溶质运移理论-水动力弥散方程的解析解法
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对于式（4-11），令
8
一、基本解
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
（4-15）
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点
随时间增加，原点处浓度减少
由于
或
，浓度为原点的1%
经两重换元并化简后，得
38
连续注入示踪剂-平面连续点源
平面稳定连续注入点源的解
当t较长，简化为
39
注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散
设在水平、等厚（B）、无限展布的均质各项同 性承压含水层中有一口完整井，井径rw。通过井向其 连续注入定流量Q且示踪剂浓度C0的水。忽略天然流 速，井的附近形成拟稳定二维径向流。 以井为中心，任意半径为r的圆周通量
平均流速
40
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
转换成极坐标，令 代入式
有 对于均质各向同性介质，无 即 天然流速，弥散是对称的
41
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
有 其中
若忽略分子扩散模型，则
其近似解
用于确定实测的纵向弥散度 L
42
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间瞬时点源
渗透系数K为均质各向同性，
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令 则
同理
34
得
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标
令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
略去高阶变量 问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得 根据因次分析中的π定理设
和
对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
t’时刻于坐标原点处注入示踪剂质量 空间瞬时点源的解：
48
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 解得
（具体求解过程见P52-54）
式中
49
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
当 t ,e( r ) f0 c ,e( r ) f1 故 式子变成
50
，流体密度为常数；
（3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质；
2
（4）瞬时点源位置为坐标原点；
一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
3
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
4
一、基本解
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
地下水溶质运移理论及模型
第四章 水动力弥散方程的解析解法
中国地质大学环境学院 2019春
一、基本解
基本解
将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。
三维空间瞬时点源
（1）均质各向同性；
（2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
对于边界简单的情况，可用反映法转化为y无' 限空
间问题在叠加求解
C n
0
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)
对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
18
二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
ml
mM M
对应解为
15
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂
无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
16
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 y ' 处，宽 度为dy ' 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 入量与前者m的f dy' 相当，有
29
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
进一步求解 得
30
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm
余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
31
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
32
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
假定（1）示踪剂的注入不改变地下水渗流状态 或（2）取样点离注入井足够远 数学模型为
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 dmf Cndx'的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
若存在一维稳定流动，流速为
u
。
某点o处瞬时注入示踪剂m。
取o点为坐标原点，x轴平行 u于 ，且方向相同。
43
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
对弥散系数D来说是各向异性的，它属于二度各向
异性，即
，弥散方程写成
44
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
通过坐标变换变成各向同性，令 则
有
得
45
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；
Βιβλιοθήκη Baidu
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
11
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬
时注入示踪剂，求浓
映射
度时空分布规律
三维空间一条无 限长瞬时线源
12
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 示踪剂质量为 mldz'，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度
式（4-3）通解为
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
因DL>DT,a是x的长半轴
的椭圆
36
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
某浓度等值线所围面积随t的变化，先是增大然后变 小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高 浓度持续时间短
37
连续注入示踪剂-平面连续点源
连续点源的作为视为无数瞬时点源之和 设单位时间注入示踪剂的质量为ml(=C0Q)，dt’注 入示踪剂质量为mldt’有
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
，记
进行坐标反变换，得
46
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
讨论： （1）随时弥散维数的增 加，浓度C衰减速度也加 快。 （2）对式进行变换，得
椭球方程。等浓度面为一个旋转椭 球面，呈橄榄球桩，长轴沿x方向
47
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即 示踪剂是理想的，且保持原来的一维稳定流动。 设单位时间注入示踪剂的质量为ml 连续点源视为无数瞬时点源组成，注入时间记为t’。
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
13
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令
解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
14
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：
线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则
8
一、基本解
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
（4-15）
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点
随时间增加，原点处浓度减少
由于
或
，浓度为原点的1%
经两重换元并化简后，得
38
连续注入示踪剂-平面连续点源
平面稳定连续注入点源的解
当t较长，简化为
39
注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散
设在水平、等厚（B）、无限展布的均质各项同 性承压含水层中有一口完整井，井径rw。通过井向其 连续注入定流量Q且示踪剂浓度C0的水。忽略天然流 速，井的附近形成拟稳定二维径向流。 以井为中心，任意半径为r的圆周通量
平均流速
40
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
转换成极坐标，令 代入式
有 对于均质各向同性介质，无 即 天然流速，弥散是对称的
41
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
有 其中
若忽略分子扩散模型，则
其近似解
用于确定实测的纵向弥散度 L
42
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间瞬时点源
渗透系数K为均质各向同性，
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令 则
同理
34
得
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标
令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
略去高阶变量 问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得 根据因次分析中的π定理设
和
对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
t’时刻于坐标原点处注入示踪剂质量 空间瞬时点源的解：
48
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 解得
（具体求解过程见P52-54）
式中
49
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
当 t ,e( r ) f0 c ,e( r ) f1 故 式子变成
50
，流体密度为常数；
（3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质；
2
（4）瞬时点源位置为坐标原点；
一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
3
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
4
一、基本解
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
地下水溶质运移理论及模型
第四章 水动力弥散方程的解析解法
中国地质大学环境学院 2019春
一、基本解
基本解
将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。
三维空间瞬时点源
（1）均质各向同性；
（2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
对于边界简单的情况，可用反映法转化为y无' 限空
间问题在叠加求解
C n
0
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)
对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
18
二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
ml
mM M
对应解为
15
一、基本解-空间瞬时无限面源与平面瞬时无限线源与一维瞬时点源
空间直角坐标系中,取yoz坐标面与面源重合，并设 单位面源瞬时注入质量为mf 的示踪剂
无限面源可以视为无数连 续排列的无限线源组成
mM
16
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
从无限面源中分割出一根平行于z轴，在 y ' 处，宽 度为dy ' 的窄长型微分面源，对空间上任意（x,y,z）处 的作用，与空间瞬时无限线源想当，后者单位长度注 入量与前者m的f dy' 相当，有
29
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
进一步求解 得
30
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm
余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
31
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
32
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
假定（1）示踪剂的注入不改变地下水渗流状态 或（2）取样点离注入井足够远 数学模型为
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 dmf Cndx'的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
若存在一维稳定流动，流速为
u
。
某点o处瞬时注入示踪剂m。
取o点为坐标原点，x轴平行 u于 ，且方向相同。
43
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
对弥散系数D来说是各向异性的，它属于二度各向
异性，即
，弥散方程写成
44
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
通过坐标变换变成各向同性，令 则
有
得
45
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；
Βιβλιοθήκη Baidu
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
11
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬
时注入示踪剂，求浓
映射
度时空分布规律
三维空间一条无 限长瞬时线源
12
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 示踪剂质量为 mldz'，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度
式（4-3）通解为
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
因DL>DT,a是x的长半轴
的椭圆
36
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
某浓度等值线所围面积随t的变化，先是增大然后变 小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高 浓度持续时间短
37
连续注入示踪剂-平面连续点源
连续点源的作为视为无数瞬时点源之和 设单位时间注入示踪剂的质量为ml(=C0Q)，dt’注 入示踪剂质量为mldt’有
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
，记
进行坐标反变换，得
46
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
讨论： （1）随时弥散维数的增 加，浓度C衰减速度也加 快。 （2）对式进行变换，得
椭球方程。等浓度面为一个旋转椭 球面，呈橄榄球桩，长轴沿x方向
47
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即 示踪剂是理想的，且保持原来的一维稳定流动。 设单位时间注入示踪剂的质量为ml 连续点源视为无数瞬时点源组成，注入时间记为t’。
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
13
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令
解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
14
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：
线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则