2017北航校物理竞赛试题及解答

13. 半径同为R，质量分别为m1= m和m2= 1.5m的两个匀质圆盘，边缘部位分别用长R和2R的 轻杆固定地连接后，挂在高度差为R的两块天花板下，可以无摩擦地左右摆动。开始时两个 摆盘静止在图示位置，质量为m1的摆盘自由释放后，将以0角速度与质量为m2的静止摆盘 发生弹性碰撞。试求碰后瞬间，两个摆盘的右向摆动角速度ω1和ω2（均带正负号）。
C O 2 B A I 1


B
c

a O
b
电势最高的点是________________________． 10. 在一个圆形平板电容器内，存在着一均匀分布的随时间变化的电场，电场强度为 E = E0 e t/ （E0 和皆为常量） ，则在任意时刻，电容器内距中心轴为 r 处的能流密度的大小为 _______________________________________，方向为______________________________． 二、计算题 11.用一根长度为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球，线所能承 受的最大张力为 T = 1.5 mg．现在把线拉至水平位置然后由静 止放开， 若线断后小球的落地点 C 恰好在悬点 O 的正下方， 如 图所示．求高度 OC 之值．
14. 两根相同的均匀带电细棒，长为 l，电荷线密度为，沿同一条直线放置．两细棒间最近 距离也为 l，如图所示．假设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用力．

l l l

15. 如图，电流从内部开始沿第一根导线顺时针通过后，紧挨着沿第二根 逆时针返回， 如此由内到外往返． 最后一根导线中的电流沿 (1) 逆时针方向 (2) 顺时针方向，设导线中的电流强度为 I，R 远大于导线的直径． 求(1)、
d F E d x
1 2 1 d x 4 0 x l x
整个右棒在电场中受力为：
1 2 4 2 1 d x ln ，方向沿 x 轴正向． 4 0 2l x l x 4 0 3 F F 左棒受力 F
2R
R O
(2)两种情况下，O 点处的磁感强度 B 的大小与方向．
I
16. 在长为 l、半径为 b、匝数为 N 的细长螺线管的轴 线中部，放置一个半径为 a 的导体圆环，圆环平面的 法线与螺线管轴线之间的夹角固定成 45 ° ( 如图所 示)． 已知螺线管电阻为 R， 圆环电阻为 r， 其自感不计， 电源的电动势为内电阻为零．设 a<<b，螺线管与圆 环的互感与螺线管的自感相比可不计． (1) 求开关合上后通过螺线管的电流Ｉ随时间的 变化规律． (2) 求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律． (3) 求圆环受到的最大磁力矩．
O dx x
l x
2l dx
3l x
dE
整个左棒在 x 处产生的场强为：
4 0 x x
dx
2
E
l
0
右棒 x 处的电荷元d x 在电场中受力为：
4 0 x x
dx
2

1 1 4 0 x l x
2 RR / N
B dB
R
R R / N
d B
0 IN
8R
(ln 2 ln
2R R / N ) R R/N

1 1 ) ln(1 )] N 8R 2N IN 1 3 I 1 ) 0 0 ( 8R N 2 N 16 R [ln(1
0 IN
3l
15. 解∶设半圆形导线来回往返共 N 次，因为第一根是顺时针的，若最后一根逆时针，则有 N／2 根逆时针，N／2 根顺时针．若最后一根顺时针，则有(N－1)／2 根逆时针，(N＋1)／2 根顺时针． (1) 外一根为逆时针的情况，r→r + dr 内单说逆时针或单说顺时针的电流为
N dr 2R d I 0 IN d r dB 0 它们在 O 点产生的磁场 4r 8R r 2RR / N 2R IN 2 R R / N 0 IN 2R ln ∴ B d B d B 0 ln 8R R 8R R R/ N R R R / N dI I
L O C a
12. 均匀实心球，半径为 R ，体密度为 ，从刚接触水面开始由静止自由下落，水的密度为
0 ，球冠的体积公式是 ( R h
3) h 2 . 1）忽略水的阻力，球入水深度是 x0 时，球的动能是
多大？ 2）分析球的密度满足什么条件，才能保证它可以全部入水，而不至于中途停止；3) 设球全部入水后速率为 v0 ，重力和浮力的合力大小为 A ，方向向下，水的阻力大小 f bv ， 求此后球的速率和时间的关系公式.
2 3


m M h 光滑
(SI)．在 0 到 4 s 的时间间隔内，
(1) 力 F 的冲量大小 I =__________________． (2) 力 F 对质点所作的功 W =________________． 4.一块质量为 m 的均匀正方形薄板，其边长为 L，它以其一边为轴转动时转动惯量为 ________________；它以过中心且垂直于板的轴转动时，转动惯量为_________________． 5. 如图所示，一长为 l，质量为 M 的均匀细棒悬挂于通过其上端的光 滑水平固定轴上．现有一质量为 m 的子弹以水平速度 v 0 射向棒的中 心，并以 v 0 的速度穿出棒．在此射击过程中细棒和子弹系统对轴的 ____________守恒．如果此后棒的最大偏转角恰为 90°，则 v 0 的大 小 v 0＝________． 6. 一半径为 R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为 d (d<<R)环 上均匀带有正电，电荷为 q，如图所示．则圆心 O 处的场强大 小 E＝____________________________， 场强方向为______________________．
2） 将上式变形，得到 以上分析过程 即 3）牛顿运动定律 分离变量并两边积分
t 0

0
2
m
dv Abv dt mdv v0 Abv
v
dt
得到
13
bt A A v ( v0 )e m b b
14. 解：选左棒的左端为坐标原点 O，x 轴 沿棒方向向右，在左棒上 x 处取线元 dx，其 电荷为 dq＝dx，它在右棒的 x 处产生的场 强为：
O
1 2

v0
1 2
l
q
R O d
7. 如图所示，A、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，两板的面积均为 S，板间的距离为 d．今使 A 板带电荷 qA，B 板带电荷 qB，且 qA > qB．则 A 板的靠近 B 的一侧所带电荷为___________； 两板间电势差 U =______________________．
12. 解：1）球下落距离 x0 ，合外力对它作的功为
W mgx0
x0

3
0
x2 (3R x)0 gdx
x 4 1 R 3 gx0 0 gx03 ( R 0 ) 3 3 4 x x 1 W = R 3 gx0 [4 0 ( 0 ) 2 (1 0 )] R 3 4R 球可以完全入水，应使得在 x0 的取值范围(0,2 R )内， W 的取值都大于零. x y 令 0 y ，分析可知函数 y 2 (1 ) 在 0 到 2 的区间内单调递增，当 x0 取 2 R 时 4 R 得到极大值 2. 因此得到要使得球可以完全入水，需要有 4 2 0 0
方向
16.解：(1) K 接通后，长直螺线管回路为 RL 回路．L 为长直螺线管的自感系数，且 dI L = 0 n2 V = 0 (N2 / l )b2，回路中有 L IR ，分离变量 dt dI R dt 得 I / R L 积分，利用初始条件 t＝0 时 I＝0 得： I 1 e Rt / L ． R (2) 穿过圆环的磁通量为： B S BS cos 45

∵ ∴ ∴
0 IN
8R
[ln 2(1
方向 (2) 最外一根为顺时针的情况，
2R
IN 1 1 1/ N 1 1 ) ln ] 0 [ln(1 ) ln(1 )] N 2N 2 8R 2N 1 ln(1 x) x x 2 … 2 1 1 1 1 1 ) ln(1 )] ln(1 2N N 2N N 2N 0 I B 16 R
A S d
B
8. 如图所示，用均匀细金属丝构成一半径为 R 的圆环 C，电流 I 由 导线 1 流入圆环 A 点，并由圆环 B 点流入导线 2．设导线 1 和导线 2 与圆环共面，则环心 O 处的磁感强度大小 为________________________，方向___________________． 9. 一导线被弯成如图所示形状，acb 为半径为 R 的四分之三圆 弧，直线段 Oa 长为 R．若此导线放在匀强磁场 B 中， B 的方向 垂直图面向内．导线以角速度在图面内绕 O 点 匀速转动，则此导线中的动生电动势i =___________ ，
一、填空题 1.一个人站在平板车上掷铅球，人和车总质量为 M，铅球的质量为 m，平板车可沿水平、光 滑的直轨道移动．设铅直平面为 xy 平面，x 轴与轨道平行，y 轴正方向竖直向上．已知未掷 球时，人、车、球皆静止．球出手时沿斜上方，它相对于车的初速度在 xy 平面内，其大小 为 v0，方向与 x 轴正向的夹角为 ，人在掷球过程中对车无滑动，则球被抛出之后，车对 地的速度 V _________________________，球对地的速度 v ______________________． 2. 如图所示，一光滑的滑道，质量为 M 高度为 h，放在一光 滑水平面上，滑道底部与水平面相切．质量为 m 的小物块自 滑道顶部由静止下滑，则物块滑到地面时，滑道的速度为 __________________________；物块下滑的整个过程中，滑 道对物块所作的功为___________________． 3. 一个力 F 作用在质量为 1.0 kg 的质点上，使之沿 x 轴运动．已知在此力作用下质点的运 动学方程为 x 3t 4t t
mgh1
L h1 O H h2 C S

a b
v mg
v gL ．
④
悬线断后， 小球在 bC 段作斜下抛运动． 当球落到 C 点时， 水平距离为
S vt sin
即 所以 而竖直距离为 所以
L cos vt sin L cos L 3L ctg 30 t ⑤ v sin v g h2 vt cos 1 gt 2 ( 1 3 )( gL ) 3L / g 3 L 3L 2 2 2 H h1 hБайду номын сангаас 3.5 L
l 2a K
n 45 b

参考答案
一、填空题（每题 4 分, 共计 40 分）
1.

mv 0 cos i M m
v 0 cos (1
m )i v 0 sin j M m
2.
2m 2 gh (m M ) M
16 N·s
(
m )mgh mM
176 J
3.
4.
1 2 mL 3
1 2 mL 6 4M 3m 3gl
5． 角动量
6.
qd qd 2 4 0 R 2R d 8 0 R 3
2
从 O 点指向缺口中心点．
7.
1 (q A q B ) 2
(q A q B )
d 2 0 S
8
0 I /(4R)
5 BR 2 2
垂直纸面向内
9.
O点
10.
0 r 2 2t / E0 e 2
2分
沿半径方向指向电容器外
2分
二、计算题 11. 解：设小球摆至位置 b 处时悬线断了(如图)．此时小球的速度为 v，取 b 点为势能零点， 按机械能守恒定律有：
得 又 所以
又因 ∴ 即
1 ① mv 2 2 v 2 2 gh1 2 gL sin T mg sin mv 2 / L ② 2 T mg sin mv / L 3mg sin ③ 1 sin T /(3mg ) ∴ =30° 2 v 2 2 gL sin v 2 gL