灰色预测法
灰色模型算术公式
灰色模型算术公式灰色模型是一种用于预测和分析数据的方法，其基本思想是将数据分为两类：已知数据和未知数据。
已知数据是指已经确定并可以用来建模的数据，而未知数据则是需要预测或者分析的数据。
为了对未知数据进行预测或分析，灰色模型使用了灰色系统理论中的灰色预测方法。
灰色模型的算术公式包括：灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等。
其中，灰色微分方程是灰色预测方法的核心公式，它的形式为：$$ frac{dx}{dt} + a x = u $$其中，$x$ 表示原始数据序列，$t$ 表示时间，$a$ 表示灰色微分方程的参数，$u$ 表示灰色微分方程的非齐次项。
通过对该方程进行求解，可以得到灰色模型的预测结果。
另外，灰色模型GM(1,1)是一种常用的灰色预测模型，它的基本形式为：$$ x(k+1) = (x(1)-frac{u}{a})e^{-ak} + frac{u}{a} $$ 其中，$x(k+1)$ 表示预测值，$x(1)$ 表示初始值，$a$ 和$u$ 分别表示灰色微分方程的参数。
通过对历史数据进行处理，可以得到灰色模型GM(1,1)的预测结果。
此外，灰色关联度是用于分析数据间关系的一种方法，在灰色系统理论中被广泛应用。
灰色关联度的计算公式为：$$ r_{ij} = frac{sum_{k=1}^nmin(x_i(k),x_j(k))}{sum_{k=1}^n x_i(k)} $$其中，$x_i(k)$ 和 $x_j(k)$ 分别表示第 $i$ 个和第 $j$ 个数据在第 $k$ 个时刻的值，$n$ 表示时刻数。
通过计算灰色关联度，可以了解数据之间的关系，从而对其进行进一步的分析和预测。
总之，灰色模型的算术公式包括灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等，这些公式是灰色预测和分析方法的核心内容。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算和分析。
最新第7章灰色预测方法.pdf
第7章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类：1．仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为,a或a，其中a为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称,a为的取数域，简称的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有,0。
2．仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为(,]a或()a，其中a为灰数的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．区间灰数既有下界a又有上界a的灰数称为区间灰数，记为aa,。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在 1.8~1.9米之间，可分别记为25,201，9.1,8.1 24．连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
灰色预测法
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
(整理)灰色预测法-
第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
是一个确定的数。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
灰色预测(讲)
一、什么是灰色预测灰色预测是就对灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如：一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。
再如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具有潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
常用的灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
二、灰色预测的步骤若给定原始数据序列)](),......2(),1([)0()0()0()0(n X X X X =可分别从)0(X 序列中,选取不同长度的连续数据作为子序列.对于子序列建立GM(1,1)模型的步骤可以概括为： 第一步：写出原始数据列(0)X(0)(0)(0)(0)(){(1),(2),......,()}X i X X X n =为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
指数平滑法与灰色预测的定量预测方法的应用
指数平滑法与灰色预测的定量预测方法的应用指数平滑法是一种基于历史数据的预测方法，其核心思想是通过对历史数据进行加权平均来预测未来的趋势。
具体而言，指数平滑法使用一个平滑因子来给历史数据加权，平滑因子控制了过去数据的重要性。
较小的平滑因子更加注重近期数据，而较大的平滑因子更加注重远期数据。
在每个时间点上，使用当前实际值与上一个预测值的加权平均来计算当前的预测值。
指数平滑法的优点之一是适用于数据存在较大波动的情况下，可以很好地预测趋势。
例如，在经济预测中，指数平滑法可以帮助企业预测销售额、利润等指标，从而帮助企业制定合理的生产和经营计划。
此外，指数平滑法还可以用于预测股票价格、人口增长等领域。
灰色预测是一种基于数据的非线性预测方法，它通过建立灰色模型来预测未来的趋势。
灰色预测的核心思想是利用已知数据与未知数据之间的关联性，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色模型通常包括灰色预测模型和灰色关联度分析模型两部分。
灰色预测的优点之一是可以在数据少的情况下进行预测。
对于缺乏大量历史数据的领域，如新兴产业、新产品预测等，灰色预测能够较好地应用。
此外，灰色预测还可以用于预测人口迁移、环境变化等领域的问题。
指数平滑法和灰色预测方法在实际应用中经常结合使用，可以得到更加准确的预测结果。
两种方法的结合应用主要有两个方面：一是辅助定位，即通过指数平滑法先对数据进行初步预测，然后通过灰色预测方法进一步提高预测精度；二是辅助判断，即通过指数平滑法对灰色预测结果进行验证和修正。
这种结合应用可以充分发挥两种方法的优势，提高预测精度，减少预测误差。
综上所述，指数平滑法与灰色预测方法是常用的定量预测方法，广泛应用于经济、物流、市场等领域。
两种方法在实际应用中经常结合使用，可以得到更加准确的预测结果。
通过合理选择预测方法和模型参数，结合实际情况进行预测分析，可以为决策者提供科学依据，帮助他们做出准确的决策。
第六章 灰色预测法
灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围内变化的灰 色量,所以随机过程是一个灰色过程. 灰色系统理论认为,尽管系统表象复杂,数据散乱,信息不充 分,但作为系统,它必然有整体功能和内在规律,必然是有序的. 在处理手法上,对灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分 布,而是通过对杂乱无章的原始数据的整理来寻找数的规律,这 叫数的生成. 对原始数据作累加处理后,便出现了明显的指数规律.通过对生 成数据建立动态模型,来挖掘系统内部信息并充分利用信息进行 分析预测. 灰色预测(grey prediction)是利用灰色系统理论就灰色系统 所作的预测.
概率统计研究的是"随机不确定"现象的历史统计规 律,考察具有多种可能发生的结果的"随机不确定"现 象中每一种结果发生的可能性的大小,其出发点是, 大样本,且对象服从某种典型分布. 灰色系统研究的是"部分信息明确,部分信息未知"的 "小样本,贫信息"不确定性系统,它通过对已知"部分" 信息的生成去开发了解,认识现实世界.着重研究"外 延明确,内涵不明确"的对象.
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
树高在20米至30米
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
X ( 0) = ( x ( 0) (1), x ( 0) (2),
令z
(1)
, x ( 0) (n))
(k ) =
(1)
1 (1) (1) ( x (k ) + x (k 1)) 2
灰色预测法PPT
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
灰色预测法
灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。
灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。
灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。
样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。
3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+其中(1)(0)1()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。
否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。
4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。
3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。
灰色预测法——精选推荐
灰⾊预测法灰⾊预测法摘要：1982年中国学者邓聚龙教授创⽴的灰⾊系统理论，是⼀种研究少数据、贫信息不确定性问题的新⽅法。
该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“少数据”、“贫信息”不确性系统为研究对象，主要通过对“部分已知信息”的挖掘，提取有价值的信息，实现对系统运⾏⾏为、演化规律的正确描述和有效监控。
本⽂主要介绍灰⾊预测的基本概念，以及灰⾊预测法GM(1,1)模型和GM(1,1)残差修正模型，并以实例说明灰⾊预测法的适⽤领域。
关键词：灰⾊预测；关联度；GM(1,1)；残差修正⼀、灰⾊预测理论（⼀）灰⾊预测的概念1.⽩⾊系统、⿊⾊系统和灰⾊系统对于⼀个系统，根据其内部信息特征的可知程度不同分为以下三种情况：⽩⾊系统、⿊⾊系统和灰⾊系统。
(1)⽩⾊系统⽩⾊系统是指⼀个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
(2)⿊⾊系统⿊⾊系统是指⼀个系统的内部信息对外界来说是⼀⽆所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
(3)灰⾊系统灰⾊系统内的⼀部分信息是已知的，另⼀部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
2.灰⾊预测法灰⾊预测法是⼀种对含有不确定因素的系统进⾏预测的⽅法，对既含有已知信息⼜含有不确定信息的系统进⾏预测，就是对在⼀定范围内变化的、与时间有关的灰⾊过程进⾏预测。
灰⾊预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进⾏关联分析，并对原始数据进⾏⽣成处理来寻找系统变动的规律，⽣成有较强规律性的数据序列，然后建⽴相应的微分⽅程模型，从⽽预测事物未来发展趋势的状况。
3.灰⾊预测的四种常见类型灰⾊预测法⼴泛应⽤于社会、经济、农业、⼯业、⽣态、⽣物等许多系统，对于不同特征和适⽤性，灰⾊预测主要分为四种类型。
（1）灰⾊时间序列预测⽤观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰⾊预测模型，预测未来某⼀时刻的特征量，或达到某⼀特征量的时间。
（2）畸变预测通过灰⾊模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
灰色预测模型
常用的灰色预测有五种： （1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到 某一特征量的时间。
（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。
用差分代替微分，又因等间隔取样，
t(t1)t1, 故得
x(1 )(2 ) x(1 )(2 )x(1 )(2 ) x(1 )(1 )x(0 )(2 ), t
类似地有
x(1)(3)x(0)(3),..., x(1)(N )x(0)(N ).
t
t
于是，由式（7.3）有
x (0)(2) a x (1)(2) u ,
就可得原始序列
x (0) 的拟合值 xˆ(0) (k 1)；当k N时，
可得原始序列
x ( 0 ) 预报值.
(1)残差检验：分别计算
7.2 灰色系统的模型
（3）预测精度等级对照表，见表7.1.
7.2 灰色系统的模型
7.2 灰色系统的模型
由于模型是基于一阶常微分方程（7.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是， 建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时 间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理. 注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解 一阶常微分方程（7.3）.
[3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
7.3 销售额预测
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灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。
灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。
灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。
样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。
3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+ 其中(1)(0)1()()(1,2,...,)ki x k x i k n ===∑ 。
求均值数列 (1)(1)(1)=0.5()0.5(1)z x k x k +-，k=2,3,...,n则(1)(1)(1)((2),(3),...,n )z z z =（） 。
于是建立灰微分方程为 (0)(1)()(),2,3,...,x k az k b k n +== 相应的白化微分方程为(1)(1)()dxdt ax k b += （2）记(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1(,),((2),(3),...,()),...() 1T T z z u a b Y x x x n B z n ⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,则称Y为数据向量，B 为数据矩阵，u 为参数向量，则GM （1,1）模型可以表示为矩阵方程Y Bu = ，由最小二乘法可以求出^^^1(,)()T T T B B B Y u a b -== ，代入白化微分方程得：(1)(0)(1)((1)),1,2...,1ak b b x k x e k n a a-+=-+=- . (0)(1)(1)^^^(1)(1)(),1,2,..., 1.k k k k n x x x +=+-=-3.3 模型检验 （1） 残差检验：令残差为()k ε ，计算(0)^(0)(0)()()(),1,2,...,()x k k k k n x k x ε-== 如果()k ε<0.2，则可认为达到一般要求；如果()k ε<0.1，则认为达到较高要求.（2） 级比偏差值检验：首先由参考数据(0)(0)(1),(),x k x k -(),a k λ计算的出级比再用发展系数求出相应的技术偏差 ρ(k)10.5=1-()(k)10.5a aλ-+ 如果ρ(k)<0.2，则可认为达到一般要求；如果ρ(k)<0.1，则认为达到较高要求.3.4预测和预报由模型GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，实际问题的需要，给出相应的预测预报。
4.具体应用中国人口增长预测(07年国赛优秀论文)摘要本文从中国的实际情况和中国的人口增长特点出发，参考相关数据，建立了中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出了分析和预测。
利用Logistic 曲线预测模型指出了未来几十年内中国人口总量的变化趋势:在未来段时间内，中国人口仍将处于增长阶段，并在21世纪的中叶中国人口总数将达到峰值Pm=15.4707(亿)。
根据过去10年来中国人口总量，利用GM(1,1)模型灰色预测法预测2006-2010年短期中国人口总量预测：131890，132803， 133722， 134647 和135579 万人。
通过残差检验，其平均相对误差仅为0.11%；对模型进行关联度检验和后验查检验，其结果均优于灰色预测精度检验等级标准。
4.1 问题重述中国是一个发展中国家，又是世界上人口最多的国家，人口问题一直是制约中国经济和社会发展的首要因素，因此，能否对中国人口增长做出准确分析和预测，对于加速推进中国现代化建设有着极为重要的现实意义。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
现有2001至2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比，各类年龄段人口的死亡率，以及各类年龄段妇女生育率等数据，从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测:特别要指出模型中的优点与不足之处。
4.2 模型建立4.21 GM(1，1)模型建立GM （1,1）模型是基于累加生成的预测模型，建立模型的步骤：（1）x 0(1),x 0(2),…,x 0(M)是所要预测的某项指标的原始数据，对原始数据做一次累加生成处理，得到：(1)(0)1()()Mi x M x t ==∑ 得到一个新数列。
这个数列与原始数列相比，其随机程度大大弱化了而且平稳性大大增加。
（2）将新数列的变化趋势近似用微分方程描述(1)(1)dxdt ax u += 其中，a ，u 为待定参数，利用最小二乘法拟合得到：^^1(,)()T T T M B B B Y a b -=（3）构造数据矩阵。
上一步中(1)(1)(0)(0)(0)(1)(2) 1(3) 1((2),(3),...,()),...() 1T M z z Y x x x M B z n ⎛⎫- ⎪- ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（4）求出预测模型：(1)(0)(1)((1))ak u u x t x e a a-+=-+人口增长主要有自然增长和机械增长两种方式，利用1996到2005年全中国人口统计资料表，对未来人口做出预测。
由表中可以看出，全国人口总量的时间序列为：(1)()x t ={122389,246015,370776,496562,623305,750932,879385,1008612,1138600,1269356}由上一步得到代入调查数据184202 1308395.5 1433669 1559933.5 1687118.5 1815158.5 1943998.5 11073606 11203978 1B -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪⎪=- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭M Y={123626,124761,125789,123743,127627,128453,129227,129988,130756.由上一步方程可得中国人口总货量预测模型：()0.006896(1)71(1.797 1.779)10tx t e +=-⨯}残缺检验将t=0,1,2,…,9代入预测方程中，得到1996~2005年全国人口总量的一次累加值，^^^():():():():q t t t t t t t t xx （0）（0）（1）第年预测值与实际值相对误差；第年预测值与实际值的绝对误差；第年原始预测值；第年第一次累加预测值。
即由分析所求出预测值，绝对误差和相对误差，剪标由表中数据可知，平均相对误差为0.11%，模型精度比较高。
4.4 模型评价优点:由上述分析可知，GM(1,1)预测模型的数据量要求小，精度高，具有较强的实用性和有效性，是个比较好的预测方法，对于开放性，非线性的复杂系统，GM(1,1)预测模型能够从整体出发对外延不确定性系统变化进行动态的科学模拟与仿真。
局限性:灰色预测模型的可靠性及预测精度主要取决于原始数据列的光滑性，原始数据列的光滑性越好灰色模型的预测精度越高，如果原始数列的光滑性不够，那灰色预测就不很精确，效果不理想。
4.5参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊数学模型(第三版) [M]北京：高等教育出版社2003年。
[2]中华人民共和国国家统计局中国统计年鉴[M]北京：中国统计出版社。
[3]周瑞平GM(1,1)模型灰色预测法预测城市人口规模[J] 内蒙古师范大学(自然科学汉文版) 第34卷第一期 2003年5月。
[4] 屠小明，冯元珍等，基于发展方程的人口系统预测和分析[J]，南京人口管理干部学院学报，第22卷第3期： 25-26页，2006年7月。
4.6数学方法和编程实现clearsyms a b; %定义变量a，b。
a 为发展系数，b 为灰作用量。
A=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; %A为参考数据列，根据需要修改数值即可B=cumsum(A); %B为由A一次累加生成的生成数列n=length(A); %求A数列的长度for i=1:(n-1)C(i)=(B(i)+B(i+1))/2; %C 为由B 生成的均值数列endD=A;D(1)=[]; %此时的D 为A 去掉第一个元素的矩阵，转置后即为前文提到的YD=D'; %对D 转置并赋值给DE=[-C;ones(1,n-1)]; %构造E 矩阵，即前文的B 矩阵c=inv(E*E')*E*D; %编写求解a ，b 的表达式即^^^1(,)()T T T B B B Y u a b -==c=c'; a=c(1);b=c(2); %求出a ，b 。