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证明：x, y不论是什么有理数, 多项式x2+y2 4x8y25的值 总是正数。并求出它的最小值。
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
例 2已 知 a 2 a a 1 6 ， 试 求 a 4 a a 2 2 1 的 值 。
（ 2） 则k
已_知__，_4_x完___全k_x_y_平。2方5 y式是 完
全
平
方
式
，
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ____________.
完全平方式
完全平方式
完全平方式
完全平方公式变形讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
公式变形的应用
例2 计算 （1）(ab1 )a (b1 )
（2）.(m2np)2
例3 当 a 1 ,b 1 时 ( 3 a ， 2 b )3 a ( 2 求 b ) ( a 2 b ) 2
的值.
例4 求证：当n为整数时，两个连续奇数的 平方差 (2n1)2(2n1)2是8的倍数.
例5 解不等式 (3 x 4 )3 ( x 4 ) 9 (x 2 )2
1.已知 x 1 6
x
，求
x2
1 x2
的值。
2.已知 x23x10，求
（1）
x2
1 x2
（2）
x3
1 x3
（3）
x4
1 x4
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1） (ab 1)a ( b 1)
（2） (2x3)2 (x3)
（3）102 2 2 2 . （4） 99 2
例题：
求：
的值
2.已知 x2y24x6y130，x,y都是有理数，求
x y的值
4.说明不论x,y取何值，代数式 x2y26x4y15
的值总是正数. 5已知 x2y22x4y50求 1 (x 1)2 xy 的值。
2
6.已知a+b=－6，ab=8，求（1）a2 b2 ；（2）(ab)2
7.已知：a+b=8，ab=16+ c 2 ，求的值 (abc)2002
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
例六：( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 4 1 ) ( 2 8 1 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 3 1 2 ) 1
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完全平方式
能够还原成(a±b)2的代数式叫做完 全平方式
一个数如果是另外一个数的平方， 那么这个数叫做平方数
完全平方式
完全平方式
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ， 则a _______。 （2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m ____ (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
a2
1 a2
(a 1)2 2进行运算。 a
解：由 a2
a a
1
6，可知a
0，因此可得
1 a2 a 1 a 1 1 ，
6
a
a
a 1 5。 a6
a4
a2 a2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
a2
1 1
1
(a
1 1)2
1
1 ( 5)2
36 1 11
3 3 。 11
a2
a
6
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
则 x 2 y 2 公 _式_ _变_ _形_ _的_ 。应用
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
公式变形的应用
• 练一练
• 1.已知 (ab)5,ab3求 (a b)2 与 3(a2 b2)
的值。
2．已知 ab6,ab4求 a b 与 a 2 b 2 的值。
3.已知 ab4,a2b24 求a 2 b 2 与 ( a b ) 2 的值.
4.已知 (ab)2 80(ab)2 60求 a 2 b 2 及ab的值
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,
完全平方式
计算
①(a+b+3)2
② (2x-y-1)2
三个数和的完全平方等于这三个数的平 方和，再加上每两数乘积的2倍。
例 2已 知 a 2 a a 1 6 ， 试 求 a 4 a a 2 2 1 的 值 。
（ 2） 则k
已_知__，_4_x完___全k_x_y_平。2方5 y式是 完
全
平
方
式
，
(3)x2 12x m是 完 全 平 方 式,则 m ____
(4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
可 以 添 加 ____________.
完全平方式
完全平方式
完全平方式
完全平方公式变形讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍 首尾 放中央
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
公式变形的应用
例2 计算 （1）(ab1 )a (b1 )
（2）.(m2np)2
例3 当 a 1 ,b 1 时 ( 3 a ， 2 b )3 a ( 2 求 b ) ( a 2 b ) 2
的值.
例4 求证：当n为整数时，两个连续奇数的 平方差 (2n1)2(2n1)2是8的倍数.
例5 解不等式 (3 x 4 )3 ( x 4 ) 9 (x 2 )2
1.已知 x 1 6
x
，求
x2
1 x2
的值。
2.已知 x23x10，求
（1）
x2
1 x2
（2）
x3
1 x3
（3）
x4
1 x4
平方差公式、完全平方公式应用例说
例1 计算（1） (ab 1)a ( b 1)
（2） (2x3)2 (x3)
（3）102 2 2 2 . （4） 99 2
例题：
求：
的值
2.已知 x2y24x6y130，x,y都是有理数，求
x y的值
4.说明不论x,y取何值，代数式 x2y26x4y15
的值总是正数. 5已知 x2y22x4y50求 1 (x 1)2 xy 的值。
2
6.已知a+b=－6，ab=8，求（1）a2 b2 ；（2）(ab)2
7.已知：a+b=8，ab=16+ c 2 ，求的值 (abc)2002
则 a ______完_ 。全平方式
（2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式 ， 可 以 添 加 ____________.
例六：( 2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 4 1 ) ( 2 8 1 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 3 1 2 ) 1
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完全平方式
能够还原成(a±b)2的代数式叫做完 全平方式
一个数如果是另外一个数的平方， 那么这个数叫做平方数
完全平方式
完全平方式
（ 1） 已 知 ， x2 ax 16是 完 全 平 方 式 ， 则a _______。 （2） 已 知 ，4 x 2 kxy 25 y 2是 完 全 平 方 式 ， 则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m ____ (4)请 把 4 x 4 1添 加 一 项 后 是 完 全 平 方 式
a2
1 a2
(a 1)2 2进行运算。 a
解：由 a2
a a
1
6，可知a
0，因此可得
1 a2 a 1 a 1 1 ，
6
a
a
a 1 5。 a6
a4
a2 a2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
a2
1 1
1
(a
1 1)2
1
1 ( 5)2
36 1 11
3 3 。 11
a2
a
6
• 1、已知 m 2 n 2 6 m 1 n 3 0 0 4 ，求m+n
则 x2 y2 ________。 （ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16
则 xy ________。
则 x 2 y 2 公 _式_ _变_ _形_ _的_ 。应用
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
公式变形的应用
• 练一练
• 1.已知 (ab)5,ab3求 (a b)2 与 3(a2 b2)
的值。
2．已知 ab6,ab4求 a b 与 a 2 b 2 的值。
3.已知 ab4,a2b24 求a 2 b 2 与 ( a b ) 2 的值.
4.已知 (ab)2 80(ab)2 60求 a 2 b 2 及ab的值
（ 1） 已 知 a b 1, ab 2, 则 a2 b2 ________。
（ 2） 已 知 x y 9, xy 8, 则 x2 y2 ________。
（ 3） 已 知 (x y)2 25,(x y)2 16, 则 xy ________。
则 a 2 公 b式2 变 形_ _的_ _应_ _用_ _ 。 （ 2） 已 知 x y 9, xy 8,