2016-2017学年安徽省淮北一中高一(上)期中数学试卷

2016-2017学年安徽省淮北一中高一（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x∈Z|x（x-3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A.{0，1，2}B.{1，2，3}C.{1，2}D.{2，3}【答案】C【解析】解：由A中不等式解得：0≤x≤3，x∈Z，即A={0，1，2，3}，由B中不等式变形得：lnx＜lne，解得：0＜x＜e，即B=（0，e），则A∩B={1，2}．故选：C．求出A中x的范围，确定出整数解得到A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A 与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知函数f（x）=，则f（f（））的值是（）A.-B.-9C.D.9【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（）==-2，f（f（））=f（-2）=．故选：C．由已知得f（）==-2，从而f（f（））=f（-2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|【答案】C【解析】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4.幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=-∴y=则f（）的值为：．故选B．先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，），解得参数，从而求得其解析式，再代入求f（）的值．本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，属于基础题．5.下列各个对应中，构成映射的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：映射概念是：给出A、B两个非空集合，给出一个对应关系f，在对应关系f的对应下，集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之相对应，把对应f：A→B叫做从集合A到集合B的映射．选项A中，集合M中的元素2在集合N中没有对应元素，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项C中，集合M中的元素1在集合N中对应元素不唯一，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项D中，集合M中的元素2在集合N中对应元素不唯一，由映射概念可知，该对应不构成映射；选项B符合映射概念，该对应构成映射．故选：B．利用映射概念，逐一核对四个选项中的对应即可得到答案．本题考查了映射的概念，解答的关键是对映射概念的理解与记忆，是基础题．6.函数f（x）=log2（3x+1）的值域为（）A.（0，+∞）B.[0，+∞）C.（1，+∞）D.[1，+∞）【答案】A【解析】解：根据对数函数的定义可知，真数3x+1＞0恒成立，解得x∈R．因此，该函数的定义域为R，原函数f（x）=log2（3x+1）是由对数函数y=log2t和t=3x+1复合的复合函数．由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的．根据指数函数的性质可知，3x＞0，所以，3x+1＞1，所以f（x）=log2（3x+1）＞log21=0，故选A．函数的定义域为R，结合指数函数性质可知3x＞0恒成立，则真数3x+1＞1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．本题考查了对数复合函数的单调性，复合函数的单调性知识点，高中要求不高，只需同学们掌握好“同増异减“原则即可；本题还考查了同学们对指数函数性质（如：3x＞0）的掌握，这是指数函数求定义域和值域时常用知识．7.若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】解：∵100a=5，10b=2，∴，lg2=b，∴2a+b=．故选B．由题设条件知，lg2=b，故2a+b=．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．8.函数f（x）=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：当x＞0时，f（x）＞0；当x＜0时，f（x）＜0．B、C、D三项均不符，只有A项相符．故选：A．根据函数的性质，选择与之匹配的选项．本题考查函数的性质与识图能力，一般先观察四个选项的区别，再研究函数的对应性质，排除三个错误选项．9.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f （x）=（）A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1【答案】D【解析】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e-x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e-（x+1）=e-x-1．即f（x）=e-x-1．故选D．首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．10.函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A.f（1）＜f（）＜f（）B.f（）＜f（1）＜f（）C.f（）＜f（）＜f（1）D.f （）＜f（1）＜f（）【答案】B【解析】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2-x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2-x）=f（2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f（）．本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件，判断出函数在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2-x）=f（2+x），是解答本题的关键．11.设方程10x=|lg（-x）|的两个根分别为x1，x2，则（）A.x1x2＜0B.x1x2=1C.x1x2＞1D.0＜x1x2＜1【答案】D【解析】解：不妨设x1＜x2，方程10x=|lg（-x）|的两个根分别为x1，x2，则x1＜1＜x2＜0．∴=lg（-x1），=-lg（-x2），∴=lg（x1x2）＜0，∴0＜x1x2＜1．故选：D．不妨设x1＜x2，方程10x=|lg（-x）|的两个根分别为x1，x2，则x1＜1＜x2＜0，可得=lg （-x1），=-lg（-x2），相减可得=lg（x1x2）＜0，进而得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若不等式lg≥（x-1）lg3对任意x∈（-∞，1]恒成立，则a的取值范围是（）A.（-∞，0]B.[1，+∞）C.[0，+∞）D.（-∞，1]【答案】D【解析】解：不等式lg≥（x-1）lg3，即不等式lg≥lg3x-1，∴≥3x-1，整理可得a≤=（）x+（）x，∵y=（）x+（）x在（-∞，1）上单调递减，∴x∈（-∞，1）时，y=（）x+（）x＞+=1，∴要使原不等式恒成立，只需a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．故选：D．原不等式可整理为a≤=（）x+（）x，然后转化为求函数y=（）x+（）x在（-∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是______ ．【答案】（-，1）【解析】解：由，解得：-＜＜．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（-，1）．故答案为：（-，1）．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14.已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）= ______ ．【答案】log2x【解析】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．本题主要指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．15.已知函数f（x）=，＜，，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（-1，0）【解析】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：-1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（-1，0）．令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．本题考察了根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．16.已知2a=3b=6c，若∈（k，k+1），则整数k的值是______ ．【答案】4【解析】解：设2a=3b=6c=m＞0，m≠1．则a=log2m，b=log3m，c=log6m则==＞=4，∵∈（k，k+1），∈（k，k+1），则整数k=4．故答案为：4．把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了指数式化为对数式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知集合A={x|2a-1＜x＜3a+1}，集合B={x|-1＜x＜4}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）集合A={x|2a-1＜x＜3a+1}，集合B={x|-1＜x＜4}．∵A⊆B，∴集合A可以分为A=∅或A≠∅两种情况来讨论：当A=∅时，满足题意，此时2a-1≥3a+1，解得：a≤-2；．当A≠∅时，要使A⊆B成立，需满足＜综上所得，实数a的取值范围（-∞，-2]∪[0，1]．（2）假设存在实数a，那么A=B，则必有，解得：，综合得：a无解．故不存在实数a，使得A=B．【解析】（1）根据A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．（2）假设A=B，建立条件关系即可求实数a的值是否存在，即可判断．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.不用计算器计算：（1）log3+lg25+lg4+7+（-9.8）0；（2）（）-（）0.5+（0.008）×．【答案】解：（1）原式===．（2）原式===．【解析】（1）利用对数的运算法则即可得出．（2）利用指数幂的运算法则即可得出．本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题．19.已知函数f（x）=x-．（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）方程2t•f（4t）-mf（2t）=0，当t∈[1，2]时，求实数m的取值范围．【答案】证明：（1）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则：=；∵x1，x2＞0，且x1＜x2；∴x1-x2＜0，＞；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；（2）解：根据解析式f（x）=x-，原方程变成：；整理得，（22t）2-m•22t+m-1=0；∴（22t-1）[22t-（m-1）]=0①；∵t∈[1，2]；∴22t∈[4，16]；∴22t-1＞0；∴由方程①得，22t-（m-1）=0；∴m-1=22t；∴4≤m-1≤16；∴5≤m≤17；∴实数m的取值范围为[5，17]．【解析】（1）根据单调性的定义，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）求出f（4t），f（2t），所以原方程可变成（22t）2-m•2t+m-1=0，该方程又可变成（22t-1）[22t-（m-1）]=0，可以得到4≤22t≤16，m-1=22t，所以得到4≤m-1≤16，解不等式即得实数m的取值范围．考查单调增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数，指数函数的单调性，分解因式．20.已知二次函数f（x）的对称轴x=-2，f（x）的图象被x轴截得的弦长为2，且满足f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（（）x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：（1）解：∵二次函数f（x）的对称轴x=-2，∴f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），又f（0）=1，∴4a+k=1…①又∵二次函数f（x）的对称轴x=-2，且f（x）的图象被x轴截得的弦长为2，∴f（x）过点（-2+，0），∴3a+k=0…②，由①②式得a=1，k=-3∴f（x）的解析式为：f（x）=（x+2）2-3，（2）f（（）x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立[（）x+2]2-3＞k，对x∈[-1，1]恒成立，∴k+3＜（[（）x+2]2）min．当x∈[-1，1]时，，∴（[（）x+2]2）min=，k+3＜k＜，∴实数k的取值范围：（-∞，）．【解析】（1）设f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），由弦长为2，f（0）=1可得a和k，从而可求得f（x）的解析式；（2）f（（）x）＞k，对x∈[-1，1]恒成立k+3＜（[（）x+2]2）min本题考查函数恒成立问题，及等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．21.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件），价格近似满足于（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．【答案】解：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t≤10时y=-t2+10t+1200=-（t-5）2+1225函数图象开口向下，对称轴为t=5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈（5，10]递减∴y max=1225（当t=5时取得），y min=1200（当t=0或10时取得）②当10＜t≤20时y=t2-90t+2000=（t-45）2-25图象开口向上，对称轴为t=45，该函数在t∈（10，20]递减，t=10时，y=1200，y min=600（当t=20时取得）由①②知y max=1225（当t=5时取得），y min=600（当t=20时取得）【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．22.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2．（1）求x＜0时f（x）的解析式；（2）问是否存在正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[，]？若存在，求出所有的a，b的值，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设x＜0，则-x＞0，∵当x≥0时，f（x）=2x-x2，∴f（-x）=-2x-x2，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=x2+2x，∴当x＜0时，f（x）=x2+2x．（2）由题得，g（x）=-x2+2x，当0＜a＜b＜1时，，解得a=b=，不合题意，舍去；当0＜a＜1≤b时，g（x）的最大值为g（1）=1=，∴b=2，又g（b）=g（2）=0∉[，]，∴b=2不合题意，舍去；当1≤a＜b时，，无解，舍去．综上，不存在正数a，b的值满足题意．【解析】（1）由题意，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=2x-x2，要求x ＜0时，f（x）的解析式，可选取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0时时的解析式，得到f （-x），再由f（-x）=-f（x），两者联立，即可求得x＜0时，f（x）的解析式，（2）由题意，x＞0时，g（x）=-x2+2x，分类讨论，结合g（x）的值域为[，]，即可得出结论．本题考查函数最值的应用，解题的关键是理解题意，判断函数的性质，确定函数的最值，再利用函数的最值建立方程求出参数的值，利用最值建立方程是最值的一个非常重要的应用，本题第一小题求利用奇函数的性质求对称区间上的解析式，是奇函数性质的重要运用，注意总结此题的解法步骤。