1211123411111123n n n f a n a a a n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()*1n f a n n =+∈N ；（Ⅱ）因为()()12n n n f a +=，所以1114a +=，1141a =-， 又当2n ≥时，114n n a +=，141n n a =-， 所以对任意*n ∈N ，141n na =-． 又由11111n n n n na Sb S S +++=+=， 于是()2111111414141141n n n S f b S +++++---==- 由14134n n --≥⨯得()1211311114334313343434314n n n f b +⎛⎫- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭<++++=< ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-． 【点睛】关键点点睛：根据所给条件求通项公式，相乘相消法是解题的关键，在证明不等式中，恰当放缩14134n n --≥⨯是难点.21．如图，设()0,P t ，t R ∈，已知点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，直线PF与抛物线交于A ，B 两点()AF BF <，点C （不同于原点）在抛物线上，PC 不平行于x 轴，且PC 与抛物线有且只有一个公共点．当t =22时，12AF BF =．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若CA ，CB 分别与x 轴交于D ，E ，设ADF ，BEF 和ABC 的面积分别为1S ，2S ，S ，求122S S S ⋅的最大值． 【答案】（Ⅰ）2p =；（Ⅱ）116．【分析】（Ⅰ）由题得直线AB 方程为2122x p =，与抛物线联立方程，消x 得221022y p +-=， 根据12AF BF =，进一步求出答案； （Ⅱ）设直线AB 方程为()1y t x =--，联立()214y t x y x⎧=--⎨=⎩，消x 得2440ty y t +-=，求出弦长AB ，点C 到直线AB 的距离,一步求出12S S ⋅和S 化简求出答案. 【详解】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y由题可知(0,P ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB方程为21x p=．联立2212xp y px⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消x得2210y p -=，由韦达定理得212y y +=，212y y p =-②． ∵12AF BF =，∴212y y =-③，由①②③解得2p =． （Ⅱ）设()33,C x y ，()0,P t ，由（Ⅰ）知()1,0F ． 则直线AB 方程为()1y t x =--联立()214y t x y x⎧=--⎨=⎩，消x 得2440ty y t +-=， 由韦达定理得124y y t +=-，124y y =-．弦长()2241t AB t+=．设直线PC 方程为y kb t =+，联立24y kx ty x=+⎧⎨=⎩，消x 得2440ky y t -+=， 由直线PC 与抛物线相切得16160kt ∆=-=，即1kt =．由韦达定理得3424y t k ==，∴()2,2C t t ．点C 到直线AB的距离为d = 由直线AC 方程为()13134y y y x y y +=+，得134D y y x =-， 同理可得234E y y x =-． ∴()()212121323121114412264S S DF y EF y y y y y y y t ⋅=⋅⋅⋅=++=+()3222112t S AB d t+=⋅= ∴()21222221111441611S S t S t t t ⋅=⋅=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，等号成立当且仅当1t =±．【点睛】本题涉及到直线方程第一问中可以使用截距式方程，以及直线与抛物线相切利用判别式为零求解,在基本不等式中一定要探讨等号成立时的情况.22．设a R ∈，已知函数()()()6x f x e x x a =+--，函数()ln 1x x g x e x x=--．（注：e 为自然对数的底数）（1）若5a =-，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意实数1x 和正数2x ，均有()()1248f x g x a +-≥，求a 的取值范围．【答案】（1）29-；（2）35,e ⎡⎤-⎣⎦．【分析】（1）由于()'21x fx e x =+-为增函数，且()'00f =，所以()f x 在,0递减，在0,递增，从而可求出其最小值；（2）利用导数先求出()min 1g x =，再求出对任意a R ∈，存在唯一实数3x ，使得()'30f x =，即3326x a e x =+-，且()()3min f x f x =，于是有()()3333333626148248x x x e x x e x e x +---+++--≥，即()()333310x x e x -+-≤，而()1x v x e x =+-单调递增且()00v =，从而可求出3x 的值范围，进而可求得a 的取值范围【详解】解：（1）当5a =-时，()'21x fx e x =+-为增函数，且()'00f =，所以()f x 在,0递减，在0,递增，所以()()min 01629f x f a ==+=-． （2）因为()'2ln 111ln ln x x x x g x e e e x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，由于函数2ln x y x e x =+在0,上单增，且1'210e g e e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'10g e =>，所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()'00g x =．且()()0min g x g x =．再令()ln u x x x =，()'1ln u x x =+，可知()u x 在1,单增，而由()'00g x =可知()001x u e u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01x e >，011x >，所以001x e x =． 于是()000001ln 11x x g x e x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭，所以()min 1g x =． 又()'26x f x e x a =+--为增函数，当0a ≥时，()'050f a =--<，当0a <时，'2602a a f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；又当6a ≥时，'2602a a f e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 当6a <时()'330fe a =->，所以对任意a R ∈，存在唯一实数3x ， 使得()'30f x =，即3326x a e x =+-，且()()3min f x f x =．由题意，即使得()()min min 48f x g x a +-≥，也即()()3333333626148248x x x e x x e x e x +---+++--≥， 即()()333310xx e x -+-≤，又由于()1x v x e x =+-单调递增且()00v =， 所以3x 的值范围为[]0,3，代入3326x a e x =+-求得a 的取值范围为35,e ⎡⎤-⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用导数分别求出(),()f x g x 的最小值，从而将问题转化为()()333310xx e x -+-≤，然后求出3x 的值范围，进而可求得a 的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题。
浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A．B ．1或6C．D ．13. 已知集合，则下列关系中：①；②；③；④；表述正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数的图象向左平移）个单位长度后对应的函数为，若在上单调，则的最小值为（ ）A．B．C．D．5. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．6.已知，则（ ）A．B．C．D．7.如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中正确的是（）①平面平面②③④平面A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①④8. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A．B．C．D．9. 已知，则下列式子中正确的有（ ）A．B．C．D．10. 下列说法正确的有（ ）A．设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相交B．设直线系：，则存在一个圆与中所有直线相切C．如果圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值范围是D ．过点作圆的切线，切点为、，若直线的方程为，则浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(2)浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(2)三、填空题四、解答题11. 下列说法正确的是（ ）A ．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，，则游戏者闯关成功的概率为B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为C ．已知随机变量X的分布列为，则D ．若随机变量，且.则，12.双曲线，圆，双曲线与圆有且仅有一个公共点，则取值可以是（ ）A ．2.2B ．2.4C ．2.5D ．2.713. 的展开式中的系数为__________．14. 已知集合，，若，则实数__________．15. 已知，若关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围为__________.16. 已知，函数 .(1)过原点作曲线的切线，求切线的方程；(2)证明：当或时，.17.已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.(1)求数列与的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.18. 已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．(1)求椭圆方程；(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．19. 已知A 、B 、C 为的三内角，且其对边分别为a 、b 、c，若，，且．（1）求角A 的值；（2）若的周长为，面积为，求a 的值．20. 已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e 是自然界对数的底,)（1）设，求证：当时，；（2）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由.21. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（互质是公约数只有1的两个整数），例如：，.(1)求，，；(2)若数列满足，且，求数列的通项公式和前n项和.。
浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 设i 为虚数单位，则复数z=i （1﹣i ）对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．即非充分又非必要条件3. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 为C 上两点，且均在第一象限，过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为D ，E .若，，则的外接圆面积为（ ）.A．B．C．D．4. 某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是A ．48B ．72C ．84D ．1685.年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为、、…、的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为（）A．B．C．D．6. 已知，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 在中，若，则一定是（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰三角形9. 已知定圆A 的半径为1，圆心A 到定直线l 的距离为d ，动圆C 与圆A 和直线l 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（）A．B．C．D．10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点，若点在上，点为抛物线上第一象限内一点，直线与抛物线交于另一点，是正三角形，且四边形的面积是，则（ ）A ．的方程为B．浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)三、填空题四、解答题C．D ．的面积是11. 已知数列1，1，2，3，5，8，…被称为“斐波那契数列”该数列是以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”，斐波那契数列满足，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．12. 若为复数，则（ ）A．B．C．D．13. 已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是___________.14. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于_____.15. 在中．若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________．16.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．(1)请确定点在线段上的位置；(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．17.设数列的前项的积为，满足，，记（1）证明：数列是等差数列；（2）记，证明：18. 已知函数.（Ⅰ）求在上的最大值和最小值；（Ⅱ），求的单调区间.19. 已知数列的前项和为，且当时，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求的前项和.20. 为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在、两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？(3)根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率.21. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.(1)求A；(2)已知D为边BC上一点，，若，，求的周长.。
浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）A．B．C．D．3.在正方体中，棱长为2，E 为的中点，点P 在平面内运动，则的最小值为（ ）A ．3B．C．D ．54. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．65. 五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．24种C ．48种D ．96种6. 设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ）A．B．C．D．7.在复数范围内方程的根为，，则（ ）A．B．C ．2D ．18.若，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．9. 在三棱锥中，，的内心到三边的距离均为2，平面，且三棱锥的三个侧面与底面所成的角都为，则下列说法正确的是（ ）A ．的周长为10B．C ．三棱锥的体积为D．三棱锥的内切球的体积为10. 已知函数，若时，有，是圆周率，为自然对数的底数，则下列结论正确的是（ ）A ．的图象与轴有两个交点B．C ．若，则D ．若，，，，，，则最大浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)浙江省金丽衢十二校2022届高三下学期5月第二次联考数学试题(1)三、填空题四、解答题11.若椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则的方程可能为（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期为B．C．将图像向左平移个单位得到一个偶函数D ．在上单调13. 设函数f (x )=ln ，则函数g (x )= f ()+ f ()的定义域_____________.14.已知数列满足，，且，记为数列的前项和，则_____．15. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是_________.16. 已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若对于任意的，恒有，求的取值范围.17.已知函数．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)讨论函数的单调性；(3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．18. 中，角的对边分别是，.(1)求角；(2)若为边的中点，且，求的最大值.19. 对于函数，如果对于定义域D 中任意给定的实数x ，存在非负实数a，使得 恒成立，称函数具有性质 ．(1)判别函数和是否具有性质 ，请说明理由；(2)函数，若函数 具有性质，求a 满足的条件；(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数 且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．20. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立.21. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？。
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数学试题卷(理科) 第1页（共4页）金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．平行直线l 1：3x +4y -12=0与l 2：6x +8y -15=0之间的距离为( ▲ )A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“∃α∈[0, +∞），sin α>α”的否定形式是( ▲ )A ．∀α∈[0, +∞），sin α≤αB ．∃α∈[0, +∞），sin α≤αC ．∀α∈(-∞,0），sin α≤αD ．∃α∈(-∞,0），sin α>α3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm 3 A ．4+23πB ．4+32πC ．6+23πD ．6+32π4．若直线l 交抛物线C ：y 2=2px (p>0)于两不同点A ，B ，且|AB |=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为( ▲ ) A ．p2B ． pC ．3p 2D ．2p5．已知φ是实数，f (x )=cos x ﹒cos(x +π3)，则(第3题图)俯视图正视图侧视图数学试题卷(理科) 第1页（共4页）D AB CD 1 (第6题图)“φ=π3”是“函数f (x )向左平移φ个单位后关于y 轴对称”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD 1C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是( ▲ )A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．一段圆弧D ．双曲线的一段7．已知双曲线C :2222x y ab-=1(a , b >0)虚轴上的端点B (0, b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且//， 则该双曲线的离心率为( ▲ ) A ．5B ．2C ．1+32D ．1+528．已知非零正实数x 1, x 2, x 3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f (x )=x α，α∈{-1, 12, 2, 3}，并记M ={-1, 12, 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )A ．存在α∈M ，使得f (x 1) , f (x 2) , f (x 3)依次成等差数列B ．存在α∈M ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列C ．当α=2时，存在正数λ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)- λ依次成等差数列D ．任意α∈M ，都存在正数λ>1，使得λf (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A ={x ∈N |6x +1∈N }，B ={x |y =ln(x -1)}，则A = ▲ ，B = ▲ ，)(B C A R = ▲ .10．设函数f (x )=A sin(2x +φ)，其中角φ的终边经过点P (-1,1)，且0<φ<π，f (π2)= -2.则φ= ▲ ，A = ▲ ，f (x )在[-π2, π2]上的单调减区间为 ▲ ．11．设a >0且a ≠1，函数f (x )=⎩⎨⎧a x +1-2,x ≤0,g (x ), x >0为奇函数，则a = ▲ ，g (f (2))= ▲ ．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AC =23，M 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为 ▲ .13．设实数x ,y 满足x +y -xy ≥2，则|x -2y |的最小值为 ▲ .ACA 1M BB 1(第12题图)C 1数学试题卷(理科) 第1页（共4页）14．已知非零平面向量a , b , c 满足a ·c = b ·c=3，|a -b |=|c |=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲ .15．设f (x )=4x +1+a ·2x +b (a , b ∈R )，若对于∀x ∈[0,1]，| f (x )|≤12都成立，则=b ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．(本小题15分)在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为a , b , c ，且2sin(A -B )=a sin A -b sin B , a ≠b ． (Ⅰ)求边c ；(Ⅱ)若△ABC 的面积为1，且tan C =2，求a +b 的值．17．(本小题15分) 在几何体ABCDE 中，矩形BCDE 的边CD =2，BC =AB =1，∠ABC =90°，直线EB ⊥平面ABC ，P 是线段AD 上的点，且AP =2PD ，M 为线段AC 的中点. (Ⅰ)证明：BM //平面ECP ； (Ⅱ)求二面角A -EC -P 的余弦值.18．(本小题14分)设函数f (x )=ax 2+b ，其中a , b 是实数.(Ⅰ)若ab >0，且函数f [f (x )]的最小值为2，求b 的取值范围；(Ⅱ)求实数a , b 满足的条件，使得对任意满足xy =1的实数x , y ，都有f (x )+f (y )≥f (x )f (y )成立.ABCDE PM(第17题图)19．(本小题15分)已知椭圆L:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为22，过点(1,22)，与x轴不重合的直线l过定点T(m,0)(m为大于a的常数)，且与椭圆L交于两点A, B(可以重合)，点C 为点A关于x轴的对称点.(Ⅰ)求椭圆L的方程；(Ⅱ)(ⅰ)求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；(ⅱ)求△OBC面积的最大值.20．(本小题15分)设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+1a n(c为正实数,n∈N*)，记数列{a n}的前n项和为S n.(Ⅰ)证明：当c=2时，2n+1-2≤S n≤3n-1(n∈N*)；(Ⅱ)求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列.数学试题卷(理科) 第1页（共4页）数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷（理科）参考答案一、选择题.每小题5分，共40分.9. {}0,1,2,5, {}1x x >, {}0,1. 10. 3π4, π3π(,)88-. 11. 2, 22-2. 12. 28. 13. 22-1. 14. 32，54. 15. 172.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16. 解：(Ⅰ)∵ 2sin()sin sin A B a A b B -=-，∴ 2sin cos 2cos sin sin sin A B A B a A b B -=-，由正弦定理有222cos 2cos a B b A a b -=-， ……………………4分由余弦定理有222222222222a c bb c a a b a b ac bc+-+-⨯-⨯=-， 即22222()a b a b c-=-， ∵ a ≠b ∴ 2c =. ……………………7分 (Ⅱ)∵sin tan 2cos CC C==，且22sincos 1C C +=， ∴ sin 5C =cos 5C =. ……………………9分 ∵ 11=sin 1225ABCSab C ab =⨯=，∴ ab =………………11分 由余弦定理有222224cos 22a b c a b C ab ab+-+-===，数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）∴ 226a b +=. ……………13分∴222()26a b a b ab +=++=+∴1a b +=. ……………15分17. 解：(Ⅰ)证：连接BD 、MD ，BD CE F =，MD CP N =，连接FN .矩形BCDE ，∴F 为BD 中点.EB ⊥平面ABC ，∴ D C ⊥平面ABC ，如图，在直角△ACD 中，取AP 中点Q ，连接QM ， ∵ M 是AC 的中点，∴QM//CP 又由AP=2PD ∴ QP=PD ∴DN=MN ∴FN //BM . 又∵ FN ⊆平面ECP ，而BN ⊄平面ECP ， ∴ BM //平面ECP ； ………………7分 (Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系：以B 点为原点，BA 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴，BE 所在的直线为z 轴，则B (0,0,0), A (1,0,0), C (0,1,0), E (0,0,2), P (13,23,43).……………………9分 平面ACE 上，AC =(-1,1,0),AE =(-1,0,2);平面PCE 上，PC =(13-,13,43-),PE =(13-,23-,23).设平面ACE 的法向量为1n =(1x ,1y ,1z ), 平面PCE 法向量2n =(2x ,2y ,2z ),则有1111020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩⇒111221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即1n =（2,2,1）； …………………………11分ACDPQMN数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）22222211403331220333x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩⇒222221x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩, 即2n =(-2,2 ,1). …………………………13分 ∴ cos<1n ,2n >=1212||||n n n n ⋅⨯=19.∴二面角A -EC -P 的余弦值为19. ……………………………15分18.解：(Ⅰ)由题， f [f (x )]=a 3x 4+2a 2bx 2+ab 2+b ，记t =x 2当ab >0时，二次函数b ab bt a t a y +++=22232的对称轴abt -=<0, …3分 显然当0<a 时，不符合题意，所以0,0>>b a ，所以当0=t 时，f [f (x )]取到最小值，即有22=+b ab ……………5分 从而 02>-=bbab ，解得20<<b ； ……………7分 (Ⅱ)∵ 1xy =，即1y x=，且()()()()f x f y f x f y +≥， ∴ ()()11f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 即22222211()2()a x b ab x a b x x +++++≥. ……………9分 令221[2,)t x x=+∈+∞，则22(1)2a b t a b b -+-≥要恒成立， ……12分 需要(1)0a b -≥，此时(1)y a b t =-在[2,)+∞上是增函数， 所以222(1)2a b a b b -+-≥，即2()2()0a b a b +-+≤，⇒02a b +≤≤ 所以实数a ,b 满足的条件为(1)002a b a b -⎧⎨+⎩≥≤≤ ………………15分数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）19.解：(Ⅰ)由题，⎪⎩⎪⎨⎧=+=1211222b a b a ，解得⎩⎨⎧==1222b a ， ∴ 椭圆L 的方程为1222=+y x ； ……………………4分 (Ⅱ) (ⅰ)由对称性可知若直线BC 过定点，则定点必在x 轴上.设直线l 的方程为x =ty +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2, y 2)，C (x 1,-y 1)代入1222=+y x ， 可得 022)2(222=-+++m tmy y t ……………①则 2212221228(2)02222t m tm y y t m y y t ⎧⎪∆=-+⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩≥…………………②…………7分 设直线BC 的方程为)(112121x x x x y y y y --+=+，令y =0，则mm y y y ty y y y x y x x 222121211221=++=++=所以直线BC 过定点M （m2,0）； ……………………11分 (ⅱ)记△OBC 的面积为S ，则S =||2||22||21|)(|||21212t t t tm m y y OM +=+=--⨯⨯由②可知，||t 2>m ), ……………………13分(1)若222>-m 即2>m 时，S max =222222-+-m m ；数学试卷（理科）参考答案 第5页 （共5页）(2)2m ≤时，S max =22. ……………………15分20.解：(Ⅰ)易得a n >0(n ∈N *)，由a n +1=ca n +1a n 得a n +1a n =2+1a n2>2，所以{a n }是递增数列，从而有a n ≥2，故a n +1a n ≤2+14<3, ………………………4分由此可得a n +1<3a n <32 a n -1<………<3n a 1=2﹒3n ，而a 1=2，所以S n ≤2(1+3+32+…+3n-1)=3n -1， …………………………7分 又有 a n +1>2a n >22 a n -1>………>2n a 1=2n +1， 所以 S n ≥2+22+…+2n =2n +1-2.所以，当c =2时，2n +1-2≤S n ≤3n -1(n ∈N *)成立； ……………………8分 (Ⅱ)由a 1=2可得a 2=2c +12<2，解得c <34， ……………………………10分若数列{a n }是单调递减数列，则a n +1a n = c +1a n 2<1，得a n >11-c ，记t =11-c ……①又a n +1-t =(a n -t )( c -1ta n )，因为a n -t (n ∈N *)均为正数，所以c - 1ta n >0,即a n >1tc…… ② 由(Ⅰ) a n >0(n ∈N *)及从c ，t >0可知a n +1-t <c (a n -t )<…<c n (a 1-t )= c n (2-t ) 进而可得 a n < c n -1(2-t )+t …………③由②③两式可得 对任意的自然数n ，1tc< c n -1(2-t )+t 恒成立.因为0<c <34，t <2，所以1tc < t ，即1c < t 2=11-c ，解得c >12. ……………………12分下面证明：当12<c <34时，数列{a n }是单调递减数列.由a n +1=ca n +1a n 及a n =c a n -1+1 a n -1(n ≥2)，两式相减得a n +1-a n = (a n -a n -1)( c - 1a n -1a n )由a n +1=ca n +1a n 有a n ≥2c 成立，则a n -1a n >4c>1c ,即 c > 1a n -1a n又当c <34时，a 2-a 1<0成立，所以对任意的自然数n ,a n +1-a n <0都成立. ……15分综上所述，实数c 的取值范围为12<c <34.。