1网络图论
1网络图论
§1-2 树和树余·树支和连支
树(tree)：
树是一个连通图的子图，该子图中包含了连通图G
的全部节点，但不包含任何回路。
树余(cotree) ：
连通图中与树互补的子图叫做树余。
树支(tree branch)： 树中的支路叫做树支。
连支(link) ： 树余中的支路叫做连支。
基本回路(fundamental loop)： 只包含一条连支的回路叫做基本回路。 基本回路是唯一的。
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的 支路集叫做割集 。
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以 保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部 分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有 支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个 分离部分。
基本割集(fundamental cut set) ： 只包含一条树支的割集叫做基本割集 。 由每一树支决定的基本割集是唯一的。
B
2
0
1 1 0 1 0
3 1 1 1 0 0 1
B [E Il ]
§1-8 矩阵Q与矩阵B之间的关系
12 3
b1 b2
C1 1 0 QBT C2 0 1
C3 0 0
b3 0 0 1
b4 b5 10 1 1 01
b6 1
1 1
1
1
0 1
0
0 1 1 0 1
1 b1 1 b2
路径(path)： 由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一 条通路称为路径。
回路 (loop):
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称 为回路。
连通图(connected graph)和非连通图(disconnected graph) :
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
电网络理论 第二章图论
电网络理论第二章图论第二章图论图论是电网络理论的重要分支，主要研究对象是图。
图是由节点和边构成的一种抽象模型，被广泛应用于计算机科学、数学和其他相关领域。
本章将介绍图论的基本概念、常用算法以及在电网络中的应用。
1. 图的定义和表示方式图由节点（也称为顶点）和边组成。
节点表示图中的元素，边表示节点之间的关联关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向性，表示从一个节点到另一个节点的单向关系。
无向图中的边没有方向性，表示节点之间的无序关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的关系。
邻接表则是由链表构成的数组，每个节点对应一条链表，链表中记录了该节点与其他节点的关系。
2. 图的基本术语和性质图论中有一些基本的术语和性质，包括：- 路径：指从一个节点到达另一个节点所经过的一系列边和节点。
- 简单路径：路径中不含有重复节点的路径。
- 环：起点和终点相同的路径。
- 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
- 强连通图：有向图中任意两个节点之间都存在路径的图。
- 子图：由图中部分节点和对应的边组成的图。
- 度：节点所连接的边的数量。
- 入度和出度：有向图中节点的入边和出边的数量。
3. 常用图论算法图论中有许多重要的算法，下面介绍其中几个常用算法：- 广度优先搜索（BFS）：用于查找图中从起点到终点的最短路径，同时可以用于遍历图的所有节点。
- 深度优先搜索（DFS）：用于遍历图的所有节点，通过递归的方式沿着路径向前搜索，直到没有未访问的节点。
- 最小生成树（MST）：通过连接图中的所有节点，使得生成的树具有最小的总权重。
- 最短路径算法：例如迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，用于查找图中两个节点之间的最短路径。
- 拓扑排序：用于对有向无环图进行排序，使得图中的节点满足一定的顺序关系。
4. 图论在电网络中的应用图论在电网络领域有广泛的应用，包括：- 网络拓扑分析：通过图论算法可以对电网络的拓扑结构进行分析，了解网络中节点之间的连接关系。
计算机网络_图论
If the edge (vi, vj) is in E(G), adj_mat[i][j]=1. If there is no such edge in E(G), adj_mat[i][j]=0.
The adjacency matrix for an undirected graph is symmetric; the adjacency matrix for a digraph need not be symmetric. Merits of adjacency matrix
0 1 3 2 1
0 2 3
6
Adjacent and Incident
If (v0, v1) is an edge in an undirected graph,
v0 and v1 are adjacent The edge (v0, v1) is incident on vertices v0 and v1 v0 is adjacent to v1, and v1 is adjacent from v0 The edge <v0, v1> is incident on v0 and v1 A graph may not have an edge from a vertex, i, back to itself. Such edges are known as self loops. A graph may not have multiple occurrences of the same edge. If we remove this restriction, we obtain a data object referred to as a multigraph. 0
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
图论与网络分析1-确定型网络计划
图论与网络分析1-确定型网络计划图论和网络分析在计划和管理中广泛应用。
在项目管理中，确定型网络计划是一种用于规划和控制复杂项目的有效工具。
本文将介绍确定型网络计划的基本概念和常见技术，以及图论和网络分析在此过程中的应用。
确定型网络计划是一种图形化方法，用于描述和控制项目的活动和资源之间的关系。
它可以帮助项目经理和团队成员确定项目中的关键路径、前后置关系以及资源分配等重要因素，从而有效地规划和管理项目进度。
确定型网络计划通常由节点（表示活动）和连接线（表示活动之间的依赖关系）组成，形成一个有向无环图（DAG）。
在确定型网络计划中，节点表示项目中的具体活动，连接线表示活动之间的依赖关系。
每个节点都有一个时间估计，即完成该活动所需的时间。
通过连接线可以确定活动之间的前后置关系，即某些活动必须在其他活动之前完成。
通过指定这些依赖关系，项目经理可以确定项目的关键路径，即完成整个项目所需的最长时间路径。
确定型网络计划中的关键路径是整个项目的关键，因为它决定了项目的最短时间。
如果关键路径中的任何一个活动延迟，整个项目的进度都会延迟。
因此，项目经理需要重点关注关键路径上的活动，确保其按计划进行。
图论和网络分析在确定型网络计划中起到了重要的作用。
图论是研究图及其性质的数学理论，可以提供分析和解决确定型网络计划中的复杂问题的方法。
网络分析是一种基于图论的数学模型，用于分析和优化网络中的活动和资源分配。
通过图论和网络分析，项目经理可以更好地理解和管理复杂项目中的活动和资源之间的关系。
在确定型网络计划中，项目经理可以利用图论和网络分析来计算关键路径、活动和资源的最佳分配，以及项目进度和资源利用率的优化。
通过确定关键路径，项目经理可以安排和分配资源，以确保项目按计划进行。
此外，图论和网络分析还可以帮助项目经理进行风险分析，预测项目完成时间和成本，并及时采取必要的措施。
综上所述，确定型网络计划是一种重要的项目管理工具，而图论和网络分析则是实现该方法的重要工具。
网络图论集网络方程
0 1 0 0 0
[Yb
]
0 0
0 0
3 0
0 2
0 0
0 0 0 0 1
0
0
0
0
[Us ] 0 [Is ] 0
1
0
0
1
Yn AYbAT
3 1 0
1 5 1
0 1 2
•
In
•
A Is AYb
•
Us
2 0
1
•
•
Yn Un In
1
4
2 35
12
七、含互感电路分析
Ib Bf T Il
•
•
•
[Bf ZbBf T ]Il [Bf Us Bf Zb Is ]
•
•
Zl Il Usl
1 1 0 1 0 0
[Bf
]
0
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
其中： Zl Bf ZbBf T
（回路阻抗矩阵）
•
•
•
Usl Bf Us Bf Zb Is
（回路电压源列向量）
(nxb) (bx1)
•
•
••
五、 节点电压方程 (Ib Yb Ub Yb Us Is )
•
•
Y n
Un
In
(nxn) (nx1) (nx1)
u1 = un2 – un1
-i1u+2 =i4u–ni26 = 0 iu1 +3 =i2+uni23 –=un03
其中：1
[
A]
1
0
I•Y100n n10A1 I•As100YbA100AYbT10U•1s
1
网络图论和网络方程
T2连:{2支,3,集5}1
L2:{1,4,6}
a a
b
4 5
3 c
T3树:{3余,4,5}
d b
L3:{1,2,6}
4 5
cT4树:{1余,5,4}
d L4:{2,3,6}
五、回路和 基本回路
回路： 从图中的某一个顶点出发，沿着边和顶点 不重复地巡行一周回到原出发的顶点所得到的闭合路径称 为回路。回路数用M表示。
1
a 3 b4 c
2
56
如 a3 b
i3 + u3 -
d
有向图G
(1) 图中各边的方向与所对应电路中各元件上的电
流方向一致；
(2)取各支路的电压与电流方向为关联方向。
3. 子图和补图 实例
1
1
a 3 b4 c =a 3 b
2 56
2
c +b 4
c
G1和G2 的总和包括
5 6 了G 的全部
支路和节点。
(2) 连支：对一个图G 除去所选树的树支以外的每个
支路称为连支，用L支表示。
(3)树余(连支集)：与树互补的子图称为树余，又称
连支集，用L表示。
如
1
3 b4
a
a
c
2 56
2
b c
56
a 3b c
56
d
d
d
T1:{2,5,6}
T2:{3,5,6}
G
树支：T支为2,5和6 连支：L支为1,3和4
LT支支为为13,,25和和46
B1 {2,4,6} B2 {3,5,6}
B3 {1,4,5} B4 {2,3,4,5}
电路第十章 网络图论及网络方程
8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1
[C
f
]
0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系
Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:
Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:
Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；
电网络理论-第二章
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
电网络理论2013第二章图论
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2
1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b
u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
图论讲义第9章-网络流理论
注：网络 N 的一个割 K 称为最小割，如果网络 N 中不存在割 K′使得 CapK ′ < CapK 。 推论 9.1.1 设 f * 是网络 N 的一个最大流，K*是 N 的一个最小割，则 Val f * ≤ CapK * . 证明显然。 推论 9.1.2 设 f 是 N 的一个可行流，K 是 N 的一个割，若 Val f = CapK ，则 f 是最大流而
a∈K
−
(S ) =
a∈( S , S )
∑
f (a ) ≥ 0 。
由引理 9.1.1, Val f = f + ( S ) − f − ( S ) ≤ CapK , 可见第 一个结论成立。另外注意到 f + ( S ) = CapK 当且仅当
S K
S
( S , S ) 中每条弧都是 f 饱和的；而 f − ( S ) = 0 当且仅当 ( S , S ) 中每条弧都是 f 零的，故定理的第二个结论也成立。证毕。
v2 v1 x P Q v3 y v6 v4 v5
定义 9.2.2 设 f 是网络 N = (V , x, y , A, C ) 中的一可行流，P 是 N 中一条 x-y 路。如果对于 P 上任一条弧
a ，都有
(1) 若弧 a 是 P 的正向弧，则 Δf ( a ) (2) 若弧 a 是 P 的反向弧，则 Δf ( a )
Байду номын сангаас
§9.1 网络与网络流的基本概念
定义 9.1.1 一个网络 N=(V,A)是指一个连通无环弧且满足下列条件的有向图： (1) 有一个顶点子集 X，其每个顶点的入度都为 0； (2) 有一个与 X 不相交的顶点子集 Y，其每个顶点的出度都为 0； (3) 每条弧都有一个非负的权，称为弧的容量。 注： 上述网络 N 可写作 N=(V, X, Y, A, C)，X 称为网络的发点集或源点集，Y 称为网络的 收点集或汇点集，C 称为网络的容量函数。 例：
图论基本知识简介
图论基本知识简介对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
第一节 图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E )，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ∈，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x → y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
电路分析基础[第九章网络图论基础]课程复习
![电路分析基础[第九章网络图论基础]课程复习](https://img.taocdn.com/s3/m/d71478731711cc7931b71609.png)
第九章网络图论基础9．2．1 网络图论的基本概念(1)图：由“点(节点)”和“线(支路)”组成的图形称为图，通常用符号G 来表示。
(2)子图：图的一部分(允许孤立的节点，不允许孤立的支路)。
(3)有向图：若图G的每条支路都标有一个方向，则称为有向图，否则称为无向图。
(4)连通图：若图中的任意两个节点之间均至少存在一条由支路构成的路径，则称为连通图，否则称为非连通图，孤立的节点也是连通图。
(5)数、树枝、连枝：不包含回路，但包含图的所有节点的连通的子图为树；组成树的支路为树枝；其余支路为连枝。
(6)回路：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点(均只许经过一次)又回到出发节点所形成的闭合路径称为回路。
(7)基本回路：只含一个连枝的回路，也称单连枝回路。
(8)割集：割集是一组支路的集合，如果把这些支路全部移走(保留支路的两个端点)，则此图变成两个分离的部分，而少移去任一条支路，图仍是连通的。
(9)基本割集：只含一个树枝的割集，也称单树枝割集。
9．2．2 图的矩阵表示图的支路与节点、支路与回路、支路与割集的关联性质均可以用相应的矩阵来描述。
一、关联矩阵A关联矩阵A又称为节点支路关联矩阵，它反映的是节点与支路的关联情况。
设一有向图的节点数为n，支路数为b，则节点与支路的关联情况可以用一个n×b的矩阵来表示，记为Aa ，称为图的增广关联矩阵，Aa的每一行对应一个节点，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素aij定义为：由于Aa 的行不是彼此独立的，即Aa中的任一行都能从其他(n-1)行导出，因此，若由矩阵Aa中任意划出一行，剩下的(n-1)×b阶矩阵称为降阶关联矩阵，用A表示，又称为关联矩阵。
被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。
二、回路矩阵B对于任一个具有n个节点，b条支路、c个回路的有向图，回路与支路的关联情况可以用一个(c×b)阶矩阵来描述，记为Ba ，Ba的每一行对应一个回路，每一列对应一个支路，其第i行第j列的元素bij定义为：若从矩阵Ba中取出独立回路所组成的(b-n+1)×b阶矩阵称为独立回路矩阵，简称回路矩阵。
1图论基础通风网络
连通图G的一个割集S至少包含图G 的生成树的一条树枝。
割
集：将连通图G的节点分为不相连的二个节点 子集的最少边集合。
38
1 图论基础----割集—基本割集
4）基本割集 基本割集只能包含一条树枝→基本割集数=树枝数 s1 1 d s3 4 a
2 c e
g b
s2 3 f
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
d T=（a,b,d,f） f s4
若 H G 且V ( H ) V (G) 或 E ( H ) E (G)
或H中至少有一个边的重数小于G中对应边的重数
G (V , E )
H (V , E1 )
E1 E
H是包含了图G所有节点的真子图
生成子图是原图的真子图！
13
1 图论基础----图的概念—子图
课堂练习
e7 6 e8 e6 4 e4 e5 3 e1 2 e9
1 图论基础----树—生成树和余树
①连通且无回路；
生 成 树 的 特 点
②连通且有m-1条边； ③无回路，加一条边恰有一条回路； ④每一对节点间有唯一的一条路；
⑤连通，任一边均为割边；
⑥包含图的全部节点。
图G(7,11) 生成树T
28
1 图论基础----树—生成树和余树
特别提醒
任何联通图的边数等于其余树弦数和树枝数之和 任何图的边数等于其余树弦数和树枝数之和
根据右图
5
1）找出3个子图；
2）找出4个真子图；
e3
e2
3）试找出2个生成子图
1
14
1 图论基础----图的概念—赋权图
4）赋权图 一个图G=（V，E）与定义在E或V上的权或权函数，称为 一个网络或赋权图，亦称有权图。 在通风网络中，常用通风参数作权的指标，如风阻、风 量、风压等。一般将权值注在分支旁边。
电网络
第1篇网络图论第1章电网络概述第2章网络矩阵方程第3章网络撕裂法第4章多端和多端口网络第5章网络的拓扑公式第6章网络的状态方程电网络分析方法（重点：节点电压法及其应用）拓扑分析暂态分析第1章电网络概述1.1 电网络的基本性质1.2图论的术语和定义1.3树1.4割集1.5图的矩阵表示1.6关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵之间的关系1.7 矩阵形式的基尔霍夫定律基本概念、性质矩阵表示1.1 电网络的基本性质物理模型V I P数学模型实际电系统研究对象分布参数和集中参数网络线性和非线性网络、时变和非时变网络、有源和无源网络、有损和无损网络、互易和非互易网络、性质解决问题网络分析、网络综合和网络诊断1.1 电网络的基本性质1.1.1 线性和非线性1.1.2 时变和非时变1.1.3 有源网络和无源网络1.1.4 有损网络和无损网络1.1.5 互易网络和非互易网络1.1.6 分布参数与集中参数电路传统线性网络1.1.1 线性和非线性3种定义：(1)含有非线性元件的网络称为非线性网络，否则为线性网络；(2)所建立的网络电压、电流方程是线性微分方程的称为线性网络，否则为非线性网络；(3)按输入与输出之间是否满足线性和叠加性来区分三者不完全等价线性叠加端口线性网络1.1.2 时变和非时变(1)含时变元件的网络称为时变网络，否则为定常网络；(2)建立的方程为常系数方程者为定常网络，否则为时变网络；(3)输入、输出间满足延时特性的网络为定常网络，否则为时变网络3种定义：()F t ()R t )(0t t F -)(0t t R -1.1.3 有源网络和无源网络[]12()()()()()k m t v t v t v t v t =T V []T 12()()()()()k m t i t i t i t i t =I T()()0t d τττ-∞≥⎰V I 关联参考方向无源半导体器件？1.1.4 有损网络和无损网络T()()0d τττ∞-∞=⎰VI ()()()()0-∞∞-∞∞=、、、V V I I 无损条件1.1.5 互易网络和非互易网络符合互易关系1.1.6 集中参数电路实际电路的几何尺寸远小于电路工作频率下的电磁波的波长。
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树支和连支的个数
节点数：6
树支数：5 连支数：4
支路数：9
一个节点数 为nt=n+1， 支路数为b的 连通图G，无 论如何选树
，恒具有n条 树支和b-n
条连支。
基本回路：
只包含一条连支的回路叫做基本回路或单连 支回路。
由每条连支决定的 基本回路是唯一的。
基本回路数：b－n
基本回路数取决于连支数
平面图：
④
7
①
②5 ③
①
②5 ③
3
3
4
1
2
6
④
1
④
基本回路: 12、134、1356、37
基本割集: 1246、3467、56
课堂练习
另选一棵树，列出各基本回路的支路集和各基本割集
的支路集。
§1-5 关联矩阵
描述节点和支路之间的关联情况的矩阵
Aa的每一行对应于一个节点，每一列对应于一条支路， 每一个元素aik定义如下：
电路原理（I-2）
主要内容
网络图论 网络方程的矩阵形式 网络的状态方程 二端口网络 均匀传输线的正弦稳态响应 无损耗均匀传输线的波过程
第一章 网络图论
网络图论又称为网络拓扑学，由数学家欧 拉创始，目的是采用图的理论对电路的结构及 其连接性质进行分析和研究。
从五十年代后，图论在电路理论中日益得 到重视，特别是对于大型复杂网络的分析。
一个节点数为nt=n+1，支路数为b的连 通图G，无论如何选树，恒具有：
n个基本割集、b-n个基本回路
例
例. 绘出下图所示电路的有向图，选出一棵树，列出 各基本回路的支路集和各基本割集的支路集。
1 R3
R2 C1
US2
gU5
US3
2
L4
R5
U5 3 iS6
R6
7
①
②5
4
③
3
4
1
2
6
④
①
②5 ③
3
1
的答案是否定的。
B
在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段 表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图 就是一些点与线段的集合。
本章主要内容：
1. 介绍网络图论的基本概念； 2. 列写关联矩阵A、基本割集矩阵Q、基
本回路矩阵B; 3. 讨论Q与B的关系。
§1-1 网络的图
凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条 支路在一个非节点处交叉的图，称为平面图。
平面图的网孔数等于图的基本回路数 即：m＝l＝b-(nt-1) =b-n。
§1-3 割 集
任一连通图G的割集C是满足以下两个条件的支路集： 1. 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以保留 )后，原连通图留下的图形将是两个彼此分离而又各自 连通的子图 ； 2. 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有支 路移去后，原连通图留下的图形仍然是连通的。
C1
C5
C2
C1(1, 4, 7,9)
C3
C2(2, 8, 9)
C4
C3(3, 4, 7, 8)
C4(5, 7, 8)
C5(6, 4, 7)
任一连通图可选不同的树，但是树一旦选定， 基本割集就唯一确定了。
基本割集数取决于树支数
小结：
对任一较复杂的连通图G，可以选出很 多个回路和割集。但树一经选定后，连通图 G中的树支和连支就完全确定了，因此，连 通图中的基本回路和基本割集也就完全确定 了。
支路：每个二端元件用一条线段表示(无论长短曲直)， 即为一个支路。
[注] 有伴电压源、有伴电流源可构成复合支路
节点：支路的端点。 网络的图（拓扑图）：
节点（点）和支路（线段）的集合 ，符号G表示
网络的图
网络的图只表明网络中各支路的联接情 况，而不涉及元件的性质。即它只是用以表 示网络的几何结构（或拓扑结构）的图形。
(1) 若节点i与支路bk无关联，则aik=0；
Aa
aik
nt b
(2) 若节点i与支路bk有关联，且支路 bk的参考方向是离开节点i 的(正向关 联)，则aik=1；
(3) 若节点i与支路bk有关联，且支路bk的参考方向是 指向节点i的(反向关联)，则aik= 1。
网络的图
M
右图网络的网络图中包含有
两个独立部分。虽然网络中存在互 感，但在网络图中并不反映出磁耦 合M，因为M属于网络中支路的特 性，而不属于网络图的性质。
一个网络图可以有多个独立部分。
左面两个图，上面的图中包
含有一个单独节点，下面的图中
有一条支路的两端终止在同一个
节点上，称“自环”。这些情况
都属于图，但对“自环”图，将
每一树支必定可以和若干连支一道构成一个割集
只包含一条树支的割集叫基本割集（单树支割集）
每一树支只能与其所属各基本回路中的连支一道构 成一个基本割集。
C1
C2
C3
C1(1, 6, 9)
C2(2, 8, 9)
C4
实线：树支 虚线：连支
C5
C3(3, 6, 8)
C4(4, 6, 7)
C5(5, 7, 8)
C
桥问题就变为一道数学问题：在左图中是否
D 可能连续沿各线段，从某一始点出发只经过
各线段一次且仅仅一次又回到出发点，即是
B
否存在一条“单行曲线”。
欧拉得出了一般结论，即存 A 在单行曲线的必要、充分条件是
奇次顶点（联接于顶点的线段数
为奇数）的数目为0。显然右图 C
D
不满足此条件，因此，七桥问题
而且Ga和Gb又没有公共的支路，则Ga和Gb互为补图。
§1-2 树和树余·树支和连支
任一连通图G的树T是满足以下三个条件的子图： 1. 该子图中包含了连通图G的全部节点； 2. 该子图也是一个连通图； 3. 该子图中不包含任何回路。
树余:连通图中与树互补的子图。
树、树支
树余、连支
任一连通图G中可以选出许多不同的树。但树 一经选定后，图G的所有支路中，哪些是树支，哪 些是连支，就完全确定了。
不作讨论。
有向图：对图中的支路指定参考方向。
[注] 该方向通常为支路电流方向
4
①
②
1
3
6
2
5
连通图
③
非连通图 连通图：图中任意两节点间至少有一条路径。
子图：若图G1的每个节点和支路也是图G的节点和支路，
即图G1是图G的一部分，则称图G1是图G的一个子图。
[注] 子图中可能出现孤立点
补图：如果图G的子图Ga和Gb包含了G的所有支路和节点，
网络
图
矩阵
图论是数学家欧拉创始的。1736 年欧拉解决了有名的难题，哥尼斯堡 城七桥问题。该镇的普雷格尔河中有 两个小岛，共有七座桥与两岸彼此连 通，问题：从陆地或岛上任一地方开 始，能否通过每座桥一次且仅仅一次 就能回到原地。
A
C
D
B
A
欧拉用顶点表示陆地区域，用联接相应
顶点的线段表示各座桥（如左图），于是七