最新完全平方公式变形讲解资料
完全平方公式的变形公式
完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式在我们的考试中经常遇到，很多同学对此很苦恼，今天咱们一起来学习完全平方的变形公式。
一、通过移项变形1、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为a²+b²=（a+b）²-2ab2、（a+b）²=a²+2ab+b²变形为2ab=（a+b）²-（a²+b²）用法：以上变形适用于已知a+b、ab、a²+b²中的两项求另一项的值，知二求一。
第二个变形也有记ab=½{（a+b）²-（a²+b²）}的，我们不需要这么记，记住上面第2个就行！例1：已知a+b=7，ab=10，求下列各式的值：（1）a²+b²；（2）a²-ab+b²解=（a+b）²-2ab 解= a² +b²-ab先移项因为a+b=7，ab=10 =（a+b）²-2ab-ab所以a²+b²=49-20=29 =（a+b）²-3ab因为a+b=7，ab=10所以a²+b²=49-30=19二、a+b与a-b的转换（1）（a+b）²=（a-b）²+4ab（由a-b变为a+b）（2）（a-b）²=（a+b）²+4ab （由a+b变为a-b）（3）（a+b）²-（a-b）²=4ab（4）（a+b）²+（a-b）²=2（a² +b²）用法：已知a+b、a-b、ab中的两项，求另一项，知二求一.例2、已知（a+b）²=9，（a-b）²=5，求（1）a² +b²，（2）ab的值.解：（1）2（a² +b²）=（a+b）²+（a-b）²2（a² +b²）=9+5=14a² +b²=7（2）4ab=（a+b）²-（a-b）²4ab=9-5=4ab=1特殊的小结：总的来说（a+b）²、（a-b）²、ab、a² +b²、a+b、a-b这六个项，我们通过题目给出的已知项把它们进行加或减就能够求出其它的项。
完全平方公式20种变形
完全平方公式20种变形【最新版】目录1.完全平方公式的基本形式2.完全平方公式的 20 种变形3.变形实例及解题方法正文【1.完全平方公式的基本形式】完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以表示为两个一次多项式的平方和。
其基本形式为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2【2.完全平方公式的 20 种变形】在实际解题过程中，完全平方公式可以衍生出 20 种变形，具体如下：1.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^22.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^24.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^25.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^26.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^27.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^28.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^29.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^410.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^411.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^212.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^213.(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^214.(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^215.(a+ab)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^216.(a-ab)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^217.(a+b^2)^2 = a^2 + 2ab^2 + b^418.(a-b^2)^2 = a^2 - 2ab^2 + b^419.(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^220.(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2【3.变形实例及解题方法】以第一种变形为例：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2假设 a = 3, b = 2，代入公式得：(3+2)^2 = 3^2 + 2*3*2 + 2^2= 25 = 9 + 12 + 4可见，公式左边的 (3+2)^2 等于右边的 9 + 12 + 4。
完全平方公式知识点例题变式
完全平方公式知识点例题变式完全平方公式知识点、例题、变式。
一、完全平方公式知识点。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2- (a - b)^2=a^2-2ab + b^22. 公式结构特点。
- 左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
- 右边第一项是左边第一项的平方，右边第三项是左边第二项的平方，右边第二项是左边两项乘积的2倍（对于(a + b)^2是正的2ab，对于(a - b)^2是负的2ab）。
二、例题。
1. 计算(3x + 2y)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2，这里a = 3x，b=2y。
- 计算过程：- (3x+2y)^2=(3x)^2+2×(3x)×(2y)+(2y)^2- = 9x^2+12xy + 4y^2。
2. 计算(2m - 5n)^2。
- 解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 2m，b = 5n。
- 计算过程：- (2m - 5n)^2=(2m)^2-2×(2m)×(5n)+(5n)^2- =4m^2-20mn + 25n^2。
三、变式。
1. 已知(x + 3)^2=x^2+ax + 9，求a的值。
- 解析：根据完全平方公式(x + 3)^2=x^2+2× x×3+9=x^2 + 6x+9，因为(x + 3)^2=x^2+ax + 9，所以a = 6。
2. 若(m - n)^2=16，m^2 + n^2=20，求mn的值。
- 解析：- 由完全平方公式(m - n)^2=m^2-2mn + n^2，已知(m - n)^2 = 16，即m^2-2mn + n^2=16。
- 又已知m^2 + n^2=20，将其代入m^2-2mn + n^2=16中，得到20-2mn = 16。
- 移项可得-2mn=16 - 20=-4，解得mn = 2。
完全平方公式及其变形公式
完全平方公式及其变形公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的世界里，有这么一对神奇的公式，就像一对默契十足的好伙伴，时刻准备着帮咱们解决各种各样的难题，它们就是完全平方公式及其变形公式。
还记得我读中学那会，有一次数学考试，最后一道大题就是用完全平方公式来解题。
当时我看着那道题，心里就像揣了只小兔子，怦怦直跳。
题目是这样的：已知一个正方形的边长增加了 3 厘米，面积就增加了 39 平方厘米，求原来正方形的边长。
我一开始有点懵，这可咋办呀？但静下心来一想，这不就是完全平方公式的用武之地嘛！咱们先设原来正方形的边长为 x 厘米，那么边长增加 3 厘米后，新正方形的边长就是 (x + 3) 厘米。
根据正方形面积公式，原来正方形的面积是 x²平方厘米，新正方形的面积就是 (x + 3)²平方厘米。
因为面积增加了 39 平方厘米，所以可以列出方程：(x + 3)² - x² = 39。
接下来就是完全平方公式大显身手的时候啦！(x + 3)²展开就是 x² + 6x + 9，代入方程就得到 x² + 6x + 9 - x² = 39 ，化简一下，6x + 9 = 39 ，再解这个方程，6x = 30 ，x = 5 。
哎呀，当算出答案的那一刻，我心里那叫一个美呀，就像大热天吃了根冰棍儿，爽极了！那咱们先来好好认识一下完全平方公式吧。
完全平方公式有两个：(a + b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式看起来有点复杂，其实就像搭积木一样，把各项按照规则拼在一起就行。
比如说 (a + b)²，就是先把第一个括号里的 a 和 b 分别平方，得到a²和 b²，然后再把 a 和 b 相乘，乘 2 ，得到 2ab ，最后把它们加起来，就是 a² + 2ab + b²啦。
完整版)完全平方公式变形公式专题
完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。
完全平方公式知识讲解
完全平方公式知识讲解首先，让我们来看一个简单的例子，以帮助我们理解完全平方公式的原理和应用。
假设我们要求解方程x²+6x+9=0的根。
我们可以使用完全平方公式将其转化为一个完全平方的形式。
进一步展开左边的表达式，我们可以发现它可以写成一个完全平方的形式，即(x+3)²=0。
这个方程的解可以直接得到为x=-3通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的使用，并且可以发现这种转化后的形式更容易求解。
接下来，我们来推导一下完全平方公式的原理。
假设我们有一个二次方程x² + bx + c = 0。
我们可以利用完全平方公式将其转化为一个完全平方。
首先，我们可以将方程写成一个完全平方加上一个常数：x² + bx + c = (x + d)² + e。
展开右边的表达式，我们可以得到x² + 2dx + d² + e = x² + bx + c。
通过对比系数，我们可以得到2d=b，d²+e=c。
根据第一个等式，我们可以解出d=b/2将d带入第二个等式，我们可以得到(b/2)²+e=c，将e移项得到e=c-(b/2)²。
综上所述，我们可以轻松地将一个二次方程转化为一个完全平方加上一个常数的形式。
此外，使用完全平方公式还可以帮助我们更好地理解二次函数的性质。
二次函数的图像是一个抛物线，而完全平方公式可以将其转化为一个完全平方，从而更清晰地展示出抛物线的特性，如顶点、对称轴等。
在工程学和物理学等应用中，完全平方公式也有重要的作用。
例如在机械结构设计中，我们可以利用完全平方公式求解最小的轴心距离，以保证结构的稳定性。
总之，完全平方公式是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们更快地求解平方根，还可以简化计算过程，帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。
通过熟练掌握和灵活运用完全平方公式，我们可以更高效地解决数学问题，并在学习和工作中取得更好的成绩和效果。
完全平方公式6种变形
完全平方公式6种变形在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。
它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。
本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。
首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。
例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。
它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。
其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是：1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y22.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y23.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y24.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y25.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y26.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2第一种变形就是平方差公式。
它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。
第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。
第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。
第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。
第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的和。
最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。
完全平方公式是一种经典的数学概念，熟练掌握它的变形是很重要的，能够帮助我们计算出一个数的完全平方值，使我们更快地解决数学问题。
因此，我们需要努力掌握和练习完全平方公式的六种变形，这样才能更好地学习数学。
在数学学习中，完全平方公式有六种变形，它们分别是：平方差公式、平方和公式、平方和差的和、平方和差的差、平方差和的和以及平方差和的差。
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》知识清单一、完全平方公式的定义完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识工具，有两个：1、两数和的完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²2、两数差的完全平方公式：（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²这两个公式可以合写成一个公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²二、完全平方公式的特征1、左边是一个二项式的完全平方，右边是一个三项式。
2、右边第一项是左边二项式中第一项的平方，第二项是左边二项式中两项乘积的 2 倍，第三项是左边二项式中第二项的平方。
3、公式中的字母 a、b 可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。
以两数和的完全平方公式为例：＼＼begin{align}（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼＆＝a²＋ 2ab ＋ b²＼end{align}＼同理，对于两数差的完全平方公式：＼＼begin{align}（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼＆＝a² 2ab ＋ b²＼end{align}＼四、完全平方公式的常见变形1、 a²＋ b²＝（a ＋ b)² 2ab2、 a²＋ b²＝（a b)²＋ 2ab3、（a ＋ b)²＝（a b)²＋ 4ab4、（a b)²＝（a ＋ b)² 4ab这些变形公式在解题时非常有用，可以根据具体题目条件灵活选择使用。
完全平方公式(基础)知识讲解
完全平方公式（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、公式法——完全平方公式1、 下列各式是完全平方式的是（ ）．A ．412+-x xB ．21x +C ．1++xy xD ．122-+x x【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【答案】A ；【解析】221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 【总结升华】形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.举一反三：【变式】（2015春•临清市期末）若x 2+2（m ﹣3）x+16是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．﹣1B ． 7C ． 7或﹣1D ． 5或1【答案】C.2、分解因式：（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+． 【答案与解析】解：（1）22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+．（2）22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-． （3）2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （4）222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．举一反三：【变式】分解因式：（1）29()12()4a b a b +-++； （2）222()()a a b c b c ++++；（3）21025a a --； （4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+-． 【答案】解：（1）29()12()4a b a b +-++22[3()]23()22a b a b =+-⋅+⋅+ 22[3()2](332)a b a b =+-=+-．（2）222()()a a b c b c ++++22[()]()a b c a b c =++=++．（3）()2210251025a a a a --=--+2(5)a =--．（4）22()4()()4()x y x y x y x y +++-+- 22()2()2()[2()]x y x y x y x y =+++-+-22[()2()](3)x y x y x y =++-=-．3、分解因式：（1）2234162x y xy y ++；（2）4224168a a b b -+；（3）222(3)(1)x x x +--．【答案与解析】解：（1）2234162x y xy y ++22222()()1624x xy x y y y y =++=+． （2）4224168a a b b -+222222(4)[(2)(2)](2)(2)a b a b a b a b a b =-=+-=+-． （3）222(3)(1)x x x +--22(31)(31)x x x x x x =++-+-+ 2222(41)(21)(41)(1)x x x x x x x =+-++=+-+．【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．举一反三：【高清课堂400108 因式分解之公式法 例4】【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．（3）2244x y xy --+；（4）322344x y x y xy ++；（5）()()2222221x xx x -+-+；【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++⋅+⋅+++ 22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-⋅+⋅-+- 22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．（3）原式()()222442x y xy x y =-+-=-- （4）原式＝()()222442xy x xy yxy x y ++=+ （5）原式()()242211x x x =-+=-类型二、配方法 4、（2015春•江都市期末）已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．【思路点拨】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．【答案与解析】解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；（2）∵x+y=3，xy=﹣8，∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.举一反三：【变式】已知x为任意有理数，则多项式x－1－142x的值为（）．A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0 【答案】B；提示：x－1－142x＝221111042x x x⎛⎫⎛⎫--+=--≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
完全平方公式的变形及其应用
完全平方公式的变形及其应用(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²对于给定的二次方程ax² + bx + c = 0，可以使用完全平方公式来求解其根。
下面将介绍完全平方公式的变形及其应用。
在进行完全平方公式的变形之前，首先要将一般形式的二次方程进行变形，使其具有完全平方的形式。
通过配方，将二次项与线性项合并，得到完全平方的形式。
(a+b)² = a² + 2ab + b²对于二次项 2ab，可以找到两个数 a 和 b，使得 2ab = bx。
从而将a 和b 归纳出来。
利用上面的思路，将二次方程进行配方：ax² + bx + c = a (x² + bx/a) + c = a (x² + (b/2a)² - (b/2a)²) + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c再将二次项转化成完全平方的形式，可得：ax² + bx + c = a (x + b/2a)² - (b/2a)² + c在进行完全平方公式的变形之后，我们可以使用该公式来求解二次方程的根。
例如，对于二次方程x²+6x+9=0，可以采用完全平方公式来求解。
将该方程表示为完全平方的形式，可以得到：(x+3)²=0从而可以直接得到方程的解为x=-3顶点的坐标可以通过完全平方公式得到。
对于二次函数y = ax² + bx + c，其顶点的 x 坐标为 -b/2a，将其代入函数中即可得到 y 坐标。
图像的开口方向可以通过二次项的系数a的符号来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口朝上，当a<0时，二次函数的图像开口朝下。
最值可以通过完全平方公式和顶点坐标来求解。
完全平方公式9种变形
完全平方公式9种变形一元二次方程ax²+bx+c=0 是高中数学中最基本也是最重要的方程之一，它的根也就是求解此类方程的结果叫做完美平方公式。
大家经常接触的一般格式完美平方公式就是：x²+bx+c=0，其它的变形形式有：ax²+bx+c=0ax²-bx+c=0ax²+bx-c=0ax²-bx-c=0ax²-c=0x²+c=0x²-c=0ax²=bx+cax²=bx-c从属性上来分析，完全平方公式一共有三类，它们分别是：一次项系数为零的公式，一次项系数非零的公式和不存在一次项的公式。
首先，一次项系数为零的完美平方公式有x²+bx+c=0、x²+bx-c=0、x²-bx+c=0、x²-bx-c=0、x²-c=0、x²+c=0、x²-c=0，在这几种完全平方公式中，系数a的值都是零，它们可以简化为bx±c=0，由于没有一次项，计算起来比较容易，只要将定义式中的常数向两边移动，然后利用算术平方根来计算结果即可。
其次，一次项系数不为零的完全平方公式有ax²+bx+c=0、ax²-bx+c=0、ax²+bx-c=0、ax²-bx-c=0、ax²-c=0，这几种公式系数a的值不为零，因此如果要对它们进行求解，就需要用到一次项来解决，具体操作是将一次项移动到右边，然后将方程化为二次常系数齐次方程形式，最后利用求根公式来求解即可；此外，不存在一次项的公式一共有两种，分别为ax²=bx+c和ax²=bx-c，不存在一次项的话，计算过程会复杂一点，那么就需要先将方程变为一次项系数为零的形式，然后再使用简化的求根公式来进行求解。
总的来说，完全平方公式共有9种变形形式，它们有自己的性质，在求解的时候也需要有相应的操作步骤。
《完全平方公式与平方差公式》 讲义
《完全平方公式与平方差公式》讲义一、完全平方公式完全平方公式是数学中一个非常重要的公式，它有两个形式：（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²我们来详细解读一下这两个公式。
先看（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²。
想象有一个边长为（a ＋ b）的正方形，它的面积就是（a ＋ b）²。
我们可以把这个正方形分成四块，分别是边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长为 a 宽为 b 的长方形。
那么这个大正方形的面积就等于这四块面积之和，即 a²＋2ab ＋ b²。
再看（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²。
同样，我们可以把（a b）²看成是一个边长为（a b）的正方形的面积。
通过类似的分割方法，也能得出其面积为 a² 2ab ＋ b²。
完全平方公式在计算和化简式子时非常有用。
例如，计算（3 ＋ 4）²。
我们可以直接使用完全平方公式：（3 ＋ 4）²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49。
又比如，化简（x ＋ 2y）²。
根据公式可得：（x ＋ 2y）²＝ x²＋2×x×2y ＋（2y）²＝ x²＋ 4xy ＋ 4y²。
在解决实际问题中，完全平方公式也经常出现。
假设一个正方形的边长增加了 5 厘米，原来的边长为 x 厘米，那么面积增加了多少？原来正方形的面积是 x²平方厘米，边长增加后的正方形边长为（x＋ 5）厘米，面积为（x ＋ 5）²平方厘米。
面积增加的值就是（x ＋ 5）² x²，利用完全平方公式展开可得：（x ＋ 5）² x²＝（x²＋ 10x ＋ 25） x²＝ 10x ＋ 25 （平方厘米）二、平方差公式平方差公式为：（a ＋ b）（a b）＝ a² b²这个公式的意思是，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
完全平方公式八个变形
完全平方公式八个变形完全平方公式，这可是数学里的“常客”，咱们今天就来好好聊聊它的八个变形，保证让你对它有全新的认识！我记得有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙皱着眉头问我：“老师，这完全平方公式变来变去的，有啥用啊？”我笑了笑，没直接回答他，而是先在黑板上写下了完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式是基础，接下来咱们看看它们的变形。
变形一：a² + b² = (a + b)² - 2ab 。
比如，已知 a + b = 5，ab = 3，那a² + b²就等于 5² - 2×3 = 19 。
变形二：a² + b² = (a - b)² + 2ab 。
假如 a - b = 4，ab = 2，那么 a² +b²就是 4² + 2×2 = 20 。
变形三：(a + b)² = (a - b)² + 4ab 。
就像 a - b = 3，ab = 5 时，(a + b)²就是 3² + 4×5 = 29 。
变形四：(a - b)² = (a + b)² - 4ab 。
假设 a + b = 7，ab = 6，那么 (a - b)²等于 7² - 4×6 = 1 。
变形五：ab = 1/4 [(a + b)² - (a - b)²] 。
比如说 a + b = 8，a - b = 2，那 ab 就是 1/4 （8² - 2²） = 15 。
变形六：a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²。
完全平方公式变形公式
完全平方公式变形公式【实用版】目录1.完全平方公式的概念2.完全平方公式的变形公式3.完全平方公式和变形公式的应用正文1.完全平方公式的概念完全平方公式是指一个二次方程形如 $x^2 + 2ax + a^2$，其中$a$ 是常数，可以通过完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式的因式分解形式为 $(x + a)^2$。
这个公式在代数运算中具有重要的作用，可以将一个二次方程简化为一个一次方程，从而方便求解。
2.完全平方公式的变形公式完全平方公式的变形公式是指将完全平方公式稍作变化，得到其他形式的因式分解公式。
常见的完全平方公式变形公式有以下两种：(1) 平方差公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 和 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
这两个公式将二次方程 $x^2 - 2ax + a^2$ 和 $x^2 + 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a - b)^2$ 和 $(a + b)^2$。
(2) 完全平方和公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$。
这两个公式将二次方程 $x^2 + 2ax + a^2$ 和 $x^2 - 2ax + a^2$ 分别进行因式分解，得到 $(a + b)^2$ 和 $(a - b)^2$。
3.完全平方公式和变形公式的应用完全平方公式和变形公式在代数运算中有广泛的应用，例如求解二次方程、化简复杂的代数式等。
通过运用完全平方公式和变形公式，可以将复杂的代数式简化为更容易理解和求解的形式。
例如，对于二次方程 $x^2 + 2ax + a^2 = 0$，我们可以直接运用完全平方公式得到 $(x + a)^2 = 0$，从而解得 $x = -a$。
再如，对于代数式 $x^2 - 2ax + a^2 - b^2$，我们可以运用平方差公式将其分解为 $(x - a + b)(x - a - b)$，从而将复杂的代数式化为两个一次方程的乘积，便于求解。
完全平方公式变化形式
完全平方公式变化形式完全平方公式，这可是咱们数学学习中的“常客”！它的变化形式就像是孙悟空的七十二变，花样繁多但又有迹可循。
咱们先来说说完全平方公式的基本形态：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这两个公式大家应该都不陌生吧？但是，它的变化形式那才叫有趣呢！比如说，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，这就像是把原本的公式“拆了重装”。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这变来变去的，到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这用处可大了去啦！就好比你要盖房子，这公式就是你的建筑蓝图，不同的变化形式能帮你解决不同的问题。
”咱们就拿一个简单的例子来说。
假设小明有一块长方形的土地，长为 a + b 米，宽为 a - b 米，让咱们求这块土地的面积。
这时候，咱们就可以用完全平方公式的变化形式来解决。
面积就是 (a + b)(a - b) ，展开之后就是 a² - b²。
再比如，在代数运算中，经常会遇到化简式子的情况。
像化简 a² +6a + 9 ，咱们一眼就能看出来，这其实就是 (a + 3)²嘛。
还有在求解方程的时候，完全平方公式的变化形式也能大显身手。
比如 x² + 4x - 5 = 0 ，咱们通过配方，可以把它变成 (x + 2)² - 9 = 0 ，这样是不是就好解多啦？总之，完全平方公式的变化形式在数学的世界里就像是一把万能钥匙，能打开各种难题的锁。
咱们在学习这些变化形式的时候，可不能死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，多琢磨琢磨其中的规律，慢慢地就能熟练掌握啦。
希望同学们都能跟完全平方公式的变化形式成为好朋友，让它帮助咱们在数学的海洋里畅游，攻克一个又一个难题！。
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完全平方式
能够还原成(a±b)2的代数式叫做完 全平方式
一个数如果是另外一个数的平方， 那么这个数叫做平方数
完全平方式
完全平方式
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ， 则a _______。 （2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m ____ (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
a2
1 a2
(a 1)2 2进行运算。 a
解：由 a2
a a
Hale Waihona Puke 16，可知a0，因此可得
1 a2 a 1 a 1 1 ，
6
a
a
a 1 5。 a6
a4
a2 a2
1
a2
1 1
1
(a
1 1)2
1
1 ( 5)2
36 1 11
3 3 。 11
a2
a
6
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n
例2 计算 （1）(ab1 )a (b1 )
（2）.(m2np)2
例3 当 a 1 ,b 1 时 ( 3 a ， 2 b )3 a ( 2 求 b ) ( a 2 b ) 2
的值.
例4 求证：当n为整数时，两个连续奇数的 平方差 (2n1)2(2n1)2是8的倍数.
例5 解不等式 (3 x 4 )3 ( x 4 ) 9 (x 2 )2
• 练一练
• 1.已知 (ab)5,ab3求 (a b)2 与 3(a2 b2)
的值。
2．已知 ab6,ab4求 a b 与 a 2 b 2 的值。
3.已知 ab4,a2b24 求a 2 b 2 与 ( a b ) 2 的值.
4.已知 (ab)2 80(ab)2 60求 a 2 b 2 及ab的值
例六：( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 4 1 ) ( 2 8 1 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 3 1 2 ) 1
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（ 2） 则k
已_知__，_4_x完___全k_x_y_平。2方5 y式是 完
全
平
方
式
，
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ____________.
完全平方式
完全平方式
完全平方式
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
则 x 2 y 2 公 _式_ _变_ _形_ _的_ 。应用
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
公式变形的应用
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
例 2已 知 a 2 a a 1 6 ， 试 求 a 4 a a 2 2 1 的 值 。
的值
2.已知 x2y24x6y130，x,y都是有理数，求
x y的值
4.说明不论x,y取何值，代数式 x2y26x4y15
的值总是正数. 5已知 x2y22x4y50求 1 (x 1)2 xy 的值。
2
6.已知a+b=－6，ab=8，求（1）a2 b2 ；（2）(ab)2
7.已知：a+b=8，ab=16+ c 2 ，求的值 (abc)2002
完全平方公式变形讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
公式变形的应用
1.已知 x 1 6
x
，求
x2
1 x2
的值。
2.已知 x23x10，求
（1）
x2
1 x2
（2）
x3
1 x3
（3）
x4
1 x4
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1） (ab 1)a ( b 1)
（2） (2x3)2 (x3)
（3）102 2 2 2 . （4） 99 2
例题：
求：