广东省华南师大附中2019学年高三综合测试(三)数学(理)试题

广东省华南师大附中2019学年高三综合测试（三）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．

第一部分选择题(40分)

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）

A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p

C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p

D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p

2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分

（圆内接正三角形）上的概率是（ ）

A ．

43 B. 433 C. π43 D. π

433 4．甲校有3600名学生。乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三

校学生

某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，

则应在

这三校分别抽取学生（ ）

A ．30人，30人，30人

B ．30人，45人，15人

C ．20人，30人，10人 D. 30人，50人，10人

5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）

A. 120 B ．105 C ．90 D ．75

6. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：

①α内有无穷多条直线均与平面β平行；

②平面α，β均与平面γ平行；

③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；

④平面α，β与直线l 所成的角相等．

其中能推出α∥β的是（ ）

A ．①

B ，②

C ．①和③

D ．③和④

7．设P 是双曲线19.222=⋅

-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||

1=PF ，则||2⋅PF =（ ）

A. 1或5

B. 6

C. 7

D. 9

8. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上

按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦

AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）

第二部分非选择题（110分）

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ．

10．dx x ⎰--20

|)1|2(= 1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．

3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，

则判断框中应填的语句是 ．

13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加

某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一

人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共

有 （用数字作答）

21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第

一题的得分)

14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线

⎩⎨⎧-=+=t

y a t x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C （a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围 ．

15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC

的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长

为 ．

三、解答题（共6大题，共80分）

16．（本题满分12分）

已知)cos ,(sin x x a -=，()x x cos 3,cos =，函数()23+

⋅=x f (1)求f(x)的最小正周期；

(2)当20π

≤≤x 时，求函数f(x)的值域．

17.（本题满分12分）

甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3

分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为3

2，甲胜丙的概率为 41，乙胜丙的概率为5

1

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：

(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

18．（本题满分14分）

已知矩形ABCD ，AD=2AB=2，点E 是AD 的中点，将△DEC

沿CE 折起到△D ’EC 的位置，使二面角D'-EC -B 是直二面角。

(Ⅰ) 证明：BE ⊥CD ’；

(Ⅱ) 求二面角D'-BC -E 的余弦值，

19.（本题满分14分）

己知数列{}n a 满足：1.1=a ，⎪⎩

⎪⎨⎧-+=+为偶数为奇数n n a n n a a n n n ,2,211 (1) 求a2，a3；

(2) 设*,22N n a b n n ∈-=，求证{}n b 是等比数列，并求其通项公式；

(3) 在(2)条件下，求数列{}n a 前100项中的所有偶数项的和S 。

20．（本题满分14分）

已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，

F 2；且2||21=F F

点⎪⎭

⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为

7

212，求以F 2为圆 心且与直线l 相切的圆的方程．

21．（本题满分14分）

已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ⋅∈-+=，在点（1，f(1))处的切线方程为y+2=0．

(1) 求函数f(x ）的解析式；

(2) 若对于区间[一2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有c x f x f ≤-|)()(|21，求实

数c 的最小值；

（3) 若过点M(2,m)(m ≠2)，可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围，