画出三角形底边上的高练习题汇编
专题23等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考
14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）
15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（ ）
A．85°B．75°C．65°D．30°
20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（ ）
A． B． C．2D．3
21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（ ）
A．14°B．16°C．24°D．26°
6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
56．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
57．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
备战2012中考数学 三角形的边与角精华试题汇编
备战2012中考：三角形的边与角精华试题汇编一、选择题1. （2011福建福州，10，4分）如图3,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 5【答案】C2. （2011山东滨州，5，3分）若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是( )A. 1B. 5C. 7D.9 【答案】B3. （2011山东菏泽，3，3分）一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°【答案】D4. （2011山东济宁，3，3分）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B5. （2011浙江义乌，2，3分）如图，DE 是△ABC 的中位线，若BC 的长是3cm ，则DE 的长是（ ）A ．2cmB ．1.5cmC ．1.2cmD ．1cm 【答案】B6. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的ABC ∆，若在此三角形内找一点O ，使得OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的面积均相等。
判断下列作法何者正确？E A BCD 30°45° α图3A ． 作中线AD ，再取AD 的中点OB ． 分别作中线AD 、BE ，再取此两中线的交点OC ． 分别作AB 、BC 的中垂线，再取此两中垂线的交点OD ． 分别作A ∠、B ∠的角平分线，再取此两角平分线的交点O【答案】B7. （2011台湾全区，20）图(五)为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为421平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？A ． 11B ． 12C ． 13D ． 14 【答案】Ｂ8. （2011江苏连云港，5，3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）【答案】C9. （2011江苏苏州，2,3分）△ABC 的内角和为 A.180° B.360° C.540° D.720° 【答案】A 10．（2011四川内江，2，3分）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是A ．32°B ．58°C ．68°D ．60°12【答案】C11. （2011湖南怀化，2，3分）如图1所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是A. ∠A>∠1>∠2B. ∠2>∠1>∠AC. ∠A>∠2>∠1D. ∠2>∠A>∠1【答案】B12. （2011江苏南通，4，3分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，20，8 D. 9，15，8【答案】A13. （2011四川绵阳5，3）将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为BA．75° B．95° C．105° D．120°【答案】C14. （2011四川绵阳6，3）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?A．0根 B.1根 C.2根 D.3根【答案】B15. （2011广东茂名，2，3分）如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE＝5，则BC＝A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C16. （2011山东东营，5，3分）一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠ 的度数是（）A．75 B．60 C．65 D．55【答案】A17. （2011河北，10，3分）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．13 【答案】B18. （2011湖北孝感，8，3分）如图，在△ABC 中，BD 、CE 是△ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O,点F 、G 分别是BO 、CO 的中点，连结AO.若AO=6cm ，BC=8cm ，则四边形DEFG 的周长是( )A.14cmB.18cmC.24cmD.28cm 【答案】A 二、填空题1. （2011浙江金华，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是 （写出一个即可）.【答案】答案不唯一，如5、6等2. （2011浙江省舟山，14，4分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD＝ 度．【答案】1103. （2011湖北鄂州，8，3分）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．【答案】50°4. （2011宁波市，17，3分）如图，在∆ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是∆ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC ＝∠E ＝60°，若BE ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BC ＝cmAP第8题图（第14ABCD【答案】85. （2011浙江丽水，12，4分）已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是 (写出一个即可).【答案】答案不惟一，在4<x<12之间的数都可6. （2011江西，13，3分）如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB = 度.第13题图 【答案】907. （2011福建泉州，15，4分）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点18AD BC PEF =∠=，，则PFE ∠的度数是 ．【答案】188. （2011四川成都，13,4分） 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，若DE=4, 则AB= .【答案】8.9. （2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点DF 过EC 的中点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O 。
新版苏教版小学数学毕业复习题分类汇编5
小学数学毕业复习题分类汇编5操作应用1．画出下面各图底边上的高底底底底2．把下面三角形平均分成三个面积相等的三角形（用两种不同的方法）3．（1）过直线外一点作已知直线的垂线和平行线·A（2）过直线上一点作已知直线的垂线。
·A4．请你当回设计师：新建的濠滨花园要铺设一管道与主管道连接。
要使管道最短，请在图中画出所铺设的管道及连接点的位置，并求出此管道的实际长度。
（图上距离取整厘米）5．过O点画AC的平行线，再过O点画AB的垂线。
BA ·OC6．在下列平行线之间画一个平行四边形，使它的面积是三角形ABC的两倍。
AB C7．用一张边长20厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗及接缝），要使它的容积大于550立方厘米，请你画出剪裁草图、标明主要数据，并回答下面问题：（1）你设计的纸盒长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米。
（2）计算出纸盒的容积是多少立方厘米？（第七题）第八题8．画出下面图形的所有对称轴。
9．用一条线段将梯形分成甲、乙两部分，使甲、乙面积比是1：2，请在图中画出来，并将其中一部分涂上阴影。
10．在下面画一件半径是2厘米的圆，然后在圆内画出一个最大的正方形。
11．下图是一个轴对称图形，请再画上一个圆，使它还是一个轴对称图形。
12．（1）下边第（）图中的五个小方格纸折起来，可以成为一个无盖的纸盒。
(1) (2) (3)（2）如果该纸盒有盖，则还有一个面可以画在哪里？（请在图上画出）13．下面三幅图都是由4个正方形组成的，请你在下面每幅图上添画一个正方形，使它们成为不同的轴对称图形。
14．下图是按1：20的比例尺画出的五块玻璃的平面图，用这五块玻璃做一个金鱼缸，其中第（）块是底面。
请你在图上量出（取整厘米）金鱼缸的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米。
做这个金鱼缸实际需玻璃（）平厘米。
(1)(2)(3)(5)(4)15．画一个面积是2平方厘米的小正方形（留下作图痕迹）。
专题24直角三角形与勾股定理(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考数
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（ ）
5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a （m2﹣n2），b＝mn，c （m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5B．5，12，13C．6，8，10D．7，24，25
A．4 B．6C．2 D．3
15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC ，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（ ）
A． B． C． D．1
16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（ ）
三角形画高的题目
三角形画高的题目一、在直角三角形中，从直角顶点向斜边作高，以下说法正确的是：A. 高在三角形内部B. 高在三角形外部C. 高就是斜边D. 高与斜边垂直（答案）二、对于一个等腰三角形，从底边的一个顶点向顶角顶点作高，以下说法错误的是：A. 高在三角形内部B. 高将底边分为两段相等的部分C. 高与底边垂直D. 高就是等腰三角形的一条边（答案）三、在钝角三角形中，从钝角的顶点向对边作高，以下说法正确的是：A. 高在三角形内部B. 高在三角形外部（答案）C. 高就是钝角所对的一边D. 高与钝角所对的一边平行四、对于任意一个三角形，以下关于高的说法正确的是：A. 每个三角形只有一条高B. 每个三角形都有三条高（答案）C. 直角三角形没有高D. 等腰三角形的高就是其对称轴五、在锐角三角形中，从任意一个锐角的顶点向对边作高，以下说法正确的是：A. 高在三角形外部B. 高就是锐角所对的一边C. 高在三角形内部（答案）D. 高与锐角所对的一边平行六、对于等边三角形，以下关于高的说法错误的是：A. 三条高都在三角形内部B. 三条高交于一点（三角形的重心）C. 高就是等边三角形的一条边（答案）D. 高将等边三角形分为两个面积相等的等腰直角三角形七、在直角三角形中，如果直角边长为a和b，斜边长为c，那么从直角顶点向斜边作的高h与以下哪个选项无关？A. a的长度B. b的长度C. c的长度D. 三角形的面积（答案，因为高h与面积无直接关系，而是面积等于0.5ab或0.5ch）八、对于任意一个三角形ABC，如果D是BC边上的一点，且AD是三角形ABC的高，那么以下说法错误的是：A. AD与BC垂直B. D是BC的中点（答案，不一定）C. 三角形ABC的面积等于0.5BCADD. 如果三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC，那么AD也是BC边上的中线九、在三角形中，以下关于高的性质描述错误的是：A. 高是从一个顶点向它的对边所在直线作垂线得到的线段B. 三角形的高一定在三角形内部（答案，钝角三角形的高可能在外部）C. 三角形的高是线段D. 三角形的高有且仅有一条在三角形内部（答案，等边三角形三条高都在内部）十、对于三角形中的高，以下说法正确的是：A. 只有直角三角形才有高B. 钝角三角形的高都在三角形外部C. 任意三角形都至少有一条高在三角形内部或边上（答案）D. 等腰三角形的高一定与底边平行（答案，应为垂直）。
等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）等腰三角形与等边三角形（优选真题60道）一．选择题（共30小题）1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC30°，又∵AD⊥BC，∴AD=12AB=12×12＝6（m），故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°【分析】由CA ＝CB 可得△ABC 是等腰三角形，从而可求∠CBA 的大小，再结合平行线的性质即可解答．【解答】解：∵CA ＝CB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠CBA ＝∠CAB ＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a ∥b ，∴∠2＝∠CBA ＝74°．故选：C ．【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．3．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2+√2a −b −3+|c ﹣3√2|＝0，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由 a 2+b 2＝c 2 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【解答】解：由题意得{a −b =02a −b −3=0c −3√2=0，解得{a =3b =3c =3√2，∵a 2+b 2＝c 2，且a ＝b ，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：D ．【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．4．（2023•河北）在△ABC 和△A 'B 'C ′中，∠B ＝∠B '＝30°，AB ＝A 'B '＝6，AC ＝A 'C ′＝4，已知∠C ＝n °，则∠C ′＝（ ）A ．30°B ．n °C ．n °或180°﹣n °D ．30°或150°【分析】分两种情况讨论，当BC ＝B ′C ′时，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，得出∠C ′＝∠C ＝n °，当BC ≠B ′C ′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A ′C ″C ′＝∠C ′＝n °，从而求得∠A ′C ″B ′＝180°﹣n °．【解答】解：当BC ＝B ′C ′时，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ），∴∠C ′＝∠C ＝n °，当BC≠B′C′时，如图，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．5．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP 为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP 就是以线段AP，BP，CP AEP的三个内角即可求解．【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，则四边形AEPD为平行四边形，∴DP＝AE，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴CP＝DP＝CD，∴CP＝DP＝AE，∵PE∥AC，∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，∴△BEP为等边三角形，∴BP＝EP＝BE，∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，∵∠APC＝104°，∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，∠P AE＝∠APC﹣∠B＝44°，∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，∴最小内角的大小为16°．故选：B．角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，∴AC＝3．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB=180°−∠A2=180°−40°2=70°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．9．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．10．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C ＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C=12∠DFE=12×50°＝25°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．11．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．本题的关键．12．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB ＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2＝∠ACB．13．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB ＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC=12AB＝3，由勾股定理得：OC=√OA2−AC2=√52−32=4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．16．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD=12∠ACB＝39°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．17．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据题意得：x +x +2x +20＝180，解得：x ＝40，故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．18．（2021•青海）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【分析】首先根据√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．【解答】解：∵√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，∴{2a −3b +5=02a +3b −13=0，解得：{a =2b =3， 当b ，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．19．（2021•赤峰）如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，CD ＝CE ．若∠ABC ＝30°，则∠D 的度数为（ ）A ．85°B ．75°C ．65°D ．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（）A．√2B．√3C．2D．3【分析】连接OA，证明△【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ACO＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵OC⊥AB，∴OD=12OC＝2，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．√3+1B．√5+3C．√5+1D．4【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，由勾股定理得BC=√5，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5，∵点F为BC的中点，∴EF=12BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF=12BC＝BF＝CF是解题的关键．22．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出∠ECA＝∠EAC＝60°是解题的关键．23．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．24．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识是解题的关键．25．（2023•台湾）如图，△ABC 中，D 点在BC 上，且BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，已知△ABC 的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（ ）A ．∠1＝∠3，∠2＝∠4B ．∠1＝∠3，∠2≠∠4C ．∠1≠∠3，∠2＝∠4D ．∠1≠∠3，∠2≠∠4【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝ED ，FD ＝FC ，得到∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，∴∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，∵∠1＝∠B +∠EDB ，∠3＝∠FDC +∠C ，∠B ≠∠C ，∴∠1≠∠3，∵∠4＝180°﹣∠B ﹣∠C ，∠2＝180°﹣∠EDB +∠FDC ，∴∠2＝∠4，综上所述：∠1≠∠3，∠2＝∠故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．26．（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．18【分析】根据题意可知MN 垂直平分BC ，即可得到DB ＝DC ，然后即可得到AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，从而可以求得△ABD 的周长．【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①四边形AECF 是菱形；②∠AFB ＝2∠ACB ；③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝2BF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF 垂直平分AC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF =90°，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，∴AE ＝AF ＝CF ＝CE ，即四边形AECF 是菱形，故①结论正确；∵∠AFB ＝∠F AO +∠ACB ，AF ＝FC ，∴∠F AO ＝∠ACB ，∴∠AFB ＝2∠ACB ，故②结论正确；∵S 四边形AECF ＝CF •CD =12AC •OE ×2=12AC •EF ，故③结论不正确；若AF 平分∠BAC ，则∠BAF ＝∠F AC ＝∠CAD =13×90°＝30°，∴AF ＝2BF ，∵CF ＝AF ，∴CF ＝2BF ，故④结论正确；故选：B ．【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．28．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．10.5B．12C．15D．18【分析】由DE是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB＝DC，则所求△ACD的周长＝AB+AC，再将已知代入即可．【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15，故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．29．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m 的对称点分别是点P1，P2，则1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．7【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P 1P 2＜5.6，故选：B ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．30．（2021•淮安）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4，∴EB ＝EA ＝4，∴BC ＝EB +EC ＝4+2＝6，故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二．填空题（共23小题）31．（2023•吉林）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若∠BAC ＝110°，则∠BAE 的大小为 度．【分析】根据尺规作图可得AE 是BC 的垂直平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE 是∠BAC 的角平分线，从而可求∠BAE 得大小．【解答】解：∵AB ＝AC ．∴△ABC 是等腰三角形，∵分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ． ∴AE 垂直平分BC ，∴AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．32．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为 cm ．【分析】先由平行线的性质可得∠ACB 的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB ＝BC ，则可得出AB 的长．【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB ＝∠α＝60°，∵∠A ＝60°，∴∠ABC ＝180°﹣∠ACB ﹣∠A ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝3﹣1＝2（cm ）．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．33．（2023•新疆）如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝°．【分析】由等腰三角形的性质可知∠C＝∠B＝∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°﹣2∠C＝24°+∠C，解得∠C＝52°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．34．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB2−BD2=√52−32=4，故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．35．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD=√BC2−BD2=√3，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB＝1，∴OD +CD ＝1+√3，即OC 的最大值为1+√3．故答案为：1+√3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD +OD 是解本题的关键．36．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组{2x −y =33x +2y =8，则此等腰三角形的周长为 ．【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．【解答】解：解方程组 {2x −y =33x +2y =8得 {x =2y =1. 所以，等腰三角形的两边长为2，1．若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．37．（2022•云南）已知△ABC 是等腰三角形．若∠A ＝40°，则△ABC 的顶角度数是 ．【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A 是顶角时，△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 是底角时，则△ABC 的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC 的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．38．（2022•广安）若（a ﹣3）2+√b −5=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．【分析】先求a ，b ．再求第三边c 即可．【解答】解：∵（a ﹣3）2+√b −5=0，（a ﹣3）2≥0，√b −5≥0，∴a ﹣3＝0，b ﹣5＝0，∴a ＝3，b ＝5，设三角形的第三边为c ，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．39．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．的和大于第三边．40．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）=12×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．41．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为 ．【分析】根据SAS 证△ABD ≌△BCE ，得出∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，证△APB ∽△BFE ，根据比例关系设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，利用勾股定理列方程求解即可得出BP 和AP 的长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∴∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，∴∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，∴∠C ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，∴△APB ∽△BFE ，∴AP BP =BF EF =42=2，设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=x2，BH=√32x，∴AH＝AP+PH＝2x+x2=52x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（52x）2+（√32x）2＝62，解得x=6√77或−6√77（舍去），∴AP=12√77，BP=6√77，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77，故答案为：42+18√77．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．42．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝°．【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A=12×72°＝36°，在Rt△ABC中，∠A＝36°，∴∠B＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即：等边对等角．43．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．【解答】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．44．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN MAP为等腰三角形，则点P的坐标为．【分析】分三种情况：①PM＝P A，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．【解答】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝P A，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴PM ＝x ，P A =√42+(5−x)2，∵PM ＝P A ，∴x =√42+(5−x)2，解得：x =4110， ∴点P 的坐标为（4110，4）； ②MP ＝MA ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴MP ＝x ，MA =√42+52=√41，∵MP ＝MA ，∴x =√41，∴点P 的坐标为（√41，4）；③AM ＝AP ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴AP =√42+(x −5)2，MA =√42+52=√41，∵AM ＝AP ，∴√42+(x −5)2=√41，解得：x 1＝10，x 2＝0（舍去），∴点P 的坐标为（10，4）；综上，点P 的坐标为（4110，4）或（√41，4）或（10，4）． 故答案为：（4110，4）或（√41，4）或（10，4）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．45．（2021•陕西）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8．若E 、F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边△EFP 的顶点P 在△ABC 内部或边上，则等边△EFP 的周长的最大值为 ．【分析】当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP ＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，∵∠ACB ＝90°，∠PFE ＝60°，∴∠PCA ＝30°，∵∠A ＝60°，∴∠APC ＝90°，△ABC 中，AC =12AB ＝4，△ACP 中，AP =12AC ＝2，∴PC =√AC 2−AP 2=√42−22=2√3，∴周长为2√3×3＝6√3．故答案为：6√3．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．46．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图．∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∵∠CDA＝2∠ABC，∴∠CAB＝3∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠ABC＝180°，∴∠ABC＝36°，（2）如图．∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB∴∠BAC＝2∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠ABC＝180°，∴∠ABC＝45°，故答案为：36°或45°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．。
最新初中数学三角形难题汇编及答案解析
最新初中数学三角形难题汇编及答案解析一、选择题1．下列说法不能得到直角三角形的（ ）A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形【答案】C【解析】【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理.2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．2, 2,5B ．C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．3．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8．【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=90°．又∵∠B=30°，∴BD=2DE．∴BC=3ED=24．∴DE=8．故答案为8．【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键．4．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D【解析】【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．5．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=︒，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】C【解析】【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．【详解】∵AB AC =，且30A ∠=︒， ∴18030752ACB ∠︒-︒==︒， 在ADE ∆中，∵1145A AED ∠∠∠=+=︒，∴14514530115AED A ∠∠=︒-=︒-︒=︒，∵//a b ，∴2AED ACB ∠∠∠=+，即21157540∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180︒；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A 、72+242=252，152+202≠242，(7+15)2+202≠252，故A 不正确；B 、72+242=252，152+202≠242，故B 不正确；C 、72+242=252，152+202=252，故C 正确；D 、72+202≠252，242+152≠252，故D 不正确，故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．7．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE，∵BD是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA，∵∠BAC=∠EDB，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB＝，∴5355DB ＝，∴DB=35，在Rt△ABD中，AD=2225BD AB-=，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A13B5C．22D．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD113故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.12．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，∴∠CBA ＝30°，∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝12AE ＝4， ∴AE ＝8．故选D ．【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键．13．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 由题意可知：中间小正方形的边长为a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ， ∵每一个直角三角形的面积为：12ab ＝12×8＝4， ∴根据4×12ab ＋（a ﹣b ）2＝52＝25， 得4×4＋（a ﹣b ）2＝25，∴（a ﹣b ）2＝25﹣16＝9，∴a ﹣b ＝3（舍负），故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别是以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=（ ）A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒【答案】B【解析】【分析】 根据题意，DE 是AB 的垂直平分线，则AD=BD ，40ABD A ==︒∠∠，又AB=AC ，则∠ABC=70°，即可求出DBC ∠.【详解】解：根据题意可知，DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴40ABD A ==︒∠∠，∵AB AC =， ∴1(18040)702ABC ∠=⨯︒-︒=︒， ∴704030DBC ∠=︒-︒=︒；故选：B.【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出DBC ∠的度数.16．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ， 114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．17．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）A 51B 51C 31D 31【答案】B【解析】【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则51.【详解】解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角∴∠ADC=∠B+∠DAB∵ADC 2B ∠=∠∴∠B=∠DAB∴5BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =-=-=+∴BC=BD+DC=51故选B【点睛】∠=∠这个特殊条件.本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC2B18．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B19．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()A．有一边相等的两个等边三角形B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C．周长相等的两个三角形D．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A不符合；B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C符合；D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B不符合.故本题应选C.20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∴2∠1＝2∠3＋∠A，∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°．故选A．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．。
部编人教版四年级下册三角形练习集
四年级数学三角形练习题姓名一、判断题。
1. 一个三角形的两个内角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形. ()2. 等边三角形一定是锐角三角形.()3. 两个面积相等的三角形，可以拼成一个平行四边形.()4. 在A、B两点间只能画一条线段.()5. 从三角形一个顶点向对边只能画一条高。
()6. 角的两边越长，这个角就越大.( )7. 任何一个三角形至少有两个锐角。
()8. 一个三角形中可以画无数条高。
()二、单选题(每道小题2分共8分)1. 任意一个三角形中至少有几个锐角?正确的是()A.1个B.2个C.3个2. 等边三角形必定是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形3. 用两个三角形拼成一个平行四边形，这两个三角形应是()A.完全一样的三角形B.等底等高的三角形C.等边三角形4. 一个三角形中最大的角是锐角，这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形三、填空题。
1. 两条边相等的三角形叫（）三角形，三条边都相等的三角形叫（）三角形.2. 两组对边分别平行的四边形叫做( ).3. 只有一组对边平行的四边形叫做()。
两腰相等的梯形叫做()。
4. (其中一个角是钝角)的三角形叫钝角三角形.5. 等边三角形三条边之和是15米，它的底边是（）米.6. () 的三角形叫直角三角形.7. ()的三角形叫锐角三角形.8. 两个底角都是60°的三角形是() 三角形，又叫() 三角形.9. 三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是( ) .10. 三角形的内角和是() 度.11. 线段有()个端点，射线有()个端点，直线()端点.12. 在一个三角形中，最多有（）个钝角，最多有（）个直角，最多有（）个锐角.13. ( )角>()角>()角>()角>()角四、应用题。
1、一个等腰三角形周长1米，腰长是0.4米，这个三角形底边长多少米?2、一个直角三角形的一个锐角是60°，另一个锐角是多少度?3、一个三角形的一个内角是32°，另一个内角是105°，第三个内角是多少度?这个三角形是什么三角形?4、等腰三角形的一个顶角是70°，一个底角是多少度?5、三角形任意两边的和( )第三边，任意两边的差( )第三边。
三角形真题汇编附答案解析
三角形真题汇编附答案解析一、选择题1．如图，D 、E 分别是ABC V 边AB 、BC 上的点，2AD BD =，点E 为BC 中点，设ADF V 的面积为1S ，CEF △的面积为2S ，若ABC S =V 9，则12S S -=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】根据12S S -=ABE BCD S S -V V ,根据三角形中线的性质及面积求解方法得到ABE S V ，BCD S △，故可求解．【详解】∵点E 为BC 中点∴ABE S V =12ABC S =V 4.5 ∵2AD BD = ∴BCD S △=13ABC S =V 3 ∵ABE BCD S S -V V =()()ADF CEF BEFD BEFD S S S S +-+V V 四边形四边形=ADF CEF S S -V V∴12S S -=4.5-3=32故选C ．【点睛】此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知中线的性质．2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（ ）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．4．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（）A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去；当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm．故选D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键．5．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()A．50°B．55°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．【详解】如图，延长l2，交∠1的边于一点，∵11∥l 2，∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．6．如图，在ABC ∆中，33B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）A ．33︒B ．56︒C ．65︒D ．66︒【答案】D【解析】【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B ，∠3=∠2+∠D ，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，∴∠1-∠2=66°．故选：D．【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D．8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．9．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为()A．4 B．8 C．6 D．10【答案】B【解析】【分析】【详解】解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B．【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质．10．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9 B．310C．326D．12【答案】B【解析】【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB=22(36)3310++= ．故选：B ．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（ ）A ．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等B ．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等C ．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D ．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意， 故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点C ，则点C 的横坐标介于（ ）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B【解析】【分析】 先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝222+313= ∴AC ＝AB ＝13 ，∴OC ＝13﹣2，∴点C 的坐标为（13﹣2，0），∵3134<< ，∴11322<-< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．13．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）A 51B 51C 31D 31【答案】B【解析】【分析】根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即BD AD ==Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则1.【详解】解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角∴∠ADC=∠B+∠DAB∵ADC 2B ∠=∠∴∠B=∠DAB∴BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：DC 1===∴1故选B【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.14．下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．2，5，5【答案】C【解析】【分析】要验证是否可以组成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只要验证三边的关系是否满足两边平方是否等于第三边的平方即可，分别验证四个选项即可得到答案．【详解】A ．222234+≠，故不能组成直角三角形；B. 222346+≠，故不能组成直角三角形；C ．22251213+=，故可以组成直角三角形；D ．222255+≠，故不能组成直角三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若AD =5cm ，CD =3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C【解析】∵点D到AB的距离是DE ，∴DE⊥AB，∵BD平分∠ABC，∠C =90°，∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处，∴DE=CD，∵CD =3cm，∴DE=3cm.故选：C.16．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下：①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.17．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是()A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF【答案】D【解析】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；故选D．点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS 和HL是解题的关键．18．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】试题解析：在△ABD与△CBD中，{AD CDAB BCDB DB===，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，{AD CDADB CDB OD OD=∠=∠=，∴△AOD ≌△COD （SAS ），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，∴AC ⊥DB ，故①②③正确；故选D ．考点：全等三角形的判定与性质．19．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC ≌△AED 的是( )A ．BC=EDB ．∠BAD=∠EAC C ．∠B=∠ED ．∠BAC=∠EAD【答案】C【解析】 解：A ．∵AB =AE ，AC =AD ，BC =ED ，∴△ABC ≌△AED （SSS ），故A 不符合题意； B ． ∵∠BAD =∠EAC ，∴∠BAC =∠EAD ．∵AB =AE ，∠BAC =∠EAD ，AC =AD ， ∴△ABC ≌△AED （SAS ），故B 不符合题意；C ．不能判定△ABC ≌△AED ，故C 符合题意．D ．∵AB =AE ， ∠BAC =∠EAD ，AC =AD ，∴△ABC ≌△AED （SAS ），故D 不符合题意． 故选C ．20．如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，∠BAF=600，那么∠DAE 等于（ ）A ．45°B ．30 °C ．15°D ．60°【答案】C【解析】【分析】先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．【详解】解：∵ABCD是长方形，∴∠BAD=90°，∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°，∵长方形ABCD沿AE折叠，∴△ADE≌△AFE，∴∠DAE=∠EAF=12∠DAF=15°．故选C．【点睛】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．。
四年级——画出椭圆底边上的高练习题
四年级——画出椭圆底边上的高练习题练题一画出下列椭圆底边上的高。
1. 椭圆的底边长度为12cm，长轴长度为18cm。
2. 椭圆的底边长度为8cm，长轴长度为10cm。
3. 椭圆的底边长度为6cm，长轴长度为16cm。
练题二根据已知信息，画出椭圆底边上的高。
1. 已知椭圆的底边长度为15cm，长轴长度为25cm。
计算出椭圆的短轴长度，然后画出底边上的高。
2. 已知椭圆的底边长度为10cm，短轴长度为6cm。
计算出椭圆的长轴长度，然后画出底边上的高。
3. 已知椭圆的底边长度为9cm，长轴长度为12cm。
计算出椭圆的短轴长度，然后画出底边上的高。
练题三判断下列说法是否正确，并解释原因。
1. 椭圆的底边上的高与长轴长度成正比。
2. 椭圆的底边上的高与短轴长度成正比。
3. 椭圆的底边上的高与底边长度成正比。
解答练题一1. 对于椭圆底边上的任意一点，画一条过该点垂直于底边的线段，该线段即为所需的高。
2. 以椭圆底边上的点为焦点，底边长度的一半为半径画一个圆，高即为该圆与椭圆的两个交点之一。
练题二1. 使用椭圆的短轴长度和长轴长度计算出椭圆的焦距。
将焦距的一半与底边相交的两点连起来，即可得到所需的高。
2. 使用椭圆的长轴长度和短轴长度计算出椭圆的焦距。
将焦距的一半与底边相交的两点连起来，即可得到所需的高。
3. 使用椭圆的底边长度和长轴长度计算出椭圆的短轴长度。
将底边上的一点与椭圆两个焦点连起来，即可得到所需的高。
练题三1. 错误。
椭圆的底边上的高与长轴长度不成正比，而是由短轴长度决定。
2. 正确。
椭圆的底边上的高与短轴长度成正比。
3. 错误。
椭圆的底边上的高与底边长度不成正比，而是由椭圆的短轴长度决定。
四年级——画出菱形底边上的高练习题
四年级——画出菱形底边上的高练习题
请画出下面菱形中底边的高。
1. 在菱形 ABCD 中，已知底边 AD 长度为 6 厘米，角 A 和角
B 都是直角。
请画出底边 AD 上的高。
2. 在菱形 EFGH 中，已知底边 EF 长度为 8 厘米，角 F 和角 G 都是直角。
请画出底边 EF 上的高。
3. 在菱形 IJKL 中，已知底边 IJ 长度为 12 厘米，角 J 和角 K 都是直角。
请画出底边 IJ 上的高。
4. 在菱形 MNOP 中，已知底边 MN 长度为 10 厘米，角 M 和角 N 都是直角。
请画出底边 MN 上的高。
5. 在菱形 QRST 中，已知底边 RS 长度为 14 厘米，角 R 和角S 都是直角。
请画出底边 RS 上的高。
请根据以上练题，在每个菱形中正确画出底边上的高。
注意高是从底边垂直地画出来的。
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底边 AD 上的高应该垂直地画出来，如下图所示：
底边 EF 上的高应该垂直地画出来，如下图所示：
底边 IJ 上的高应该垂直地画出来，如下图所示：
底边 MN 上的高应该垂直地画出来，如下图所示：
底边 RS 上的高应该垂直地画出来，如下图所示：
按照以上要求，你可以正确地在每个菱形中画出底边上的高。
记得画出垂直线时要确保直线与底边相交成直角。
希望练习顺利！。
《三角形的高》的练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、பைடு நூலகம்择题
1．下面图形中，三角形底边对应的高的画法正确的是（）。
A． B．
C． D．
二、填空题
2．由( )条线段( )成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。下图用字母A、B、C分别表示三角形的3个( )，这个三角形可以表示成( )。
6．分别指出下面三角形各边上的高．
AB边上的高是( )．BC边上的高是( )．AC边上的高是( )．
三、作图题
7．分别画出下面三角形指定底边上对应的高。
8．画出下面三角形指定底边上的高．
3．从三角形的一个顶点到它的对边作一条( )线，顶点和( )之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的( )。三角形有( )条高。
4．写出下列三角形的底和对应的高。
底：线段( )
底：线段( )
底：线段( )
高：线段( )
高：线段( )
高：线段( )
5．写出三角形各部分的名称。
一个三角形有（）条边、（）个角和（）个顶点。
五年级数学画三角形的高训练题
画出已知三角形、平行四边形、梯形的高
1、分别画出下面三角形的所有高。
2、画出下面三角形指定底上的高。
3
、画出下面梯形的高。
4、画出下面平行四边形的高。
5、画出下面平行四边形指定底上的高。
底 底 底 底 底
底 底 底
6、判断下列虚线是否图形的高。
7、观察下列三角形和它所在的长方形有什么关系。
8、观察下列三角形和它所在的平行四边形有什么关系。
9、填空。
○1三角形有条高，锐角三角形的条高在三角形部；直角三角形的高有
条是直角三角形的边，条高在三角形部；钝角三角形的高有条在三角形部，条高在三角形部。
它们的高（或高的延长线）交于。
○2三角形有条高；梯形有条高；平行四边形有条高。
○3两个完全相同的三角形（一定能或不能）拼成一个平行四边形。
○4两个完全相同的梯形（一定能或不能）拼成一个平行四边形。
○5三角形轴对称图形；梯形轴对称图形；平行四边形轴对称图形。
（填“是”
或“不是”）。