对数函数及其性质知识点
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
高中数学重点知识总结——对数函数及对数函数图象性质知识点总结
高中数学重点知识总结对数函数及对数函数图象性质一、对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。
二、对数函数的图象三、对数函数图象的性质1.图象都过定点()0,1。
定义域：()0,+∞，值域：R 。
2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。
3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。
四、对数函数图象的对称性由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。
五、反函数1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
如3x y =与3log y x =互为反函数。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
六、指、对、幂函数的增长快慢比较任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。
（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。
（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。
七、高中阶段常见的考查方式1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。
2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。
3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。
4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。
5.跟据对数式值的正负找不等式关系。
如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。
若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。
6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或 判断奇偶性。
7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
高中对数运算知识点总结
高中对数运算知识点总结一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是一种表示指数运算的逆运算。
当a的x次方等于b时，就称loga b等于x，表示为loga b = x。
其中，a叫做底数，b叫做真数，x叫做对数。
2. 对数的性质（1）对数的底数不为1且不等于0。
因为对数的底数不能为1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（2）对数的底数不等于1且不等于0。
因为对数的底数不等于1或0，否则无法对应一个唯一的真数。
（3）对数的真数必须大于0。
因为对数的真数必须大于0，否则无法定义对数。
（4）logab = logcb / logca对数的底数不影响对数的计算，可以利用这个性质进行对数运算的计算。
（5）a^logab = b这是对数的定义的逆过程，当底数为a时，对数运算和指数运算是相互逆的。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则（1）对数的乘法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (mn) = p+q。
两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
（2）对数的除法法则若loga m = p，loga n = q，则loga (m/n) = p-q。
两个数相除的对数等于这两个数的对数之差。
（3）对数的幂运算法则若loga m = p，则loga (m^k) = k*loga m。
一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以幂的指数。
2. 对数的换底公式在计算对数时，如果底数不同，可以使用对数的换底公式来计算。
loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为任意正数，且a≠1，b>0，c>0，c≠1。
三、对数函数1. 对数函数的定义和性质对数函数是指以某一固定的正数a为底的函数，通常表示为y=loga x。
对数函数的图像是一条连续递增的曲线。
2. 对数函数的性质（1）定义域对数函数的定义域为正实数集（x>0），因为对数函数的真数必须大于0。
（2）值域对数函数的值域为全体实数集，因为当底数大于1时，对数函数是递增函数，当底数在(0,1)之间时，对数函数是递减函数。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种重要的函数类型，广泛应用于各个科学领域。
本文将对对数函数的基本定义、性质以及应用进行总结。
1. 定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设a是一个正实数且a≠1，b是任意正实数，则“以a为底b的对数”可以表示为logₐb。
其中底数a称为对数的底，b称为真数，logₐb称为对数。
对数函数通常用f(x) = logₐx表示。
对数函数具有以下基本性质：1）logₐ1 = 0：任何数以其本身为底的对数等于1。
2）logₐa = 1：任何数以其本身为底的对数等于1。
3）logₐaˣ = x：对数函数的一个基本性质是，以a为底的对数函数中，a的x次幂等于x。
即logₐaˣ = x。
4）logₐxy = logₐx + logₐy：对数函数中，底为a的对数函数中，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
即logₐxy = logₐx + logₐy。
5）logₐxⁿ = nlogₐx：对数函数中，底为a的对数函数中，以x为真数n次幂的对数等于n乘以以底为a，真数为x的对数。
即logₐxⁿ = nlogₐx。
2. 常用对数和自然对数常用对数函数是以10为底的对数函数，通常用log(x)表示，即log(x) = log₁₀x。
常用对数函数的性质和定义与之前的对数函数一致。
自然对数函数是以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数函数，通常用ln(x)表示，即ln(x) = logₑx。
自然对数函数的性质与定义也与之前的对数函数相同。
3. 对数函数的应用对数函数在实践中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1）指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长和衰减方面非常有用。
当某个变量随着时间的增加以指数形式增长或减少时，可以使用对数函数来描述其增长或减少的速度和幅度。
2）复利计算：对数函数在金融和投资领域中的应用非常重要。
例如，复利计算中，对数函数可以帮助计算利息的增长速度和总额。
对数函数及其性质知识点
对数函数及其性质1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解： （1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x前面的系数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a（x-1），y=2log a x ，y=log a x+21等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表名称 指数函数 对数函数一般形式 y=a x（a ＞0且a ≠1）y=log a x（a ＞0且a ≠1）定义域 R （0，＋∞）值域（0，＋∞）R函数值 变化 情况当1a >时，1010010x xx a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，， 当01a <<时，0101010x xx a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩，，，， 当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，，；当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a ax x x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><<⎩，，，，，单调性当a ＞1时，y=a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=a x是减函数．当a ＞1时，y=log a x是增函数；当0＜a ＜1时，y=log a x是减函数．图象y=a x（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．当a ＞1时， 当0＜a ＜1时，补充 性质 当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大；0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小．当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大； 当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数。
对数对数函数知识点
对数对数函数知识点对数函数是指以对数为变量的函数。
在数学中，对数函数常用于解决指数方程和指数不等式的问题。
了解对数函数的性质和应用十分重要。
以下将介绍对数函数的定义、性质以及常用的应用方面的知识。
一、对数函数的定义：对数函数的定义如下：对于任意正实数a>0且a≠1，以a为底的对数函数（logarithmic function）是指一个函数f(x)，它满足以下条件：f(a)=1,f(a^x)=x,这里，a被称为对数函数的底数，x被称为实数a的对数。
常用的对数函数有自然对数函数(ln x,以e为底)和常用对数函数(log x,以10为底)。
二、对数函数的性质：对数函数具有以下性质：1.对数函数的定义域为正实数集合R+，值域为实数集合R。
即对数函数的自变量必须为正数，而因变量可以是任意实数。
2.对数函数的图像：（1）以10为底的对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
（2）以e为底的自然对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
3.对数函数的反函数：对数函数的反函数为指数函数，即指数函数f(x) = a^x是对数函数f(x) = loga(x)的反函数。
4.对数函数的性质：（1）loga(mn) = loga(m) + loga(n)：对数函数的乘法性质。
（2）loga(m/n) = loga(m) - loga(n)：对数函数的除法性质。
（3）loga(m^k) = k∙loga(m)：对数函数的幂性质。
三、常用的对数函数应用：对数函数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。
以下是对数函数的一些常见应用：1.解指数方程和指数不等式：对数函数可以通过将指数方程或指数不等式转化为对数方程或对数不等式来解决复杂的指数问题。
2.模型和估计：对数函数可以用于建立各种类型的数学模型，例如经济学、生物学和物理学等领域中的增长模型和衰减模型。
对数函数还可以用于对大量数据进行估计和预测。
3.数据缩放：对数函数可以在可视化数据时使用，帮助将大范围的数值缩小到较小的比例，以便更好地观察数据之间的关系。
对数及对数函数 知识点总结及典例
对数及对数函数一．知识梳理 （一）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是ba ＝ N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N ＝ b 其中a 称对数的底，N 称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，log e N ，记作N ln ；3）指数式与对数式的互化 ba ＝ N ⇔log a N ＝b ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）log 10a =；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=；3）∈=n M n M a na (log log R ）。
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a na m log log =。
（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．2三．【例1】比较下列各组数的大小：（1）3log 2与()23log 3x x -+（2） 1.1log 0.7与 1.2log 0.7（3）32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小：4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 （ ） A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x，则x 的值为 （ ）A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
高考对数函数知识点
高考对数函数知识点一、引言高考是对学生多年来知识积累和学习成果的一次综合考验，其中数学是高考必考科目之一。
在数学中，对数函数是一个重要的知识点。
本文将从对数函数的定义、性质以及常见的应用等方面，深入探讨高考中的对数函数知识点。
二、基本概念1. 对数函数的定义对数函数是指一个以底数为a的指数函数。
由以下公式可表示：y = loga(x)，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
2. 对数函数的性质（1）基本性质：loga1 = 0；logaa = 1（2）换底公式：loga(x) = logb(x) / logb(a)（3）对数的运算法则：loga(xy) = logax + logay三、常见公式与应用1. 指数与对数的关系指数和对数是互为逆运算的关系。
例如，对数函数和指数函数的关系表达为：a^loga(x) = x，loga(a^x) = x。
这个关系在高考中常用于简化计算。
2. 对数函数的图像与性质（1）底数大于1时，对数函数呈现递增趋势；底数小于1时，对数函数呈现递减趋势。
（2）对数函数必须有定义，即真数必须大于0。
（3）对数函数的图像始终通过点（1,0），并且当x趋近于正无穷时，对数函数的值也趋近于正无穷。
（4）对数函数的图像在x轴左侧与y轴始终相切于第四象限，并且在x=0处有一个垂直渐近线。
3. 对数方程与不等式（1）对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的关键是转化为指数方程或利用对数的性质简化方程。
（2）对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的关键是利用对数函数的单调性进行推导。
四、典型题目解析高考中常出现关于对数函数的典型题目，如以下题目可进行解析：题目1：若2^x + 2^(x+1) = 12，则x = ?解析：将2^(x+1)表示为2*2^x，然后将方程化简为2^x(1+2) = 12，即3*2^x = 12。
进一步得到2^x = 4，从而 x = 2。
题目2：已知对数函数y = log2x，则当y=3时，x=？解析：将y = 3代入对数函数中，得到3 = log2x。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
高一数学对数函数知识点
高一数学对数函数知识点一、对数函数的基本概念对数函数是数学中的一种基本函数，它与指数函数有着密切的关系。
在高一数学的学习中，对数函数的概念、性质和应用是重要的知识点。
对数函数可以定义为：如果a^b=c（其中a>0，且a≠1，b和c为实数），那么数b就称为以a为底c的对数，记作b=log_a c。
二、对数的运算法则对数的运算法则是解决对数问题的基础。
以下是几个基本的对数运算法则：1. 乘法变加法：log_a (xy) = log_a x + log_a y2. 除法变减法：log_a (x/y) = log_a x - log_a y3. 幂的对数：log_a (x^b) = b * log_a x4. 对数的换底公式：log_a x = log_c x / log_c a，其中c为新的底数。
掌握这些运算法则对于解决复杂的对数问题至关重要。
三、常用对数函数在高中数学中，最常用的对数函数是自然对数和常用对数。
1. 自然对数：以e（约等于2.71828）为底的对数称为自然对数，记作ln x。
自然对数在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，记作log x。
常用对数在科学计数法中经常被使用。
四、对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质是理解对数函数行为的关键。
对数函数y=log_a x具有以下性质：1. 函数图像总是通过点(1,0)，因为任何底数的0次幂都等于1。
2. 对数函数是单调递增的，这意味着随着x的增加，y也会增加。
3. 当x>0时，函数有定义；当x<=0时，函数无定义。
4. 对数函数的图像是一条在y轴右侧的曲线，永远不会与x轴相交。
五、对数函数的应用对数函数在实际问题中有许多应用，例如：1. 复利计算：在金融领域，对数函数可以用来计算连续复利。
2. 地震强度：地震的强度常常用对数来表示，因为地震能量的增加与震级不是线性关系。
3. pH值计算：在化学中，pH值是衡量溶液酸碱度的指标，它是基于对数的计算。
对数函数及其性质知识点总结与例题讲解
底数
a 1
0 a 1
y
y
图象
1
O
1
x
O
x
定义域
0,
值域
R
定点 性
过定点 1,0 ,即当 x 1时, y 0
质 函数值 当 0 x 1 时, y 0 ;
当 0 x 1 时, y 0 ;
的正负
当 x 1时, y 0 .
当 x 1时, y 0 .
∴定点的坐标为 3,3
∴函数 y b xc 2 的图象恒过点 3,3
令 x c 3 c 0 ,则 c 3, y b0 2 3 ,符合题意.
∴实数 c 的值是 3.
例 9. 已知函数 f x log2 1 2x ,则函数的值域是【 】
注意 若比较图象与直线 y 1的交点,交点的横坐标越大,对应的函数的底数越小.
说明 在平面直角坐标系中,对数函数 y loga x 的图象与直线 y 1的交点为 a,1,即交
点的横坐标等于对数函数的底数,故在第一象限内,交点的横坐标越大,对数函数的底数就
越大;对数函数
y
log a
（A） 1,1
（B） 1,2
（C） 2,1
（D） 2,2
解:令 x 1 1,则 x 2 , y loga 1 1 1
∴函数 f x 的图象恒过点 2,1 .
选择【 C 】.
例 6. （ 1 ） 函 数 f x loga 2x 3 4 （ a 0 且 a 1） 的 图 象 恒 过 定 点
∴ log2 1≤ log2 x log2 64 ,∴ 0 ≤ log2 x 6 ,即 0 ≤ y 6 .
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】 已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】 在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。
高中数学对数函数知识点
高中数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的重要内容，以下是关于对数函数的主要知识点：一、对数的定义与性质：1. 对数的定义：设a为正实数，且a≠1，b为正实数，若满足a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a称为底数，b称为真数。
2.对数的性质：- loga1=0，其中a为任意正实数，且a≠1；- logaa=1，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m*n)=logam+logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m/n)=logam-logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- logam^n=n*logam，其中a为任意正实数，且a≠1；- logab=logcb/logca，其中a、b、c为任意正实数，且a≠1、b>0、c>0；二、对数函数的图像与性质：1. 对数函数：设a为正实数，且a≠1，函数y=logax (x>0) 称为以a为底的对数函数。
其中，a称为底数。
2. 对数函数y=logax的图像特点：-定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)；-x轴为渐进线，即y趋近于负无穷大；-当x=1时，y=0，是对数函数的特殊点；-当x>1时，y>0，y随着x的增大而增大，呈现增函数的特点；-当0<x<1时，y<0，y随着x的减小而减小，呈现减函数的特点；-当x=a时，y=1，是对数函数的特殊点。
三、对数方程与对数不等式：1.对数方程：对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的一般步骤为：-用对数的定义化简方程；-化简后的方程，得到一个以指数形式表示的方程；-解指数方程；-检验解是否符合原方程的定义域。
2.对数不等式：对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的一般步骤为：-用对数的定义化简不等式；-不等式中含有对数，要确定其定义域；-将不等式拆分成多个小不等式；-解每个小不等式的解集；-根据定义域的限制，得到最终的解集。
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对数函数及其性质
1.对数函数：一般地，把函数y=log a x(a>0,且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+∞)．
2.为了更全面、更深刻的理解对数函数的概念，还应从以下三个方面理解：
（1）定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是（0，+∞）；
(2)底数：对数函数的底数a ＞0且a ≠1；
（3）形式上的严格性：和指数函数一样，在对数函数的定义表达式y=log a x （a ＞0且a ≠1）中，log a x
前面的系
数必须是1，底数为大于0且不等于1的常数.对数的真数仅有自变量x ，否则不是对数函数.例如y=log a （x-1）
，y=2log a x
，y=log a x
+
2
1
等函数是由对数函数变化而得到的，但不是对数函数. 指数函数和对数函数对照表
名称 指数函数 对数函数
一般形式 y=a x
（a ＞0且a ≠1）
y=log a x
（a ＞0且a ≠1）
定义域 R （0，＋∞）
值域
（0，＋∞）
R
函数值 变化 情况
当1a >时，101
0010x x
x a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<<⎩，，，，， 当01a <<时，0101
010x x
x a x a x a x ⎧<<>⎪==⎨⎪><⎩
，，，， 当1a >时，log 01log 01log 001a a a x x x x x x >>⎧⎪
==⎨⎪<<<⎩，，，，，；
当01a <<时，log 01log 01log 00 1.a a a
x x x x x x <>⎧⎪
==⎨⎪><<⎩，，，，，
单调性
当a ＞1时，y=a x
是增函数；
当0＜a ＜1时，y=a x
是减函数．
当a ＞1时，y=log a x
是增函数； 当0＜a ＜1时，y=log a x
是减函数．
图象
y=a x
（a ＞0且a ≠1）的图象与y=log a x
（a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称．
当a ＞1时， 当0＜a ＜1时，
补充 性质 当a ＞1时，图象向上越靠近y 轴，底数越大； 0＜a ＜1时，图象向上越靠近y 轴，底数越小． 当a ＞1时，图象向右越靠近x 轴，底数越大； 当0＜a ＜1时，图象向右越靠近x 轴，底数越小．
3.反函数：一般地，式子y=f(x)表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x ，得到式子x=φ(y).如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x 在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x 是自变量y 的函数。
这样的函数x=φ(y) 叫做函数y=f(x)的反函数，记
作x=f -1(y), 即x=φ(y)=f -1
(y).
在函数式x=f -1
(y)中，y 表示自变量，x 表示函数。
但在习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，
为此，我们常常对调x=f -1(y)中的字母x,y ，把它改写成y=f -1
(x). 函数y=f(x) 反函数的反函数正好是它的本身。
函数y=f(x)的定义域正好是它反函数y=f -1(x)的值域；反之，函数y=f(x)的值域也是它反函数y=f -1
(x)的定义域。
4.一个函数存在反函数的充要条件是：变量x 、y 之间具有一一对应关系
可从以下两个角度研究：（1）方程解的个数上，由y=f （x ）出发，所得的x 仅有一个解；（2）图像交点个数上，与直线y=y 0（y 0∈A ）有且只有一个交点.
5.（1）函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f －1
(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）若函数y=f(x)的图像上有一点（a ，b ），则（b ，a ）必在其反函数的图像上，反之，若（b ，a ）必在反函数的图像上，则（a ，b ）必在原函数图像上； （3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性. 6.函数y=x 2
的定义域是R ，值域是[0,+∞).由y=x 2
解出x=y ±
,对于y 在[0,+∞)上任一个值，
通过式子x=y ±，x 在R 上有两个值和它对应，故x 不是y 的函数。
这表明函数y=x 2
没有反函数，所以并非所有的函数都有反函数！
7.求反函数的步骤：（1）先求y=f （x ）的值域；（2）由y=f(x)解出x=f -1（y ）；（3）把x=f -1（y ）改写成y=f -1
（x ），并写出定义域（即原函数的值域）. 8.求下列函数的反函数
(1)y=3x-1(x ∈R)(2)y=x +1(x ≥0)（3）y=x +1(x ≥1)（4）y=x 2
+1(x ≤0)
解: (1)由y=3x-1,解得x=31+y ，所以,函数y=3x-1(x ∈R)的反函数是y=31
+y （x ∈R ）； （2）由y=x +1,解得x=(y-1)2, 函数y=x +1(x ≥0)的反函数是y=(x-1)2
(x ≥1)；
（3）y=x +1(x ≥1)○1解：x =y-1，x=（y-1）2,所以y=（x-1）2
（x ≥2）；
（4）y=x 2
+1，x=)1(1≥--
y y ，所以反函数y=)1(1≥--y y。