不定积分基本公式

不定积分
第二节 不定积分的基本公式和运 算法则 直接积分法
一、不定积分的基本公式 二、不定积分的基本运算法则 三、直接积分法
不定积分基本公式表
(1) kdx kx C (k 为常数);
(2) x dx 1 x 1 C ,
1
(3) 1 dx ln | x | C ; x
(4) a xdx a x C ; lna
5
2 cos x 4 x 2 5
C 2 ) 2
2 5
5
x2
C3
(C1 2C 2 2C 3 )
5
e x 2 cos x 4 x 2 C.
5
其中每一项虽然都应有一个积分常数，但是由于
任意常数之和还是任意常数，所 以 只 需 在 最 后
写出一个积分常数 C 即可.
三、直接积分法
当 x < 0 时，因为ln( x) 1 (1) 1 ,
x
x
所以
1 dx ln(x) C . x
综合以上两种情况，当 x 0 时，得
1 dx ln| x | C . x
例 2 求不定积分.
(1) x 2 xdx ;
(2) 1 dx . x
解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基
1 3x 3x2 x3 dx
x2
1 x2
3 x
3
x dx
dx x2
3
1 x
dx
3
dx
xdx
1 3ln | x | 3x 1 x2 C.
x
2
例 6 求
2x2 1 dx.
x 2 ( x 2 1)
解
2x2 1
dx x 2 ( x 2 1)
( x 2 1) x 2 dx
x 2 ( x 2 1)
x2 1
x2 1
(x 2 1)dx 1 dx 1 x2
x 3 x arctan x C. 3
例 8 求
cos 2x dx. cos x sin x
解
cos 2x
dx
Hale Waihona Puke Baidu
cos2 x sin2 x dx
cos x sin x
cos x sin x
cos x sin xdx
sinx cos x C.
例 9 求
1 dx.
cos2 x sin2 x
解
1
dx
cos2 x sin2 x dx
cos2 x sin2 x
cos2 x sin2 x
1 dx 1 dx
cos2 x
sin2 x
1
1
dx
dx
cos2 x
sin2 x
tan x cot x C.
x 2 1 dx
x2
dx
x 2 ( x 2 1)
x 2 ( x 2 1)
dx 1 dx x2 x2 1
1 arctan x C. x
例 ７ 求
x 4 dx. x2 1
解
x4
dx x2 1
x4 11 dx
x2 1
( x 2 1)(x 2 1) dx 1 dx
例 10 求 tan2 xdx.
解 tan2 xdx sec2 x 1dx
sec2 xdx dx
tan x x C.
例 11 已知物体以速度 v 2t2+1 (m/s)作直线运动， 当 t=1 s 时, 物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律.
解 设所求的运动规律 s = s(t)，按题意有
2xex C. 1 ln2
二、不定积分的基本运算法则
法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这 两个函数不定积分的代数和，即
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g(x)dx.
证 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数.
f (x)dx g(x)dx
(11)
dx arcsinx C arccos x C；
1 x2
(12)
dx arctan x C arccot x C.
1 x2
例1
求不定积分
1 x
dx.
解 被积函数1 的定义域为x 0. x
当 x > 0 时，因为(ln x) 1 , 所以 x
1 dx ln x C ; x
积分得
s(t) v(t) 2t 2 1
s(t) (2t 2 1)dt 2 t 3 t C 3
将条件 s|t=1 = 3，代入上式中，得 C 4 .
于是物体的运动规律为
3
s(t) 2 t 3 t 4 .
3
3
求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果，这种求不定积分的方法成为直接积分 法．
例 5 求
(1 x)3 dx.
x2
解
(1 x)3 dx x2
证 类似性质 1 的证法，有
k f (x)dx k f (x)dx kf (x).
例 4 求不定积分 (e x 2 sin x 2x x )dx.
解
(e x 2 sin x 2x x )dx
e xdx 2 sin xdx 2 x xdx
ex ex
C1 2( cos x
( 1);
当 a e 时, exdx ex C ;
(5) cos xdx sinx C； (6) sinxdx cos x C； (7) sec2 xdx tan x C； (8) csc2 xdx cot x C； (9) secx tan xdx secx C； (10) csc x cot xdx csc x C；
f (x)dx g(x)dx
f (x) g(x). 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况， 即
f1(x) f2(x) fn(x)dx f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx.
法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面，即
kf (x)dx k f (x)dx (k 为不等于零的常数)
本积分公式， 得
(1)
x 2 xdx
5
x 2 dx
1
5 1
x2
C
2
x3
x C.
5 1
7
(2)
1 dx x
2
1
x 2dx
1
1 1
x 2 C
1 1
1
2x2 C
2
2 x C.
例 3 求不定积分 2 x e xdx .
解
2 x e xdx (2e) x dx
(2e) x
C
l n (2e)