13五年级奥数高斯求和
5年级奥数等差数列求和
德国著名大科学家高斯(1777～ 1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还 不会讲话就自己学计算，在三岁时有一 天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正 父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学 家、数学家。他在物理的电磁学方面有 一些贡献，现在电磁学的一个单位就是 卡尔·弗里德里希·高斯 用他的名字命名。数学家们则称呼他为 “数学王子”。
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题2-高斯求和与分组求和授课时间：年月日一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和=（首项+尾项）项数项数=（尾项-首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题1】计算1+2+3+……+99练习1：1、1+2+3+……+198+1992、2+3+4+……+199+2003、2+3+4+……+997+998【例题2】现在有一组数字为2,4,6……98,100请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5……98,917请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102……1234,1236请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9……99,102请问这组数一共有多少个数字？【例题3】计算2+4+6+……+998+1000练习3：1、1+3+5+……+97+992、3+6+9+……+198+2013、7+14+21+……+994+1001【例题4】有一组数为1，3,5……97,99,这组数中的第30项是多少？1、有一组数为2，4,6……98,100,在这组数中的第40项是多少？2、有一组数为1，3,5……97,99,在这组数中的第20项和第30项的差是多少？3、有一组数为1，3,5……97,99……999,1001,在这组数中的第400项和第100项的差是多少？【例题5】1+2-3-4+5+6-7-8+……+97+98-99-100+101练习5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+……+197+198-199-200+2013、1+3－5－7＋9＋11－13－15＋……-1999+2001【例题6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10……100,150,这组数的和是多少？练习5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+……+201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9……99,189请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2，4,6……98,100,请问这组数中的第25项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11……1001,1006请问这组数中的第48项是多少？5、1+8+15+……+2101+210186、2+4+6+……+20007、1+4+7+……+1008、10+11+12+……+20099、1+10+20+30+……+200+21010、（1-9）-（2-10）-（3-11）-（4-12）-……-（9-17）-（10-18）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+……+251+100。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和问题
高斯求和首先要理解下列公式，能从无到有地推导，并能熟练地默写才能灵活地运用哦！求和=（首项+末项）×项数÷2 项数=（末项—首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数—1）首项=末项－公差×（项数一1）一、按规律填数。
1、3，5，7，9，11，13，（），（），（）…2、5，9，13，17，21，25，（），（），（）…3、2，3，4，8，6，13，8，18，10，23，（），（），（）…4、7，13，19，25，31，（），（），（）…5、1，2，3，5，8，13，21，（），（），（）…6、1，4，9，16，25，36，（），（），（）…7、2，6，18，54，162，），（），（）…以上各题，哪些是等差数列？答：等差数列有：（）。
二、求项数。
1、3，5，7，9，11，13，…199。
这列数共有多少项？2、5，9，13，17，21，25，…1177。
这列数共有多少项？3、7，13，19，25，31，…5923。
这列数共有多少项？三、求任意一项是多少。
1、1、3，5，7，9，11，13，…在这列数中，第99项是多少？2、5，9，13，17，21，25，…在这列数中，第294项是多少？3、7，13，19，25，31，…在这列数中，第987项是多少？四、计算。
1、2+4+6+…+96+98+1002、1＋2+3+…+49+503、1+3+5+7+…+97+994、5+8+11+14+…+29+325、1+5+9+…+33+376、5+10+15+…90+95+1007、（2+4+6+...+1992）－（1+3+5+7+ (1991)8、（7+9+11+...+25）－（5+7+9+ (23)9、（1+3+5+...+2001）－（2+4+6+ (2000)10、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+58+59-6011、1+7+13+19+…+1189 12、2000+1995+1990+…+10+5 13、1+2+3+…+2008 14、2+4+6+…+8415、4+8+12+…+600 16、1+7+13+19+…+1201 17、3+7+11+15+…+2003 18、2008+2004+2000+…+8+4 19、1-2+3-4+5-6+…+2003-2004+2005五、 列式计算下列图形的个数。
第五讲 简单的高斯求和
第五讲简单的高斯求和知识结构：如：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100，这是一个自然数列，它们有着这样的规律，从第二项起每一项与它前面的一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的的差叫做该数列的公差。
我们把数列的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，它们之间有着这样的关系：1＋100=101、2＋99=101、3＋98=101……50＋51=101.一共有多少个101呢？100个数每两个为一对，共有50个101.高斯求和就是利用这种配对求和的巧算方法求出这个数列的和的。
解题方法：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首相）÷公差＋1末项=首项＋（项数－1）×公差首项=末项－（项数－1）×公差平均数=（首项＋末项）÷2方法探究：例1.计算： 2＋4＋6＋……＋96＋98＋100例2.计算： 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20例3.计算下面各题：（1）100＋95＋90＋……＋15＋10＋5（2）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＋98＋……＋3＋2＋1例4.小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。
问：这本小说共有多少页？例5. 时钟每逢几时就敲几下，每半点钟就敲1下。
问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？随堂训练：1.计算：（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10（2）12＋13＋14＋……＋29＋30＋31 （3）18＋19＋20＋21＋22＋23（4）100＋102＋104＋106＋108＋110＋112＋1142.试用两种方法计算下面各题：（1）73＋77＋81＋85＋89＋93 （2）995＋996＋997＋998＋9993.求出所有的两位数的和。
4.求和：（1）1＋3＋5＋7＋……＋37＋39 （2）2＋6＋10＋14＋……＋210＋2145.有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？6.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
第4讲 小升初奥数高斯求和、新定义
高斯求和、新定义一、高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？和=（首项+末项）×项数÷2；（项数=（末项-首项）÷公差+1）例1、1＋2＋3＋...＋1999＝11＋12＋13＋...＋31＝3＋7＋11＋ (99)例2、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？举一反三、数一数图中各有多少个三角形。
例3、求100以内除以3余2的所有数的和。
举一反三、在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？例4、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？举一反三、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？【巩固练习】1、计算下图中，共有多少个长方形。
2、奥数6班开学第一天每两位同学互相握手一次，全班10人，共握手多少次？二、定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
例1、对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b 。
求12*4的值。
举一反三、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
小学奥数题_高斯求和
《小学奥数教程：高斯求和》专项突破（附答案详解）奥校小学数学竞赛教研中心一、单选题1.在关部门要连续审核30个科研课题方案，如果要求每天安排审核的课题个数互不相等且不为零，则审核完这些课题最多需要（）A. 7天B. 8天C. 9天D. 10天2.现在有100个苹果要分给学生，保证每个学生最少分得一个苹果，并且每个学生分得的苹果数都不相同，则最多可以分给（）个同学。
A. 11B. 12C. 13D. 143.小猫咪咪第一天逮了1只老鼠，以后每天逮的老鼠都比前一天多1只，咪咪10天一共逮了（）只老鼠．A. 45B. 50C. 55D. 604.你一定知道“少年高斯”速算的故事吧！那么1+2+3+4+…+999的结果是（）A. 100000B. 499000C. 499500D. 5000005.用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，那么至少要用（）杯子．A. 100B. 500C. 1000D. 5050二、判断题6.1+2+3+…+2006的和是奇数．．三、填空题7.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习.当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是________.8.1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15=________²9.一本书，小红第一天读了3页，以后每天都比前一天多读1页，5天后，小红一共读了________页。
10.一堆钢管的最上层有3根，最下层有13根，每相邻两层相差1根，这堆钢管一共有________根。
11.91＋92＋93＋94＋95＝93×________＝________12.1+2+3+4+5+6+7+8+9……+99=________。
13.学校有一只大钟，一时敲1下，2时敲2下……12时敲12下．你知道它一昼夜一共敲________下14.填上合适的数981+982+983+984+985+986+987=984×________=________15.雅雅家住平安街，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌是几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于10000．”雅雅回答说．那么雅雅家住________ 号．16.1+3+5+7+…+97+99=________ =________ 2．17.1+2+3+4+5+6+7+…+99=________．18.计算：9+17+25+…+177=________．19.100以内的偶数和是________ ．20.已知2+4+6+8+…+100=2550，那么1+3+5+7+9+…+101=________．21.1﹣64的自然数中去掉其中两个数，剩下62个数的和是2012，去掉的那两个数共有________ 种可能．22.有40块糖，把它分成4份，且后一份比前一份依次多2块，那么最少一份有________ 块．23.9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是________ ．24.1+2+3+4+5…+2007+2008的和是________ （奇数或偶数）．25.已知：则：1+2+3+…+99+100+99+98+…+3+2+1=________．26.自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是________ ．27.把自然数1，2，3，…99分成三组，如果每一组的平均数恰好都相等，那么这三个平均数的乘积是________ ．28.1+3+5+…+99=________．29.用100个盒子装杯子，每个盒子装的个数都不相同，并且盒子不空，那么至少有________ 个杯子．30.一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1997，则这个被加了两次的页码是________ ．31.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是________ ．四、计算题32.33.想一想，算一算。
高斯求和
…… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… …
7. 有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上 面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。问： 这堆圆木共有多少根？
例6. 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次 从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里盒子里拿出十只球，将 每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共 有多少只乒乓球？
练一练（3） 1.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数， 每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？
2.求100以内除以3余2的所有数的和。
3.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多 少个？
4. 在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差 数列。写出插入的5个数。
5． 在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之 和是多少？
6. 左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共 放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？
例1． 计算。1＋2＋3＋…＋2015 ＋ 2016
例2 计算。11＋12＋13＋…＋89＋91
小学五年级奥数高斯课本(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。
比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。
从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。
有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。
二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。
练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。
练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。
例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。
试求两个数的差。
练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。
高斯求和的所有公式
高斯求和的所有公式高斯求和，这可是数学世界里一个相当有趣的话题！咱先来说说啥是高斯求和。
有这么个小故事，当年小高斯上小学的时候，老师出了一道题，让从 1 加到 100 算出总和。
别的小朋友都在埋头苦算，小高斯却很快得出了答案 5050。
他是咋做到的呢？原来他发现 1 和 100 相加是 101，2 和 99 相加是 101，以此类推，一共有 50组这样的 101，所以总和就是 50×101 = 5050。
这就是高斯求和的智慧啦！那高斯求和都有哪些公式呢？最常见的就是“和 = （首项 + 尾项）×项数÷ 2”。
这里面“首项”就是数列开头的那个数，“尾项”是数列最后的数，“项数”就是数列中数的个数。
比如说，要计算 1 到 50 的和。
首项是 1，尾项是 50，项数是 50。
那按照公式就是（1 + 50）× 50 ÷ 2 = 1275 。
再比如计算 3 到 27 的和。
首项是 3，尾项是 27，项数可不是 27 哦，得算一下，27 - 3 + 1 = 25 ，所以和就是（3 + 27）× 25 ÷ 2 = 375 。
还有一种情况，如果知道总和、首项和项数，想求尾项，那就可以用“尾项 = 总和 × 2 ÷项数 - 首项”。
假设总和是 200，首项是 5，项数是 10，那尾项就是 200 × 2 ÷ 10 -5 = 35 。
要是知道总和、尾项和项数，求首项呢，公式就是“首项 = 总和 × 2 ÷项数 - 尾项”。
比如总和是 300，尾项是 25，项数是 20 ，那首项就是 300 × 2 ÷ 20- 25 = 5 。
在实际生活中，高斯求和的公式也很有用呢。
就说我上次去超市买水果，苹果一斤3 块钱，香蕉一斤5 块钱。
我打算买连续的7 天的量，每天买一种水果。
那我得算算这一共得花多少钱。
高 斯 求 和 (一)
高斯求和（一）高斯求和公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1末项＝首项＋公差×（项数－1）总和＝（末项＋首项）×项数÷2公差＝（末项－首项）÷（项数－1）首项＝末项－公差×（项数－1）首项＝总和×2÷项数－末项末项＝总和×2÷项数－首项项数＝总和×2÷（首项＋末项）一、计算：1 +2 +3 +4 +5 +……+252 + 4 +6 + 8 +……+4041 +43 +45 + 47 +49 +……+97+99（3＋7＋11＋...＋47）－（2＋6＋10＋ (46)5 +15 +25 +35 +45 +……+953 +6 +9 +12 +15 +18 +……+30（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4940）÷3 （1＋11＋21＋31＋41）＋（9＋19＋29＋39＋49）1 + 3 + 5 +7 +…+59二、列式计算：1、等差数列2，5，8，11，…，问第80项是多少？2、一个等差数列的第2项是6，第3项是11，则这个数列的第10项是多少？3、已知等差数列5，8，11，…，它的第21项是多少？4、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4。
问这串数中第2001个数是多少？5、有一个等差数列3，7，11，15，……这个等差数列的第100项是多少？6、一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10。
这个等差数列的末项是多少？7、有一个数列，4、10、16、22 ……52，这个数列共有多少项？8、等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2。
这个等差数列共有多少项？9、有一个等差数列2，5，8，11，……173，这个等差数列共有多少项？10、已知等差数列11，16，21，26，……1001，问这个等差数列共有多少项？11、求等差数列1，4，7，10……，这个等差数列的第30项是多少？12、求等差数列2，6，10，14……，这个等差数列的第100项？13、有这样的一列数1，2，3，4，……84，85，请你求出这列数各项相加的和？14、小明练习写毛笔字，第一天写了6个，以后每天都比前一天多写相同数量的大字，结果全月（31）天共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写几个大字？。
小学奥数计算专题练习之高斯算法
小学奥数计算专题练习之高斯算法高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之ZUI。
他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。
计算方法（公式）具体的方法是：首项加末项乘以项数除以2项数的计算方法是末项减去首项除以项差（每项之间的差）加1.如：1+2+3+4+5+······+n，则用字母表示为：n（1+n）/2等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=n(2a1+(n-1)d)/2;d=公差Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)算法由来高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。
全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数。
后来人们把这种简便算法称作高斯算法。
1.1+2+3+……+8+9+10=2.1+3+5+……+17+19=3.1+2+3+……51+52+……+99+100=4.1+3+5+……51+53+……+97+99=5.2+4+6+……50+52+……+98+100=6.3+6+9+……+51+54+57+……+96+99=7.5+10+15+……+50+55+……+95+100=8.1+4+7+……+52+55+58+……+97+100=9.小添添家的时钟每整点时就敲钟，而敲的数目和当时的时间是一样的，而且在两个整点中还会敲一下，这时时钟一天内共敲多少下?10.有一列数：19、22、25、28……，这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?。
第13讲：高斯求和归纳总结及例题讲解（适用于3年级）
第13讲：高斯求和归纳总结及例题讲解（适用于3年级）德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于'等差数列'的求和问题。
例11＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
例33＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
第一讲 高斯求和
第一讲高斯求和姓名：得分：
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
例1 1+2+3+…+1999=？
例2 11+12+13+…+31=？
例3 3+7+11+…+99=？
例4下图是一个堆放铅笔的V形架，如果最上面一层放60枝铅笔，问一共有多少枝铅笔？
例5 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
练习：
1、计算下列各题：
（1）2+4+6+…+200
（2）17+19+21+…+39
（3）5+8+11+14+…+50
（4）全部三位数的和是多少？
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点种也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？
5、某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位。
这个剧院有多少个座位？。
第3讲 高斯求和
第3讲高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？例2 11＋12＋13＋…＋31＝？项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋...＋200；（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋...＋50；（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？。
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高斯求和讲解高斯求和讲解1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？高斯求和讲解5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
高斯求和习题及答案
高斯求和习题及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高斯求和习题若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
例4、1＋2＋3＋4＋…＋19992例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。
（1）3＋10＋17＋24＋…＋101 （2）17＋19＋21＋…＋392、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少（2）47是其中的第几项5、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
36、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
7、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
8、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少9、①7＋10＋13＋…＋37＋40②2000－3－6－9－…－51－5410、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位答案：例1、39,99 例2、34例3、5,12,19,26,33,40,47,54,61例4、1999000 例5、12754练习1（1）780 （2）3362、11273、25654、（1）38（2）165、516、11277、3225 8、（1）282 （2）14879、12545。
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例5： 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的 面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴 棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每 层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
小三 角形 数 火柴 数
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
3
6
9
12
15
18
21
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各 层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（平方厘米）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个 图形由108根火柴摆成。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和 公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。
例1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等 差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个 数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断 题目中的各个加数是否构成等差数列。
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯 却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快 又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和 都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问 题。
若干个数，排成一列称为数列，数列中的每一个数 称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末 项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列， 后项与前项之差称为公差。例如： （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数 列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数 列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数 列。
例2 ：11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差 数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21 （项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是 一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首 项、末项、公差的关系，可以得到： 项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3： 3＋7＋11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等 差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4： 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的 和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可 以解决各种与等差数列求和有关的问题。
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等 差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。