一元函数的连续与极限极限的概念

所以
lim
n→∞
xn
=
C.
结论: 常数数列的极限等于同一常数.
例2
已知 xn
=
n
+
(−1)n n
,
证明数列{
xn}
的极限为1.
证
xn − 1 =
n + (−1)n − 1 n
=1 n
∀ ε > 0 , 要使
xn − 1 < ε , 即
1<ε, n
只要 n > 1 ε
因此 , 取 N = [ 1 ] , 则当 n > N 时, 就有 ε
x0 .
例7 证明 lim x2 − 1 = 2 x→1 x − 1
证
f (x)− A
=
x2 −1 − 2 x−1
=
x +1− 2
=
x−1
( x ≠ 1)
∀ ε > 0, 要使 f ( x) − A < ε， 只要 x − 1 < ε 且 x ≠ 1
n2
cos nπ
即n >
2
ε
故取
N
=
cos
[ε
nπ
2
],
N 不能与 n 有关！
……
例4 证明 lim 1 = 0. x→∞ x
证 f (x) − 0 = 1 − 0 = 1
x
x
y y= 1
x ox
故 ∀ ε > 0, 欲使
1 −0 x
< ε, 即
x
>1, ε
取 X = 1 , 当 x > X 时, 就有 ε
因此
lim 1 = 0 x→∞ x
1−0 <ε x
注 y = 0为 y = 1 的水平渐近线. x
例5 证明 lim C = C (C 为常数 )
x→ x0
证
f (x)− A = C − C = 0
故 ∀ ε > 0, 对任意的 δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 时 ,
总有 因此
C−C =0<ε lim C = C
≤
1
ε
<
⎡1⎤
⎢⎣ε ⎥⎦
+
1
而当
n
>
⎡ ⎢⎣
1
ε
⎥⎦⎤时，n
≥
⎡1⎤
⎢⎣ε ⎥⎦
+
1
>
1
ε
从而有
xn
−
1
=
1 n
<
ε
“充分大”
于是
∀ε > 0,
∃
N
=
⎡1⎤
⎢⎣ε ⎥⎦
使得当 n > N 时，有
xn − 1 < ε
定义1.2 (数列极限的ε − N定义) :
若数列 { xn} 及常数 a 有下列关系 :
记作 lim f ( x) = A
x→ x0
或 f ( x) → A (当x → x0 ).
注 1o ε > 0是可以任意给的，在确 定δ的过程中
又看成是个定数；
2o δ与ε 有关，但与 x无关，并且不唯一；
3o 极限 lim f ( x )是否存在，与 f ( x )在点
x→ x0
x0是否有定义以及 f ( x0 )的值为多少无关；
1
x
（x2k = −1）
（x2k−1 =1） (k=1,2,…)
当ε > 0很小时，在U (a,ε )外，总有{ xn}中
的无穷多项.
（二）函数的极限
对 y = f ( x),自变量的变化过程有六种形式:
(1) x → x0 (3) x → x0−
(2) x → x0+ (4) x → ∞
(5) x → +∞
“充分大”与“任意小”并非彼此无关.
Q
xn − 1
=
( − 1)n − 1 n
=
1 n
任给常数 1 ，要使 100
xn
−1
=
1 < 1 ，只要 n 100
n > 100
任给常数 1 ，要使 1000
xn
−1
=
1 n
<
1 1000
,
只要
n > 1000
…
任给常数 1 ，要使 1099
xn
−1
=
1 n
定理 lim f ( x) = A ⇔ lim f ( x) = A且 lim f ( x) = A.
x→∞
x→+∞
x→−∞
2° 如果 lim f ( x) = A
x→∞
( lim f ( x) = A 或 lim f ( x) = A)
x → +∞
x → −∞
则称直线 y = A为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
xn ∈(a −ε, a + ε ) 即 xn ∈ U (a,ε )
在 (a − ε , a + ε )外至多只有有限项： x1, x2 , ... , xN .
由此易知： { xn }是否收敛与 { xn }的前有限项无关 .
例如： xn = (−1)n+1,
lim
n→∞
xn
不存在.
2ε
2ε
-1 a O
y A+ε
A
A−ε
−X o
X
y = f (x) x
注 1°x → +∞ 及 x → −∞ 时函数 f(x) 的极限：
lim f ( x) = A
x→+∞
∀ ε > 0, ∃ X > 0, 当 x > X 时, 有 f (x)− A < ε
lim f ( x) = A
x→−∞
∀ ε > 0, ∃ X > 0, 当 x < − X 时, 有 f (x)− A < ε
<
1 1099
,
只要
n > 1099
由此可见： “充分大”由“任意小”所确定. 如何描述“任意小”？
可以用抽象记号 ε 表示“任意小”的正数.
注意：任何固定的很小的正数都不能表示“任意小”. 如何刻划 n “充分大”？
∀ ε > 0,
要使 只要
xn
−
1
=
1 n
<
ε 成立
n> 1
ε
1
ε
不一定是正整数，注意到：⎢⎣⎡ε1⎥⎦⎤
4o
lim
x→ x0
f (x)
=
A的前提：
f
(
x
)在某
o
U
(
x0
,
r
)
内有定义 .
如： f ( x) = x2( x − 1)
它的定义域是{x x = 0,或x > 1}, f ( x )在点 x = 0的
去心邻域 Uo (0, δ) (δ < 1)内无定义，所以 lim f ( x )不存在 .
例如，f ( x) = 1 , x
g(x) =
1 1− x
y
y= 1 1− x
o
y= 1 x
x
都有水平渐近线 y = 0;
又如， f ( x) = 1 − 2− x
y y = 1+ 2x
g(x) = 1 + 2x
o
x
y = 1Biblioteka Baidu− 2− x
都有水平渐近线 y = 1.
再如， f ( x) = arctan x 有水平渐近线
给定的；
3°N 由ε 所确定，故记 N = N (ε), 但不唯一.
一般来说， ε越小， N 越大;
4°N = N (ε), 不能与n 有关.
5°数列极限的定义未给出求极限的方法.
3. 几何解释
lim
n→ ∞
xn
=
a
∀ ε > 0, ∃正整数 N , 使n > N 时，恒有 xn − a < ε
− ε < xn − a < ε 即 a − ε < xn < a + ε
取N
=
⎡1⎤
⎢⎣ε ⎥⎦
只要 1 < ε ， 即
n
， 则当 n > N 时，有
n
>
1
ε
1 < ε，
n
从而
xn
−
0
≤
1 n
<
ε
∴
lim 1 cos nπ = 0.
n→∞ n
2
思考: 对于例3, 下列推导是否正确：
xn − 0
=
1 cos n
nπ
2
∀ε > 0, 要使
只要
xn − 0 < ε
1 cos nπ < ε
发散.
例如,
1 2
,
2 3
,
3 4
,
L,
n
n +
1
,
L
xn
=
n
n +
→ 1
1
(n → ∞)
收
2
,
1 2
,
4 3
,
3 4
,
L,
n
+
(−1)n−1 n
,
L
敛
xn
=
n
+
(−1)n−1 n
→
1
(n → ∞)
2 , 4 , 8 , L , 2n , L
xn = 2n→ ∞ (n → ∞)
发 散
1 , − 1 , 1 , L , (−1)n+1 , L xn = (−1)n+1趋势不定
当n
无限增大时 ,
xn
=
1
+
(−1)n−1 n
无限接近于
1.
问题:
“无限增大”，“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言定量地刻划它？
a接近b的程度用绝对值：a − b 表示.
“当 n
无限增大时,
xn
=
1
+
(−1)n−1 n
无限接近于
1”.
“当n变得任意大时，
x n − 1 变得任意小”
“要使 xn − 1 任意小，只要n充分大”
第三节 极限的概念
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
第一章
一、主要内容 （一）数列的极限
1. 实例分析 引例 设有半径为 R 的圆 , 用其内接正 n 边形的
面积An 逼近圆面积 S . —— 刘徽割圆术
(公元三世纪)
设圆内接正n 边形的面积为 An ( n ≥ 3 )
αn
1 2
,
2 3
,
3 4
,
L,
n
n +
1
,L
xn
=
n n+
→ 1
1
(n → ∞)
2 , 4 , 8 , L , 2n , L
xn = 2n→ ∞ (n → ∞)
1 , − 1 , 1 , L , (−1)n+1 , L xn = (−1)n+1 趋势不定 可以看到, 随着n 趋于无穷, 数列的通项有以下
y = ±π .
2
πy
2
o
x
−π
2
2. x → x0时函数 f (x)的极限 (1) x → x0 时函数极限的定义
A x0
引例 测量正方形面积. (真值: 边长为 x0 ;面积为A )
直接观测值 确定直接观测值精度 δ :
边长 x
x − x0 < δ
间接观测值 任给精度 ε , 要求 x2 − A < ε
x→ x0
例6
证明：lim
x→ x0
x
=
x0 .
分析 要使 f ( x) − A = x − x0 < ε, 只要取 δ ≤ ε.
证 ∀ε > 0, 取0 < δ ≤ ε,, 则当0 < x − x0 < δ时，
便有 f ( x) − A = x − x0 < δ ≤ ε,
即 lim
x→ x0
x
=
=
2π
n
hn
=
R cos α n
2
,
ln
=
2 R sin α n
2
R
An
=
n⋅
1 2
lnhn
R
αn
2
= n ⋅ 1 ⋅ 2Rsin αn ⋅ Rcos αn
2
2
2
=
nR2 2
sin αn
=
nR2 2
sin
2π n
hn
ln
An
S (n → ∞) （学了第六节可证）
观察下述数列 当n → ∞ 时的变化趋势：
∀ε > 0,
f (x)− A < ε .
极限存在的充要条件:
lim f ( x) = A
x→ x0
lim f ( x) = lim f ( x) = A
x→ x0+
x→ x0−
二、典型例题
例1
设xn
≡
C (C为常数 ),
证明 lim
n→∞
xn
=
C.
证 ∀ε > 0, 对于一切自然数 n,
xn − C = C − C = 0 < ε 成立,
n + (−1)n − 1 < ε
N是正整数,
n
所以要取整
故
lim
n→∞
xn
=
lim n
n→∞
+
(−1)n n
=
1.
例3 证明：lim 1 cos nπ = 0
n→∞ n
2
证
xn
=
1 n
cos
nπ
2
xn − 0 =
1 cos nπ
n2
−0
=
1 cos nπ
n2
≤
1 n
∀ε > 0, 要使 xn − 0 < ε
则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x → ∞ 时的极限, 记作
lim f ( x) = A
x→∞
或 f ( x) → A (当x → ∞ )
(2) 几何解释
lim f ( x) = A：∀ ε > 0, ∃ X > 0, 当 x > X 时, 有
x→∞
f (x)− A < ε
x < −X或x > X A− ε < f (x) < A+ ε
面积 x2
定义1.4
设函数
f ( x) 在点 x0 的某去心邻域
o
U ( x0,r)
内有定义. 如果存在常数 A,
∀ε > 0, ∃ δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ 或 x ∈ Uo ( x0 ,δ ) 时, 总有
f (x) − A < ε,
则称常数 A 为函数 f ( x)当 x → x0 时的极限,
x→0
O
1
x
(2) 单侧极限
左极限 :
f
(
x0−
)
=
lim
x→ x0−
f (x) =
A
∃δ > 0, 当 x ∈ ( x0 − δ , x0 )时, 有
右极限 :
f
(
x0+
)
= lim
x→ x0+
f (x) =
A
∃δ > 0, 当 x ∈ ( x0, x0 + δ ) 时, 有
∀ε > 0,
f (x)− A < ε .
∀ ε > 0, ∃正整数 N , 当 n > N 时, 总有
xn − a < ε
则称该数列{ xn } 的极限为 a , 记作
lim
n→∞
xn
=
a
或 xn → a (n → ∞)
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散.
注 1°不等式 xn − a < ε刻划了 xn与a可无限接近； 2°ε > 0是任意的，但是在确定 N时又看成
(6) x → −∞
1. x → ∞时函数 f (x)的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
(1) 定义1.3 设函数 f ( x)当 x > M (M为某一正数） 时有定义 , 如果存在常数 A ,
∀ ε > 0, ∃ X > 0, 当 x > X 时, 有
f (x)− A < ε
两种变化趋势:
(1) 通项无限趋近于一个确定的常数;
(2) 通项不趋近于任何确定的常数.
(2) 数列极限的定义
定义1.1 设有数列{ xn}, 如果当n无限增大时, xn
无限趋近于某个确定的常数a , 则称a为数列{ xn }
的极限, 记作
lim
n→∞
xn
=
a,
或 xn → a (n → ∞).
这时,也称数列{ xn } 收敛于a. 否则, 称数列{ xn }