高中数学第三章几何学发展史从经验几何到演绎几何课件北师大版
新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§22-2空间向量的运算三课件北师大版选择性必修一
3．理解投影向量与投影数量的概 算，提升数学运算与直观想象
念以及它们之间的关系．(难点) 素养．
NO.1
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
平面向量的数量积是如何定义的？空间向量的数量积可以像平 面向量的数量积那样定义吗？为什么？
1．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作O→A＝a，
O→B＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角 记法 〈a，b〉 范围 _0_≤__〈__a_，__b_〉__≤__π_ 向量 当〈a，b〉＝π2时，a⊥b；a·b＝0 垂直 规定：零__向__量__与任意向量垂直
1．〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a， －b〉，〈－a，－b〉有什么关系？
类型 2 利用数量积求夹角 [探究问题] 1．若向量A→B与C→D的夹角为 α，直线 AB 与 CD 所成的角为 β， 则 α＝β 一定成立吗？
[提示] 不一定．α＝β 或 α＋β＝π．
2．怎样利用数量积求两直线的夹角 α？
[提示] 先求 cos α＝|cos〈a，b〉|＝|a|a|··|bb||；再结合 α 的范围确定 其值．
－3k，则 a·b＝( )
A．－2
B．－1
C．±1
D．2
[答案] A
1234
3．在如图所示的正方体中，下列夹角为 45°的一组向量是 ( )
A．A→B与A→′C′
C．A→B与A→′D′ [答案] A
B．A→B与C→′A′ D．A→B与B→′A′
1234
4．已知向量 a，b 满足：|b|＝ 2，〈a，b〉＝45°，且 a 与 2b－a 互相垂直，求向量 a 的模．
[提示] 〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a， b〉，〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
数学史选讲
现代数学时期
形成坚实的数学基础——丰富的数学分支 计算机诞生、发展——数学的发展与繁荣 数学应用 ——一批新的应用数学分支 ——一批新的交叉数学分支 ——推动了其他学科（自然科学、人文社会科学）的发展 ——数学应用渗透到各行各业，深入了人们的日常生活
现代数学时期
• 社会对数学和数学工作者的需求发生了实质性的 变化 日常生活、 生产、管理实践、 各个学科（自然科学、人文社会科学）、 技术科学、 人才的知识结构等等。 • 社会就业形势 • 向数学提出了大量的问题
第四章 数学史上的丰碑 ——微积分 微积分
• 作为科学的巨人，牛顿把一生都献给了科 学事业。 • 据他的助手回忆，牛顿往往一天伏案工作 18小时左右，仆人常常发现送到书房的午 饭和晚饭一口未动。偶尔去食堂用餐，出 门便陷入思考，兜个圈子又回到住所。惠 威尔在《归纳科学史》中写道：“除了顽 强的毅力和失眠的习惯，牛顿不承认自己 与常人有什么区别”。
变量数学时期
• 解析几何 非欧几何-----拓扑学 • 微积分（牛顿、莱布尼兹） -----分析类的分 转折点是笛卡儿的变数.有了变数， 运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学 有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了…… 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪 下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高 胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯 粹的和唯一的功绩，那正是在这里。 ——恩格斯
第二章 数与符号
运算对象的拓展 ——数、字母、代数式、向量、函数、变 换等等 代数结构 ——数域、群、环、域等
第二章 数与符号
• 数学符号进化的过程经历了三个阶段：文 字阶段，简写阶段和符号阶段。实际上大 多数符号的出现还不到四百年。 • 引进符号体系是代数学的一个根本性的进 步。事实上，由于建立了完善的符号体系， 才使代数学成为一门科学。
北师大版高中数学课本目录 标准版
必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非”4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中的导数的意义2.2 最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1 条件概率与独立事件2.2 独立性检验2.3 独立性检验的基本思想2.4 独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法3.1 综合法3.2 分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件 2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 4.1 逻辑联结词“且”4.2 逻辑联结词“或”4.3 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2 空间向量基本定理3.3 空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算5.1 直线间的夹角5.2 平面间的夹角5.3 直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆 1.1 椭圆及其标准方程1.2 椭圆的简单性质§2 抛物线2.1 抛物线及其标准方程2.2 抛物线的简单性质§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质§4 曲线与方程4.1 曲线与方程4.2 圆锥曲线的共同性质4.3 直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比1.1 归纳推理1.2 类比推理§2综合法与分析法2.1 综合法2.2 分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念2.2 导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则4.1 导数的加法与减法法则4.2 导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性1.2 函数的极值§2 导数在实际问题中的应用2.1 实际问题中的导数的意义2.2 最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念1.1 定积分的背景—面积和路程问题1.2 定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入1.1 数的概念的扩展1.2 复数的有关概念§2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理1.2 分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理5.1 二项式定理5.2 二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布6.1 连续型随机变量6.2 正态分布第三章统计案例§1 回归分析1.1 回归分析1.2 相关系数1.3 可线性化的回归分析§2 独立性检验2.1独立性检验2.2独立性检验的基本思想2.3独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形1.1 球面上两直线的交角1.2 球面上的对称性1.3 球面三角形1.4 球面三角形的基本性质1.5 球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系3.1 平面三角形的余弦定理和正弦定理3.2 球面三角形边的余弦定理3.3 球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积4.1 球面二角形4.2 球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式1.1 球面三角部分1.2 球面上的欧拉公式1.3球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式2.1 凸多面体和简单多面体2.2 简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较3.1 欧氏几何与球面几何的区别与联系3.2 另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似1.1 图形变化的不变形1.2 平移、旋转、反射1.3 相似与位似1.4 平行线分线段成比例定理1.5 直角三角形的射影定理§2 圆与直线2.1 圆周角定理2.2 圆的切线的判定和性质2.3 弦切角定理2.4 切割线定理2.5 相交弦定理§3 圆与四边形3.1 圆内接四边形3.2 托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系2.1 直线与球的位置关系2.2 平面与球的关系§3 柱面与平面的截面3.1 柱面、旋转面3.2 垂直截面3.3 一般截面§4 平面截圆锥面4.1 圆锥面4.2 垂直截面4.3 一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化2.3 直线与圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程2.2 圆的参数方程2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线4.1 平摆线4.2 渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。
几何学发展史简介
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。
我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。
几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。
最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。
再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。
几何学的发展大致经历了4个基本阶段。
1.实验几何的形成与发展几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。
源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。
据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。
相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。
另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。
然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。
但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。
2.理论几何的形成与发展到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。
这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。
高中数学 第三章 几何学发展史 3.3 解析几何课件 北师
类似的问题在生活中是会经常遇到的,解决的方法自然会想到 利用解析几何知识,解析几何知识又是在怎样的情境中被发现的呢? 它的发现又具有怎样的意义呢?学完本节内容相信你就可以解决这 些问题.
-2习
Y预习导引 U XIDAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
-7-
§3 解析几何
Y预习导引 U XI DAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
重难点拨
思悟升华
一
二
答案:大田 ABCD 中的点分成三类:设第一类沿 PA 送肥较近,第 二类沿 PB 送肥较近,第三类沿 PA 和 PB 送肥
一样远近,第三类构成第一类、第二类点的界线,即我们所要求
的轨迹.以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐
标系,设 M 为界线所在曲线上的一点,则满足|PA|+|AM|=|PB|+|BM|,
于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(50<|AB|).由双曲线的定义可知 M 点
的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线靠近 B 点的一支,其方程可求得为
(1)求证:EF∥平面 SAD; (2)设 SD=2CD,求二面角 A-EF-D 的大小.
-9-
§3 解析几何
重难点拨
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修2-1
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
新教材高中数学第三章用向量方法研究立体几何中的位置关系课件北师大版选择性必修第一册ppt
何处,都有PE⊥AF.
分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
证明(方法一)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间
直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
1 1
于是 F 0, 2 , 2 .
∵E 在 BC 上,∴设 E(m,1,0),
2021
第三章
4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
核心素养
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平
行关系.(数学抽象)
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定
定理.(逻辑推理)
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理)
2 2
1 1 1
= - ,- , .
2 2 2
设平面 PAO 的法向量为 n1=(x,y,z),
1 1
- 2 = 0,
2
则有 n1⊥,n1⊥,因此 1 1
1
- - + = 0,
2 2
2
取 x=1,则 n1=(1,1,2).
又因为1 =(-1,-1,1),1 =(0,-1,1-m).
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂
直,AB= √2 ,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
证明建立如图所示的空间直角坐标系.
几何学发展史
几何学发展史如何研究大自然中丰富多彩的“形”和人为创造的各式各样的“形”呢？人们从观察和实验开始，从简单到复杂，从具体到抽象，从整体到局部，从局部到整体；不断地积累几何学的知识；不断地整理零散的、孤立的知识；不断地构建一个又一个的几何学理论体系；不断地发掘几何学与其他学科的联系和实际应用。
到今天，几何学已经是一个大的学科，其中包含绚丽多彩的各种分支。
归纳与经验的几何学最初的一些几何概念和知识要追溯到史前时期，它们是在实践活动的进程中产生的。
大自然为人们提供了丰富多彩的几何形体。
例如，基本几何图形——球、平面、直线等；基本几何量——长度、面积和体积等。
公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊。
在希腊人手里，几何学发生了质的变化。
演绎数学就在希腊诞生。
欧几里得曾在柏拉图学院受过教育，后来移居亚历山大城从事教学活动。
他把亚里士多德的逻辑、结构、证明和推理的严密性应用到数学中。
欧几里得至少有10部著作，其中5部被相当完整地保存了下来，但是，使他名垂不朽的是《几何原本》。
欧几里得的《几何原本》(Euclid,约公元前330-前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑.它是古希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶。
它是数学史上第一个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统，是数学知识系统化的开端，对后世数学、科学的发展起了不可估量的示范作用。
从它刚问世起就受到人们的高度重视.自1482年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本. 在西方世界，古希腊人已经在艺术和数学之间建立了密切的联系，因为数学和艺术构成他们世界观的主要部分。
但是，在宗教统治的中世纪，这种观点被抛弃了。
直至文艺复兴时期，重新唤起了人们对艺术和数学的渴望，唤起了人性的觉醒，人们重新恢复了对大自然的兴趣，渴望描述真实的世界，数学成为了反映世界和描述艺术的工具。
那个时期，艺术家都是工程师和建筑师，他们具有良好的数学基础，可以说他们本身就是数学家。
画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。
高中数学 第三章 几何学发展史 3.1 从经验几何到演绎
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§1 从经验几何到演绎几何
激趣诱思
新知预习
Y预习导引 U XIDAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
1.在很长的一个历史时期,几何都没有形成一个理论体系,这种 几何学称为归纳与经验的几何学.数学史家通常将古埃及视为几何 学的故乡,把古巴比伦视为代数的故乡.
2.公元前 7 世纪,几何学从古埃及传到了古希腊,在古希腊人手 里,几何学发生了质的变化,许多定理第一次被证明,演绎数学就在希 腊诞生,其中较著名的人物有:泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几 里得.
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§1 从经验几何到演绎几何
重难点拨
思悟升华
Y预习导引 U XI DAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
一
二
纽约哥伦比亚大学的珍本图书馆藏有一块年代为公元前 1900~
前 1600 年的泥板,称为普林顿 322 号数学泥板.泥板上用楔形文刻有 4 列数字,共 15 行,最初人们以为是一种普通的商业账单,没有引起太 多的注意.后来经过研究才发现,这竟然是一个勾股数表.所谓勾股数, 就是满足不定方程 a2+b2=c2 的正整数组(a,b,c),也叫毕达哥拉斯三 元数组.巴比伦最令人吃惊的数学成就,就是在很古老的年代就给出 了大量的、数目巨大的勾股数.普林顿 322 号数学泥板还有许多未解 之谜等着人们去研究.
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§1 从经验几何到演绎几何
重难点拨
思悟升华
Y预习导引 U XI DAO YIN
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一
二
答案:归纳与经验的几何学是从一些具体的几何关系中归纳出 的带有一般性的几何定律或公式,但是没有形成一个理论体系;演绎 几何主要是人类对客观事物的认识从实践上升到理论,给出了逻辑 证明,使命题的正确性得到保证.
几何学走向何方？
几何学走向何方？概要科教乃是兴国之途，而基础教育乃立国之本。
在基础教育中，数学教育是开发智力和培养逻辑思维的主要学科。
自古以来，它一直是教导学生善于认识问题、善于解决问题最佳园地。
今天，将集中考察几何学的发展史。
题目是,几何学走向何方？我们把它分为两讲：1．从经验几何到解析几何。
2．几何学的进一步发展。
一．演绎几何的诞生今天中学学的几何学是演绎几何学，它是如何诞生的？它诞生在什么时间，什么地方？它的代表作是什么？§ 1.从经验几何到演绎几何。
1．数和形的交响曲。
数学包含两个最基本的组成部分：数和形。
数是算术和代数的研究对象，形是几何学的研究对象。
数和形的交响曲构成了数学发展史的主旋律。
数是无处不在的，因为任何文明想取得科学上的进步，都需要大量关于数的信息。
形也是无处不在的，地球、太阳、月亮和我们自身都是一种几何形体。
数学史就是数和形的发展史。
但是，在数学史上，数的学问和形的学问并不是肩并肩地前进，而是交替前进，时而数的学问领先，时而形的学问领先。
今天我们的研究集中在形的学问上。
2．通向形的学问。
古人是如何研究大自然中丰富多彩的“形”和自己创造的各式各样的“形”呢？他们从观察和实验开始，先研究简单的,再研究复杂的，先研究具体的,再研究抽象的。
这样，他们就不断积累几何学的知识。
开初这些知识是零散的，孤立的，而后经过整理，成为一个理论体系，几何学就诞生了，并继续发展，到今天几何学已经是一个大的学科体系，其中包含绚丽多彩的各种分支。
需要强调的是，观察和实验的研究方法是一种基本的研究方法，直到今天仍然重要。
3．经验几何学。
几何学是什么时候诞生的？诞生在什么地方？第一个问题无法回答，——源头茫昧信难觅，因为年代太久远了。
至于第二个问题，答案是清楚的：在东方，开始于中国；在西方，开始于埃及和巴比伦。
几何学的诞生与人类的生产实践活动密切相关。
希腊的欧几里得评论家普罗克洛斯（Proclus）这样说：“依据很多的实证，几何学是埃及人创造的,且发生于土地测量。
几何的发展及公理化体系_PPT幻灯片
1、微分几何的产生
▪ 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连 的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧 拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这 一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点 的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
▪ 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用 到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它 的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几 何最早的一本著作。
四、微分几何与黎曼几何几何
▪ （一）微分几何 ▪ 1、微分几何的产生 ▪ 2、微分几何学的基本内容 ▪ 3、微分几何的研究方法 ▪ （二）黎曼几何
（一）微分几何
▪ 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲 线或曲面在它一点邻域的性质，换句话说， 微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小 范围”上的性质的数学分支学科。
4、欧式几何的意义
▪ 由于欧式几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻 辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明， 它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好 教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得 到益处，从而作出了伟大的贡献。
▪ 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》 起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就 是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问 题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链 子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人 未曾作到。
完善公理体系的原则
▪ 第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系 统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和 谐而共存在同一系统中。
▪ 第二，独立性，公理体系中的每条公理应 该是各自独立而互不依附的，没有一条公 理是可以从其它公理引伸出来的。
▪ 第三，完备性，公理体系中所包含的公理 应该是足够能证明本学科的任何新命题。
新教材高中数学第三章空间向量与立体几何4-1直线的方向向量与平面的法向量课件北师大版选择性必修一
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( ) (2)平面 α 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．( ) (3)两直线的方向向量平行，则两直线平行．( ) (4)直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行．( ) (5)已知直线 l 垂直于平面 α，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面 α 的一个法向 量．( )
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
4不等式的证明
5不等式的应用
第二章几个重妻的不等式
1柯西不等式
2排序不等式
3数学归纳法与贝努利不等式
选修4-6
第一章带余除法与书的进位制
1、整除与带余除法
2、二进制
第二章可约性
1、素数与合数
2、最大公因数与辗转相除法
3、算术基本定理及其应用
4、不定方程
第三章同余
1、同余及其应用
2、欧拉定理
2导数在实际问题中的应用
2.1实际问题中导数的意义
2.2最大、最小值问题（重、难点）
【5课时】
第四章定积分
1定积分的概念
1.1定积分背景-面积和路程问题（重点）
1.2定积分
2微积分基本定理
3定积分的简单应用（重点）
3.1平面图形的面积
3.2简单几何体的体积
【4课时】
第五章数系的扩充与复数的引入（重点）
2.2独立性检验
2.3独立性检验的基本思想
2.4独立性检验的应用（重点、难点）
【4课时】
第二章框图（重点，高考必考点）
1流程图
2结构图【1.5课时】
第三章推理与证明
1归纳与类比
1.1归纳推理
1.2类比推理
2数学证明
3综合法与分析法
3.1综合法
3.2分析法
4反证法【2课时】
第四章数系的扩充与复数的引入
重点15课时第二章空间向量与立体几何重点在解决立体几何方面有很大的帮助?1从平面向量到空间向量用向量讨论垂直与平行?5夹角的计算课时?第三章圆锥曲线与方程重点高考大题必考知识点?1椭圆?11椭圆及其标准方12椭圆的简单性质抛物线?21抛物线及其标准方程?22抛物线的简单性质双曲线?31双曲线及其标准方程32双曲线的简单性质曲线与方程41曲线与方程42圆锥曲线的共同特征43直线与圆锥曲线的交点课时?选修22?第一章推理与证明重点?1归纳与类比?2合法与分析法?3反证法?4数学归纳法2课时?第二章变化率与导数重点变化的快慢与变化率?2导数的概念及其几何意义21导数的概念?22导数的几何意义?3计算导数?4导数的四则运算法则?41导数的加法与减法法则?42导数的乘法与除法法则简单复合函数的求导法则2课时第三章导数应用重点?1函数的单调性与极值11导数与函数的单调性?12函数的极值重难点导数在实际问题中的应用21实际问题中导数的意义?22最大最小值问题重难点课时第四章定积分?1定积分的概念11定积分背景面积和路程问题重点12定积分?2微积分基本定理定积分的简单应用重点?31平面图形的面积32简单几何体的体积课时第五章数系的扩充与复数的引入重点?1数系的扩充与复数的引入?11数的概念的扩展?12复数的有关概念?2复数的四则运算21复数的加法与减法22复数的乘法与除法?2课时选修23第一章计数原理重点?1
《数学史》几何学的变革(上)
9.1 欧几里得平行公设
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统 天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从 实质上改变欧氏几何本身的内容．
解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了 人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学 严格性的典范始终保持着神圣的地位．
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得 几何并非无懈可击．事实上，公元前3世纪到18 世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完 美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀， 这就是欧几里得第五公设，也称平行公设．
欧氏几何公设：
（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线； （2）一条有限直线可不断延长； （3）以任意中心和半径可以画圆； （4）凡直角部彼此相等； （5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角
和小于两直角，那么把两直线无限延长，它 们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
第五公设
第五公设：若一直线落在两直线上，所构成的同旁
内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将 在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放 弃消除对第五公设疑问的努力．他们或者寻求以一个比较容 易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者试图把它当作 一条定理由其他公设、公理推导出来．在众多的替代公设中， 今天最常用的是：
J.波约对高斯的答复深感失望，认为高斯想剽窃自己的成 果．
1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作 出版后，更使J.波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文，而 他的父亲倒很开通，安慰他说：
“春天的紫罗兰在各处盛开．”
罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基
在非欧几何的三位发明人中，只有罗
巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的 研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫 自己的新思想的一位。
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重难点拨
思悟升华
一
二
二、《原本》和《圆锥曲线论》
【例 2】 阅读下面的资料,请你结合本课的学习谈谈《原本》 对后世数学的发展起到了怎样的作用?
亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的地带,通常叫作美 索不达米亚平原,美索不达米亚语出希腊文,意思是“两河之间的地 区”,故而这个地区也称为两河流域(今伊拉克境内).像尼罗河一样, 两河流域也是人类文明的摇篮.从公元前 3000 年到前 200 年,这一地 区(在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学,习惯统称为巴比伦数学. 早在公元前 5000~前 4000 年,两河流域的苏美尔人用削尖的芦苇秆 或木棒在软泥板上写字,泥板晒干后坚硬如石.由于这样的字形状像 楔子,所以这种文字称为楔形文.苏美尔人以后,各民族继续使用楔形 文,只是不同时期所使用的有所不同.
6.希腊人发现了圆锥曲线,阿波罗尼奥斯总其大成,写了《圆锥曲 线论》.这确实是古典希腊几何的登峰造极之作,也是继《原本》之 后又一本数学巨著.
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Байду номын сангаас
一
二
一、经验几何与演绎几何
【例 1】 阅读下列材料,体会经验几何与演绎几何的差异. 尼罗河是埃及的母亲河,通常在每年的 7 月中旬定期泛滥,11 月 后洪水逐渐消退,留下肥沃的淤泥.这样来年就容易耕作,庄稼的丰收 也就有了保障.埃及的几何学就起源于尼罗河泛滥后的土地测量,这 种说法最早出自古希腊的历史学家希罗多德(约公元前 484—前 424),他说:“西索斯特里斯……在埃及居民中进行了一次土地划分. 他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年 向他缴纳租金,作为他的主要收入.如果河水冲毁了某人分得土地的 任何一部分,这个人就可以将此事告知国王,国王就会派人前来调查 并测量损失地段的面积,今后的租金就要按照减少后的土地面积来 征收了.正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊 人又从那里学到了它.”
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思悟升华
一
二
2 000 多年来,《原本》一直是学习几何的主要教材.哥白尼、伽 利略、笛卡儿、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《原本》,从中吸 取了丰富的营养,从而作出了许多伟大的成就.
《原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,集整个古希 腊数学的成果和精神于一书.既是数学巨著,又是哲学巨著,并且第一 次完成了人类对空间的认识.除《圣经》之外,没有任何其他著作,其 研究、使用和传播之广泛,能够与《原本》相比.
第三章 几何学发展史
§1 从经验几何到演绎几何
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大量出土文物证明,在我国的史前时期,人们已经掌握了许多几 何的基本知识,看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精 巧的、对称的图案的绘制,一些简单设计但是讲究体积和容积比例的 器皿,都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富.几何学是在 怎样的背景下产生的?又经历了什么样的发展过程?本节我们就来 学习几何学的发展史.
3.古希腊人在几何学上提出著名的三大作图问题,它们是三等 分任意角、化圆为方、立方倍积.
4.欧几里得的《原本》的出现是数学史上的一个伟大的里程碑. 它是古希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶.它是数学史上第一 个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统,是数学知识系统化的开端, 对后世数学、科学的发展起了不可估量的示范作用.
古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《原本》一起名垂 千古的.这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作, 也是欧几里得最有价值的一部著作.在《原本》里,欧几里得系统地 总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识.欧 几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理,以形式逻辑的方法, 用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质,从而建立了一套从 公理、定义出发,论证命题得到定理的几何学论证方法,形成了一个 严密的逻辑体系——几何学.而这本书,也就成了欧式几何的奠基之 作.
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一
二
答案:归纳与经验的几何学是从一些具体的几何关系中归纳出 的带有一般性的几何定律或公式,但是没有形成一个理论体系;演绎 几何主要是人类对客观事物的认识从实践上升到理论,给出了逻辑 证明,使命题的正确性得到保证.
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二
阅读下面的材料,根据所学几何知识简述经验几何的特点,并简 述演绎几何与经验几何的区别.
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5.在《原本》中,有一些工作是欧几里得完成的,他完善了前人所 做的一些不严格的证明.但是,他最伟大的贡献是把前人的数学成就 按照严格的逻辑体系进行整理排列,形成历史巨著.在我国明朝时期, 意大利传教士利玛窦与我国数学家徐光启合译了《原本》前 6 卷, 中译本书名为《几何原本》.1847 年,李善兰把《原本》的后 7 卷译 完.《原本》中包含 4 种不同的概念:定义、公理、公设、命题.
重难点拨
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一
二
纽约哥伦比亚大学的珍本图书馆藏有一块年代为公元前 1900~
前 1600 年的泥板,称为普林顿 322 号数学泥板.泥板上用楔形文刻有 4 列数字,共 15 行,最初人们以为是一种普通的商业账单,没有引起太 多的注意.后来经过研究才发现,这竟然是一个勾股数表.所谓勾股数, 就是满足不定方程 a2+b2=c2 的正整数组(a,b,c),也叫毕达哥拉斯三 元数组.巴比伦最令人吃惊的数学成就,就是在很古老的年代就给出 了大量的、数目巨大的勾股数.普林顿 322 号数学泥板还有许多未解 之谜等着人们去研究.
激趣诱思
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1.在很长的一个历史时期,几何都没有形成一个理论体系,这种 几何学称为归纳与经验的几何学.数学史家通常将古埃及视为几何 学的故乡,把古巴比伦视为代数的故乡.
2.公元前 7 世纪,几何学从古埃及传到了古希腊,在古希腊人手 里,几何学发生了质的变化,许多定理第一次被证明,演绎数学就在希 腊诞生,其中较著名的人物有:泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几 里得.