(完整版)高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案
高中数学选修4-4全套同步习题(含答案)
2.1.1 参数方程的概念►预习梳理1．参数方程的定义．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：______________；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）所确定的点P (x ，y )________________，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）叫作曲线C 的__________，变量t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出__________________的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t 的关系，则所得的⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是参数方程．►预习思考以下表示x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1，y ＝0(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝0(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝0(t 为参数), 预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ） 都在曲线C 上 参数方程 点的坐标间关系 预习思考 D一层练习1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)1．D2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 2.C3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是( )A ．(2，7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1，－1) 3.D4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是____________.4．(x －1)2＋y 2＝45．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝____________.5．± 3 二层练习6．若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．B7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 7.C8．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．8．命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题．解析：∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)，∴直线的普通方程为x ＋y －1＝0， 圆心到直线的距离为d ＝12＝22， 弦长＝24－⎝⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案：149．(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．9．解析：圆C ⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 210．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．10．(1，0)三层练习11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．11．1612．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C 的极坐标方程为____________________．12．ρcos 2θ－sin θ＝013．已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 13．解析：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cosα＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．14．边长为a 的等边三角形ABC 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴两正半轴上移动，顶点C 和原点O 分别在AB 两侧，记∠CAx ＝α，求顶点C 的轨迹的参数方程．14．解析： 如下图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，设点C 的坐标为(x ，y )．则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OA ＋AD ，y ＝DC ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋a cos α，y ＝a sin α(α为参数)， 即为顶点C 的轨迹方程．1．求曲线参数方程的主要步骤．第一步 设点：画出轨迹草图．设M (x ，y )为轨迹上任意一点的坐标，画图时注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步 选参：选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )与参数的关系比较明显，容易列出方程．二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步 表示、结论：根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．证明可以省略．2．将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法．(1)代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数，例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn 消参．高中数学 1.2极点坐标练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定____________和______________________(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O 称为极点，射线Ox 称为极轴)．设M 为平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ，有序实数对________叫作点M 的极坐标，记作________，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．直角坐标与极坐标的互化．以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ （x ≠0）. ►预习思考 1．写出下图中各点的极坐标：A ________，B ________，C ________．2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，则它化成直角坐标为________．,预习梳理1．一个长度单位 一个角度单位及其正方向 极径 极角 (ρ，θ) M (ρ，θ) 2．ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2yx预习思考1．(4，0) ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 ⎝⎛⎭⎪⎫3，π22.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532一层练习1．极坐标系中，和点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6表示同一点的是________．1.⎝⎛⎭⎪⎫3，－11π62．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．2.⎝⎛⎭⎪⎫3，π33．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标可能是________．3.⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4 4．在极坐标系中，已知M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，74π，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，则|M 1M 2|＝________．4．25．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫2 014，5π3表示的点在第________象限． 二层练习5．解析：由于x ＝ρcos θ＝2014cos 5π31007，y ＝ρsin θ＝2014sin5π3＝－10073， 故点(1007，－10073)在第四象限． 答案：四6．已知A 、B 两点极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，则线段AB 中点的极坐标为________．6.⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π37．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则△AOB 的面积S ＝________．7．28．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(规定ρ>0，θ∈[0，2π))，则：(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________________．8．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝1，则圆心C 的极坐标为__________(ρ＞0，0≤θ＜2π)．9.⎝⎛⎭⎪⎫2，2π310．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(3，3)； (2)(－1，－1)；(3)(－3，0)．10．解析：(1)ρ＝（3）2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π3. (2)ρ＝（－1）2＋（－1）2＝2，tan θ＝1. 又因为点在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)ρ＝（－3）2＋02＝3，画图，可知极角为π，所以点(－3，0)的极坐标为(3，π) 三层练习11．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3，0)，O 为极点，则三角形OAB 的面积＝________．11.33212．在极坐标系中，定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，点B 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ，116π(ρ>0)，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为________________．12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11π6＋2k π(k ∈Z)13．以直角坐标系Oxy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF 的顶点极径都是ρ＝2，且A 、B 、C 、D 、E 、F 依逆时针次序排列．若点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点B 的直角坐标为________．13．(－1，3)14．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标． 14．解析：设M (r ，0)，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1，0)或(7，0)．答案：(1，0)或(7，0)1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置． 3．极坐标与直角坐标的互化．我们把极轴与平面直角坐标系xOy 的x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P (x ，y )是平面上的任意一点，如右图：则有换算公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.② 在换算公式①和②中，一般θ∈[0，2π)就可以了．【习题1.2】1．解析：由题图可知各点的坐标分别为A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π6，E (2.5，π)，F ⎝⎛⎭⎪⎫5，4π3，G (4，5π3)． 2．解析：以广东省汕尾市为极点，正东方向的射线为极轴(单位长度为1公里)建立极坐标系，如右图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫440，7π4.3．解析：因为∠AOB ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以A ，O ，B 三点共线．所以A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋1＝4.4．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，分别将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π代入上述公式得各点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，()－1，3，(0，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0.5．解析：直角坐标与极坐标的互化公式为ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，分别将直角坐标()3，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－53，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，()－2，－23代入上述公式得各点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.高中数学 1.3简单曲线的极点坐标方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理 1．定义．如果曲线C 上的点与方程f (ρ，θ)＝0有如下关系： (1)曲线C 上任一点的坐标__________方程f (ρ，θ)＝0；(2)方程f (ρ，θ)＝0的________为坐标的点______________．则曲线C 的方程是f (ρ，θ)＝0.2．圆的极坐标方程．(1)圆心在(a ，0)(a ＞0)半径为a 的圆的极坐标方程为________________． (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标的方程为____________． 3．直线的极坐标方程．(1)直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为π4，则直线l 的极坐标方程为____________．(2)过点A (a ，0)(a ＞0)且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为________________． (3)直线l 过点P (ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l 的极坐标方程为____________________________．►预习思考1．几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)圆心位于极点，半径为1的圆的极坐标方程为__________； (2)圆心位于M (1，0)，半径为1的圆的极坐标方程为________；(3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，半径为1的圆的极坐标方程为________．2．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点且过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π6的极坐标方程为__________________；(2)直线过点M (1，0)且垂直于极轴的极坐标方程为________；(3)直线过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2且平行于极轴的极坐标方程为________．,预习梳理1．(1)符合 (2)所有解 都在曲线C 上 2．(1)ρ＝2a cos θ (2)ρ＝r 3．(1)θ＝π4，ρ∈R (2)ρcos θ＝a(3)ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 预习思考1．(1)ρ＝1 (2)ρ＝2cos θ (3)ρ＝2sin θ 2．(1)θ＝π6，ρ∈R (2)ρcos θ＝1 (3)ρsin θ＝1一层练习1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________． 1．(x －2)2＋y 2＝42．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________． 2.223．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________． 3．圆4．(2014·湛江高考调研)极坐标系内，点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2到直线ρcos θ＝2的距离是________．4．命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转化，难度较小．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.答案：25．(2014·揭阳二模)在极坐标系中，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长________．二层练习5．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等． 解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标，再利用解直角三角形求其切线长．圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点A 的直角坐标为(0，－4)，点A 与圆心的距离为|－4－2|＝6，所以切线长为62－22＝4 2.答案：4 26．过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且平行于极轴的直线的极坐标方程是________．6．ρsin θ＝ 37．(2014·湛江二模拟)极坐标系中，圆O ：ρ2＋2ρcos θ－3＝0的圆心到直线ρcosθ＋ρsin θ－7＝0的距离是________．7．命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中等．解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小．圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心为(－1，0)，直线的直角坐标方程为x ＋y －7＝0，所以圆心到直线的距离为|－1＋0－7|2＝4 2.答案：4 28．(2014·汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以M ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6为圆心，半径r ＝1的圆M 的极坐标方程是________．8．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等． 解析：依题意，题中的圆M 的圆心的直角坐标是(23，2)，因此圆M 的直角坐标方程是(x －23)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－43x －4y ＋15＝0，相应的极坐标方程是ρ2－43ρcos θ－4ρsin θ＋15＝0，即ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝0.答案：ρ2－8ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＋15＝09．(2014·佛山一模)在极坐标系中，设曲线C 1：ρcos θ＝1与C 2：ρ＝4cos θ的交点分别为A ，B ，则|AB |＝________．9．命题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等． 解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程分别是x ＝1与x 2＋y 2＝4x ，而圆x 2＋y 2＝4x 的圆心坐标是C 2(2，0)、半径是2，圆心C 2(2，0)到直线x ＝1的距离为1，因此|AB |＝222－12＝2 3.答案：2 310．在极坐标系中，直线l ：ρcos θ＝t (常数t ＞0)与曲线C ：ρ＝2sin θ相切，则t ＝________．10．111．在极坐标系中，已知直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2cos θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是________．11．－112．(2014·深圳第二次调研)在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．12．命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等． 解析：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35.答案：35三层练习13．(2014·陕西高考文科·T 15)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．13．解题提示：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，从而求得此点到直线的距离．解析：由于直线的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，化为直角坐标方程为x －3y ＋2＝0，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)．故该点到直线的距离d ＝3－3·1＋21＋3＝1.答案：114．(2014·上海高考理科·T 7)已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝1，则C 与极轴的交点到极点的距离是________．14．解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线，与x 轴的交点，即得结论．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为3x －4y ＝1，则C 与极轴的交点即为直线与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，极点即为原点，故距离为13.答案：1315．(2014·广东高考文科·T 14)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 15．解析：2ρcos 2θ＝sin θ即2ρ2cos 2θ＝ρsin θ，则2x 2＝y ，ρcos θ＝1即x ＝1. 联合解得，x ＝1，y ＝2.曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． 答案：(1，2)误区警示：曲线C 1的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系． 16．(2014·天津高考理科·T 13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝α相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则α的值为________．16．解析：圆的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线为y ＝α.因为△AOB 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫α3，α，代入圆的方程可得α＝3.答案：3 17.6217．(2015·韶关市高三模拟考试)在极坐标中，已知直线l 方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则点Q 到l 的距离d 为________． 18．(2015·全国卷Ⅰ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．18．解析：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．建立曲线的极坐标方程的方法步骤： (1)在曲线上任取一点P (ρ，θ)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起ρ、θ的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程．2．利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题．求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致．如定义法、直接法、参数法等．3．不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程．反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程．这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系，使解题过程大为简化．如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答．4．处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路： (1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理； (2)根据ρ、θ的几何意义进行旋转或伸缩变换．【习题1.3】1．解析：(1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)． (2)表示过极点，倾斜角为5π6的直线(图略)．(3)表示过极点，圆心在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2半径为1的圆(图略)．2．解析：(1)θ＝π3(ρ∈R)．(2)如图所示，设过点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B ，点P (ρ，θ)是直线上任意一点．因为∠AOB ＝π3，OA ＝2，所以OB ＝2cos π3＝1，从而cos θ＝OB OP ，即cos θ＝1ρ，所以所求的极坐标方程为ρcos θ＝1.(3)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点．当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得到|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝|AP |2，所以1＋ρ2－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1，即ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.①当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，这两点的坐标满足①，所以①就是所求的圆的极坐标方程．(4)如图所示，设P (ρ，θ)是圆上任意一点，当O ，A ，P 三点不共线时，在△OPA 中利用余弦定理得|OA |2＋|OP |2－2|OA |·|OP |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AP |2，所以a 2＋ρ2－2a ρsin θ＝a 2，即ρ＝2a sin θ.②当O ，A ，P 三点共线时，点P 的坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，π2，这两点的坐标满足②，所以②就是所求的圆的极坐标方程．3．(1)ρcos θ＝4. (2)ρsin θ＝－2.(3)2ρcos θ－3ρsin θ－1＝0. (4)ρ2cos 2θ＝16. 4．(1)y ＝2. (2)2x ＋5y －4＝0. (3)(x ＋5)2＋y 2＝25. (4)(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.5．解析：以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22化为直角坐标方程得x ＋y ＝1，把点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4化为直角坐标得(2，－2)．在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得A (2，－2)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝22.所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22的距离为22.6．(1)证明：以椭圆中心O 为原点，长轴所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则椭圆的直角坐标方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S△AOB＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2.2．4 渐开线与摆线►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数) 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ 2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)． 故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)． 将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2， ∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝aφ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cosφ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2高中数学 2.2.3抛物线的参数方程练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为________，准线方程是________； 抛物线x 2＝2y 的焦点坐标为________，准线方程是________． 2．曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在______________上的抛物线参数方程．►预习思考抛物线y 2＝x 的一个参数方程为____________________．, 预习梳理1．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 y ＝－18 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 y ＝－12 2．x 轴正半轴 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数)一层练习1．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．1．(1，0)2．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数，t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 2.B 3．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2 C.1t 1＋t 2 D.1t 1－t 23.A4．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________．4. 25．连接原点O 和抛物线x 2＝2y 上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求点P 的轨迹方程，并说明它是何种曲线．5．解析：设抛物线x 2＝2y 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t2(t 为参数)．∵点M 在抛物线上， ∴M 的坐标为(2t ，2t 2)．设P 的坐标为(x 0，y 0)，由|OM |＝|MP |知，M 为OP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4t ，y 0＝4t 2.消去参数t ，得 y 0＝14x 20，即点P 的轨迹方程是x 2＝4y ，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)表示的曲线为( )6．C7．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)上两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且t 1＋t 2＝0，则|AB |为 ( )A ．|2p (t 1－t 2)|B ．2p (t 1－t 2)C ．2p (t 21＋t 22) D ．2p (t 1－t 2)27.A 8．设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．8.ρcos 2θ－sin θ＝09．(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．9．解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)10．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．10．16三层练习11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)，试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．11．解析：∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t .∴消去参数t 后得直线的普通方程为2x －y －2＝0.① 同理得曲线C 的普通方程为y 2＝2x .②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过顶点的两弦OA ⊥OB ，求分别以OA 、OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹．12．解析：设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21。
新课标高考《坐标系及参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二 参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 热点三极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
高中数学人教版选修4-4测试题带答案(Word最新版)
中学数学人教版选修4-4测试题带答案通过整理的中学数学人教版选修4-4测试题带答案相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！中学数学人教版选修4-4经典测试题班级：姓名：一、选择题（5*12=60）1．直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）A．B．或C．D．或2．圆的圆心坐标是A．B．C．D．3．表示的图形是（）A．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆4．已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）A．B．C．D．5．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．6．已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A、（3，4）B、C、（-3，-4）D、7．曲线为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上8．直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为() A．B．C．D．9．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A.B. C.D. 10．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、直线C、圆D、射线11．在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，当线段最短时，动点的极坐标是A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与圆相切，则实数的取值个数为（）A .0B.1C.2D.3二、填空题（5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________；14．在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____. 15．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线，极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线被曲线C截得的线段长为．三、解答题17．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．（Ⅰ）推断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上随意一点，求的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ＋）＝a，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．（1）求C1的直角坐标方程；（2）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）已知曲线，直线（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线的一般方程；（2）过曲线C上随意一点P作与夹角为30°的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的一般方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．21．（本小题满分12分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．（1）写出直线的一般方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．参考答案1．D 【解析】试题分析：设直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是，则有即，所以所求点的坐标为或．故选D．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．2．A 【解析】试题分析：，圆心为，化为极坐标为考点：1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A 【解析】试题分析：，表示一和三象限的角平分线，表示第三象限的角平分线．考点：极坐标与直角坐标的互化4．D 【解析】试题分析：将直线化为一般方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．圆心到直线的距离．依据,解得．故D正确．考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦．5．B 【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为，选 B 考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．6．D 【解析】试题分析：直线PO的倾斜角为，则可设，代入点P可求得结果，选B。
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点xOy l 12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线O x 的极坐标方程为 .C 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=（1）求的普通方程和的直角坐标方程；l C （2）已知点是曲线上任一点，求点到直线距离的最大值.M C M l 2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长O x 度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数l ρ=102sin (θ‒π4)P (2cosα,2sinα+2)．α∈[0,2π]（I ）求点轨迹的直角坐标方程；P （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．P l1、【详解】（1）12,2x t y t =+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-=因为，222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以，即222440x y x y ++++=22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心到直线，(1,2)--10x y +-==所以点到直线距离的最大值为M l 1.r +=+2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，P (x ,y ){x =2cosαy =2sinα+2 α∈[0,2π]消参得：x 2+(y ‒2)2=4所以点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4（Ⅱ）因为ρ=102sin (θ‒π4)所以ρ2sin (θ‒π4)=10所以，ρsinθ‒ρcosθ=10所以直线的直角坐标方程为l x ‒y +10=0法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为P x 2+(y ‒2)2=4圆心为（0,2），半径为2．，d =|1×0‒1×2+10|12+12=42点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，P l l 所以点到直线距离的最大值．P l 42+2法二：d =|2cosα‒2sinα‒2+10|12+12=2|cosα‒sinα+4|=2|2cos (α+π4)+4|当时，，即点到直线距离的最大值为．a =74πd max =42+2P l 42+26.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲C 1{x =cosθy =3sinθθ线的参数方程为（，t 为参数）.C 2{x =4‒22ty =4+22tt ∈R(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；C 1C 2(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.C 1C 24．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，以坐标原xOy 1C cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩α点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C .sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C 2C （2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.P 1C Q 2C ||PQ P3、【详解】（1）对曲线：，，C 1cos 2θ=x 2sin 2θ=y 23∴曲线的普通方程为．C 1x 2+y 23=1对曲线消去参数可得且C 2t t =(4‒x )×2,t =(y ‒4)×2,∴曲线的直角坐标方程为． C 2x +y ‒8=0又，∵x =ρcosθ,y =ρsinθ∴ρcosθ+ρsinθ‒8=2ρsin (θ+π4)‒8=0从而曲线的极坐标方程为。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试卷(答案解析)
一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C：2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l：30x +=的距离的最小值为（ ）A ．23BCD2．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线C：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的动点，则PQ 的最小值是（ ） A．2B．2CD．23．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，以极点O 为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（）A．1⎡⎤⎣⎦B ．[]3,1-C ．[]22-,D ．[]2,1--4．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩点(43,31)Q m m +-，则||PQ 的最小值为( ) A ．2B ．115C ．95D ．15．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ）ABCD6．在直角坐标系xOy 中，过点()1,2P -的直线l的参数方程为1 2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线2y x 交于点,A B ，则PA PB ⋅的值是( )AB ．2C．D ．107．直线34x ty t =-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,58．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（ ） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC（sin θ+cos θ）=rD（sin θ+cos θ）=-r9．点M的直角坐标是()1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭10．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） AB．CD．11．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A到直线sin()6πρθ+=的距离的最大值是（ ）A．2BCD．12．设椭圆C ：2211612x y +=上的一点P 到两条直线4y =和8x =的距离分别是1d ，2d ，则122d d +的最小值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．已知点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，则yx 的取值范围为_____.14．已知直线参数方程为355435x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，直线与圆5ρ=交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐标________.15．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1{x y αα=+=（α为参数），则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为 ．16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆3cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）上，则PF PQ +的最小值为__________．18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，则圆C 的圆心到直线l 的距离为______.20．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩[]0,πθ∈，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos bρθθ=-．若曲线1C 与2C 有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是_______．三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，[0,)απ∈），曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）．（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求α．22．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程是1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求||AB 的值. 23．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为()24cos sin 3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，(),P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 25．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为244cos 2sin ρρθρθ-=-．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB的长度为l 的普通方程． 26．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的方程，()222cos4sin4ρθθ+=，过点(2,1)的直线l的参数方程为221xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求||AB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设曲线C上点的坐标为()2t，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值.【详解】设曲线C上点的坐标为()2t，则C上的点到直线l的距离2233d===，即C上的点到直线1．故选：C.【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．C解析：C【分析】设点,sin)Qθθ，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由曲线C：sinxyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数，设点,sin)Qθθ，则点Q 到直线:40l x y +-=的距离为d ==，当2,6k k Z πθπ=+∈时，min d ==故选：C. 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，点到直线的距离公式，以及三角函数的恒等变换和余弦函数的性质的应用，着重考查运算与求解能力，以及转换能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】 将曲线C 的方程22312sin ρθ化为直角坐标形式，可得2213xy +=，设x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.【详解】解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程22312sin ρθ，可得：2222sin 3ρρθ+=，即2233x y +=，2213x y+=设x α=，sin yα=，可得1sin 1sin )12sin()1213x y πααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.4．A解析：A 【分析】根据Q 点坐标得到点Q 满足的参数方程，从而得到Q 点所在的直线方程l ，因此将求PQ 最小值问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，然后运用数形结合得到可行域内点B （1，0）到直线l 距离最小，从而求出PQ 的最小值. 【详解】因为(43,31)Q m m +-，则点Q 满足的参数方程为43{31x m y m =+=-（m 为参数），消去参数得到普通方程为l ：34130x y --=，则问题转化为求可行域上的点(,)P x y 到直线l 的最小距离，如图：由图可知当P 点与B 点重合时到直线l 的距离最小，而B 点为（1，0），B 到l 的距离为d ，所以min 223013102534PQ d --====+， 答案为A. 【点睛】主要考查线性规划问题，同时也考查了参数方程与普通方程的互化．这类型题的关键在于寻找出目标函数的几何意义，然后利用数形结合的方法寻找出最优解，求出最值，属于中档题.5．C解析：C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l 的参数方程312x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =， 则124134131313t t ==-， 结合弦长公式可知：12813AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【解析】设,A B对应的参数分别为12,t t，把l的参数方程12xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x=中得：221⎛+=--⎝⎭，整理得：220t-=，()242100∴∆=-⨯-=>，1212?2,?t t t t PA PB+==-∴1212··2t t t t===，故选B.7．D解析：D【详解】因为直线3(4x tty t=-⎧⎨=+⎩为参数），所以设直线上到点(3,4)P(3,4)t t--，=1t=±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.8．D解析：D【解析】分别出圆ρ=r的直角坐标方程222x y r+=和圆ρ=-2r sin（θ+4π）（r＞0）直角坐标方程22()x y x y+=+，从而求出两圆的公共弦所在直线的方程2())x y r x y r+=+=-．再化为极坐标方程为（sinθ+cosθ）=-r，选D. 9．B解析：B【解析】3π7π2,tan(π,)26ρθθθ===∈⇒=，故选：B．点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos,sin,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.10．D解析：D【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d=，直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =. 11．C解析：C 【分析】先将直线sin()6πρθ+=A 的坐标，利用点到直线的距离求解. 【详解】由直线sin()6πρθ+=1cos 2ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭0x +-=. 又点A 是曲线2213x y +=上任意一点，设),sin Aαα则点A0x +-=的距离为：d ==≤ 当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时取得等号. 故选：C 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.12．D解析：D 【分析】设()4,P cos θθ，02θπ≤<，由题意可得：1222484d d cos θθ+=-+-，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论． 【详解】解：设()4,P cos θθ，02θπ≤<， 由题意可得：122248416416816886d d cos cos sin πθθθθθ⎛⎫+=-+-=--=-+≥-= ⎪⎝⎭．当且仅当816sin πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时取等号． 122d d ∴+的最小值为8．故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据曲线参数方程为（为参数）将曲线先化为普通方程再利用的几何意义即可求出其范围【详解】曲线的参数方程为（为参数）将两个方程平方相加它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆又的几何意义是表示原点与解析：⎡⎢⎣⎦【分析】根据曲线参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线先化为普通方程，再利用yx 的几何意义即可求出其范围. 【详解】曲线的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），∴2cos x θ+=，sin y θ=，将两个方程平方相加，∴22(2)1x y ++=，它在直角坐标系中表示圆心在(2,0)-半径为1的圆.又yx的几何意义是表示原点与圆上一点(,)P x y 连线的斜率， 画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为k ，切线方程l 为：y kx =联立l 与圆的方程：22(2)1x y y kx ⎧++=⎨=⎩，消掉y 可得()22(2)1x kx ++= 直线与圆相切，可得0∆=，解得33k =± ∴当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是3 ∴y x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦. 故答案为：3333⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画出可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．14．【分析】将直线的参数方程化为普通方程圆的极坐标方程转化为普通方程再求解【详解】直线参数方程为(t 为参数)转化为普通方程：圆转化为普通方程为将直线方程代入圆的方程中整理得设交点为中点坐标则即则线段BC 解析：4433,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程，转化为普通方程，再求解.【详解】直线参数方程为355435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，转化为普通方程：11433y x =-， 圆5ρ=转化为普通方程为2225x y += ，将直线方程代入圆的方程中，整理得225881040x x --= ，设交点为()()1122,,,x y x y ，中点坐标()00,x y ， 则1208844252225x x x +=== ， ()1212012114114112333333223325x x y y y x x -+-+===-+= ， 即则线段BC 中点直角坐标为4433,2525⎛⎫⎪⎝⎭ . 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以及一元二次方程根和系数关系的应用. 参数方程转化为直坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子变形，如两边同时平方或同时乘以ρ，再代入公式. 15．【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为曲线C 的普通方程为圆心（10）半径则点M 到曲线C 上的点的距离的最小值为考点：参数方程与极坐标解析：5【解析】试题分析：依题意点M 的直角坐标为()4,4，曲线C 的普通方程为22(1)2x y -+=，圆心（1,0M 到曲线C上的点的距离的最小值为5考点：参数方程与极坐标16．【分析】由题意设利用两点之间的距离公式表示出进而可得结论【详解】由题意得圆的参数方程为（为参数）设则∴其中当时有最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式圆的参数方程的应用属于基础题 解析：36【分析】由题意设()32cos ,42sin P θθ++，利用两点之间的距离公式表示出22PA PB +，进而可得结论.【详解】由题意得圆的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），设()32cos ,42sin P θθ++， 则()()22262cos 42sin 5624cos 16sin PA θθθθ=+++=++， ()()2222cos 42sin 2016sin PB θθθ=++=+，∴()227624cos 32sin 7640sin PA PB θθθϕ+=++=++，其中3tan 4ϕ=， 当()sin 1θϕ+=-时， 22PA PB +有最小值为36. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查两点之间的距离公式，圆的参数方程的应用，属于基础题.17．3【解析】根据题意抛物线参数方程为其普通方程为y2=4x 其焦点坐标为（10）准线方程为x=﹣1动点P 在抛物线上设P 到准线的距离为d 则d=|PF|圆的参数方程为（α为参数）其普通方程为（x ﹣3）2+y解析：3【解析】根据题意，抛物线参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩，其普通方程为y 2=4x ， 其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P 在抛物线上，设P 到准线的距离为d ，则d=|PF|，圆的参数方程为3x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），其普通方程为（x ﹣3）2+y 2=1， 动点Q 在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3， 故答案为：3．18．【解析】圆C1的方程为的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−2)2=8圆心C1(22)半径圆C2的参数方程为参数）的普通方程为：(x+1)2+(y+1)2=a2圆心距两圆外切时∴正数【解析】圆C 1的方程为)4πρθ=-的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −2)2=8， 圆心C 1(2,2),半径1r = 圆C 2的参数方程1(1x acos y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数）的普通方程为：(x +1)2+(y +1)2=a 2.圆心距12C C =两圆外切时,1212C C r r a =+==，∴正数a =19．【解析】直线l 的参数方程为（t 为参数）普通方程为x ﹣y+1=0圆ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ即x2+y2+4x=0即（x+2）2+y2=4表示以（﹣20）为圆心半径等于2的圆∴圆C 的圆心到 解析：12． 【解析】直线l的参数方程为1{12x y t =-+=（t 为参数），普通方程为x，圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x 2+y 2+4x=0，即 （x+2）2+y 2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C 的圆心到直线l=12， 故答案为：12． 20．【分析】先消去参数得到曲线的普通方程再利用直角坐标与极坐标的互化公式得到直线的直角坐标方程利用点到直线的距离公式结合图象即可求解【详解】将曲线的参数方程为化为直角坐标方程可得曲线表示圆心在原点半径为解析：1b ≤<【分析】先消去参数θ得到曲线的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式，得到直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合图象，即可求解.【详解】将曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，[]0,πθ∈， 化为直角坐标方程，可得221x y +=，曲线1C 表示圆心在原点，半径为1的上半圆，（如图所示）曲线2C 在极坐标系中的方程为sin cos b ρθθ=-，即sin cos b ρθρθ-=， 可得曲线2C 的直角坐标方程为0x y b -+=， 由圆心到直线的距离得：12bd ==，解得2b =±，结合图象，可得实数b 的取值范围是12b ≤<. 故答案为：12b ≤<.【点睛】本题主要考查了极坐标和直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）221124x y +=（2）56πα= 【分析】（1）消去参数β，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k 的值，从而求得直线的倾斜角.【详解】（1）由32sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩得cos 23sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β得221124x y +=，所以曲线C 的普通方程为221124x y +=； （2）直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为． 设直线l 与曲线C 相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则122x x +=1212y y +=，2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， 由-②①得222221210124x x y y --+=， 所以()211221123y y x x x x y y -+=-==-+，即tan 3l k α=-=， 又∵[0,)απ∈，∴直线l 的倾斜角为56π． 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、点差法的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.22．（Ⅰ）2220x y x +--=；（Ⅱ.【分析】（Ⅰ）曲线2C 的极坐标方程l转化为22cos sin ρρθθ=+，由此能求出曲线2C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C的直角坐标方程，可得210t -=，设,A B对应的t 值分别为12t t 、，利用韦达定理可得12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩ 【详解】解：（Ⅰ）21:4cos 4cos 32C πρθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos sin ρρθθ=+即2220x y x +--=（Ⅱ）由题意，联立2221202230x y x y x x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩得2610t t -=设,A B 对应的t 值分别为12t t 、，则121261t t t t ⎧+=⎪∴⎨⋅=-⎪⎩ 1212||AB t t t t ∴=+=- ()()221212124t t t t t t =-=+-⋅()26410=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程参数的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）25(25x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数）. （2）11,(3,4).【解析】试题分析：（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到圆C 的直角坐标方程，从而可得圆C 的一个参数方程；（2）由（1）可设点(25,25)P ϕϕ，借助辅助角公式即可得2x y +，从而可得2x y +的最大值及点P 的直角坐标. 试题(1)因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以22+4430x y x y --+=，即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为2(2x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. (2)由(1)可知点P的坐标可设为(2,2)ϕϕ，则224x y ϕϕ+=+++65sin()6ϕϕϕα=++=++其中cos 55αα==，当2x y +取最大值时，sin()1ϕα+=，2,2k k Z πϕαπ+=+∈，此时cos cos()sin 25πϕαα=-==，sin sin()cos 2πϕαα=-==2x y +的最大值为11，此时点P 的直角坐标为()3,4.24．（1cos sin 0θρθ-=（2）167AB =【详解】（1）直线l0y -=，代入互化公式cos {sin x y ρθρθ==可得直线lcos sin 0θρθ-=（2）椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得22)12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-， 所以12167AB t t =-=． 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长 25．（1）()()22219x y -++=；（2）34y x =和0x =. 【分析】 （1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线C 极坐标方程得曲线C 的直角坐标方程为22442x y x y +-=-，即()()22219x y -++=；（2）将直线的参数方程代入曲线方程：()()22cos 2sin 19t t αα-++=，整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-=设点A 、B 对应的参数为1t 、2t ，解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ⋅=-， 则12||AB t t =-===得23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<，得2πα=或3tan 4α=，直线l 的普通方程为34y x =和0x =. 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题. 26．（1）10x y --=；2214x y +=（2【分析】（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.【详解】（1）因为曲线C 的方程，()222cos 4sin 4ρθθ+=， 故可得2244x y +=，即2214x y +=； 因为直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，则其直角方程为10x y --=.（2）将直线参数方程代入曲线C的直角方程，可得2580t ++=，设点,A B 对应的参数12,t t t t ==，则121285t t t t +==，故可得12AB t t =-====故弦长AB = 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.。
(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】 （1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。
数学选修4-4 4-5所有试卷含答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
高中数学人教版选修4-4测试题带答案-(1).docx
高中数学人教版选修4-4 经典测试题5．若直线的参数方程为x12t）．y2(t为参数 )，则直线的斜率为（3t班级：姓名：A．2B．2C．3D．3 3322一、选择题（ 5*12=60）6．已知过曲线x3cos为参数，0上一点 P，原点为 O，PO的倾y4sinx3t 斜角为，则 P 点坐标是（）1．直线，（ t 为参数)上与点P(3,4)的距离等于 2 的点的坐标是（）4y4tA、（3，4）B 、32，2 2 C 、（-3 ，-4 ） D 、121 225，A．(4,3)B． ( 4,5)或 (0,1)5C．(2,5)D． ( 4,3) 或 ( 2,5)7．曲线x1cos(为参数）的对称中心（）y2sin2．圆2(cos sin) 的圆心坐标是A、在直线 y=2x 上B、在直线 y=-2x 上A．1,B．1,C．2,D．2,C、在直线 y=x-1 上D、在直线 y=x+1 上424443．(0) 表示的图形是（）8．直线的参数方程为x t sin 50 001(t 为参数 ) ，则直线的倾斜为4y t cos50A．一条射线B．一条直线 C ．一条线段D．圆A．400B． 500C．1400D．13004．已知直线x2t(t 为参数）与曲线 C ：24cos30 交于 A, B 两点，9．曲线的极坐标方程4sin化为直角坐标为（）y1t则 AB（）A．1 B ．1C．2 D ．2 A. x2( y2) 24 B.x 2( y 2) 24 22C. ( x2) 2y 24D.( x 2) 2y 2410．曲线的参数方程为x 3t 22(t 是参数 ) ，则曲线是（ ）y t 2 1A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线11．在极坐标系中，定点 A 1, π，动点 B 在直线cossin0 上运动，当2线段 AB 最短时，动点B 的极坐标是2 π2 3π3 π3 3π A ． (, )B ． (, )C ． ( , )D ． (, )242 4 2 42412．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x a cos（ 为参数） .y sin以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方 程为 sin() 2. 若直线 l 与圆 C 相切，则实数 a 的取值个数为（）42A .0二、填空题（ 5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系下，直线 cos()2 与圆2 4的公共点个数是 ________；14．在极坐标系中，点 A(2, ) 关于直线 l : cos1 的对称点的一个极坐标为2_____.15．已知圆 M ：x 2+y 2-2x-4y+1=0 ，则圆心 M 到直线x4t 3,（t 为参数）的y 3t 1,距离为．16．（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）曲线 C :x 2 2cos(R ) ，极坐标系（与y 2sin直角坐标系 xOy 取相同的单位长度，以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴）中，直线(R ) 被曲线 C 截得的线段长为 ．6三、解答题17．（本小题满分 10 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是x2 t2（ t 是参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标y2 2t 42系，曲线 C 的极坐标方程2cos() ．4（Ⅰ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系；（Ⅱ）设 M 为曲线 C 上任意一点，求 x y 的取值范围．18．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρsin （θ＋ ）＝2a ，曲线42C2的参数方程为x 1 cos（φ 为参数， 0≤φ≤π）．y 1 sin（1）求 C1的直角坐标方程；（2）当 C1与 C2有两个不同公共点时，求实数 a 的取值范围．19．（本小题满分 12 分）已知曲线C :x2y21，直线l :x2t（t 为参数）．49y22t（1）写出曲线 C 的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线 C 上任意一点 P 作与l夹角为 30°的直线，交l于点 A，求 |PA|的最大值与最小值．20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为x1ty2(tt 为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆 C 2的方程为 2 cos 2 3 sin．与曲线 C1交于（不包括极点O）三点A, B, C（1）求证：OB OC 2 OA ；（2）当时，，C两点在曲线 C 2上，求 m 与的值B1222．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系x y 中，直线l的x 3 2 t2（ t 为参数）．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐y5 2 t2圆 C 的方程为 2 5sin．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若点坐标为3, 5，圆C与直线l交于，求的值．（Ⅰ）求直线 C1的普通方程和圆 C 2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线 C1和圆 C 2的交点为 A 、 B ，求弦AB的长．21．（本小题满分 12 分）极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，曲线 C的极坐标方程为4cos，曲线C21的参数方程为x m t cos（ t 为参数， 0），射线,,4y t sin4参考答案1．D【解析】x 3t试题分析：设直线，（t为参数)上与点P(3,4)的距离等于2y 4t的点的坐标是(3 t,4 t) ，则有(3 t 3)2(4 t 4)2 2 即t21t 1 ，所以所求点的坐标为( 4,3) 或(2,5) ．故选 D．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．2．A【解析】试题分析：2(cos sin )2 2 (cos sin ) x2y2 2 x 2 yx2y22x2y 0 ，圆心为 2 ,2，化为极坐标为 1,224考点： 1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A【解析】试题分析：，表示一和三象限的角平分线y x ，0 表示第三4象限的角平分线．y x, x0考点：极坐标与直角坐标的互化4．D【解析】试题分析：将直线化为普通方程为x y 1 0 ,将曲线C化为直角坐标方程为 x2y22y2 1 ,所以曲线C为以2,0为圆心, 4x 3 0 ,即 x 2半径 r 1的圆．圆心根据2,0 到直线x201 2 ．y 1 0 的距离d212122d2AB2 , 解得AB 2 ．故D正确．r2考点： 1 参数方程 , 极坐标方程与直角坐标方程间的互化 ;2 直线与圆的相交弦．5．B【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2 ），取 t=1 得直线过2（3，-1 ），由斜率公式得直线的斜率为 3 ，选B考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．6．D【解析】试题分析：直线 PO 的倾斜角为，则可设 P(x0 , y0 ) ，4x 3 cos为参数，x2y 21y 4 sin0916代入点 P可求得结果，选B。
高中数学选修4-4经典综合试题(最终)
高中数学选修 4-4 经典综合试题〔含详细答案〕一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的 ． x 2 5ty 1 2t1．曲线(t 为参数 ) 与坐标轴的交点是〔〕．21 1 1B ．(0, )、( ,0)5、A ． (0, ) ( ,0)C ．(0, 4)、(8,0)〕．D ． (0, )、(8,0)5 2 5 292．把方程 xy 1化为以 参数的参数方程是〔t 1x sin t1 x costx tant2 x ty tA ．B ．C ．1 D ．1 12yyysin t cost tan tx 1 2t y 2 3t(t 为参数) ，那么直线的斜率为〔〕．3．假设直线的参数方程为2 2 33 23 2A ．B ．C ．D ．3x 1 8cosy 8sin4．点 (1, 2) 在圆A ．内部的〔〕．B ．外部C ．圆上D ．与 θ的值有关1x tt 为参数 暗示的曲线是〔(t ) 5．参数方程为〕．y 2A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线 x 3 2 cosy 4 2 s inx 3 cos y 3 s in6．两圆与的位置关系是〔〕．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含 x t(t为参数 等价的普通方程为〔 ) B ． x 2D ． x 2〕．7．与参数方程为y 2 1 t2y 2 4 yA ． x 2C ． x 211(0 x 1)4y 2 4y 2 41(0 y 2)1(0 x 1,0 y 2)x 5cos8．曲线() 的长度是〔〕．y 5sin 35 10 5 B ．10A ．C ．D ．33229．点 P(x, y) 是椭圆 2x3y12 上的一个动点，那么 x 2y的最大值为〔〕．22 23 1122A ．B ．C ．D ．1 x 1 t2 2210．直线(t 为参数 ) 和圆 xy16 交于两点，A,B3 y3 3t 2那么 AB 的中点坐标为〔〕．A ．(3, 3)B ．( 3,3)C ． ( 3, 3)D ．(3, 3)2x 4t y 4t11．假设点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线(t为参数 上，那么 | PF |等于〔〕．) 2 3 4 5 A ．B ．C ．D ．x 2 ty 1 t 2212．直线(t 为参数 ) 被圆 (x 3)(y 1) 25 所截得的弦长为〔〕．14A ． 98B ．40C ．82D ． 93 4 3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．x e t e t(t为参数 的普通方程为 __________________． ) 13．参数方程tty 2(e e )x 22t为参数 上与点 A( 2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是 _______．14．直线(t ) y 32tx t cos y t sinx 4 2cos y 2sin15．直线与圆相切，那么_______________．2216．设 y tx(t 为参数) ，那么圆 x y 4y 0的参数方程为 ____________________．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步调．17．〔本小题总分值 10 分〕 x 1 t 求直线 l 1 :(t 为参数 )和直线 l 2 : x y 2 3 0 的交点 的坐标，及点PP y53t与Q (1, 5)的距离．18．〔本小题总分值 12 分〕10 222过点 P(,0) x12y1 交于点，M , N作倾斜角为的直线与曲线求| PM | | PN | 的值及相应的 的值．19．〔本小题总分值 12 分〕ABC 中， A( 2,0), B (0,2), C (cos , 1 sin ) ( 为变数 )， 求 ABC 面积的最大值． l P(1,1),倾斜角20．〔本小题总分值 12 分〕直线颠末点，6〔1〕写出直线 l 的参数方程．x 2y 2〔2〕设 l 与圆4订交与两点 A, B ，求点 P 到 A,B 两点的距离之积．21．〔本小题总分值 12分〕1 t tx y (e e ) cos2 1 2别离在以下两种情况下，把参数方程化为普通方程： t t(e e )sint t 〔1〕 为参数， 为常数；〔 2〕 为参数， 为常数．22．〔本小题总分值 12 分〕x 5cos y 5sin32 直线 l 过定点 P( 3,C 与圆 ： ( 为参数 ) 订交于 A 、 B 两点． )| AB | 8l ，求直线 的方程； 求：〔 1〕假设3〔2〕假设点 P( 3, 答案与解析： x 0时， )AB 为弦的中点，求弦 AB 的方程． 2 2 111．B当 t ，而 y 1 2t ，即 y y ，得与 轴的交点为 (0, ) ；5 1 5 5 1 1当 y 0时， t ，而 x 2 5t ，即 x ，得与 轴的交点为 ( ,0) ．x2 2 2 2．D xy 1， 取非零实数，而 A ，B ，C 中的 的范围有各自的限制． x x y 2 x 13t 2t3 23．Dk．(1 1)2 222 2 8 4．A∵点 (1,2) 到圆心 ( 1,0) 的距离为∴点 (1,2) 在圆的内部．(圆半径 )5．Dy 2 暗示一条平行于 x 轴的直线，而x 2,或x 2，所以暗示两条射线．( 3 0)2 (4 0) y 2 255，两圆半径的和也是，因此两圆外切．6．B 两圆的圆心距为y 2 x 2t , 1 t 1 x 2, x 21,而t 0,0 1 t 1,得0 y 2．7．D442 228．D 曲线是圆x y 25的一段圆弧，它所对圆心角为．3310 所以曲线的长度为．3x 2 y 2 9．D 椭圆为1，设 P( 6 c os ,2sin ) ，64x 2y 1 6 cos 4sin 22 sin( ) 22．3 t 1 t 222 210． D(1t)2 ( 3 3 t ) 16 ，得 t 8t 8 0 ，t t 8,4，1 2 2 21 x 1 y4x 3 y2 ．中点为333 34 211．C 抛物线为y 2 4x ，准线为 ， 为 到准线 x1 | PF | P(3, m) x 14的距离，即为．22 x22t x 2 tx 2 t12． C，把直线 y 1 ty 1 t 2 y 12t 222222代入 (x 3) ( y 1)25，得 ( 5 t)(2 t)25,t7t 2 0 ，2|t t | (t t ) 4t t 41 ，弦长为 2 | t t |82．1 2 1 2 1 2 1 2 y 2y x e t e y t2 e t 2e x xx 2y 2 416y y 13．1,( x 2)(x) x () ．4etett 2222122 2t)2 ( 2t) 2 ( 2) ,2t2, t ．14． ( 3, 4) ,或( 1,2) (25 2215．，或直线为 y x tan ，圆为 (x 4)y4，作出图形，相切时，665 易知倾斜角为，或．664t xy2 21 t 4t22x(tx)4t x 0 ，当x 0 时， y 0，或x ； 16．2 1 t 24t1 t4t xy2 24t1 t 而 y tx ，即 y，得．22 1 t4t 2 1 tx 1 t，代入x y 2 3 0，得 t 2 3 ，17．解：将y 5 3t得P(1 2 3,1)，而 Q (1, 5)， 262 4 3．得| PQ | (2 3)10 x t cos 18．解：设直线为2(t 为参数) ，代入曲线y t sin3 22并整理得 (1 sin )t( 10 cos )t0，23 2 那么| PM | | PN | |t 1t 2 |， 1 sin 23 42所以当 sin1时，即，| PM || PN |的最小值为，此时．22x cos C (x, y)，那么，19．解：设 点的坐标为 y1 sin22即 x( y 1)1 为以 (0, 1)1为圆心，以 为半径的圆．∵ A( 2,0), B(0,2) ， ∴| AB|4 4 2 2 ，xy且 AB 的方程为 1，2 2即 xy 2 0 ，| ( 1) 2| 3那么圆心 (0, 1) 到直线 AB 的距离为 2 ． 12 ( 1)22 3 C AB ∴点 到直线 的最大距离为 1 2，21 23 2∴ S ABC 的最大值是2 2 (12) 3 2．3x 1 t cos y 1 t sin x 1 t6 6 2 20．解：〔 1〕直线的参数方程为，即 ，1y 1 t23x 1 t2 2 2〔2〕把直线，代入 x y4，1 y 1 t23 1 2 t)2 (1 t)24,t 2 ( 3 1)t 2 0，得 (12t t1 22，那么点 P 到 A,B 两点的距离之积为2 ．21．解：〔 1〕当t 0时， y 0, x cos ，即x 1,且y 0；x y 当t 0时， cos,sin ，1 21 tt t t (e e )(e e ) 222而 xy1，x 22y即1；1 4 1 4t t 2 t t 2 (e e ) (e e ) 1 2t t〔2〕当k , k Z 时， y 0， x (e e ) x 1,且y 0； ，即 1 2 t t当k,k Z x 0 ， y (e e )x 0 ； ，即 时， 22x ete tk cos 2y 当, k Z ，时，得2e tetsin2x 2ysin 2y sin 2e t2e 2x2y2x2y cos，得 2e t 2e t 即即( )( )，t2x coscos sin cos sinx 2cos 2 y 2 sin 21 ．x 5cos y 5sin22C xy25，22．解：〔 1〕由圆 的参数方程x3 t cos 3 设直线 l 的参数方程为①(t 为参数 ) ，y t sin222将参数方程①代入圆的方程x y 25得4t 212(2cossin )t 55 0，∴△16[9(2cos sin )2 55] 0，所以方程有两相异实数根t t 、 ，122∴ | AB | |t t | 9(2cos sin ) 55 8，1 化简有 3cos2 解之 cos2 4sincos 0 ，3 40 或 tan，从而求出直线 l 的方程为 x 3 0 或 3x 4y 15 0．〔2〕假设 P 为 AB 的中点，所以 tt0 ，12由〔1〕知 2cossin 0 ，得 tan2 ，22故所求弦 AB 的方程为 4x 2y 15 0(xy25)．备用题： x 3 8cos 1．点P(x , y )在圆上，那么 x 、 y 的取值范围是〔 〕．0 0 00 y2 8sinA ．3 x 3, 2 y 2 0 0B ．3 x 8, 2 y 8 0 0C ．5 x 11, 10 y 60 0D ．以上都不合错误1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C ．x 1 2t 22(t 为参数 ) 被圆 xy 9截得的弦长为〔〕．2．直线y 2 t12 12 9 9 A ． B ．5C ．5D ．10555525 x 1 5t x 1 2t y 2 tx 1 2t y 2 t 2．B，把直线 代入1 y 15t522222xy9得 (1 2t) (2 t) 9,5t8t 4 0 ，8 16 12 5 5 12 522 | t t | (t t )4t t ( ) ，弦长为 5 | t t | 5 ． 1 2 1 2 1 21 2 5 x 2 pt 2y 2pt(t为参数, 为正常数 p ) 上的两点 M , N 对应的参数别离为t 1和t 2, ，3．曲线且t t 0 | MN | _______________．，那么 1 24p |t 1 |x |MN | 2p |t t | 2p | 2t | 3． 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴，即轴， ． 12 1 x cos (sin y sin (sin cos ) cos )4．参数方程4．解：显然 ( 为参数) 暗示什么曲线？y y 2 x 2 1 12tan ，那么1 ,cos ，x cos 2y 2x 2 1 1212 tanx cos 2sin cossin 2 ycos 2cos 2 ，22 1 tany2 1 1 1 y 2 x 2y 2y xxx 即x ， x(1 ) 1，y 2 x 2yx 22x 2 21 1 1 y2 xy 得 x1，x22即x yx y 0 ．225．点 P(x, y) 是圆 x y2y 上的动点，〔1〕求 2x y 的取值范围； x y a0 恒成立，求实数的取值范围．a〔2〕假设x cos 5．解：〔 1〕设圆的参数方程为，y 1 sin 2x y 2cossin15sin(5 1 2x y5 1．) 1，∴〔2〕 x y a cossinsin ) 11 a 0 ，∴ a (cos2 sin() 1恒成立， 4a2 1．即。
最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
最新人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案第一章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫4，π3 B ．⎝⎛⎭⎫4，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫－4，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫4，2π3 解析： 由直角坐标与极坐标互化公式： ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3， 因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.答案： B2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案： D3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧ 2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝y解析： 方法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 52＋⎝⎛⎭⎫y 22＝4， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝y2，得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4，∴伸缩变换⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y为所求．方法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4， 即λ2x 24＋μ2y 24＝1，与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎨⎧ λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25x ，y ′＝12y ，即⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .答案： D4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．22D ．23解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝⎛⎭⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2.答案： C5．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π2，半径为r ＝2， 对于选项A ，方程ρsin θ＝2对应的直线y ＝2，与圆相交； 对于选项B ，方程ρcos θ＝2对应的直线x ＝2，与圆相切； 选项C ，D 对应的直线与圆相离． 答案： B6．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4 C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析： 将圆的极坐标方程化成直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1， 圆心直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，22，故其极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π4. 答案： A7．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎫1，π2的最近距离等于( ) A ．2－1 B ．5－1 C ．1D ．2解析： 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，点Q 的直角坐标为(0,1)，则P 到Q 的最短距离为点Q 与圆心的距离减去半径，即2－1.答案： A8．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析： 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1，故选C ．答案： C9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析： 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－2r ⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)． 两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ)， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .答案： D10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫23，56π B ．⎝⎛⎭⎫23，π6 C ．⎝⎛⎭⎫23，7π6 D ．⎝⎛⎭⎫23，116π 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3(①)，ρ＝4cos θ(②)，∴4cos 2 θ＝3.∴cos θ＝±32. ∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6.将θ＝π6代入②，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. 答案： B二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为________． 解析： 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝3，化为直线方程得y ＝3； 点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标即为(3，1)，于是点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线l 的距离为2.答案： 212．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1.如图可知，S △POQ ＝12×|OQ |×|y p |＝12×1×33＋1＝3－34. 答案：3－3413．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标________．解析： 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12 ＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2. ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案： (6－2，6＋2)14．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析： 数形结合，易知所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫a 2，0为圆心，a2为半径的圆．求得方程是ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2. 答案： ρ＝a cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．解析： 在直线l 上任取一点M (ρ，θ)． 在直角三角形OMA 中， 由三角知识得ρcos(α－θ)＝d ，即ρ＝dcos (α－θ).这就是直线l 的极坐标方程．16．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．解析： ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝⎛⎭⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝⎛⎭⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.17．(12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析： (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)； 当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .18．(14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．解析： 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 于是由正弦定理， 得ρsin ⎝⎛⎭⎫π－3θ2＝10sin θ2， 化简，得A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ.第二章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析： ∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t得到直线3x ＋y ＝－1. 答案： A2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．72B ．4014D ．93＋43解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋22·2t ，y ＝1－22·2t ，令t ′＝2t ，把⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝1－22t ′代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25. 整理，得t ′2－72t ′＋4＝0，|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝82. 答案： C3．点集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ是参数，0＜θ＜π)，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则b 满足( )A ．－32≤b ≤32B ．－3＜b ＜32C ．0≤b ≤32D ．－3＜b ≤32解析： 用数形结合法解． 答案： D4．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析： 由y ＝1t t 2－1，得t 2y 2＝t 2－1，把t ＝1x 代入，得x 2＋y 2＝1.由于t 2－1≥0，得t ≥1或t ≤－1.当t ≥1时，得0<x ≤1且y ≥0； 当t ≤－1时，得－1≤x <0且y <0. 答案： D5．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r (θ为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．由r 的大小而定解析： 圆心到直线的距离 d ＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝|r |＝r ，故相切．答案： B6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2(t 为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ所表示图形的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ表示图形为方程是x 2＋y 2＝4的圆．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1ty ＝－2表示的图形与圆无交点．故选A. 答案： A7．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)， ①0＝r (sin φ－φcos φ). ②①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以基圆的面积为9π. 答案： D8．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3解析： 把直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′，y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，求得t ′1＋t ′2＝－4(2＋3)，t ′1t ′2＝16>0，知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1＋t ′2|＝4(2＋3)． 答案： C9．过抛物线⎩⎨⎧x ＝2t 2，y ＝3t (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )B ．π3或2π3D ．π6或5π6解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y 2＝32x ，它的焦点为⎝⎛⎭⎫38，0.设弦所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，由⎩⎨⎧y 2＝32x ，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －38，消去y ，得64k 2x 2－48(k 2＋2)x ＋9k 2＝0， 设弦的两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫34·k 2＋2k 22－916＝2解得k ＝± 3.故倾斜角为π3或2π3答案： B10．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)上的两点A 、B 所对应的参数分别为t 1、t 2，且AP →＝λPB →(λ≠－1)，则点P 所对应的参数为( )B ．t 1＋t 21＋λD ．t 2＋λt 11＋λ 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ＋1，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________．解析： 由题意知，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρsin θ＝0，化简得ρ＝2sin θ.答案： ρ＝2sin θ12．如图所示，齿轮的廓线AB 为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225 mm ，则此渐开线的参数方程为________．答案： ⎩⎨⎧ x ＝2252(cos t ＋t sin t )y ＝2252(sin t －t cos t )(t 为参数)13．点M (x ，y )在椭圆x 212＋y 24＝1上，则点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的最大值为________，此时点M 的坐标是________．解析： 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)， 则点M (23cos θ，2sin θ)到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|23cos θ＋2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－42.当θ＋π3＝32π时，d max ＝42，此时M (－3，－1)． 答案： 42 (－3，－1)14．若曲线y 2＝4x 与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β(t 为参数)相切，则cos αcos β＝________. 解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t cos αy ＝－4＋t cos β， ∴x －2y ＋4＝2cos αcos β＝2m ， 其中m ＝cos αcos β， ∴x ＝2＋2my ＋8m ，代入y 2＝4x ，得y 2＝4(2＋2my ＋8m )，y 2－8my －8－32m ＝0.∵直线与曲线相切，∴Δ＝(－8m )2－4×(－8－32m )＝64m 2＋4×8(1＋4m )＝0，2m 2＋4m ＋1＝0，∴(m ＋1)2＝12，m ＝－1±22， ∴cos αcos β＝－1±22. 答案： －1±22 三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧ x ＝22t ＋my ＝22t (t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，试求实数m 的值．解析： (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －m(2)m ＝1或m ＝316．(12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ； (1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是曲线C 上的一个动点，求x ＋2y 的最大值．解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝364cos 2θ＋9sin 2θ， 即4ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝36，∴4x 2＋9y 2＝36，∴x 29＋y 24＝1. (2)设P (3cos θ，2sin θ)，则x ＋2y ＝3cos θ＋4sin θ＝5sin(θ＋φ)，∵θ∈R ，∴当sin(θ＋φ)＝1时，x ＋2y 的最大值为5.17．(12分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值． 解析： 由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0)． ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2. 即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433. 18．(14分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；(2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322. 点F 2到直线l 的距离 d 2＝|1－0－2|2＝22， ∴d 1＋d 2＝2 2.。
选修4-4坐标系与参数方程(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)
x = 4 cos2 ，
2．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线
C1，C2
的参数方程分别为
C1：
y
=
4
sin
2
（θ
为参数），C2：
x y
= =
t t
+ −
1, t 1
（t
为参数）.
t
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
（2）设 C 上点的坐标为： (cos , 2sin )
则C
上的点到直线 l
的距离
d
=
2 cos + 2
3 sin
+11
=
4
sin
+
6
+ 11
7
7
当 sin
+
6
=
−1 时，
d
取最小值
则 dmin = 7
5．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在
C1
表示以坐标原点为圆心，半径为
1
的圆；（2）
(
1 4
,
1 4
)
.
x = cos t
【分析】（1）当
k
= 1 时，曲线 C1
的参数方程为
y
=
sin
t
(t
为参数），
两式平方相加得 x2 + y2 = 1 ，
所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
选修4-4高考题及答案
1.（2009年辽宁卷（23））（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （3πθ-）=1，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点。
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程。
（23）解：（Ⅰ）由得1)3cos(=-πθρ,1)sin 23cos 21(=+θθρ 从而C 的直角坐标方程为)2,332(3322)0,2(202312321πρπθρθN M y x y x ，所以时，，所以时，即=====+=+（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0） N 点的直角坐标为)332,0( 所以P 点的直角坐标为),6,332(),33.1(π点的极坐标为则P所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρπθ2.（2010年辽宁卷(23)）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），已知P 为半圆C ：O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。
（I ）以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程。
所以直线OP 的极坐标方程为),(,+∞-∞∈=ρρπθ（2011年辽宁（23））（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．23．解：（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =，与C 2交点B 1的横坐标为x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此， 四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= (10)分（2012辽宁23）. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()222:-2+=4C x y （1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程，是简单题. 【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 解=2=4cos ρρθ⎧⎨⎩得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……5分注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1=x y t⎧≤⎨⎩ （或参数方程写成=1=x y y y⎧≤≤⎨⎩ (10)分（解法二）将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 33x y ππθθ⎧≤≤⎨⎩(2013辽宁，理23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为33,12x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(t ∈R为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解2224,40x y x y ⎧+(-)=⎨+-=⎩得110,4,x y =⎧⎨=⎩222,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标为π4,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，π4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. 由参数方程可得122b aby x =-+. 所以1,212,2bab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得a ＝－1，b ＝2.（2009全国新课标23） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t为参数），C 2：8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
(必考题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[2,5]C ．[2,4]D ．[3,4]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） ABC ．1D ．23．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心4．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)B．⎝ C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 5．已知(,)P x y是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P到40x -=的距离的最大值为（ ） AB．2CD．26．直线4x 1t 5(t 3y 1t5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)被曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截的弦长为( )A ．15B ．710C ．75D ．577．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．已知直线l 的参数方程为3332112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆2216x y +=相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为（ ） A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．33(,)-9．已知直线3:2x tl y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程22,y x l =与C 交于12,P P ，则点()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）A ．43+B ．2(23)+C ．4(23)+D ．83+10．过()0,2P -，倾斜角为60︒的直线与曲线232y x x =-+交于A B 、两点，则PA PB ⋅= ( )A ．623+B ．16C ．8D ．623-11．直线1sin 70{2cos70x t y t =+=+(t 为参数)的倾斜角为 ( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°12．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题13．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A B ，分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为______.14．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线参数方程为2x 4ty 4t (t =⎧=⎨⎩为参数)焦点为F ，直线l 的极坐标方程为π2ρsin θ4⎛⎫-= ⎪⎝⎭F 到直线l 的距离为______．15．在直角坐标系xOy 中，若直线:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆4cos :5sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的左顶点，则a =__________．16．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线1222x cos y sin αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）,相交于两点A 和 B ，则AB =__________．17．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t R ∈）和曲线1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，R θ∈）上的点，则PQ 的取值范围是______． 18．在极坐标系中，圆1C的方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos (1x a y asin θθθ=-+⎧⎨=-+⎩为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则正数a = _________.19．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为_____________20．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小.则这个点的坐标为________三、解答题21．已知直线1l 过点()1,3M ，倾斜角是3π，直线2:sin cos 20l ρθρθ+-=. （1）写出直线1l 的参数方程；（2）直线1l 与直线2l 的交点为N ，求MN .22．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （1）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.24．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（其中t 为参数，0)m >．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=，l 被C（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P的坐标为(m ，求||||PA PB +的值．25．已知曲线2cos ,:2sin ,x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设曲线C 经过伸缩变换,12x x y y ='='⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C '的极坐标方程；（2）若,A B 是曲线C '上的两个动点，且OA OB ⊥，求22|OA OB +的最小值．26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围. 【详解】由题意可知，(D c，7,5E c ⎛- ⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ， 则12PF PF ⋅==，所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.2．B解析：B 【分析】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】设曲线C 上任意一点的坐标为),sin θθ，所以，曲线C 上的一点到直线l的距离为d ==42sin πθ⎛⎫-+ ⎪=， 当()232k k Z ππθπ+=+∈时，d取最小值，且min d == B. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】 圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+=直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--= 圆心到直线的距离为：925d r =<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=， ∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=， ∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.5．A解析：A【分析】设点,sin )P αα，求得点P到直线的距离为d =数的性质，即可求解. 【详解】由题意，点(),P x y是椭圆x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，设点,sin )P αα，则点P到直线40x -=的距离为d ==当cos()14πα+=-时，距离dA. 【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【详解】分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d ，再利用关系：l =l ．详解：直线415(t 315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数)化为普通方程：直线3410x y ++= ． ∵曲线πρθ4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开为2cos sin cos sin ρθθρρθρθ=-∴=-，， 化为普通方程为22x y x y +=- ，即22111()()222x y -++＝， ∴圆心11()22C r -，，圆心C到直线距离110d == ， ∴直线被圆所截的弦长75l =． 故选C ．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l 、圆心到直线的距离、半径r 三者的关系：l =是解题的关键．7．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++， 求得答案． 详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，） ，且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，） 根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，， 故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．8．C解析：C 【解析】分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，与圆方程联立，由韦达定理结合中点坐标公式可得结果.详解：直线112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即x =-， 代入圆2216x y +=化简可得y y -+=2680，126y y ∴+=，即AB 的中点的纵坐标为3，AB ∴的中点的横坐标为=故AB的中点的坐标为()，故选C.点睛：本题主要考查参数方程化为普通方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题. 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.9．C解析：C 【分析】先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】将直线l参数方程化为122x y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2， t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2． 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.10．B解析：B 【解析】设直线参数方程12,()22x t t y 为参数⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入曲线，得2122(3160,16,t t t t -+==由参数t 的几何意义可知，PA PB ⋅1216t t ==．选B.【点睛】对于过定点P 且知道倾斜角（或斜率）的直线，与曲线交于两点A,B,求22,,PB PA PB PA PB PA +⋅+等式子的值时，我们常设直线的参数方程，再利用参数t 的几何意义解题．11．B解析：B 【解析】 由题设可知02cos70sin 20tan 201sin 70cos 20y k x -====-，故依据直线的斜率与与倾斜角之间的关系可知该直线的倾斜角为020α=，应选答案B 。
人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案
人教版高中数学选修4-4测试题全套及答案章末综合测评(一) 坐标系(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. 【答案】 A2．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 如图所示，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝π6，所以S △AOB ＝12×3×4×12＝3.【答案】 C3．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θ D ．ρ＝1cos θ【答案】 C4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6，知∠AOB ＝π3，∴△AOB 为等边三角形，因此|AB |＝2. 【答案】 B5．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线【解析】 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254，∴该方程表示抛物线． 【答案】 D6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x ＋2y ＝1， ∴直线x ＋2y ＝1不过第三象限． 【答案】 C7．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3 【解析】 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则⎩⎨⎧3＝r sin φcos θ，1＝r sin φsin θ，－2＝r cos φ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22，φ＝3π4，θ＝π6.【答案】 A8．在极坐标系中，直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 化圆的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6为直角坐标方程得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，半径长为1，化直线θ＝π6(ρ∈R )的直角坐标方程为x －3y ＝0，由于32－3×12＝0，即直线x －3y ＝0过圆⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的圆心，故直线θ＝π6(ρ∈R )截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6所得弦长为2.【答案】 B9．若点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，3，则P 到直线Oy 的距离为( ) A ．1 B ．2C. 3【解析】 由于点P 的柱坐标为(ρ，⎭⎪⎫，π6，3，故点P 在平面xOy 内的射影Q 到直线Oy 的距离为ρcos π6＝3，可得P 到直线Oy 的距离为 6.【答案】 D10．设正弦曲线C 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y 后得到曲线方程为y ′＝sin x ′，则正弦曲线C 的周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π【解析】 由伸缩变换知3y ＝sin 12x ， ∴y ＝13sin 12x ，∴T ＝2π12＝4π.【答案】 D11．已知点A 是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是( )A ．1 B.32 C.52 D.72【解析】 曲线ρ＝2cos θ即(x －1)2＋y 2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即x ＋3y －8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于|1＋0－8|2＝72，所以点A 到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4的距离的最小值是72－1＝52.【答案】 C12．极坐标方程ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )【解析】 法一 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4是把圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π4而得，圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，故选C.法二 圆ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，半径为1，故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．在极坐标系中，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程为________．【解析】 圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，化成标准方程得x 2＋(y －2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.【答案】 ρcos θ＝214．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2315．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2216．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1， ∴弦长为2× 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4，所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求极点到直线的距离． 【解】 ∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1. 又极点的直角坐标为(0,0)， ∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22. 19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程． 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ，则ρ＝|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)．20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标．图1【解】 设点C 的柱坐标为(ρ1，θ1，z 1)， 则ρ1＝|OC |＝3，θ1＝∠COA ＝π2，z 1＝0， ∴C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；设点B ′的柱坐标为(ρ2，θ2，z 2)，则ρ2＝|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32， θ2＝∠BOA ＝π4，z 2＝3， ∴B ′的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；如图，取OB 的中点E ，连接PE ，设点P 的柱坐标为(ρ3，θ3，z 3)，则ρ3＝|OE |＝12|OB |＝322，θ3＝∠AOE ＝π4，z 3＝3， 点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.21．(本小题满分12分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．【解】 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程得： C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2， 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32＞2，∴曲线C 1与C 2相离．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程．【解】 (1)∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. (2)∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.章末综合测评(二) 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上， ∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)斜率为( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92， ∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π， 因此α＝2π3. 【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ. ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆． 【答案】 C6．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72D.75【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.【答案】 A7．已知圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝10，则圆心M 到直线⎩⎨⎧x ＝4t ＋3，y ＝3t ＋1(t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意易知圆的圆心M (1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d2.【答案】 B8．若直线⎩⎨⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6 【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4tan α|tan 2x ＋1＝2.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0， 解得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( ) A ．2 B ．4 C.92D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3， 令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92，∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12【解析】 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t (t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋3【解析】将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 【答案】 x ±y ＝014．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.【答案】 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1或ρcos θ＋3ρsin θ＝115．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2可化为y ＝(x －2)2，射线θ＝π4可化为y ＝x (x ≥0)，联立这两个方程得：x 2－5x ＋4＝0，点A ，B 的横坐标就是此方程的根，线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5216．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 离心率为e ＝63.【答案】 63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标． 【解】 (1)由⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4， ∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝5π3时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－3， ∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ由tan θ＝83确定， ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16，∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)， Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围． 【解】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎨⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1·t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)， 所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1<0，t 2<0. 而|PM |＋|PN |＝(4＋t 1cos α－4)2＋(2＋t 1sin α－2)2＋ (4＋t 2cos α－4)2＋(2＋t 2sin α－2)2＝|t 1|＋|t 2| ＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM |＋|PN |的取值范围为(4,42]．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为(2x′＋2x)(x′－x)2＝25.模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R)表示的曲线是()A．两条相交直线B．两条射线C．一条直线D．一条射线【解析】由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R，故为两条过极点直线．【答案】A2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4直线方程为() A．ρ＝sin θ＋cos θB．ρ＝sin θ－cos θC．ρ＝1sin θ＋cos θD．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】设M(ρ，θ) 为直线上任意一点，则在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C.3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3. 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0，所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)．(2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求轨迹方程．。
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1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C 1的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴45cos ,
55sin ,
x t y t =+⎧⎨
=+⎩t x 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为.
θρsin 2=（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
【解析】将消去参数，化为普通方程
⎩
⎨
⎧+=+=t y t
x sin 55cos 54t ,
25)5()4(22=-+-y x 即：.
1C 01610822=+--+y x y x 将代入得
⎩⎨
⎧==θ
ρθ
ρsin cos y x 01610822=+--+y x y x .
016sin 10cos 82=+--θρθρρ（Ⅱ）的普通方程为.
2C 0222=-+y y x 由，解得或.
⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+0
2016108222
2y y x y x y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==20y x 所以与交点的极坐标分别为，1C 2C 4
,2(π
)
2
,2(π
2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P ，Q 都在曲线
C ： 上，对应参数分别为t=α
()2cos 2sin x t
t y t
=⎧⎨
=⎩为参数与=2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点.
t
（1）求M 的轨迹的参数方程.
（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M 的轨迹
α是否过坐标原点.
【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M 的坐标，
α可得参数方程.
(2)利用距离公式表示出点M 到原点的距离d,判断d 能否为0,可得
M 的轨迹是否过原点.
【解析】（1）依题意有因此
()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα.
()cos cos 2,sin sin 2M αααα++M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα
αα
=+⎧⎨
=+⎩(
)2ααπ<<为参数，0（2）M 点到坐标原点的距离
.
()02d απ==<<当时，，故M 的轨迹过坐标原点.
απ=0d =11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高
考理科·
Ｔ23）相同
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，
1C )(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ
⎩⎨
⎧==
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正
x 2C 2=ρ方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的
ABCD 2C ,,,A B C D A 极坐标为.
(2,)
3π
（1）求点的直角坐标.
,,,A B C D （2）设为上任意一点，求的取值范围.P 1C 2
2
2
2
PA PB PC PD +++【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A ，B ，C ，D 的坐标.（2）由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于
1C 的函数式，利用函数的知识求取值范围.
ϕ【解析】（1）由已知可得
，
2cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232A B ππππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
332cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭即
.
((
)(
),,1,,1A B C D
--(2)设
令
，则
()2cos ,3sin ,
P ϕϕ2
2
2
2
S PA PB PC PD
=+++ .
2216cos 36sin 16S ϕϕ=++23220sin ϕ=+因为
所以的取值范围是.2
0sin 1,ϕ≤≤S []32,5212.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
2cos 22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩，
（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲OP 2OM = 线C 2.
(Ⅰ)求C 2的方程.
(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与C 1的异于极点的交
点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .
【思路点拨】第（Ⅰ）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由
2OP OM =
ＭO P ,P 点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；
M 1C P 第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与
1C 2C 3
π
θ＝
的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求
＝1C A 1ρ3
π
θ＝2C B 2ρAB ｜｜即可.
21|ρρ-｜【精讲精析】（I ）设P(x,y),则由条件知M(
,22
x y
).由于M 点在C 1上，所以 即 2cos ,2
22sin 2
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x
y αα4cos ,44sin ,=⎧⎨
=+⎩x y αα从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩，
（α为参数）.（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.
射线3
π
θ=
与1C 的交点A 的极径为14sin
3
π
ρ=，
射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=.
所以.
11.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T23) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为
ρ=2cos θ,θ∈.0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
(1)求C 的参数方程.
(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线
垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定
D 的坐标.
【解题提示】(1)先求出C 的普通方程,然后再化为参数方程.
(2)利用C 的参数方程设出点D 的坐标,利用切线与直线l 垂直,可得直线GD 与直线l 的斜率
相同,求得点D 的坐标.
【解析】（1）C 的普通方程为 (0≤y ≤1).
()2
2
11x y -+=可得C 的参数方程为 (t 为参数，0≤t ≤π).
1cos sin x t
y t =+⎧⎨=⎩
（2）设D （1+cos t ,sin t ），由（1）知C 是以G （1，0）为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与
l 的斜率相同，tan t ,t =
.
3
π
故D 的直角坐标为 ,即 .1cos
,sin
3
3π
π
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
32⎛
⎝10.选修4-4:坐标系与参数方程(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T23)
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,
:sin ,x t C y t αα=⎧⎨
=⎩
(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极
点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ
=2
cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标.
(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2
-2
x=0.
联立，解得，或
x y y x y 2
2
22⎧+-2=0⎪⎨+-=0
⎪⎩x y =0⎧⎨=
0⎩x y ⎧=⎪⎪
⎨
3⎪=⎪⎩
2
2C 与3C 交点的直角坐标为和(,)0
0).3
2
(2)曲线C 1
的极坐标方程为θ=α
(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2
cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4|sin(α-)|.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.。