(完整版)高中数学选修4-4历年高考题全国卷含答案

1.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ23）已知曲线C 1的参数方程为

（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴45cos ,

55sin ,

x t y t =+⎧⎨

=+⎩t x 建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为.

θρsin 2=（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。【解析】将消去参数，化为普通方程

⎩

⎨

⎧+=+=t y t

x sin 55cos 54t ,

25)5()4(22=-+-y x 即：.

1C 01610822=+--+y x y x 将代入得

⎩⎨

⎧==θ

ρθ

ρsin cos y x 01610822=+--+y x y x .

016sin 10cos 82=+--θρθρρ（Ⅱ）的普通方程为.

2C 0222=-+y y x 由，解得或.

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--+0

2016108222

2y y x y x y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==20y x 所以与交点的极坐标分别为，1C 2C 4

,2(π

)

2

,2(π

2.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ23）已知动点P ，Q 都在曲线

C ： 上，对应参数分别为t=α

()2cos 2sin x t

t y t

=⎧⎨

=⎩为参数与=2α（0＜α＜2π）,M 为PQ 的中点.

t

（1）求M 的轨迹的参数方程.

（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M 的轨迹

α是否过坐标原点.

【解题指南】(1)借助中点坐标公式，用参数表示出点M 的坐标，

α可得参数方程.

(2)利用距离公式表示出点M 到原点的距离d,判断d 能否为0,可得

M 的轨迹是否过原点.

【解析】（1）依题意有因此

()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα.

()cos cos 2,sin sin 2M αααα++M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα

αα

=+⎧⎨

=+⎩(

)2ααπ<<为参数，0（2）M 点到坐标原点的距离

.

()02d απ==<<当时，，故M 的轨迹过坐标原点.

απ=0d =11.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ23）与（2012·新课标全国高

考理科·

Ｔ23）相同

已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，

1C )(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ

⎩⎨

⎧==

轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正

x 2C 2=ρ方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的

ABCD 2C ,,,A B C D A 极坐标为.

(2,)

3π

（1）求点的直角坐标.

,,,A B C D （2）设为上任意一点，求的取值范围.P 1C 2

2

2

2

PA PB PC PD +++【解题指南】（1）利用极坐标的定义求得A ，B ，C ，D 的坐标.（2）由方程的参数式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2关于

1C 的函数式，利用函数的知识求取值范围.

ϕ【解析】（1）由已知可得

，

2cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232A B ππππππ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，

332cos ,2sin ,2cos ,2sin 333232C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++

+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭即

.

((

)(

),,1,,1A B C D

--(2)设

令

，则

()2cos ,3sin ,

P ϕϕ2

2

2

2

S PA PB PC PD

=+++ .

2216cos 36sin 16S ϕϕ=++23220sin ϕ=+因为

所以的取值范围是.2

0sin 1,ϕ≤≤S []32,5212.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为

2cos 22sin x y αα

=⎧⎨

=+⎩，

（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲OP 2OM = 线C 2.

(Ⅰ)求C 2的方程.

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与C 1的异于极点的交

点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

【思路点拨】第（Ⅰ）问，意味着为的中点，设出点的坐标，可由

2OP OM =

ＭO P ,P 点的参数方程（曲线的方程）求得点的参数方程；

M 1C P 第（Ⅱ）问，先求曲线和的极坐标方程，然后通过极坐标方程，求得射线与

1C 2C 3

π

θ＝

的交点的极径，求得射线与的交点的极径，最后只需求

＝1C A 1ρ3

π

θ＝2C B 2ρAB ｜｜即可.

21|ρρ-｜【精讲精析】（I ）设P(x,y),则由条件知M(

,22

x y

).由于M 点在C 1上，所以 即 2cos ,2

22sin 2

⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x

y αα4cos ,44sin ,=⎧⎨

=+⎩x y αα从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y αα

=⎧⎨

=+⎩，

（α为参数）.（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.

射线3

π

θ=

与1C 的交点A 的极径为14sin

3

π

ρ=，