几何体的体积 PPT
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24.8
0.3 0.3
0.3 0.1 0.3 0.1 0.3
课堂小结
知识 方面
本节学习利用祖暅原理获得了 柱体的体积公式，并初步体会 柱体体积公式的应用；
思维 能力 方面
体会到联想、类比、猜想、证 明等合情推理及逻辑推理的方 法在探索新知识方面的重要作 用。
祖氏父子的成就
祖暅是南北朝时代杰出的数学家祖冲之的儿子，字 景烁。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小 就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之 除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅 一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们 当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利” （Cavalieri）原理，但这是在祖氏父子以后一千多 年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖 氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一 原理为“祖暅（geng)原理”。
三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积一定相等．
大家应该也有点累了，稍作休息 大家有疑问的，可以询
10
祖暅原理的功能？
功能一:证明几何体的体积相等.(面积相等 推出体积相等）
底面积和高都相等的平行六面体和三棱锥的
体积相等吗？
三棱柱
功能二:从一种几何体的体积去得到另一种 几何体的体积。
利用祖暅原理，功能及已有的体积知识 探索底面积为S，高为h柱体体积公式
祖暅原理
“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．
“幂”是指水平截面的面积，“势”是指高．
夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等．
用祖暅原理证明两个几何体体积相等的步骤？
用祖暅原理证明的步骤？
α
s
s
β
（1）看这两个几何体能否夹在两个平行平面之间； （2）若能，用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体； （3）看两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件
立体可看成是由无数个平面叠加而成的 体积可看成是由面积叠加而成的
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上， 小试验
然后用手推一下以改变其形状．
推斜以后体积变化了吗？ 没有 推斜前后的两个几何体还有什么共同之处？ 高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变
探究一
s
s
h
1.高度相同
2.用和底面平行的任意平面去截它们时， 所得的截面面积都相等。
探究二
s
s
s
（1）这三个柱体等高，所以夹在两个平行平面之间；
（2）三个柱体被平行于这两个平面的任意平面所截；
（3）三个截面的面积总相等． (棱柱的截面性质:平行于 底面积为S，高为h柱体的体积 底面的截面与底面全等). 等于与它等底等高的长方体的体积
总结
定理 柱体的体积等于它的底面 积s和高h的积。
(1)侧棱BB1垂直于底面
(2)侧棱 BB1与底面所成6角 0，是
C 1 说明：在应用体积
B1
A1
公式计算之前，应 运用直线与平面的
60 4C 3 10
HБайду номын сангаас
B
A
有关知识作出高， 然后进行计算。
例3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示 （单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米
混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）
青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
4
10100000
问题1 长方体的体积？
回顾
V长方体=abh =sh (a-长，b-宽，h-高，s-底面积）
问题2 体积的概念？
体积——几何体占有空间部分的大小 面积——图形占有平面部分的大小
V柱体= sh
青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 状尺寸如图所示（单位：米）， 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
4
10100000
例题分析
例2.已知三棱柱的角底三面角 A是 B形 ， 直 C 两直角 A C 、B C 的长分3厘 别米 为4厘 和米，棱柱 B的 1B的侧 长为 10厘米，求满足的下三列棱条柱件 V的 . 体积
0.3 0.3
0.3 0.1 0.3 0.1 0.3
课堂小结
知识 方面
本节学习利用祖暅原理获得了 柱体的体积公式，并初步体会 柱体体积公式的应用；
思维 能力 方面
体会到联想、类比、猜想、证 明等合情推理及逻辑推理的方 法在探索新知识方面的重要作 用。
祖氏父子的成就
祖暅是南北朝时代杰出的数学家祖冲之的儿子，字 景烁。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小 就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之 除了在计算圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅 一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们 当时采用的原理，在西方被称为“卡瓦列利” （Cavalieri）原理，但这是在祖氏父子以后一千多 年才由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖 氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一 原理为“祖暅（geng)原理”。
三个条件缺一不可，否则不能得出两个几何体的体积一定相等．
大家应该也有点累了，稍作休息 大家有疑问的，可以询
10
祖暅原理的功能？
功能一:证明几何体的体积相等.(面积相等 推出体积相等）
底面积和高都相等的平行六面体和三棱锥的
体积相等吗？
三棱柱
功能二:从一种几何体的体积去得到另一种 几何体的体积。
利用祖暅原理，功能及已有的体积知识 探索底面积为S，高为h柱体体积公式
祖暅原理
“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”．
“幂”是指水平截面的面积，“势”是指高．
夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等．
用祖暅原理证明两个几何体体积相等的步骤？
用祖暅原理证明的步骤？
α
s
s
β
（1）看这两个几何体能否夹在两个平行平面之间； （2）若能，用平行于这两个平面的任意平面截两个几何体； （3）看两个截面的面积是否总相等．若是，则满足祖暅原理的条件
立体可看成是由无数个平面叠加而成的 体积可看成是由面积叠加而成的
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上， 小试验
然后用手推一下以改变其形状．
推斜以后体积变化了吗？ 没有 推斜前后的两个几何体还有什么共同之处？ 高度没有改变，每页纸张的顺序和面积也没有改变
探究一
s
s
h
1.高度相同
2.用和底面平行的任意平面去截它们时， 所得的截面面积都相等。
探究二
s
s
s
（1）这三个柱体等高，所以夹在两个平行平面之间；
（2）三个柱体被平行于这两个平面的任意平面所截；
（3）三个截面的面积总相等． (棱柱的截面性质:平行于 底面积为S，高为h柱体的体积 底面的截面与底面全等). 等于与它等底等高的长方体的体积
总结
定理 柱体的体积等于它的底面 积s和高h的积。
(1)侧棱BB1垂直于底面
(2)侧棱 BB1与底面所成6角 0，是
C 1 说明：在应用体积
B1
A1
公式计算之前，应 运用直线与平面的
60 4C 3 10
HБайду номын сангаас
B
A
有关知识作出高， 然后进行计算。
例3．一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示 （单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米
混凝土？（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）
青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
4
10100000
问题1 长方体的体积？
回顾
V长方体=abh =sh (a-长，b-宽，h-高，s-底面积）
问题2 体积的概念？
体积——几何体占有空间部分的大小 面积——图形占有平面部分的大小
V柱体= sh
青藏铁路的某段路基是用碎石铺垫的．已知路基的形 状尺寸如图所示（单位：米）， 问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？
实质
直四棱柱的体积计算问题．
2 1
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10100000
例题分析
例2.已知三棱柱的角底三面角 A是 B形 ， 直 C 两直角 A C 、B C 的长分3厘 别米 为4厘 和米，棱柱 B的 1B的侧 长为 10厘米，求满足的下三列棱条柱件 V的 . 体积