线性代数课件_第六章_线性空间与线性变换——习题课

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线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——1

量空间 . 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律．
( a n x n a 1 x a 0 ) ( b n x n b 1 x b 0 )
( a n b n ) x n ( a 1 b 1 ) x ( a 0 b 0 ) P[x]n
(a n x n a 1 x a 0 )
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n )T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
由于所定义线的性运,运所算算以 S不 n不是是线性.空间
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二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
则有 0
0 .
向量的负元素记为 .
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3 . 0 0 ; 1 ;0 0 .
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0 ,
1 . 0 1 0
素，则对任何 V，有
0 1 , 0 2 .
由于 01,02V, 所以 0 2 0 1 0 2 ,0 1 0 2 0 1 .
0 1 0 1 0 2 0 2 0 1 0 2 .
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2．负元素是唯一的．
证明假设有两个负元素与，那么
0 , 0 .
设 ,, V ;, R
(1 ) ;
( 2 ) ;
(3)在 V 中存在 0,对零任元 V 何 ,都素有 0;
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第六章习题课线性代数 (3)

性指数, 并且秩相同.应选（B）.
例 8 用正交变换化二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32 4x1x2 4x2 x3 为标准形, 并求
出该正交变换.
1
解
二次型的对应矩阵为
A

2
2 2
0 2

.则由
A
的特征方程
0 2 3
解得 a 3.于是
5 A 1
1 5
3 3 .
3 3 3
5 1 3 I A 1 5 3 ( 4)( 9) ,
3 3 3
所以 A 的特征值为 1 0, 2 4, 3 9 .
（2）由（1）知存在正交矩阵 P , 使得
注用正交变换 X PY 化二次型为标准形, 这类题若要求写出正交变换 X UY , 计
5
算量大.若只要求知道结果, 即仅需知道标准形, 则计算量不大.在解答中要注意区分和判断.
例 12 已知二次曲面方程 x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4 可以经过正交变换
绕 y 轴旋转而成的空间曲面的性质, 可以得到该曲面可
y2
由

4
z2
1绕 y 轴旋转而成,
也可由
x2

y2 4
1绕 y 轴旋转而成.
x 0
z 0
例6
空间曲线
x2 y2 4
所属曲线类型是
.
z c
解该曲线可由平行与 xoy 平面的一平面 z c 截双曲柱面 x2 y2 4 所得, 为双曲线.
解
二次型
f

线性代数课件第六章线性空间与线性变换——第1节

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那上的向量空间（或线性空间）．么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间．不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运一个集合，算不是通常的实数间的加乘运算，算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律．否满足八条线性运算规律．正实数的全体，例６正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间．验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间．证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一，线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是线性空间是为了解决实际问题而引入的，某一类事物从量的方面的一个抽象，某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．问题．

线性代数课件第六章

那么, 1 , 2 , ···, n 就称为线性空间 V 的一个基, n 称为线性空间 V 的维数.
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间,记作 Vn .
二、向量在基下的坐标
若知 1 , 2 , ···, n 为 Vn 的一个基, 则 Vn 可表示为
Vn { x11 x22 xnn | x1,, xn R} ,
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x (a0 ) P[x]n ,
所以 P[ x ]n 是一个向量空间.
例 2 n 次多项式的全体
Q[x]n {p an xn a1x a0 | an ,, a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间. 这是因为 0 p = 0 xn + ···+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 Q[ x ]n 对运算不封闭.
要条件是 L 对于 V 中的线性运算封闭.
第二节维数、基与坐标
主要内容
向量空间维数的定义向量在基下的坐标向量的运算向量空间同构
一、向量空间维数的定义
在第四章中, 我们用线性运算来讨论 n 维数组向量之间的关系, 介绍了一些重要概念, 如线性组合、线性相关与线性无关等等. 这些概念以及有关的性质只涉及线性运算, 因此, 对于一般的线性空间中的元素仍然适用. 以后我们将直接引用这些概念和性质.
(ii) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c);
(iii) R+ 中存在零元素 1 , 对任何 a R+ , 有
a 1 a 1 a;
(iv) 对任何 a R+ , 有负元素 a-1 R+ , 使

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即
( (1 ), (2 ), , (n )) (1 ,2 , ,n )A
A (aij )nn Pnn是在基1 ,2 , ,n下的矩阵. 注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基1 ,2 , ,n
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
利用线性变换的矩阵A, 求出A的特征多项式
f () | E A |
在给定数域中的根,即为所求特征值.
对特征值λ,求出齐次线性方程组
( E A)X 0
的基础解系,以基础解系中解向量为坐标所得向量即为线性变换的属于特征值λ的全部线性无关的特征向量. (注: 如果求矩阵A的特征向量,则基础解系中解向量即为所求的全部线性无关的特征向量)
充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A)
可对角化. 3) 对角化的方法
因可对角化 A可对角化(其中A是在某
组基下的矩阵).
因此对角化问题可转化为A对角化问题.
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对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |,求出A的全部特征值1 , 2 , , s ;
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零
矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
同的(彼此相似).
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2. 与 ( )的坐标关系式
设在基1 , 2 , , n下的矩阵是A, 与 ( ) 在基1 , 2 , , n下的坐标分别是( x1 , x2 , , xn )和
4. 相似矩阵同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；

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第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节
向量的内积方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的对角化二次型与线性变换二次型的标准形用配方法化二次型为标准形正定二次型
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第六章线性空间与线性变换
第一节第二节第三节第四节
线性空间的定义及性质维数基与坐标基变换与坐标变换线性变换及其矩阵表示
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Chapter 4 Linear Systems of Equations
Section 1 Existence of Solutions of the Systems of Linear Equations
Section 2 Homogenous Systems of Linear Equations Section 3 Non-homogeneous Systems
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Contents
Chapter1 Determinant Chapter2 Linear Dependence of Sets of Vectors Chapter3 Matrix Chapter4 Linear Systems of Equations Chapter5 Similar matrices and quadratic form Chapter6 Linear Space and Linear Transform
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or a column Section 4 Cramer’s Rule
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Chapter 2 Linear Dependence of Sets of Vectors
and Vector space

线性空间与线性变换习题

则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
a b = a+b, °a = a, (R, a, bR+)
问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的) 线性空间.
解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.
例如,
(8) (k+l)°a = ak+l = ak al ak+al = ak al = k°a l °a .

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VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为一门独立的数学分支，并在20世纪得到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形矩阵，从而求解方程组。

《线性代数》教学课件—第6章线性空间与线性变换第三节基变换与坐标变换

第三节基变换与坐标变换
主要内容
定义坐标变换公式
由例 6 可见, 同一元素在不同的基下有不同的坐标, 那么, 不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢?
一、定义
设 1 , 2 , ···, n 及 1 , 2 , ···, n 是线性空
间 Vn 中的两个基, 且有
1 p111 p212 pn1n ,
x1
x2
P
x2
,
或
x2
P
1
x2
.
xn
xn
xn
xn
证明证明 x1
x1
x
x
(3)
x1 x
pn2
2
PT
2
(p1P,nn 2xx足两x,1n2变种n,,换坐或这n公标个)P式满定xxx（1n2足理2坐n的）标P逆变命1 换题xxx1n2公也式成（立3.）即若，任则一两元个素基的满
例8
在 R3 中求向量
3
7
在基
1
1
1 3,
5
6
2 3,
2
3
3 1
0
下的坐标.
解求向量在基 1 , 2 , 3 下的坐标,即
用基 1 , 2 , 3 表示向量 . 用矩阵的初等行变
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请本若节想请本单若内请结本若节击想请本单若内请结本若节击想请本单若节想内请结本本单若若节击想请请本容单若束节想内请返结本本单若若节击想请请本容单若束节想内请返结本单若节击想内请结本容单若束节节击想想内请返结本单单若节已击想本内请结本容单若回束节节想想击内请返结单单节已击想本内结本容单若回束节想击内请返结容单束节已击想本内内返结结本容单若回束节击想击内结请返结堂容单束节已击想按本内内返结结本容单若回束击击内结请返结堂容束节已击想按本内返结本容单若回束已击本内结请返结堂容容回束束节已击想按本内返返结容束单回束课已击本内结返结钮堂容容回束束节已击想按本返返容束单回束课已本内结返结钮堂容回束节已击想按本结返堂容束单回束课已已按本本内结返结钮堂容回回束已击按本,结返堂容束回束课.已已按本本内结!返结钮堂回回已击按本,结堂容束回束课.已按本内结!返结钮堂束回课已击按本,结结钮堂堂容束回束课.已按按本结!返钮堂束回课已按本,结结钮堂堂容束回束课.按按结!返钮堂束课已按本,结钮堂容束回束课.按,结!返钮堂束束课课.已按本,结!钮钮堂束回课.按,结!钮堂束束课课.已按本,!钮钮束回课.,结!钮堂束课.已按本,!钮束回课.,,结!钮堂束课..按,!!钮束课.,,结!钮堂..按,!!束课.,结!钮堂.按,!束课.,!钮.,!束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!

线性代数课件_第六章_线性空间和线性变换——习题课

线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何 n维线性空间都与 R n同构，即维数相等的线性空间都同构．
2019/10/18
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５基变换
设 1 ,, n 及 1 ,, n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,

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(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V,都有
0 ; (4)对任何 V,都有的负元素 V,使
0;
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(5)1 ;
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课件
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设A,T() ,就说变换T把元素变为, 称为在变换T下的象,称为在变换T下的源.
A称为变换T的源集,象的全体所构成的集称合为象集,记作T(A),即
T(A) T()A,
显然T(A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
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( 1 ) a b a b b b a a ;
(2)a ( b) c(a)b c(a)c ba(b)c
a (b)c a (b c);
(3)1R, 1a1aa,
1是R中的零元 ; 素
(4)a0,10,即1R,
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记 T ( 1 , 2 , , n) (T ( 1), T ( 2), ,T ( n)), 上
式可表示为
T ( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n) A,
其中

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( x1 , x2 , , xn )T .
2020/4/14
线性代数
一般地，设 V与 U 是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U 同构．
线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何 n 维线性空间都与 Rn同构，即维数相等的线性空间都同构．
(3)0 0;(1) ; 0 0; (4)如果 0,则 0或 0.
2020/4/14
线性代数
３子空间
定义设 V 是一个线性空间，L是 V的一个非空子集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称 L为 V的子空间．
定理线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分必要条件是：L对于 V 中的线性运算封闭．
维数为n的线性空间称为n维线性空间,记作V n .
2020/4/14
线性代数
定义设 1 , 2 , , n是线性空间V n的一个基,对于任一元素 V n ,总有且仅有一组有序数x1 , x2 , ,
xn,使
x1 1 x2 2 xn n , x1 , x2 , , xn 这组有序数就称为元素在 1 , 2 , , n 这个基下的坐标,并记作
量和矩阵的形式, (1)式可表示为
2020/4/14
线性代数
1 p11
2
p12
n p1n
p21 p22
p2n
pn1 1
1
pn2 2
PT
2
pnn n
n
或 ( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n)P. (2)
(1)或(2)称为基变换公式,矩阵P称为由基 1 ,
2020/4/14
线性代数
４线性空间的维数、基与坐标
定义在线性空间V中,如果存在n个元素 1 , 2 , , n ,满足:
(1) 1 , 2 , , n 线性无关; (2)V中任一元素总可由 1 , 2 , , n 线性表示,那么, 1 , 2 , , n 就称为线性空间V的一
个基, n称为线性空间V的维数.
2020/4/14
线性代数
设 A,T ( ) ,就说变换T把元素变为 , 称为在变换T下的象,称为在变换T下的源.
A称为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集,记作T ( A),即
T ( A) T ( ) A,
显然T ( A) B.
变换的概念是函数概念的推广．
2 ,
,
n到基
1,
2 ,
,
的
n
过渡矩
阵.由于
1
,
2 , , n 线性无关,故过渡矩阵可逆.
2020/4/14
线性代数
６坐标变换
设V n中的元素 ,在基 1 , 2 , , n 下的坐标为
( x1 , x2 , , xn)T ,
在基
1,
2 ,
,
下的坐标为
n
( x1', x2 ', , xn ' )T ,
2020/4/14
线性代数
(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V , 都有
0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
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线性代数
(5)1 ;
(6)( ) ();
(7)( ) ;
(8)( ) ,
T (k ) kT ( ),
那么,T就称为从V n到U m的线性变换.简言之,线性变换就是保持线性组合的对应的变换.
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线性代数
特别地,如果U m V n ,那么T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换, 称为线性空间V n中的线性变换.
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线性代数
８ , n)P.
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线性代数
７线性变换的定义
设有两个非空集合A, B,如果对于A中的任一
元素 ,按照一定规则,总有B中一个确定的元素
和它对应,那么, 这个对应规则称为从集合A到集合 B的变换(或映射),记作
T ( ) 或 T ,( A).
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（或线性空间），V中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．
简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．
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线性代数
２线性空间的性质
(1)零元素是唯一的;
(2)任一元素的负元素是唯一的,的负元素记作 ;
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线性代数
设V n ,U m 分别是实数域上的n维和m维线性空间,T是一个从V n到U m的变换,如果变换T满足
(1)任给 1 , 2 V n ,(从而 1 2 V n),有
T ( 1 2) T ( 1) T ( 2); (2)任给 V n , k R,(从而k V n),有
线性代数
2020/4/14
线性代数
第六章线性空间与线性变换
2020/4/14
线性代数
１线性空间的定义
设V 是一个非空集合, R为实数域.如果对于任
意两个元素 , V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的和,记作 ;又对于任一数 R与任一元素 V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的积,记作 ;并且这两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R) :
若两个基满足关系式
( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n)P
则有坐标变换公式
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线性代数
x1 x1'
x2
P
x2 ' ,
xn xn'
x1'
x1
或
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换公式, 则两个基满足基变换公式
2020/4/14
线性代数
５基变换
设 1 , , n 及 1 , , n是线性空间V n中的两
个基,
1 p11 1 p21 2 pn1 n ,
2
p12 1
p22
2
pn2 n
,
(1)
n p1n 1 p2n 2 pnn n ,
把 1 , , n 这n个有序元素记作( 1 , , n),利用向