-换元法题库教师版
小学奥数教程-换元法.教师版 (10) 全国通用(含答案)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，例题精讲教学目标换元法1-3-5.换元法.题库教师版page 1 of原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
小学思维数学：换元法-带答案解析
换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
换元法专题含答案
的斜率为 ， 是坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当
的面积最大时，求直线 的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为 ，左焦点 到点 区 的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线 的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
第 15页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t
所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1） 因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆 ㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 的正方形．
（1）求椭圆 ㌱ 的方程；
（2）过点 区t 的直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ，⸷ 两点，且点
别为 ， ，当
取最大值时，求直线 的方程．
区 ，记直线 ， ⸷ 的斜率分
第 5页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
（1）求椭圆 ㌱ 的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ， 两点，当
程．
的面积最大时，求直线 的方
29. 已知函数 （1）若函数 （2）若
高中数学 换元法(附答案)
二、换元法（课时10）一、知识提要解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.二、例题讲解例1．（1）已知：x xf lg )12(=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22(log )12(log 122=+⋅++x x的解集是______________.解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；（2）设k y x =+，则1044,01222≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x=t ，可得原方程的解集为}0{.例2．（1）函数223)1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.解：（1）令θtan =x ，)2,2(ππθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )tan 1(tan tan 23223-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=⋅=-=， ∴]41,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n∵11=a ，52=a ，∴31=b ，123-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.两边除以12+n 得：432211=-++n n n n a a ，令nn n a c 2=，则有431=-+nn c c ， ∴)13(41-=n c n ，代入nn n a c 2=得： 22)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求m ax1s ＋m in1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5解得 S ＝α2sin 5810- ；∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法2：由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝2s ＋t ，y 2＝2s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，则224t s xy －±=代入①式得：4S ±5224t s －=5， 移项平方整理得 100t 2+39S 2－160S ＋100＝0 .∴ 39S 2－160S ＋100≤0 解得：1013≤S ≤103∴m ax1s ＋m in1s ＝310＋1310＝1610＝85方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,103]，再求m ax1s ＋m in1s 的值.三、同步练习1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__12＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____n1____. 3．已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.4．设等差数列}{n a 的公差21=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）A. 85B. 72.5C. 60D. 52.55．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12＋b +12的范围是__]2,226[+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2cos cos +的值.解答：08．如图，已知椭圆1925:22=+y x C ，圆∈=+P y x O ,4:22椭圆C 而PA 、PB 是圆O 任意切线，A 、B 为切点.（1）求AB 中点M 的轨迹方程；（2）设AB 所在直线交x 轴于C ，交y 轴与D ，求COD S ∆的最小值.解：（1）)(225)169(162222y x y x +=+；（2）1516)(min=∆COD S .x。
(755)换元法解一元二次方程专项练习35题(有答案)8页 ok
换元法解一元二次方程专项练习35题（有答案）(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．(3)已知：（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0 （6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0 （8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．（9）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．（10）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．（11）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6（12）（2x﹣x2）2﹣2（x2﹣2x）+1=0．（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0，（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0（19）（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2．（20）已知（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣40=0，求x2+y2．（21）（x2+x）（x2+x﹣3）﹣3（x2+x）+8=0．（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；（23）（3x﹣2）2+（2﹣3x）=20．（24）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0．（25）（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0．（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．（28）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（29）（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．（30）（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0． (31)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，(32)（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0(33)（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，（34）x（x+3）（x2+3x+2）=24．（35）已知：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，求x2+y2的值．换元法解一元二次方程35题参考答案：(1)（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0解：设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得：y1=﹣2，y2=4当y=﹣2时，x2﹣3x=﹣2，解得x1=2，x2=1当y=4时，x2﹣3x=4，解得x1=4，x2=﹣1∴原方程的根是x1=2，x2=1，x3=4，x4=﹣1，(2)（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4=0．解：设2x2﹣3x=y，原方程转化为：y2+5y+4=0（1分），解得：y1=﹣4，y2=﹣1（3分）当y1=﹣4时，2x2﹣3x+4=0，无实数根．（4分）当y2=﹣1时，2x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=1．故原方程根为x1=，x2=1(3)（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）=4，求x2+2x的值”，解：设x2+2x=y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）=4 整理得y2+y﹣2=4即：y2+y﹣6=0解得y1=﹣3，y2=2∴x2+2x的值为﹣3或2(4)已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）=24，求x2+y2的值．解：设x2+y2=m，则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）=24∴2（m﹣3）（m﹣2）=24．∴m2﹣5m+6=12．∴m2﹣5m﹣6=0解得m1=6，m2=﹣1∵x2+y2≥0∴x2+y2的值为6（5）（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2=0解：设y=x2﹣2x原方程可变为：y2+y﹣2=0解方程得y=﹣2或1所以x2﹣2x=﹣2或1．当x2﹣2x=﹣2时，△＜0，没实数根，当x2﹣2x=1时，解得x=1±．∴原方程的根是x1=1+，x2=1﹣（6）2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0．解：2（﹣x）2﹣（x ﹣）﹣1=0，变形得：2（x ﹣）2﹣（x ﹣）﹣1=0，设y=x ﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，…（2分）因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，解得：y=﹣或y=1，…（5分）当y=﹣时，x ﹣=﹣，解得：x=0；当y=1时，x ﹣=1，解得：x=，∴x1=，x2=0（7）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0解：设x﹣1=y，则原方程可化为：y2﹣5y﹣6=0，∴y1=﹣1，y2=6，∴x﹣1=﹣1，x﹣1=6∴x1=0，x2=7（8）（x+3）2﹣5（x+3）﹣6=0．解：设y=x+3，则原方程可化为y2﹣5y﹣6=0．解得：y1=6，y2=﹣1．当y1=6时，x+3=6，x1=3；当y2=﹣1时，x+3=﹣1，x2=﹣4．∴x1=3，x2=﹣4（8）2（x﹣1）2+5（x﹣l）+2=0．解：设x﹣l=y，则由原方程，得2y2+5y+2=0，即（y+2）（2y+1）=0，∴y+2=0，或2y+1=0，解得，y=﹣2，或y=﹣；①当y=﹣2时，x﹣1=﹣2，解得，x=﹣1；②当y=﹣时，x﹣1=﹣，解得，x=；综上所述，原方程的解是x1=﹣1，x2=（9）（x+2）2﹣3（x+2）+2=0．解：令x+2=t，原方程可化为t2﹣3t+2=0，（t﹣1）（t﹣2）=0，解得t1=1，t2=2，∴x+2=1或x+2=2，∴x1=﹣1，x2=0（10）（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=﹣6解：（1）∵3x2﹣5x﹣2=0∴（3x+1）（x﹣2）=0即3x+1=0或x﹣2=0解得x1=2；x2=．（11）设t=2x﹣3，则原方程可化为：t2﹣5t+6=0∴（t﹣2）（t﹣3）=0∴t=2或3，即2x﹣3=2或3解得x1=；x2=3（12）根据题意，令y=x2﹣2x，原方程可化为：y2﹣2y+1=0，解得y=1，即x2﹣2x=1，可用公式法求解，其中a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=8＞0，∴方程的解为x==，即x1=1﹣，x2=1+（13）（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0．解：设x2﹣1=t．则由原方程，得t2﹣5t+4=0，即（t﹣1）（t﹣4）=0，解得，t=1或t=4；①当t=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±；②当t=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±．综合①②，原方程的解是：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣（14）（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3=0解：设x2﹣x=y，所以原方程变化为：y2﹣2y﹣3=0，解得y=﹣1或3，当y=﹣1时，x2﹣x=﹣1，无解；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x1=，x2=，∴原方程的解为x1=，x2=（15）已知（a+2b）2﹣2a﹣4b+1=0，求（a+2b）2010的值．解：根据题意，设a+2b=x，代入原方程得：x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0∴x=1，即a+2b=1，所以（a+2b）2010=1（16）（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0解：根据题意x2﹣x=y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6=0，解得y=2或3，当y=2时，x2﹣x=2，解得：x1=2，x2=﹣1；当y=3时，x2﹣x=3，解得，x3=，x4=，∴原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．（17）已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，求a2+b2的值．解：设a2+b2=y据题意得y2﹣y﹣6=0解得y1=3，y2=﹣2∵a2+b2≥0∴a2+b2=3（18）（2x+1）2﹣6（2x+1）+5=0解：设2x+1=a，原方程可化为a2﹣6a+5=0，解得a=1或5，当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；∴原方程的解为x1=0，x2=2（19）．解：设u=x2+3x﹣4，v=2x2﹣7x+6，则u+v=3x2﹣4x+2．则原方程变为u2+v2=（u+v）2，即u2+v2=u2+2uv+v2，∴uv=0，∴u=0或v=0，即x2+3x﹣4=0或2x2﹣7x+6=0．解得（20）解：设x2+y2=t（t≥0），则t2﹣3t﹣40=0，所以（t﹣8）（t+5）=0，解得，t=8或t=﹣5（不合题意，舍去），故x2+y2=8（21）解：设x2+x=y，原方程可变形为：y（y﹣3）﹣3y+8=0，y2﹣6y+8=0，（y﹣4）（y﹣2）=0，解得：y1=4，y2=2，当y1=4时，x2+x=4，解得：x1=，x2=．当y2=2时，x2+x=2，解得：x3=1，x4=﹣2（22）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y，则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7，x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（23）设3x﹣2=t，则t2﹣t﹣20=0，∴（t+4）（t﹣5）=0，∴t+4=0或t﹣5=0，解得 t=﹣4或t=5．当t=﹣4时，3x﹣2=﹣4，解得 x=﹣；当t=5时，3x﹣2=5，解得 x=，综上所述，原方程的解为：x=﹣或 x=．（24）解：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8=0，分解因式得：（x2﹣3x﹣4）（x2﹣3x+2）=0，即（x﹣4）（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，可得x﹣4=0或x+1=0或x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=4，x2=﹣1，x3=1，x4=2（25）解：根据题意，把y=x2﹣2代入方程（x2﹣2）2﹣7（x2﹣2）=0得：y2﹣7y=0，解得y1=0，y2=7，当y1=0时，即x2﹣2=0，解得：x1=﹣，x2=，当y2=7时，即x2﹣2=7，解得：x3=﹣3，x4=3，∴原方程的解为：x1=﹣，x2=，x3=﹣3，x4=3（26）已知（x2+y2）（x2+y2+2）﹣8=0，求x2+y2的值．解：设x2+y2=t，则原方程变形为t（t+2）﹣8=0，整理得t2+2t﹣8=0，∴（t+4）（t﹣2）=0，∴t1=﹣4，t2=2，当t=﹣4时，则x2+y2=﹣4，无意义舍去，当t=2时，则x2+y2=2．所以x2+y2的值为2（27）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，求x2+y2的值．解：∵x4+y4+2x2y2﹣x2﹣y2﹣12=0，∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，即（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，∴x2+y2=﹣3，或x2+y2=4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4(28)解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，设x2﹣1=y原方程可化为y2﹣5y+4=0，解此方程得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x=±；当y=4时，x2﹣1=4，∴x=±，∴原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．（29）解方程：（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12=0．设x2﹣x=A，由题意，得A2﹣8A+12=0，解得：A1=6，A2=2．当A=6时，x2﹣x=6，解得：x1=3，x2=﹣2；当A=2时，x2﹣x=2，解得：x3=2，x4=﹣1．∴原方程的解为：x1=6，x2=﹣2，x3=2，x4=﹣1 （30）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12=0．解：设y=x2+x，方程化为y2﹣8y+12=0，即（y﹣2）（y ﹣6）=0，解得y=2或y=6，即x2+x=2或x2+x=6，分解因式得：（x+2）（x﹣1）=0或（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=﹣2，x2=1，x3=2，x4=﹣3（31）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解;设x2﹣1=y，即（x2﹣1）2=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0，又化为（y﹣1）（y﹣4）=0解得y1=1，y2=4．当y=1即x2﹣1=1时，x2=2，x=±；x1=，x2=﹣当y=4即x2﹣1=4时，x2=5，x=±；x3=，x4=﹣(32)解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3=0解：设x2﹣2x=y，即（x2﹣2x）2=y2，原方程可化为y2﹣2y﹣3=0，解得y1=3，y2=﹣1，当y1=3时，x2﹣2x=3，解得x1=3，x2=﹣1；当y2=﹣1时，x2﹣2x=﹣1，解得x3=x4=1；∴原方程的解为x1=3，x2=﹣1；x3=x4=1（33）解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，解：设x2﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y1=1时，x2﹣1=1，∴；当y2=4时，x2﹣1=4，∴．因此原方程的解为：．（34）设x2+3x=y．∵x（x+3）（x2+3x+2）=24，∴（x2+3x）（x2+3x+2）=24，∴y（y+2）=24，即（y﹣4）（y+6）=0，解得，y=4或y=﹣6；①当y=4时，x2+3x=4，即（x﹣1）（x+4）=0，解得，x1=﹣4，x2=1；②当y=﹣6时，x2+3x=﹣6，即x2+3x+6=0，∵△=9﹣24=﹣15＜0，∴该方程无解；综上所述，原方程的根是：x1=﹣4，x2=1 （35）解：（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，设x2+y2=a，则有a2﹣a﹣12=0，因式分解得：（a﹣4）（a+3）=0，解得：a1=4，a2=﹣3，∵x2+y2＞0，即a＞0，∴a=﹣3不合题意，舍去，则x2+y2=a=4。
利用换元法解决试题(非常全)
利用换元法解决试题（非常全）一、选择题1. 为解方程，我们可设，则，原方程可化为．解得，，当时，，所以；当时，，所以．故原方程的解为，，，．以上解题方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 换元与降次C. 消元D. 公理化2. 如果一个三角形的三边长分别为，，，化简的结果是A. B. C. D.3. 用换元法解方程，设，则原方程可化为A. B. C. D.4. 当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为A. B. C. D.5. 已知，则或 B. D. 无法确定6. 已知，则的值为A. B. C. D.7. ，则的值为A. C. 或 D. 无法确定8. 若，则A. 或或或 D. 或9. 方程的解为A. ，B. ，C. ，D. ，10. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为A. B. C. D.11. 已知，，，均为正数，且满足，．则与之间的关系为A. B. C. D. 无法确定12. 小明用计算器计算的值，其按键顺序和计算器显示结果如表：这时他才明白计算器是先做乘法再做加法的，于是他依次按键：从而得到了正确结果，已知是的倍，则正确的结果是A. B. C. D.13. 已知方程组的解是则方程组的解是A. B. C. D.14. 已知实数，满足：，，则的值为A. C. D.15. 有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共张，购买一把价值为元的雨伞，不同的付款方式共有A. 种B. 种C. 种D. 种16. 若实数、满足，则的值为A. C. 或或17. 在求的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她设：然后在式的两边都乘，得：得，即，所以，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“”换成字母“”（且），能否求出的值?你的答案是A. B. C. D.18. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为A. B. C. D.19. 已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为A. B. C. D.20. 已知实数满足，则的值是B. 或或二、填空题21. 已知，则．22. 能使成立的的值为．23. 一题多解是拓展我们发散思维的重要策略．对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设．（）则原方程可变形为关于的方程：，通过先求的值，从而可得；（）上述方法用到的数学思想是．24. 若方程组的解为则方程组的解是．25. （）已知，那么．（）若实数，满足，则．26. 如果，那么的值为．27. 在求的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的倍，于是她假设：然后在式的两边都乘以，得：得，，即，所以．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“”换成字母（且），能否求出的值?如能求出，其正确答案是．28. 关于，的方程组那么．29. 在方程中，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是．30. 解方程时，若设，则方程可化为．31. 若，则的值是．32. 设函数的图象与函数的图象的交点坐标为，则的值为．33. 计算的结果是．34. 计算的结果是．35. 方程的实根是．36. 三个同学对问题"若方程组的解是求方程组的解" 提出各自的想法．甲说："这个题目好象条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以，通过换元替换的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是．37. 已知，则关于的方程的解是．38. 满足的的值为．39. 如果，那么的值为．40. 若，则的值为三、解答题41. 解下列方程组．（1）（2）42. 如图中的个点处各写有一个数字．已知每个点所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数，则代数式的值是多少?43. 解下列分式方程：（1）；（2）；（3）；（4）．44. 解方程组：45. 若，，试比较与的大小．46. 用换元法解方程．47. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克?（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为千克，销售均价为，今年樱桃的市场销售量比去年减少了，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为千克，销售均价为，今年枇杷的市场销售量比去年增加了，但销售均价比去年减少了，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求的值．48. 计算：．49. 计算：．50. 计算：（，且为正整数）．51. 解方程：．52. 先化简，再求值：，其中．53. 解方程组：54. 求的值，令，则，因此，．参照以上推理，计算的值．55. 关于的方程：的解为：，；（可变形为）的解为：，；的解为：，；的解为：，．（1）请你根据上述方程与解的特征，猜想关于的方程（）的解是什么?（2）请总结上面的结论，并求出方程的解．56. 阅读理解：善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组和之间存在一定关系，他的解法如下：解：将方程变形为：．把方程代入方程得：，解得：把代入方程得：．∴原方程组的解为小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：（1）解方程组（i）把方程代入方程，则方程变为；（ii）原方程组的解为．（2）解方程组57. 先让我们一起来学习方程的解法：解：令，则，方程两边平方可得，解得，，，，．点评：类似的方程可以用“整体换元”的思想解决．不妨一试：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，是过点且垂直于轴的直线，过作，垂足为点，连接．（1）求抛物线的解析式；（2）①当点运动到点处时，通过计算发现：（填“”、“”或“”）；②当点在抛物线上运动时，猜想与有何数量关系，并证明你的猜想；（3）当为等边三角形时，求点坐标；（4）如图 2，设点，问是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．58. 已知：如图1，抛物线与轴正半轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平行于轴并从点开始以每秒个单位的速度沿轴正方向平移，且分别交轴、线段于点，，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位速度运动，（如图2）；当点运动到原点时，直线与点都停止运动，连接，若点运动时间为秒；设，当为何值时，有最小值，并求出最小值．（3）在（2）的条件下，是否存在的值，使以，，为顶点的三角形与相似；若存在，求的值；若不存在，请说明理由．59. 阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，，；当时，，，；原方程的解是，，，．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；（2）利用材料中的方法解方程：．60. 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得：，．当时，，；当时，，．所以原方程有四个根：，，，．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：答案第一部分1. B 【解析】本题体现了两个重要的数学思想，换元和降次的数学思想．2. B3. A4. D5. B6. C 【解析】由已知条件直接求解比较困难，通过观察，不难发现所求代数式与已知条件之间存在一定的关系，即．若设，则，．7. A8. A 【解析】令，则原方程化为，即，所以，．．9. B 【解析】将看成一个整体，移项，得，配方，得，即．得，，．10. C11. A12. C则故．13. C14. A15. C【解析】设壹圆、贰圆、伍圆的人民币分别有张，张，张，则由题意可得：16. D17. B 【解析】设则得，所以，即．18. D19. B 【解析】∵方程有实数根，∴．由题意得或令，则方程可化为：；方程化为：．∵是方程或的解，∴方程、的判别式非负，即，∴．20. D第二部分21.【解析】设，则有，解得，．由于，故．，或23.24.25. （），（）26.【解析】设，则，整理得，解得，即或（不合题意，舍去）．27. （且）28.29.【解析】方程整理得，，设，原方程可化为，，方程两边都乘以，去分母得，．30.或【解析】，，．33.【解析】设，35.36.【解析】37.38. 或39.40. 或【解析】令 .则原式可化为，整理得，解得，经检验都是方程的解；则，则的值为或 .第三部分41. （1）得：得：把代入得：方程组的解为（2）令，，则：由得由得把代入得方程组的解为42. 由条件可知，，，，，所以．设，，则，解得．所以43. （1）原方程可化为：整理，得解方程，得经检验：是增根，舍去；所以原方程的根是．（2）设，则方程为：所以，所以，所以所以由得：所以所以由得：所以，所以，所以，，经检验：，，，都是原方程的解，所以原方程的解是，，，．（3）设，则解得：当时，解得：当时，所以此方程无解．经检验，，是原方程的解．所以原方程的解是，．（4）整理得设则整理得：解得：当时，解得：当时，解得：经检验这四个解都是原方程的解．所以原方程的解是，，，．44. 原方程组可变形为因此，可以将与看作是方程的两个根，解方程得：，．经检验：都是原方程的解，原方程的解是45. 设，则，，．46. 解：设，则原方程化为解得，当时，解得，当时，此方程无实数根．经检验，，都是原方程的根．原方程的根为， .47. （1）设该果农今年收获樱桃千克，根据题意得：解得：答：该果农今年收获樱桃至少千克；（2）由题意可得：令，原方程可化为：整理可得：解得：（舍去），，，答：的值为．48. 设，，则49. 设，则有：，，即，故原式的值为．50. 设，则51. 设，则原方程变为即由分式值为的条件，得且．且．或，且．解得经检验，是原分式方程的解．52.当时，．53. 由题意得，又，．．解方程得原方程组的解为或．54. 设，则，，．55. （1），．（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和其倒数的倍数．可变形为 .或，即或，经检验：，都是原方程的解.原方程的解为，．56. （1）（i）；（ii）（2）将方程变形为把方程代入方程得解得把代入方程，得所以原方程组的解为57. （1）抛物线经过点，，，抛物线解析式为，顶点．（2）①②结论：．理由：设点坐标，，，．【解析】①当点运动到点处时．由勾股定理得，，．（3）为等边三角形，．，易证．，解得：，．（4），，．，，以，，为顶点的三角形与相似，与，与是对应边，，设点，，解得．点坐标或．58. （1）由直线：知：，；，，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得．抛物线的解析式：．（2）在中，，，则；，；而；，设，则，当时，取得最大值，此时取得最小值．当时，有最小值，且最小值为．（3）在中，，，则；在中，，，则；；以，，为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：①，解得；②，解得；综上所述，当时，以，，为顶点的三角形与相似．59. （1）降次．（2）设，原方程化为，解得，．当时，解得或当时，解得或；原方程的解是，，，．60. （1）换元，转化（2）设，则由原方程得到．整理，得，解得或．当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；当，即，则，解得，．经检验，它们都是原方程的根；综上所述，原方程的根为：，，，．。
一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法（含解析）
一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法（含解析）一元二次方程强化习题—因式分解法和换元法一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x -=的两个根是( ) A ．0和3-B ．0和3C ．1和3D ．1和3-2．下列实数中，方程20x x -=的根是( ) A ．2-B ．1-C ．1D ．23．方程(3)x x x +=的解是( ) A ．123x x ==-B ．11x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．10x =．22x =-4．一个三角形的三边长都是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长不可能是( )A ．6B ．9C ．12D ．155．方程250x x +=的解为( ) A ．5x =B ．5x =-C ．10x =，25x =D ．10x =，25x =-6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为( ) A ．7B ．3或7C ．15D ．11或157．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0B ．2C ．0或1D ．0或28．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x =B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =11．一元二次方程2520x x -=的解是( )A ．10x =，225x =B ．10x =，225x =-C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3B ．3-或1C ．3D ．113．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( )A ．1-或3B ．1或3-C ．1-D ．314．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或215．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．916．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331ab +-的值是( ) A ．72B ．52 C ．72-D ．52-18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．219．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += ．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为． 22．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += ．23．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += ． 24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．一元二次方程强化习题（2）——因式分解法和换元法参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．一元二次方程230x x-=的两个根是()A．0和3-B．0和3C．1和3D．1和3-解：230x x-=，(3)0x x∴-=，则0x=或30x-=，解得0x=或3x=，故选：B．2．下列实数中，方程20x x-=的根是()A．2-B．1-C．1D．2解：20-=，(1)0x x∴-=，则0x=或10x-=，解得10x=，21x=，故选：C．3．方程(3) x x x+=的解是() A．123x x==-B．11x=，23x=C．10x=，23x=-D．1022x=-解：方程变形得：(3)0x x x+-=，分解因式得：(31)0x x+-=，可得0x=或20x+=，解得：10x=，22x=-．故选：D．4．一个三角形的三边长都是方程27100 x x-+=的根，则这个三角形的周长不可能是( ) A．6B．9C．12D．15解：(2)(5)0x x--=，20x-=或50x-=，所以12x=，25x=，当三角形三边分别为2、2、2时，三角形的周长为6；当三角形三边分别为5、5、2时，三角形的周长为12；当三角形三边分别为5、5、5时，三角形的周长为15．故选：B．5．方程250x x+=的解为()A．5x=B．5x=-C．10x=，25x=D．10x=，25x=-解：250x x+=，(5)0x x∴+=，x∴=或5x=-，故选：D．6．若一个三角形的两边长分别是2和6，第三边的边长是方程210210x x-+=的一个根，则这个三角形的周长为()A．7B．3或7C．15D．11或15解：210210x x-+=，(3)(7)0x x∴--=，3x∴=或7x=，当3x=时，236+<，2∴、3、6不能组成三角形，当7x=时，267+>，2∴、6、7能够组成三角形，∴这个三角形的周长为26715++=，故选：C．7．下列实数中，方程220x x -=的根是( ) A ．0 B ．2 C ．0或1 D ．0或2解：220x x -=，(2)0x x ∴-=，则0x =或20x -=，解得0x =或2x =，故选：D ．8．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程2241400x x -+=，则三角形周长为( ) A ．24B ．28C ．24或28D ．以上都不对解：解方程2241400x x -+=得：110x =，214x =，当三边为6、8、10时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为681024++=，当三边为6、8、14时，6814+=，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，即三角形的周长是24，故选：A ．9．方程(5)5x x x -=-的根是( ) A ．5x = B ．0x =C ．15x =，20x =D ．15x =，21x =解：(5)(5)0x x x ---=，(5)(1)0x x ∴--=，则50x -=或10x -=，解得5x =或1x =，故选：D ．10．一元二次方程2(21)(21)(1)x x x +=+-的解为( ) A ．1x =B ．112x =-，21x =C ．112x =-，22x =-D ．112x =-，22x =解：2(21)(21)(1)x x x +=+-，2(21)(21)(1)0x x x ∴+-+-=，(21)(211)0x x x ∴++-+=，12x ∴=-或2x =-，故选：C ．11．一元二次方程2520x x -=的解是( ) A ．10x =，225x = B ．10x =，225x =- C ．10x =，252x =D ．10x =，252x =-解：(52)0x x -=， 0x =或520x -=，所以10x =或225x =．故选：A ．12．已知实数x 满足222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为( ) A ．1-或3 B ．3-或1C ．3D ．1解：设221x x a -+=，222(21)2(21)30x x x x -++-+-=，2230a a ∴+-=，解得：3a =-或1，当3a =-时，2213x x -+=-，即2(1)3x -=-，此方程无解；当1a =时，2211x x -+=，此时方程有解，故选：D ．13．若22222()2()30a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值( ) A ．1-或3 B ．1或3- C ．1- D ．3解：令22x a b =+，则原方程可变形为2230x x --=， (3)(1)0x x -+=，30x ∴-=或10x +=，解得13x =，21x =-，又220x a b =+，223a b ∴+=，故选：D ．14．2222()(2)80m n m n ----=，则22m n -的值是( ) A ．4B ．2-C ．4或2-D ．4-或2解：设22x m n =-，则原方程可化为：(2)80x x --=即2280x x --= 解得：4x =或2-．故选：C ．15．已知a 、b 为实数，且满足222()90a b +-=，则22a b +的值为( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．9解：设22(0)t a b t =+．由原方程得到290t -=．所以29t =．所以3t =或3t =-（舍去）即22a b +的值为3．故选：B ．16．实数x ，y 满足2222()(1)2x y x y +++=，则22x y +的值为( ) A ．1B ．2C ．2-或1D ．2或1-解：2222()(1)2x y x y +++=，设22x y a +=，则原方程化为：(1)2a a +=，即220a a +-=，解得：2a =-或1，不论xy 为何值，22x y +不能为负数，所以22x y +只能等于1，故选：A ．17．设a ，b 满足等式2222()(221)3a b a b ++-=，则22331a b +-的值是( )A ．72B ．52 C ．72-D ．52-解：令22a b t +=，0t (21)3t t ∴-=，1t ∴=-（舍去）或32t =，原式97122=-=；故选：A ．18．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么231x x +-的值为( ) A ．2±B ．0或4-C ．0D ．2解：由23y x x =+，则222(3)2(3)30x x x x +++-=，可化为：2230y y +-=，分解因式，得，(3)(1)0y y +-=，解得，13y =-，21y =，当233x x +=-时，经△233430=-?=-<检验，可知x 不是实数当231x x +=时，经检验，符合题意．2310x x ∴+-=故选：C ．19．已知实数x 满足222()4()120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( ) A ．7B ．1-C ．7或1-D ．5-或3解：222()4()120x x x x ----=，22(2)(6)0x x x x ∴-+--=，220x x ∴-+=或260x x --=，22x x ∴-=-或26x x -=．当22x x -=-时，220x x -+=， 24141270b ac -=-??=-<，∴此方程无实数解．当26x x -=时，217x x -+=故选：A ．二．填空题（共5小题）20．已知：2222()(1)20x y x y ++-=，那么22x y += 5 ．解：设22(0)t x y t =+，则(1)20t t -=．整理，得(5)(4)0t t -+=．解得5t =或4t =-（舍去）．所以225x y +=．故答案是：5．21．已知x 为实数，且满足222(23)2(23)150x x +++-=，则223x +的值为 3 ．解：设223x t +=，且3t ，∴原方程化为：22150t t +-=，3t ∴=或5t =-（舍去），2233x ∴+=，故答案为：322．已知()(4)4a b a b ++-=-，那么()a b += 2 ．解：设a b t +=，原方程化为：(4)4t t -=-，解得：2t =，即2a b +=，故答案为：223．已知x 为实数，且满足222(3)2(3)30x x x x +++-=，那么23x x += 1 ．解：设23x x y +=，方程变形得：2230y y +-=，即(1)(3)0y y -+=，解得：1y =或3y =-，即231x x +=或233x x +=-（无解），故答案为：1．24．已知方程22222()2()30x y x y +-+-=，则22x y +的值为 3 ．解：22a x y =+，则原方程变为2230a a --=，解得：11a =-，23a =，220x y +，223x y ∴+=．故答案为： 3 ．三．解答题（共1小题） 25．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式22(41)(42)12x x x x -+-+-．解：设24x y y -= 原式(1)(2)12y y =++- 2310y y =+-(5)(2)y y =+-22(45)(42)x x x x =-+--（1）请你用换元法对多项式22(32)(35)8x x x x -+---进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：22(21)(23)0x x x x -+--=．解：（1）设23x x y -=，原式(2)(5)8y y =+--2318y y =--(6)(3)y y =-+22(36)(33)x x x x =---+；（2）设22t x x =-．则(1)(3)0t t +-=．解得1t =-或3t =．当1t =-时，221x x -=-，即2(1)0x -=．解得121x x ==．当3t =时，223x x -=，即(3)(1)0x x -+=．解得33x =，41x =-．综上所述，原方程的解为121x x ==，33x =，41x =-．。
高考数学第二轮复习 换元法 人教版
高考数学第二轮复习换元法人教版解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法主要有：（1）局部换元。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
（2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcos θ、y＝rsinθ化为三角问题。
（3）均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。
一、方法简解：1. y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。
人教版2020九年级数学上册第二十一章解-换元法同步练习(新版)新人教版
21.2.5解一元二次方程-换元法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.52．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5= ．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= ．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．11。
初中数学换元法练习
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 ， 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ．由于 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，而 品种的售价保持不变， ， 两个品种全部售出后总收入将增加 ，求 的值．
25.阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
原方程的解是 ， ， ， ．
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；
（2）利用材料中的方法解方程： ．
答案
第一部分
1. B
2. C
因为 不小于 ，
所以 ．
13. 或
【解析】 ，
将 两边同除以 得： ，
令 ，则 ，
因式分解得： ，
解得 或 ，
即 的值是 或 ．
14.
【解析】设 ，则方程 可变形为： ，
方程两边同乘 ，整理得 ．
故答案为： ．
15.无解
【解析】设 ， ，则 ．
原方程化为 ．
又 ，
，
，解得 ．
经检验， 是增根．故原方程无解．
7.用换元法解方程 时，如果设 ，则原方程可化为
A. B. C. D.
8.我们知道方程组： 的解是 则方程组 的解是
A. B. C. D.
9.为求 的值，可令 ，则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值为
A. B. C. D.
10.在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她设： 然后在 式的两边都乘以 ，得： 得 ，即 ，所以 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“ ”换成字母“ ”（ 且 ）能否求出 的值?你的答案是
换元法题库教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15换元法教学目标 例题精讲【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，希望杯，2试【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____。
《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练(后附答案)
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得x=3或x=6；
（4）化简得：（x﹣1﹣2）（x﹣1﹣3）=0
即（x﹣3）（x﹣4）=0
解得x=3或x=4．
例4．阅读下面材料：解答问题
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=± ；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=± ，故原方程的解为x1= ，x2=﹣ ，x3= ，x4=﹣ ．
2.2.5《解一元二次方程—换元法》典型例题解析与同步训练
【知识要点】
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
解得y1=6，y2=﹣2（4分）
当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3，x2=﹣2（6分）
当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0
∴方程无实数解（8分）
∴原方程的解为：x1=3，x2=﹣2．（9分）
例5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
（2）先移项，然后把x2﹣9因式分解为（x+3）（x﹣3），然后再提取公因式，因式分解即可．
（3）先移项，然后用提取公因式法对左边进行因式分解即可．
因式分解之换元法、待定系数法、因式定理及其它.题库教师版
【答案】
【例11】分解因式
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】湖北黄冈竞赛，换元法
【解析】原式
设 ，原式
【答案】
【例12】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】原式
原式
【答案】
【例13】分解因式：
【考点】因式分解
【难度】6星
【题型】解答
【关键词】换元法
【题型】解答
【关键词】因式定理
【解析】 的因数是 ， ， 的因数是 ， ．
因此，原式的有理根只可能是 ， (分母为1)， ．
因为 ， ，
于是 是 的一个根，从而 是 的因式，
这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，
没有的补0：
可得原式
【答案】
【例24】分解因式：
【考点】因式定理
原式
【答案】见解析
【例7】若 ， 是整数，求证： 是一个完全平方数.
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】换元法
【解析】
令
∴上式
即
【答案】见解析
【例8】在有理数范围内分解因式：
【考点】因式分解
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】1994年，第6届，“五羊杯”初中数学竞赛试题，换元法
【解析】原式
( ， ， ， )不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．
因此 ⑺
将 ， ，代人⑷，得 ⑻
将⑻与 ⑵相加得 .于是 ，再由 ⑵得 .
这一组数( ， ， ， )，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，
因而 .
初中数学竞赛专题选讲 换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
高考数学大一轮复习 多题一法专项训练(二)换元法 理 苏教版
多题一法专项训练(二) 换 元 法方法概述适用题型换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来；或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化. 换元的常见方法有：局部换元、三角换元、均值换元等，在高考中换元法常适用以下几种类型：(1)复合二次函数的最值问题(局部换元) (2)分式型函数利用均值不等式求最值问题(局部换元)(3)解析几何中涉及最值问题(局部换元) (4)求函数的值域问题(三角换元)一、填空题1．已知f (x 3)＝lg x (x >0)，则f (4)的值为________． 解析：令t ＝x 3，(t >0)， 则x ＝3t .∴f (t )＝lg 3t ＝13lg t .∴f (4)＝13lg 4＝23lg 2.答案：23lg 22．已知函数f (x )＝1x －1＋2x (x >1)，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )＝1x －1＋2(x －1)＋2，令x －1＝t ， 则f (t )＝1t＋2t ＋2，(t >0)，∴f (t )≥21t×2t ＋2＝2＋2 2.当且仅当1t＝2t 时等号成立，故f (x )的最小值为2＋22，当且仅当1x －1＝2(x －1)，即x ＝22＋1时等号成立． 答案：2＋2 23．已知sin x ＋sin y ＝23，则23＋sin y －cos 2x 的取值范围是________．解析：23＋sin y －cos 2x ＝43－sin x －cos 2x ＝(sin x －12)2＋112.又sin y ＝23－sin x ，∴－1≤23－sin x ≤1，解得－13≤sin x ≤1，∴112≤(sin x －12)2＋112≤79.即所求取值范围为[112，79]． 答案：[112，79]4．函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为________． 解析：令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]， 则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.答案：12＋ 25．已知函数f (x )＝4x －2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是__________．解析：令m ＝2x(m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋1＋t >0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．答案：(－∞，2＋22)6．已知f (x )＝2sin x cos 2x1＋sin x，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝2sin x cos 2x 1＋sin x ＝2sin x 1－sin 2x 1＋sin x＝2sin x (1－sin x )＝－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sin x －12)2＋12.因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝12时，f (x )取得最大值是12.答案：127．设f (x 2＋1)＝log a (4－x 4)(a >1)，则f (x )的值域是________． 解析：设x 2＋1＝t (t ≥1)，∴f (t )＝log a [－(t －1)2＋4]． ∴值域为(－∞，log a 4]． 答案：(－∞，log a 4]8．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列的通项公式a n ＝________. 解析：由已知变形为1a n ＋1－1a n＝－1，令b n ＝1a n.∴{b n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列． 则b 1＝－1，b n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n . ∴a n ＝－1n.答案：－1n9．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a ，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18 36二、解答题10．求函数y ＝3x ＋2－42－x 的值域．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，(θ∈[0，π2])则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin (θ－φ)(其中φ∈(0，π2)，cos φ＝35，sin φ＝45)．因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8； 当θ＝π2时，函数取得最大值10sin(π2－φ)＝10cos φ＝10×35＝6.综上，函数的值域为[－8,6]．11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，问题就转化为二次函数在区间上的最值问题． 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14·(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：A ＋C ＝2B ，1cos A ＋1cos C ＝－2cos B，求cosA －C2的值．解：由已知A ＋C ＝2B ，可得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝120°，B ＝60°，由A ＋C ＝120°，设⎩⎪⎨⎪⎧A ＝60°＋α，C ＝60°－α，代入已知等式得：1cos A ＋1cos C ＝1cos 60°＋α＋1cos60°－α＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34＝－22，解得：cos α＝22，即：cos A －C 2＝22.。
函数换元法例题
函数换元法例题函数换元法是一种处理复杂的数学方法，它可以帮助我们在求解一些复杂的数学问题时快速而有效。
它可以让我们将复杂的数学问题转化成简单的问题，从而简化计算，提高精度和计算效率。
函数换元法基本上是由一系列变换来实现的，这些变换可以将一个复杂的函数转换成一个简单的函数。
例如，通过换元法，我们可以将函数y=x2+2x+1转换成函数z=x2+2x+1-2x。
在转换函数的过程中，可以采用许多不同的技术对函数的参数，系数，函数值等进行转换，并降低复杂度。
在换元法中，主要采用的技术是积分，微分和积分变换。
积分变换是把一个复杂函数转换成更为简单的函数的方法。
它主要是利用变量替换的原理，将函数中的参数替换成另一个参数，以达到简化函数的目的。
例如，将函数y=x2+2x+1的参数x替换成参数t，将函数表示式转换为y=t2+2t+1，就实现了简化函数的目的。
微分变换是把复杂函数通过求导的方法转换成更为简单的函数的方法。
它以复杂函数关于某一变量的导数为基础，通过求导的方法，把函数表达式转换成一个更为简单的函数。
例如，将函数y=x2+2x+1通过求导，转换成函数y=2x+2，即实现了函数简化的目的。
函数换元法也可以用来求解复合函数。
复合函数是指一个函数中有多个变量和多个函数参数，这些多个变量和函数参数相互影响，因此形成一个复杂的函数。
通过函数换元法可以将复合函数分解成一系列单独的函数，从而简化较为复杂的函数求解过程。
总之，函数换元法是一种可以简化复杂数学问题的有效方法，因此在计算机科学，工程学，物理学等领域的实际应用十分广泛。
它可以帮助我们更好地理解复杂函数，也能使我们更有效地实现结果。
为了更好地说明函数换元法的实际应用，我们以一个具体的实例来分析。
假设我们要求解函数f(x)=x3+2x2+2x+1。
首先，我们可以通过函数换元法将该函数转换为f(x)=x3+2x2+2x+1-2x，以达到函数中参数简化的目的。
其次，可以利用积分变换将函数f(x)=x3+2x2+2x+1-2x变换为函数f(t)=t3+2t2+2t+1，以达到将函数中各参数替换为简单参数的目的。
七年级换元法的计算题
七年级换元法的计算题七年级换元法的计算题换元法是一种常用的代数运算方法，能够将复杂的表达式转化为更简单的形式，便于计算。
在七年级数学学习中，我们经常会用到换元法来解决一些复杂的算术和代数问题。
下面，我们来解答几个关于换元法的计算题。
【例题一】计算表达式 $(x+2)(x+3)$。
解题思路：这是一个常见的二次方程式，我们可以使用换元法来计算。
设 $y=x+2$，则原式变为 $y(y+1)$。
展开后，得到 $y^2+y$。
将 $y$ 换回 $x+2$，所以答案为$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$。
【例题二】计算式子 $2(3x-1)-3(2x+2)$。
解题思路：我们可以先计算括号内的式子，再进行换元法。
设 $a=3x-1$，$b=2x+2$。
将括号内的式子代入，得到 $2a-3b$。
再次使用换元法，设 $c=a-b$，则原式变为 $2c$。
将$a$ 和$b$ 的值代入，得到$2(3x-1)-3(2x+2)=2(3x-1-2x-2)=2(1x-3)=-6+2x$。
【例题三】计算式子 $3(x^2-2x+1)-2(2x^2-4x+3)$。
解题思路：同样，我们可以先计算括号内的式子，再进行换元法。
设 $m=x^2-2x+1$，$n=2x^2-4x+3$。
将括号内的式子代入，得到$3m-2n$。
再次使用换元法，设 $p=m-n$，则原式变为 $3p$。
将$m$ 和$n$ 的值代入，得到$3(x^2-2x+1)-2(2x^2-4x+3)=3(x^2-2x+1-(2x^2-4x+3))=3(x^2 -2x+1-2x^2+4x-3)=3(2x-2)=6x-6$。
通过以上的例题，我们可以看出，换元法可以大大简化复杂的运算。
在使用换元法时，我们可以根据具体的情况选择适当的变量，将复杂的表达式转化为更简单的形式。
在解题过程中，还需要注意对括号内的运算进行正确的计算，同时要谨慎进行变量的代入和结果的推导。
当然，除了上述的例题，换元法还可以应用于其他更复杂、更抽象的计算中。
高考数学(理)-换元法(练)-专题练习(二)(含答案与解析)
高考数学（理）专题练习（二）换元法（练）一．练高考1．若函数1()sin2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）（A ）[1,1]-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2．已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1a b >>．若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a =___________，b =___________． 4．设函数()cos2(1)(cos 1)f x a x a x =+--，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：|()|2f x A '≤． 2．练模拟1．已知函数()22xx af x =-，其在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[0,1]B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦23121log 202x +>的解集为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3]C ．[2,4)D ．(2,4]3．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x ≥时，25(02)16()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．59(,)24--B ．9(,1)4--C ．599(,)(,1)244----D ．5(,1)2--4．点P 在椭圆221169x y +=上，则点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离分别为___________．5．在ABC △中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为________．3．练原创1．若(ln )34f x x ＝＋，则()f x 的表达式为（ ） A ．()3ln f x x = B ．()3ln 4f x x =+ C ．()3e x f x =D ．()3e 4x f x =+2．已知点A 是椭圆221259x y +=上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为（ ）A ．18B ．15C ．10D ．1523．已知在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求n S 的表达式； （Ⅱ）设21n n S b n =+，数列{}n b 的前n 项和n T ．证明：12n T <高考数学（理）专题练习（二）换元法（练）答 案一．练高考 1．C 2．A 3．4；24．解：（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=--- （Ⅱ）当1a ≥时，()sin 2(1)(cos 1)2(1)32(0)f x a x a x a a a f '=+-+≤++=-=因此，32A a =-当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，(1),(1)32,g a g a -==-且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为()221161()1488a a a a g a a a--++=-= 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a > （ⅰ）当105a <≤时，()g t 在()1,1-内无极值点，(1),(1)23,(1)(1)g a g a g g -==--<，所以23A a =-； （ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>。
换元法解一元二次方程-初中数学习题集含答案
换元法解一元二次方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2009•海淀区校级自主招生）若实数、满足，则的值为 A ．1B ．或1C ．2或D ．2．（1998•海淀区）用换元法解方程，若设，则原方程可化为 A ．B ．C ．D ．二．填空题（共2小题）3．（2018秋•海淀区校级期中）若实数，满足，则 ．4．（2012春•西城区校级期中）已知，则代数式的值为 ．三．解答题（共6小题）5．（2018秋•海淀区校级期中）解下列方程：（1）（2）（3） 6．（2010秋•延庆县期末）仿照例子解题：“已知，求的值”，在求解这个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下：解：设，则原方程可变为：整理得即：解得，的值为或2请仿照上述解题方法，完成下列问题：已知：，求的值．7．（2011春•北京校级期中）已知，满足方程，求的值．8．（2010春•北京期末）解方程：．9．（2008秋•昌平区期末）请阅读下列材料：问题：解方程．x y 2()()20x y x y +++-=x y +()2-1-2-2823x x ++=y =()2120y y ++=2230y y +-=2120y y +-=2340y y +-=x y 2222()(4)5x y x y ++-=22x y +=222(3)5(3)60x x x x -+--=23x x -2()0x b a x ab ---=222(2)(2)20x x x x ----=221243x x x x ++=+22(21)(22)4x x x x +-++=22x x +22x x y +=(1)(2)4y y -+=224y y +-=260y y +-=13y =-22y =22x x ∴+3-2222(3)(224)24x y x y +-+-=22x y +x y 4422222120x y x y x y ++---=22x y +2(3)5(3)60x x +-+-=222(1)5(1)40x x ---+=明明的做法是：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为请你参考明明同学的思路，解方程．10．（2006秋•西城区校级月考）．21x -21x y -=222(1)x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211x -=x =4y =214x -=x =1234x x x x ====4260x x --=2(5)(5)4x x -=-+换元法解一元二次方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2009•海淀区校级自主招生）若实数、满足，则的值为 A ．1B ．或1C ．2或D ．【分析】先设，则方程即可变形为，再解方程求出即得到的值．【解答】解：设，则原方程可化为：，解得或1，即或1．故选：．【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．2．（1998•海淀区）用换元法解方程，若设，则原方程可化为 A ．B ．C ．D ．【分析】先对已知方程进行变形为，然后用【解答】解：由已知方程，得，则．故选：．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．二．填空题（共2小题）3．（2018秋•海淀区校级期中）若实数，满足，则 5 ．【分析】设，则原方程左边变为：，解方程可得的值即可．【解答】解：设，则原方程左边变为：，整理得，，，解得或，x y 2()()20x y x y +++-=x y +()2-1-2-x y t +=220t t +-=t x y +t x y =+220t t +-=2t =-2x y +=-B 2823x x ++=y =()2120y y ++=2230y y +-=2120y y +-=2340y y +-=2811120x x +--=y 2811120x x +-=2120y y +-=C x y 2222()(4)5x y x y ++-=22x y +=22x y z +=(4)5z z -=z 22x y z +=(4)5z z -=2450z z --=(5)(1)0z z ∴-+=5z =1z =-，，故答案为5．【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．4．（2012春•西城区校级期中）已知，则代数式的值为 1 ．【分析】此题可设，则原方程化为关于的方程，通过解新方程来求即代数式的值．【解答】解：设，则原方程化为，即，解得，或，则代数式的值为（舍或1．故答案是：1．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．三．解答题（共6小题）5．（2018秋•海淀区校级期中）解下列方程：（1）（2）（3） 【分析】（1）变形方程后直接运用因式分解法求解比较简便；（2）原方程是高次方程，直接求解比较麻烦．观察方程含有的二次项和一次项，考虑用换元法求解比较简便；（3）把看成一个整体，利用换元法求解比较简便． 【解答】解：（1）原式可变形为：或，．（2）设，则原方程为，220x y z +=Q …225x y ∴+=222(3)5(3)60x x x x -+--=23x x -23x x t -=t t 23x x -23x x t -=2560t t +-=(6)(1)0t t +-=6t =-1t =23x x -6-)2()0x b a x ab ---=222(2)(2)20x x x x ----=221243x x x x ++=+2(2)x x -23x x +2()0x a b x ab +--=()()0x a x b ∴+-=0x a ∴+=0x b -=1x a ∴=-2x b =22x x y -=220y y --=(2)(1)0y y ∴-+=，．当时，即，当时，即原方程的解为：．（3）设，则 原方程为： 即经检验，是方程的根． 当时，， 即或，经检验，，2都是原方程的根．所以原方程的解为：，．12y ∴=21y =-2y =222x x -=2220x x --=x =1==11x ∴=21x =1y =-221x x -=-2210x x -+=2(1)0x ∴-=341x x ∴==∴11x =+21x =341x x ==23x x y +=231x x y=+∴44y y+=2440y y -+=2(2)0y ∴-=122y y ==2y =44y y+=2y =223x x +=260x x +-=(3)(2)0x x ∴+-=30x ∴+=20x -=13x ∴=-22x =3-13x =-22x =【点评】本题考查了一元二次方程的解法换元法．解决本题的关键是掌握换元法的一般步骤．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还原．6．（2010秋•延庆县期末）仿照例子解题：“已知，求的值”，在求解这个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下：解：设，则原方程可变为：整理得即：解得，的值为或2请仿照上述解题方法，完成下列问题：已知：，求的值．【分析】设，则原方程式左边变为：，用十字相乘法可得的值是或6．【解答】解：设，则原方程可变为：．．解得，的值为6．【点评】本题的关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想．7．（2011春•北京校级期中）已知，满足方程，求的值．【分析】先将方程变形为，再将作为整体求解即可．【解答】解：，，--22(21)(22)4x x x x +-++=22x x +22x x y +=(1)(2)4y y -+=224y y +-=260y y +-=13y =-22y =22x x ∴+3-2222(3)(224)24x y x y +-+-=22x y +22x y m +=22(3)(24)210122(56)m m m m m m --=-+=-+m 1-22x y m +=(3)(24)24m m --=2(3)(2)24m m ∴--=25612m m ∴-+=2560m m ∴--=16m =21m =-220x y +Q …22x y ∴+22x y +x y 4422222120x y x y x y ++---=22x y +4422222120x y x y x y ++---=22222()()120x y x y +-+-=22x y +4422222120x y x y x y ++---=Q 22222()()120x y x y ∴+-+-=即，，或，，．【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出这个整体．8．（2010春•北京期末）解方程：．【分析】设，则原方程可化为，运用因式分解法求出的值，进而求出的值．【解答】解：设，则原方程可化为．解得：，．当时，，；当时，，．，．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．9．（2008秋•昌平区期末）请阅读下列材料：问题：解方程．明明的做法是：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为请你参考明明同学的思路，解方程．【分析】范例是利用换元法对方程进行了解答，因此，仿照范例，可以设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值．2222(3)(4)0x y x y +++-=223x y ∴+=-224x y +=220x y +Q …224x y ∴+=2(3)5(3)60x x +-+-=3y x =+2560y y --=y x 3y x =+2560y y --=16y =21y =-16y =36x +=13x =21y =-31x +=-24x =-13x ∴=24x =-222(1)5(1)40x x ---+=21x -21x y -=222(1)x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211x -=x =4y =214x -=x =1234x x x x ====4260x x --=2x y =260y y --=y x【解答】解：设，则原方程可化为：，解得：，，（1）当时，，解得（2）当．时，，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：【点评】换元法也叫引入辅助未知数法，只要辅助未知数选择适当，可以降低方程的次数，使某些高次方程可解；把问题化繁为简，化难为易．运用换元法关键在于选择适当的辅助未知数，对于辅助未知数的选择没有一般通则可循，往往因题而异，技巧性较强．10．（2006秋•西城区校级月考）．【分析】先设，那么原方程可变为关于的一元二次方程，解即可求，再代入中可求．【解答】解：设，那么，解得当； 当时，故原方程的解是：【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是利用公式法求方程的解．2x y =260y y --=13y =22y =-3y =23x =1x =2x =2y =-22x =-12x x ==2(5)(5)4x x -=-+(5)x a -=a a 5x a -=x 5x a -=240a a --=1a =2a =1a =1x =2a =2x =1x =2x =。
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换元法貝tM 怔 教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须幵始掌握. 这既与 基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容， 通称“分数计算之三大绝招” •考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热 点.可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通 项归纳.如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算. ”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得 到简化，这叫换元法•换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.例题精讲【例 1 】 计算：(1 --) (- - -)-(1 ---)(--)2 4 2 4 62 4 62 4【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令〔---- •丄二b ，贝V ：2 4 624 6原式=(a -丄)b -a (b -1)6 6【答案】-6【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设a=-」」，则原式化简为：(〔+a)(a+丄)-a(〔 • a+」)=丄2 34 5 5 5【答案】-5【巩固】计算：空.739 .空739 458 378 一竺739 .空.378 739 •空026 358 947 丿「358 947 207 丿匕26 358 947 207 丿「358 947 丿【考点】换元法【难度】2星【题型】计算621 739 458 739 458 ,【解析】令 a ； b ,126 358 947 358 947378 378 378 621 378原式=a： b a b=a-b 9V 207 丿I 207 丿* 丿207 126 207【答案】9【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )-(0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321) ( 0.21 0.321 0.4321 )【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设x =0.21 0.321 0.4321，y =0.21 0.321 0.4321 0.54321，原式=(0.1 x) y -( 0.1 y) x =0.1 ( y-x) =0.054321【答案】0.054321【巩固】计算下面的算式(7.88 6.77 5.66) ( 9.31 10.98 10 ) -( 7.88 6.77 5.66 10) ( 9.31 10.98)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令a =87765 , b =9.31 10.98，则原式二a ( b 10) -(a 10 ) b=(ab 10a ) - ( ab 10b) =ab 10a-ab-10b =10 ( a-b)=10 ( 7.88 6.77 5.66 -9.31 -10.98) =10 0.02 =0.2【答案】0.2【巩固】(1+0.12 +0.23)x(0.12 +0.23+0.34) —(1+0.12 +0.23 + 0.34)x (0.12 +0.23) = 。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试【解析】设0.12 0.23 二a，0.12 0.23 0.34 二 b原式二 1 a b 一 1 b a =b —a =0.34【答案】0.34【巩固】计算：⑴(1 0.45 0.56) ( 0.45 0.56 0.67)-( 1 0.45 0.56 0.67 ) ( 0.45 0.56 )⑵ 621 . 739 , 458 739 . 458 . 378 621 . 739 . 458 . 378 739 . 458126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设a =0.45・0.56 ,b =0.45 - 0.56 - 0.67，【解析】 有原式=(1a ) b —(1b ) a=b ab -a -ab = b -a = 0.67【答案】⑴0.67⑵957 37 3457 3473 -【巩固】计算：（）—1232 17 132 17 13 丿 112 32 17 13 丿（32 17 ）【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级 【解析】设a=5— 3、b =—3，则有12 32 17 32 1744 4a b (a —b)13 13 134 5 5 —x —— - 13 12 39【答案】-39【例2】计算：1丄 —1 111 — 11—V 22007 丿（2 3 2008 丿 I 22008 丿「2 32007 丿【考点】换元法【难度】3星【题型】计算I 解析】令a 寸汕盅，W 孟【答案】丄2008【考点】换元法【难度】2星【题型】计算［解析］设——1- a ， — — 1b ，11 21 31 41 21 31 41原式=a b 1 a 1 bI 51八51丿【答案】丄561⑵设 621 739 458358 947 ?b 二竺•空 358 947原式二竺竺=9126207 【解析】 原式二1 ab 71 b a =b ab -2008迺_a 竺207 207 =(a —b) 378207［巩固］计算（1111）（丄1丄丄）_（11丄丄丄）（丄1丄）5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，清华附中【解析】设15原式 1 1 11 1 1 A ， B ，7 9 11 7 9 11A —B =AX J B J-|」八I 13八13丿 【答案】丄 65 【巩固】计算丄1 1 2 3 4 【考点】换元法【难度】【解析】设1 1 1 1 1 -,_+!+! }_[i+l +2 +1+1+1 Uil 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 11.. A ,2 3 _原式=A I B 4 5 1 . A 亠一 6 '1 1 52 2星【题型】计算 1111 B 2 3 4 5 1 【答案】6【例3】计算: 丄.丄11 ! 3 4 5 J B=A B 二 A -A B _二 B 二二 A -1B =丄 （A -B ）=16 6 6【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】设t=l — 3 | —，则有t 2 t 1 —（1 t ） t - 2 3 4 10 2 1 2 2 1t 1 1二t 2 t -t 2t—丿 2 I ~2 2 "21 2 【答案】 【例4】计算 ---------- 1 ------- 2 V 3= 4——厂+ ____1 —— 34 一 in1 1 1 2009【考点】换元法【难度】【解析】设N =3 • ------- -- 4+^ -2009 【题型】计算 .原式=—+——2 +— 1 +N 1丄 N 1 2N 1 N , 1 N 丄 N +1+ = 1.1 . N 2N 1 2N 1 N 1 【答案】1 【例5】计算: 22 282______ 卩1+§+111 口一丄 T匕1 8丿」11 8丿「8 11丿 【考点】换元法 【解析】（法一）设x^- 113星【题型】计算X 2+A_X —贝y 原式1—x2丄，那么X 2具上 8 ' 1128 1X _____ x _2」卜- x丿882 2 282 1 12 2 o2 2，所以一2 —T 二 X 一2 . i 11 8在这里需要老师对于a ::b 「［c •d = a b ?： c 亠i a b $ d = ac be ad bd 的计算进行简单的说明•【答案】88【解析】设a =2009,2 亠 -a 2a 1 ,【答案】12008 2009 2007 （ 4 级） 2008 2009 -1 "【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设a =2008原式 _a (a 1)(a -1) a(a +1) -1 【答案】121 a2 2a 1而卩丄L-+丄一丄=8 11 821128 11 8 118 11 — 82x 2-x - 2 88 这样原式转化为 1 x x _2—-2 1 二八 112 88 x 2-X 一2,288= 88 .x -x -2x 」_2丄x 丿88【例6】计算:2016 【考点】换元法 2009 2011 1【难度】 2星【题型】计算原式_ (a 1)2"a(a+2) 1 【巩固】计算。