灰色预测法

灰色预测法

1.介绍

灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

2.适用问题

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。

灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。

3.数学方法核心步骤

3.1数据的检验与处理

首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为

(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比

(0)(0)(1)().2,3,...,()

x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2

2

12(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以

作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=

则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比

(0)(0)(1)(),2,3,...,()

y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型

按照下面的办法建立模型GM （1,1）

（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对

其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+ 其中(1)

(0)1()()(1,2,...,)k

i x k x i k n ===∑ 。求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n

则(1)(1)(1)((2),(3),...,

n )z z z =（） 。于是建立灰微分方程为 (0)(1)()(),2,3,...,x k az k b k n +== 相应的白化微分方程为(1)

(1)()dx

dt ax k b += （2）记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1(,),((2),(3),...,()),...() 1T T z z u a b Y x x x n B z n ⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

,则称Y

为数据向量，B 为数据矩阵，u 为参数向量，则GM （1,1）模型可以表示为矩阵方程Y Bu = ，由最小二乘法可以求出

^^^1(,)()T T T B B B Y u a b -== ，代入白化微分方程得：

(1)(0)(1)((1)),1,2...,1ak b b x k x e k n a a

-+=-+=- . (0)(1)(1)

^^^(1)(1)(),1,2,..., 1.k k k k n x x x +=+-=-

3.3 模型检验 （1） 残差检验：令残差为()k ε ，计算

(0)

^(0)(0)()()(),1,2,...,()x k k k k n x k x ε-== 如果()k ε<0.2，则可认为达到一般要求；如果()k ε<0.1，则认为达到较高要求.

（2） 级比偏差值检验：首先由参考数据(0)(0)(1),(),

x k x k -(),a k λ计算的出级比再用发展系数求出相应的技术偏差 ρ(k)10.5=1-()(k)10.5a a

λ-+ 如果ρ(k)<0.2，则可认为达到一般要求；如果ρ(k)<0.1，则认为达到较高要求.

3.4预测和预报

由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报。

4.具体应用

中国人口增长预测(07年国赛优秀论文)

摘要

本文从中国的实际情况和中国的人口增长特点出发，参考相关数据，建立了中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出了分析和预测。

利用Logistic 曲线预测模型指出了未来几十年内中国人口总量的变化趋势:在未来段时间内，中国人口仍将处于增长阶段，并在21世纪的中叶中国人口总数将达到峰值Pm=15.4707(亿)。

根据过去10年来中国人口总量，利用GM(1,1)模型灰色预测法预测2006-2010年短期中国人口总量预测：131890，132803， 133722， 134647 和135579 万人。通过残差检验，其平均相对误差仅为0.11%；对模型进行关联度检验和后验查检验，其结果均优于灰色预测精度检验等级标准。

4.1 问题重述

中国是一个发展中国家，又是世界上人口最多的国家，人口问题一直是制约中国经济和社会发展的首要因素，因此，能否对中国人口增长做出准确分析和预测，对于加速推进中国现代化建设有着极为重要的现实意义。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

现有2001至2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比，各类年龄段人口的死亡率，以及各类年龄段妇女生