学而思高中数学恒成立与有解问题

【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是

_ ．

【例2】 若不等式1

21x a x

+

-+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．

【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫

--+ ⎪⎝⎭

≤恒

成立，则实数m 的取值范围是 ．

典例分析

恒成立与有解问题

【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ）

A ．0a >

B ．1

8

a >- C ．18a > D ．0a <

【例5】 已知不等式

()11112

log 112

2123

a a n n n +++

>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围.

【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______．

【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ）

A ．0a ≤

B ．4a <-

C ．40a -<<

D ．40a -<≤

【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围．

【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

，成立，则a 的最小值为（ ）

A ．0

B ．2-

C ．5

2

- D ．3-

【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为

（ ）

A ．(]

[)14-∞-+∞，，

B ．(]

[)25-∞-+∞，， C ．[12]，

D ．(][)12-∞∞，

，

【例11】 对任意[11]a ∈-，，

函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ．

【例12】 若不等式lg 21lg()

ax

a x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围．

【例13】 若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围.

【例14】 设()222f x x ax =-+，当[)1x ∈-+∞，时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值

范围.

【例15】 设对所有实数x ，不等式()()2

2

2

222

4112log 2log log 014a a a

x x a a a ++++>+恒成立，

求a 的取值范围.

【例16】 已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立，求实数a 的取值范围．

【例17】 已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值范围是 ．

【例18】 如果|1||9|x x a +++>对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是（ ）

A ．{|8}a a <

B ．{|8}a a >

C ．{|8}a a ≥

D ．{|8}a a ≤

【例19】 在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意

实数x 成立，则（ ）

A ．11<<-a

B ．20<

C ．2

321<<-

a D ．2

1

23<<-

a

【例20】 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[1,4]M ⊆，求实数a 的取值范围．

【例21】 如果关于x 的不等式23

208

kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围

是 ．

【例22】 已知函数2()1(1)f x x g x x =++，若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意

x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．

【例23】

【例24】 已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=，，，(其中k 为正常数).

⑴ 设12u x x =，求u 的取值范围；

⑵ 求证：当1k ≥时不等式2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈，恒成

立；

⑶ 求使不等式2

12121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈，恒成立的2k 的范

围.

【例25】 若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，求实数a 的取值范围.

【例26】 已知a ∈R ，若关于x 的方程21

04

x x a a ++-

+=有实根，则a 的取值范围是 ．

【例27】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．4a <-

B ．4a >-

C ．12a >-

D ．12a <-