锐角的三角比 知识讲解
锐角三角比讲义..
【知识点总结与归纳】1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A 的余切=A a =A b∠的邻边，即cotA ∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A ∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA 的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角 直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间） 解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A= 余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
沪教版初三上册397914锐角的三角比 知识讲解
沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即.同理；；；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、、常写成、、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA ＞0 cotA ＞0.要点二、特殊角的三角函数值C a b要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B． C． D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（1）】【变式】在Rt△ABC中，，若a=3，b=4，则，，，，．【答案】5 ，，，，．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+cot30°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==﹣．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=+2．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课堂：《锐角三角函数》专题第一讲：锐角三角函数---例1（3）】【变式】在Rt△ABC中，，若∠A=45°，则，，，，．【答案】45°，，，，．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴．又∵ CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，，PC、PA均为未知，而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2；(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由得BC＝3a，∴，∴ CD＝5a-4a＝a，，∴．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC 的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
《求锐角的三角比的值》 讲义
《求锐角的三角比的值》讲义一、锐角三角比的定义在直角三角形中，锐角的三角比包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。
正弦（sin）等于锐角的对边与斜边的比值；余弦（cos）等于锐角的邻边与斜边的比值；正切（tan）等于锐角的对边与邻边的比值。
例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠A 为锐角，其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b。
二、特殊锐角的三角比值我们先来了解一些特殊锐角（30°、45°、60°）的三角比值，这些是需要大家牢记的。
1、 30°角对于 30°角的直角三角形，假设斜边为 2，对边为 1，根据勾股定理可得邻边为√3。
所以，sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3。
2、 45°角在等腰直角三角形中，两个直角边相等，假设直角边为 1，斜边为√2。
则 sin 45°＝ cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1。
3、 60°角与30°角相对应，60°角的直角三角形中，假设斜边为2，邻边为1，对边为√3。
所以，sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3。
三、利用三角函数定义求三角比值当已知直角三角形的边长时，我们可以直接根据三角比的定义来求出相应锐角的三角比值。
例如，在直角三角形中，∠C 为直角，∠A 为锐角，已知∠A 的对边为 4，邻边为 3，斜边为 5。
则 sin A ＝ 4 ／ 5，cos A ＝ 3 ／ 5，tanA ＝ 4 ／ 3。
再比如，一个直角三角形的斜边为 10，一个锐角的对边为 6，那么这个锐角的正弦值就是 6 ／ 10 ＝ 3 ／ 5。
锐角的三角比
锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。
锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。
三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。
这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。
二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。
正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。
三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。
数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。
在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。
四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。
五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。
数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。
六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。
数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。
当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。
七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。
数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。
当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。
锐角三角比
锐角三角比知识点复习1．重要公式(1)在RtABC中，C=90sinA=斜边的对边A ∠=c a cosA=斜边的邻边A ∠=c b tanA=的邻边的对边A A ∠∠=bacotA=的对边的邻边A A ∠∠=ab2.特殊角的三角函数值三角函数030456090Sin Cos Tan Cot可从中看出规律：锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大(或减小而减小)。
锐角的余弦或余切值随着角度的增大而减小(或减小而增大)3.直角三角形中元素间的关系在Rt ABC中，C=90边边关系a 2+b 2=c 2,a 2=c 2－b 2,b 2=c 2－a 2角角关系A+B=90边角关系sinA=cosB=cacosA=sinB=c btanA=cotB=b acotA=tanB=a b4．解直角三角形的应用：(1)坡度(坡比)：坡面的垂直高度h和水平宽度L的比，记作i ，即L hi =，通常坡度写成1:m的形式，如i =1:4,i=1:1.25等。
坡角：坡面与水平面的夹角，记作.坡度与坡角的关系为：i=tan (=L h)(2)仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角。
俯角：在视线与水平视线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。
典型例题考点一锐角三角比概念、特殊角三角比1.已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A.sinB=32； B.cosB=32； C.tanB=32； D.cotB=32.2.在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，以下各线段的比与∠A 的余切值不相等的是（）A．CDAD ；B．BDCD ；C．ABAC ；D．BCAC .3.计算sin60°•cos45°=_________。
4.tan15°•tan75°=________。
5.在坐标平面内，O 为原点，A（2，4），如果OA 与X 轴正半轴的夹角为α，那么cos α=________。
锐角三角比讲义
【知识点总结与归纳】1、锐角的三角比（1）定义：在直角三角形ABC中，A∠为一锐角，则∠A的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边∠A的余弦=A bcos A=c∠的邻边，即斜边,∠A的正切=A atanA=A b∠的对边，即∠的邻边∠A的余切=A a=A b∠的邻边，即cotA∠的对边注：三角函数值是一个比值．定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角。
若A∠为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0<。
同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：1tanA cotA=1tanA=cot A或2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值锐角的三角比的概念（正切、余切、正弦、余弦）已知锐角，求三角比已知锐角的一个三角比，求锐角直角三角形中的边角关系（三边之间、两锐角之间、一锐角与两边之间）解直角三角形已知一边和一锐角已知两边解直角三角形的应用（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系： 倒数关系：1tanA=cot A平方关系：22sin A+cos A=1 积商关系：sin cos tanA=,cot cos sin A AA A A=余角和余函数的关系：如果090A B ∠+∠=，那么sinA=cosB, tanA=cotB （正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系）。
注意：求锐角三角比的值问题（1） 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边”“邻边”，掌握三角比的定义。
（2） 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。
求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求值。
（3） 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线构建含有这个锐角的直角三角形。
锐角三角比
锐角三角比：知识点一：锐角三角比的定义： 一、 锐角三角比定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA=∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角比 2、取值范围 <sinA< cosA< tanA> 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值针对训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B . 45C . 34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2．如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．12B．32C．35D．453.如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（3，4），则sinα=．4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3sin5A=，则这个菱形的面积= cm2．5.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC=，则sin B的值是（）A．23B．32C．34D．436. 如图6，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB=，10BC=，AB=8,则tan EFC∠的值为 ( )Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC∆中，90C∠=︒，6AC=，D为AC上一点，若1tan5DBA∠=，则AD 的长为( )A．2 B．2 C．1 D．228. 如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=3316求∠B的度数及边BC、AB的长.DCBAOyx第8题图A DECBFDABC类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2 C.63 cm 2 D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D. 13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2 特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值． 1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin60tan 2.锐角α 30° 45° 60° sin α cos α tan αCBAABO3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+．5．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；家庭作业：1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.签字确认 学员 教师 班主任DCBAACB。
初中数学：锐角的三角比知识清单
初中数学：锐角的三角比知识清单1.锐角的三角比定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比.正切：把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫这个锐角的正切.即tan A A A ∠=∠的对边的邻边；余切：把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫这个锐角的余切.即cot A A A ∠=∠的邻边的对边；正弦：把直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫这个锐角的正弦.即sin A A ∠=的对边斜边；余弦：把直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫这个锐角的余弦.即cos A A ∠=的邻边斜边；2.性质①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小；②若90A B ∠+∠=︒，则tan ;cot cos sin B B A A ==；③1tan cot A A ⋅=.3.特殊角的三角比30α=︒60α=︒45α=︒tan α3331cot α3331sin α123222cos α3312224.锐角的三角比.⎧⎨⎩已知锐角，求三角比；已知锐角的三角比，求锐角1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.2.直角三角形的边角关系（ABC ∆中，90C ∠=︒）222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B a b a b A A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：3.解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即hi l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan hi l==α一、锐角的三角比1．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边．2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．===A BC a sinA AB c角的斜锐对边边．（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．===A AC b cosA AB c角的斜锐邻边边．（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．===A BC a tanA A AC b角的角的锐对边锐邻边．（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．===A AC bcotA A BC a角的角的锐邻边锐对边．【记忆技巧】正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．二、特殊角的三角比1．特殊角的锐角三角比：【记忆技巧】1．图形推导法2．表格记忆法α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133α30°45°60°sin α122232cos α322212tan α3313cot α3133三、解直角三角形1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．2．在Rt △ABC 中，C ∠=90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：（1）锐角之间的关系：=A B ∠+∠90°；（2）三边之间的关系：222a b c +=；（3）边角之间的关系：A sinA ∠=的斜对边边；A cosA ∠=的斜邻边边；A tanA A ∠=∠的的对边邻边；A cotA A ∠=∠的的邻边对边．3．解直角三角形的类型与解法：类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）四、解直角三角形的应用1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.4．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平宽度(l )的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=.坡度通常写成1:m 的形式，如i =1︰1.5．5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α.坡度i 与坡角α之间的关系:hi tan lα==.1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）*度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角θ的取值范围为0360θ≤< .。
锐角三角比2015
锐角三角比第一节 锐角的三角比1．锐角的三角比的定义如图 ，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，锐角A 的四个三角比为： tanA ＝b aAC BC A A ==∠∠的邻边的对边cotA ＝abBC AC A A ==∠∠的对边的邻边sinA ＝c aAB BC A ==∠斜边的对边cosA ＝cbAB AC A ==∠斜边的邻边2．三角比的值（1）特殊角的三角比的值（30°、45°、60°）（2）锐角α三角比的值都是正数，并且有0＜sin α＜1，0＜cos α＜1 （3）同角三角比的关系：AA cot 1tan =（4）互余两角的三角比的关系：tan （90°—A ）= cotA ，sin （90°—A ）= cosA 注意点：1、要熟记30°、45°、60°等特殊角的三角比值；2、会使用计算器求锐角的三角比的值；3、要善于运用锐角三角比的定义求出锐角的三角比或边长，当所给的图形中没有直角三角形，会构造直角三角形；当图形较复杂，求一个角的三角比不方便时，会分析图形、条件，观察图形中是否有与所求角相等的角，然后转化成求另一个角的三角比． 例题精讲[例题1] 如图24—1，在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，RQ =12．求QR 和sin Q 的值．[例题分析]由已知在直角三角形中一个角的正切和一条直角边， 就可直接运用三角比的定义求出另一条直角边，再由勾股定理， 求出斜边，然后求出锐角的正弦或余弦．[解题过程] 在△PQR 中，∠R =90°,tan P =3，∴312==PRPR RQ ，∴4=PR 又∵222RQ PR PQ +=，∴5=PQ ∴53sin ==PQ PR Q [例题2] 如图24—2，在直角坐标平面内有一点),2(b A )0(>b ．OA 与x 轴正半轴的┒R P Q 图24—1CAB夹角为α．（1）用含α的式子表示b ． （2）用含b 的式子表示αcos ．[例题分析]轴的距离有关，所以，只要过点A 作x 轴的垂线，就 可构造直角三角形，再运用三角比求解．[解题过程]（1） 过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则 ∠ACO =90°，∠AOC =α，由点),2(b A )0(>b ，得,,2b AC OC ==∴OCAC=αtan ，∴αtan 2=b ． （2）∵22224b AC OC AO +=+=，∴42+=b AO∴44242cos 222++=+==b b b AO OC α． [例题3] 如图24—3，在△ABC 中，∠C =90°，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点D ，AC =5，BC =12. 求sin ∠ADE 的值．[例题分析]要求sin ∠ADE 的值，由正弦的定义即要求出AD DE的值，由于点D 、E 不确定，无法求DE 、AD 的值， 从题中的信息可以证明△ADE ∽△ABC ，得AB AC AD DE = 并可求ABAC 的值，但比较复杂，由于∠ADE 与∠B 都是∠A 的余角，所以∠ADE =∠B ，那么求sin ∠ADE 的值就转化为求sin ∠B 的值．[解题过程]∵ DE ⊥AB ∴∠AED =90°，又∠C =90°， ∴∠ADE =90°-∠A ==∠B在△ABC 中，∠C =90°， AC =5，BC =12，∴169222=+=BC AC AB ∴13=AB∴135sin ==∠AB AC B ∴sin ∠ADE =135． 锐角三角比的意义练习1．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 5，则tan A = ，cot A = ． 2．在Rt △MNP 中，∠P =90°,MP =10,52cot =N ，那么NP = ，MN = ．3．如图24—4，在△PQR 中，∠R =90°,点M 在边PR 上． 设∠P =β，∠QMR =α，QR =a ．用含a 和α、β的式子表示PM 的长．图24—2┒EC B A 图24—3DβαMRQP图24—44．如图24—5，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，AB =10，CD ⊥AB ,垂足为点D . 求(1) tan A ；(2)cot ∠ACD ．5．在Rt △ABC 中，∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列关系中，正确的是（ ） (A)c b A =sin ； (B)a c B =cos ； (C) b a A =tan ； (D)ab B =cot ． 6．如果Rt △ABC 中，∠C =90°,各边的长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的各三角比的值（ ）(A)都扩大到原来的2倍； (B)都缩小到原来的2倍； (C)没有变化； (D) 不能确定． 7．在Rt △SQR 中，∠R =90°，如果tanS ＝512 ，那么sinQ 的值等于（ ）(A)135； (B) 1312 ； (C) 125 ； (D) 512 ． 8．在直角坐标平面内有一点)4,(a P )0(>a ．OP 与x 轴正半轴的夹角为α． （1）用含α的式子表示a ．（2）用含a 的式子表示αsin ．9．若3tan α=3，则锐角α = 度． 10．求下列各式的值：（1）3cot60°－tan45°＋2sin45°－2cos30°；（2）0060cos 160sin 30tan -+．第二节 解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量．1．明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的．因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础．2．解直角三角形的基本类型和方法事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形┒DC A 图24—5是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
第一讲 锐角三角比的意义
九年级上册数学教案锐角三角比的意义第一讲锐角三角比的意义知识框架1 .正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2 . 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC b AA BC a ===锐角的邻边锐角的对边3 . 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4 .余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5 .锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 例题解析【例1】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【例2】 在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．九年级上册数学教案锐角三角比的意义（2）在Rt∆____中，N∠的对边是MP；在Rt∆____中，N∠的邻边是NQ．（3）MPQ∠的邻边是______，NPQ∠的对边是______．【例3】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() tanNPMMQ==．（2）PQQN=______，=MPPN______．（用正切或余切表示）【例4】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．【例7】已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．【例8】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．【例9】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）【例10】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．【例11】在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【例12】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．【例13】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．【例14】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例15】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值．【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【例17】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【例18】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ．【例19】在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【例21】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，求sinα、cosα、tanα和cotα．【例22】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为α，求tanα和sinα的值．【例23】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，3sin5BOA∠=．求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO∠的值．【例24】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例26】 在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=， 求AD 、AC 的长．【例27】 在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．【例28】 已知ABC ∆中，sin A =513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．【例29】 在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【例30】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．【例31】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC课堂练习题【习题1】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．【习题2】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．【习题3】已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．【习题4】在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．【习题5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．【习题6】在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义BDCABFE 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【习题9】 ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、 tan α的值．【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．课后作业【作业1】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【作业2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【作业3】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【作业4】 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．【作业5】 若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______．【作业6】 已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义用心 细心 耐心 恒心 11【作业7】 如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，AC =sin B 和tan B 的值．【作业8】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【作业9】 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。
锐角三角比复习
锐角三角比复习【知识点】1. 锐角的三角比的定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，1）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A2）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切. cotA ＝A A ∠=∠的的b a 3）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦. sinA ＝c a =∠∠的斜边的对边A A ；4）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦. cosA ＝c b =∠∠的斜边的邻边A A ；2. 锐角的三角比的性质1）当锐角A 的度数一定时，不管锐角A 在什么形状的三角形中，∠A 的三角比是一个固定值.2）若90A B ∠+∠= ,则有tanA =cotB ，tanB=cotA ， sin A =cos B ，sin B =cos A ; 3）22sin cos 1A A += tanA ·cotA=1 4）sin tan cos A A A=5）0<sinA<1 0<cosA<14、定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形 直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系 sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.A CD B第4题5. 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.6. 坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i=Lh .（坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5）坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. 坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α.【实战演练】 一、填空题1.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA2. 已知α为锐角,且21tan =α,则=αcot 3. 如图，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为_____4．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，D 为垂足，若5,3==AB AC ，则cot ACD ∠= ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则BC ＝ （用b 和θ的表示）斜坡的坡比是1:1，则坡角=_______度 3、斜坡的坡角是60度，则坡比是_______4、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______5、斜坡的坡度是1:3，斜坡长100米，则斜坡高为_______米水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α（=:ihl坡度=t an αhl如图，B A C ∠位于66⨯的方格纸中，则tan B A C ∠＝ .8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ▲ ．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt 中，则BC 的长为 （ ）（A ） 35sin 7 （B ）35cos 7（C ） 35cos 7（D ）． 35tan 7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．315．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米(C) m ·cos α米 (D)αtan m 米ABCmα(第8题图)第13题图ABC在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值 （ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE :CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97三、简答1、求下列各式的值：(1)sin30°+cos30° (2)sin30°·sin45° (3)tan60°+2sin45°-2cos30° (4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2(5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22（6）(cos60°)2 +(cos45°)2 +sin30°sin45°（7）（8）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（9）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--（10）20113015(1)()(cos 68)8sin 602π---+++． 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，a=8，求这个直角三角形的其它边和角3.在Rt △ABC 中，∠C=900，c=43，a=2，解这个直角三角形.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．.在直角坐标平面中，直线343+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正切值.在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，︒=∠30C ，21tan =B ,324+=BC ，求AD 的长.如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米); (2)求坡角的正弦有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度i 1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1∶0.8, 大堤顶宽DC 为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF ∥DC, 点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF 为3.8米时,大堤加高了几米?ABD1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6米，背水坡AB 的坡度i=1：2，则斜坡AB 的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1，斜坡BD 的长是50米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端A 的仰角为45°，在山坡的坡项D 处测得铁架顶端A 的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．1.73，精确到0.1米） 如图,ABC ∆中，BCP AC PC ∠⊥,的正切值为13，P 是AB 的中点，则=A sin ；7、已知ABC ∆中，20=AB ，15=AC ，且=B sin 53，则=BC ；8、在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，=∠DBC sin 72，求AC BC :的值；9、一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行。
《锐角的三角比》全章复习与巩固(提高) 知识讲解
《锐角的三角比》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2．能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题. 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角形的学 习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】 要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA ＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cotA＝∠A的邻边∠A的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一个整体符号，即表示∠A四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA、cotA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA、cotA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA>0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB.同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==3.30°、45°、60°角的三角函数值30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== 要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 2.常见的应用问题 (1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1．解直角三角形的常见类型及解法：求∠，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
九年级秋季班-第4讲：锐角三角比
a cAB Cb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．本讲主要讲解锐角的三角比的意义和特殊的锐角的三角比的值，以及各锐角的三角比的关系．重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，熟练运用特殊的锐角的三角比的值进行相关计算，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，以及各锐角的三角比的关系在代数中的灵活运用．1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边．2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比内容分析知识结构模块一：锐角的三角比的意义知识精讲a cAB Cb3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边．4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ． cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例1】在ABC ∆中，90B ∠=︒，BC = 2AB ，则cos A 的值为______． 【难度】★ 【答案】55． 【解析】根据勾股定理，可得225AC AB BC AB =+=，根据三角比的定义，则有5cos 55AB AB A AC AB===． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点（2，1），则tan α的值是______． 【难度】★★【答案】12．【解析】设这个点是()21B ，，作BC x ⊥轴交x 轴于点C ，则有21OC BC ==，，故1tan 2BC OC α==． 【总结】考查“数形结合”，平面直角坐标系中点坐标转化为长度，同时可简单认识斜率与x 轴夹角的关系．例题解析xyAO（2，1） CBABCD【例3】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥，垂足为D ，则tan BCD ∠的值是______．【难度】★★【答案】34【解析】“子母三角形”中，易得BCD A ∠=∠，则有63tan tan 84BC BCD A AC ∠====．【总结】考查“子母三角形”，通过等角的转化进行求解．【例4】ABC ∆中，已知90C ∠=︒，2sin 3A =，求cos A 、tan A 的值． 【难度】★★ 【答案】5cos 3A =，25tan 5A =． 【解析】根据锐角三角比的概念，2sin 3BC A AB ==，设2BC a =，则3AB a =，勾股定理得：225AC AB BC a =−=，则55cos 33AC a A AB a ===，225tan 55BC a A AC a===． 【总结】考查锐角三角比的概念，初步建立锐角三角比相互关联的概念．【例5】如图，ABC ∆的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为______． 【难度】★★★ 【答案】255．【解析】连结BD ，易得90BDA ∠=︒，由图可知10222AB BD CD AD ====，，，则有2225cos 510AD A AB ===． 【总结】格点可类似于在平面直角坐标系中，作高进行转化计算即可．ABCDP Oy xN M Q【例6】在平面直角坐标系中，过点P （0，2）作直线l ：12y x b =+（b 为常数，且b < 2）的垂线，垂足为Q ，则tan OPQ ∠=______．【难度】★★★【答案】12．【解析】设直线l 与x 轴、y 轴交点分别为M 、N ，则有()()200M b N b −，，，，由等角的余角相等，可得OPQ NMO ∠=∠．则有1tan tan 22b ON OPQ NMO OM b ∠=∠===−． 【总结】考查直线的斜率等于其与x 轴夹角的正切值．1、特殊锐角的三角比的值αtan α cot α sin α cos α30°333123245° 1 1 22 22 60°33332122、补充（仅作了解，若填空、选择中出现，可直接使用）α tan α cot α sin α cos α15°23−23+624− 624+ 75°23+ 23−624+ 624− 3、通过观察上面的表格，可以总结出：当090α︒<<︒，α的正弦值随着角度的增大而增大，α的余弦值随着角度的增大而减小；α的正切值随着角度的增大而增大，α的余切值随着角度的增大而减小．模块二：特殊锐角的三角比的值知识精讲【例7】已知，在ABC ∆中，2sin 2A =，tan 3B =，则C ∠=______． 【难度】★★ 【答案】75︒ 【解析】由2sin 2A =，可得45A ∠=︒，由tan 3B =，可得60B ∠=︒，根据三角形内角和为180︒，可得：18075C A B ∠=︒−∠−∠=︒．【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．【例8】在ABC ∆中，90C ∠=︒，已知23a =，c = 4，求B ∠． 【难度】★★ 【答案】30︒．【解析】根据锐角三角比的概念，可得233sin 42a A c ===，即得60A ∠=︒，根据直角三角 形两锐角互余，可得：9030B A ∠=︒−∠=︒．【总结】考查一些特殊的锐角三角比值的应用，通过值求对应的角．【例9】在ABC ∆中，三边之比::1:3:2a b c =，则sin tan A A +=______． 【难度】★★ 【答案】1323+． 【解析】由::1:3:2a b c =，可设a k =，则3b k =，2c k =，则有22224a b k c +==， 即得90C ∠=︒，则有1sin 2a A c ==，3tan 3a Ab ==． 【总结】考查锐角三角比的基本概念，部分图形中可以先通过勾股定理的逆定理证明图形是直角三角形再来进行应用．例题解析【例10】在ABC ∆中，若()23sin 3tan 02A B+=，则ABC ∆属于哪种三角形？【难度】★★ 【答案】等边三角形． 【解析】由)23sin 3tan 02A B+=，可得3sin 0A =3tan 0B =，由此可得 60A B ∠=∠=︒，即得ABC ∆是等边三角形．【总结】考查特殊锐角三角比结合非负数相加和为0的知识，求对应角度大小的知识．【例11】()11tan 453182sin 458sin 60cos 45π−︒⎛⎫−︒−+ ⎪︒−︒⎝⎭．【难度】★★【答案】2237−． 【解析】原式21322832=+−+− 227232=+2237=−．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比以及有理数的有关计算，可直接用来计算，注意运算顺序．【例12】已知公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=−．求：sin 75°、cos 75°的值． 【难度】★★★ 【答案】62sin 75+︒=62cos75−︒= 【解析】令45α=︒，=30β︒，根据上述公式，即可得()232162sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin302+︒=︒+︒=︒︒+︒︒==； ()232162cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222−︒=︒+︒=︒︒−︒︒=−=． 【总结】考查特殊角的锐角三角比的值结合公式的理解应用．【例13】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BC = 1．过点C 作1CC AB ⊥于1C ， 过点1C 作12C C AB ⊥于2C ，过点2C 作23C C AB ⊥于3C ，…，按这样的规律继续，则n AC 的长为（ ）A ．32n⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．132n +⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()132nn +D ．()132n n+【难度】★★★ 【答案】D【解析】由图可得3AC =，则有132AC AC =，2132AC AC =…由此可得32nn AC AC⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，即得()133322n nn nAC +⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭，故选D ．【总结】考查特殊角30︒角在直角三角形中的边角关系，通过找规律解决问题．1、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式取值范围 相互关系 正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan aA b=tan bB a=tan 0A >（A ∠为锐角） 1tan cot A A = sin tan cos AA A =cos cot sin AA A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a= cot a B b=cot 0A >（A ∠为锐角） 正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin b B c =0sin 1A <<（A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒−∠()cos sin 90A A =︒−∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c= cos a B c=0cos 1A <<（A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比的关系及运用知识精讲ABC【例14】在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列四个等式：①sin cos A B =；②cos cos A B =；③1tan tan B A =；④tan tan A B =．其中一定成立的是______．（填序号） 【难度】★ 【答案】①③．【解析】根据锐角三角比的概念，则有sin a A c =，cos a B c =，①一定成立；cos b A c=，cos aB c =，②不一定成立；tan a A b =，tan bB a=，③一定成立，④不一定成立． 【总结】考查直角三角形中锐角三角比的相互关系．【例15】已知α是锐角，化简：2cos 2cos 1αα−+． 【难度】★ 【答案】1cos α−．【解析】α是锐角，则有0cos 1α<<，原式()2cos 1cos 11cos ααα=−=−=−．【总结】考查锐角三角比的取值范围．【例16】求值：cos 40cos 48sin 42sin 50︒︒+−︒︒．【难度】★ 【答案】1．【解析】原式cos50cos 48cos 481cos50︒=︒+−︒=︒．【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例17】化简：2222sin 1sin 2sin 88sin 89︒+︒+⋅⋅⋅+︒+︒． 【难度】★★【答案】892．22sin cos 1A A +=例题解析【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，()2222sin cos sin sin 901αααα+=+︒−=，原式()()22222sin 1sin 89sin 2sin 88sin 45=︒+︒+︒+︒++︒…2289112=+++=⎝⎭…． 【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．【例18】化简：2222tan sin tan sin αααα−．【难度】★★ 【答案】1．【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，则有22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=，原式2242222222sin sin sin sin cos 1sin sin cos 1cos sin sin cos αααααααααααα⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭． 【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例19】已知：sin cos m αα+=，sin cos n αα−=，则m ，n 之间的关系是（ ）A ．m = nB ．m = 2n + 1C ．222m n =−D ．212m n =−【难度】★★ 【答案】C【解析】由sin cos sin cos m n αααα+=⎧⎨−=⎩，可得sin 2cos 2m n m nαα+⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，由22sin cos 1αα+=，即为22122m n m n +−⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：222m n +=，故选C ．【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化．【例20】已知方程()24210x m x m −++=的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，试求m 的值．【难度】★★ 【答案】3m =【解析】根据一元二次方程的韦达定理，可得方程两根满足()1221142m m x x +++==，124mx x ⋅=，方程两根恰是直角三角形两锐角的余弦，则()22212121221x x x x x x +=+−=，即212124m m +⎛⎫−⨯= ⎪⎝⎭，整理得23m =，所以3m = 当3m =时，原方程为：242(31)30x x −+=，解得：12312x x ==，满足题意； 当3m =−时，原方程为：242(31)30x x +=，解得：12312x x ==，不满足题意，所以m 3【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用，本题也可直接通过因式分解法解方程得出答案．【例21】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+−=，求α的度数． 【难度】★★ 【答案】30α=︒．【解析】根据锐角三角比的相互关系，则有22sin cos 1αα+=，故22cos 1sin αα=−，原方程即为()221sin 7sin 50αα−+−=，整理得22sin 7sin 30αα−+=，解得1sin 2α=或sin 3α=，α为锐角，则0sin 1α<<，可得1sin 2α=，30α=︒． 【总结】考查一元二次方程与锐角三角比知识的结合应用，把相关量当作整体未知量即可．11 / 21【例22】Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = a ，AC = b ，AB = c ．利用锐角三角比的定义证明： （1）22sin cos 1A A +=； （2）tan tan 1A B =；（3）sin tan cos A A A=；（4）sin cos 1A A +>． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】根据锐角三角比的定义，则有sin BC a A AB c ==，cos AC b A AB c ==，sin AC bB AB c==，tan BC a A AC b ==，tan AC bB BC a==，直角三角形满足勾股定理，即有222a b c +=由此可证得：（1）2222222sin cos 1a b a b A A c c c +⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）tan tan 1a bA B b a=⋅=； （3）sin tan cos aA a c A b A bc ===；（4）sin cos 1a b a b A A c c c++=+=>． 【总结】考查利用锐角三角比的定义证明锐角三角比之间的相互关系和转化．【例23】如果直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边上的高为h ，求证：222111a b h +=． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：设直角三角形斜边为c ，根据勾股定理则有222a b c +=，由面积法，即可得ab ch =，平方得：()2222222a b c h a b h ==+，求倒得()2222211a b a b h=+，两边同乘()22a b +， 整理即得：222111a b h +=． 【总结】考查“子母三角形”中相关量之间的关系和转化．12 / 21【例24】已知α为锐角，且()12sin cos sin cos 13αααα+−=，求以tan α、cot α为两个根的一元二次方程．【难度】★★★【答案】2210x x −+=或24940x x −+=．【解析】()()()22222sin cos sin cos sin cos 1sin cos αααααααα=+−−=−−， 又()12sin cos sin cos 13αααα+−=，则()()211sin cos sin cos 13αααα−−+−=， 整理，得：()()1sin cos sin cos 03αααα⎡⎤−−−=⎢⎥⎣⎦，得：sin cos 0αα−=或1sin cos 3αα−=，由此进行以下分类讨论：（1）sin cos 0αα−=，此时可得sin cos αα=，则有tan cot 1αα==，根据一元二次方程的韦 达定理，tan cot 2αα+=，tan cot 1αα⋅=，则以tan α、cot α为两根的一元二次方程是2210x x −+=；（2）1sin cos 3αα−=，由已知等式可得82sin cos 9αα=，则()222817sin cos sin cos 2sin cos 199αααααα+=++=+=，α为锐角，则有17sin cos 0αα+>=，得171sin 171cos αα⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，则171sin 9176tan cos 171ααα++===−，171cos 9176cot sin 171ααα−−===+，根据一元二次方程的韦达定理，9tan cot 4αα+=，tan cot 1αα⋅=，则以tan α、cot α为两根的一元二次方程是24940x x −+=．【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．13 / 21【习题1】ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，已知b = 5，c = 13，则sin A =______，cos A =______，tan A =______．【难度】★【答案】1213，513，125【解析】根据勾股定理，可得2212a c b =−=，根据三角比的定义，则有12sin 13a A c ==，5cos 13b A c ==，12tan 5a Ab ==． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【习题2】如图，点A 为α∠边上的任意一点，作AC BC ⊥于点C ，CD AB ⊥于点D ，下列用 线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADACD ．CDAC【难度】★ 【答案】C【解析】90B BAC ACD BAC ∠+∠=∠+∠=︒，可得B ACD α∠=∠=，则cos cos CDACD ACα=∠=，可知C 错误．【总结】本题考查“子母三角形”，进行等角转化，把握相应的锐角三角比定义即可．【习题3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则ABC ∠的正切值是______．【难度】★【答案】12．【解析】连结AC ，在格点中可得2AC =，22AB =，10BC =，根据勾股定理逆定理，则有90BAC ∠=︒，21tan 222AC BAC AB ∠===． 【总结】考查格点三角形，主要要找准直角．随堂检测A BCDA BC14 / 21【习题4】若(22sin 212cos 0αβ+−=，求α、β的值（α、β都是锐角）．【难度】★★【答案】45α=︒，60β=︒【解析】由(22sin 212cos 0αβ+−=，可得2sin 2012cos 0αβ⎧=⎪⎨−=⎪⎩，得2sin 1cos 2αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，α、β都 是锐角，由此可得45α=︒，60β=︒．【总结】考查非负数相加和为0，则每个式子都为0，结合特殊角的锐角三角比求角的大小．【习题5】()2tan 45cos 451sin 45cot 60tan 30cot 30sin 60︒−︒−−︒+︒︒︒︒．【难度】★★ 【答案】0． 【解析】原式()2331cos 45332=−−︒⨯2221133=−++0=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序．【习题6】化简：tan1tan 2tan88tan89︒︒︒︒．【难度】★★ 【答案】1．【解析】根据锐角三角比之间的相互关系，()tan cot tan tan 901αααα⋅=⋅︒−=， 原式()()tan1tan89tan 2tan88tan 45=︒⋅︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒…1111=⨯⨯⨯=…【总结】考查锐角三角比之间的相互关系和相互转化，注意进行准确的分组．15 / 21【习题7】求值：222222tan 602cos45tan 45cot 30sin 27sin 63cos 27cos 63︒+︒︒+−︒+︒︒+︒． 【难度】★★ 21．【解析】原式2223213211++=−(324=−21=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比，可直接用来计算，注意运算顺序，同时注意好锐角三角比之间的一些相互关系的应用．【习题8】等腰三角形底边长为8 cm ，面积为852，求底角的正切值． 【难度】★★ 5． 【解析】作底边上的高，可得高长228525S h cm a ⨯===，根据等腰三角形的性质，底边上的高平分底边，即可得底角正切值为2551822h a ==⨯． 【总结】考查利用等腰三角形的性质求解等腰三角形中相关锐角三角比，通过作高将角放到直角三角形中．【习题9】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2ABC mS ∆=，且两直角边长满足条件3a + 2b = m ．当m取最小值时，求ABC ∆中最小内角的正切值．【难度】★★★【答案】23．【解析】2ABC m S ∆=，即得ab m =，由3a + 2b = m 得32m a b −=，则有32m aa m −⋅=，即关于 实数a 的方程2320a ma m −+=有实数根，则有2240m m ∆=−≥，由0m >可得24m ≥， 即min 24m =，此时方程解为4a =，代入得6b =，由此可得ABC ∆最小内角正切值即为4263a b ==． 【总结】通过转化把问题变作一元二次方程根的问题，关键在于对m 取最小值这一关键条件的把握．16 / 21【习题10】已知a 、b 、c 分别是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，关于x 的一元二次方程 ()()221210a x bx c x −+++=有两个相等的实数根，且3c = a + 3b ．（1）判断ABC ∆的形状；（2）求sin A 、sin B ．【难度】★★★【答案】（1）直角三角形；（2）3sin 5A =，4sin 5B =． 【解析】（1）将一元二次方程整理成一般形式，即为()()220c a x bx c a −+++=，方程有两个 相等的实数根，则有()()()2240b c a c a ∆=−−+=，由此得222c a b =+，即ABC ∆为直角三角形；（2）由已知3c = a + 3b ，可得13c b a −=，根据勾股定理，()()222c b c b c b a −=+−=，由此可得3c b a +=，由此则有53c a =，43b a =，由此可得3sin 5a A c ==，4sin 5b B c ==．【总结】考查一元二次方程知识与锐角三角比知识的结合应用，根据题目条件得出等量关系解决问题．17 / 21【作业1】Rt ABC ∆中，已知90A ∠=︒，AB = 2，AC = 4，则tan B =______，cos C =______，sin B =______．【难度】★ 【答案】2，255，255． 【解析】根据勾股定理，可得2225BC AB AC =+=，根据锐角三角比的定义，则有4tan 22AC B AB ===，425cos 525AC C BC ===，25sin 5AC B BC ==． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A ．13B ．3C ．24D ．22【难度】★ 【答案】D【解析】根据勾股定理，可得()2222322AC AB BC BC BC BC =−=−=，根据锐角三角比的定义，则有22tan 22AC BCB BC BC===． 【总结】考查锐角三角比相关定义，结合勾股定理进行计算．【作业3】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果各边的长都延长到原来的两倍，那么锐角A 的各三角比的值（ ）A ．都扩大到原来的2倍B ．都缩小为原来的一半C ．没有变化D ．不能确定【难度】★ 【答案】C【解析】锐角三角比的大小只与角本身的大小有关，与夹这个角的边的大小无关． 【总结】考查一个固定角的锐角三角比只与这个角本身大小有关．课后作业18 / 21【作业4】212016cot 30232cos 45−⎛⎫−︒− ⎪−︒⎝⎭．【难度】★★ 23−． 【解析】原式1342322=−−⨯333223=−−=．【总结】考查一些特殊角的锐角三角比结合相关有理数的计算，可直接用来计算，注意运算顺序．【作业5】若sin cos 1a θθ+=，sin cos 1b θθ−=，求证ab = 1． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：sin cos 1a θθ+=，sin cos 1b θθ−=，得2sin cos a bb a a b θθ⎧=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩，22sin cos 1θθ+=，所以2221b a a b a b −⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，由此即得：()()224b a a b +−=+，即可得1ab =．【总结】根据22sin cos 1θθ+=变形即可得到求证的结果．【作业6】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，28a b +=，7sin sin 5A B +=，求斜边c 的长． 【难度】★★ 【答案】20．【解析】根据锐角三角比的定义，可得7sin sin 5a b a b A B c c c ++=+==，由28a b +=，代入即可得20c =．【总结】考查对锐角三角比定义的充分利用．【作业7】已知关于x 的一元二次方程()()22211120m x m x +−−+=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦，求实数m 的值．【难度】★★ 【答案】23m =．【解析】根据一元二次方程的韦达定理，则方程两根满足122112m x x m −+=+，12122x x m ⋅=+，19 / 21DCBA(b )(a )CB AFEDBA方程两根恰是一个直角三角形两锐角的正弦，则()22212121221x x x x x x +=+−=， 即2211122122m m m −⎛⎫−⨯= ⎪++⎝⎭，整理得：224230m m −+=，解得：11m =，223m =． 当1m =时，原方程为：2340x x ++=，此时方程无解，舍去；当23m =时，原方程为：22535120x x −+=，解得：124355x x ==，，满足题意．所以，实数m 的值为23．【总结】考查一元二次方程韦达定理与锐角三角比知识的结合应用．【作业8】已知锐角ABC ∆中，AB = c ，AC = b ，BC = a ，利用锐角三角比的意义证明：cos cos c a B b A =+．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：如图，作CD AB ⊥交AB 于点D ， 根据锐角三角比的定义，则有cos BD BD B BC a ==，cos AD ADA AC b ==． 由此可得：cos BD a B =，cos AD b A =， 因为AB AD BD =+，所以cos cos c a B b A =+．【总结】考查锐角三角比定义的应用，只需要通过作高把角和线段放到直角三角形中即可进行求解．【作业9】我们知道，在直角三角形中，一个锐角的三角比由三角形中相应两条边边长的比值 确定，由此建立了直角三角形中边角之间的联系．类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比值叫做顶角的“正对”（sad ）．如图（a ），在ABC ∆中，AB = AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =BCAB ．容易知道，一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据定义，求解下列问题： （1）sad 60°=______；（2）对于0°< A < 180°，sad A 的取值范围是______；（3）如图（b ），已知3sin 5A =，则sad A 的值是（ ）A ．65B ．23C 5D ．105【难度】★★★20 / 21CAOE DB【答案】（1）1；（2）02sadA <<； （3）D【解析】（1）顶角为60︒，即这个等腰三角 形是等边三角形，三边长都相等，由此可知601sad ︒=； （2）根据三角形三边关系，可知02BC AB AC AB <<+=，由此可得02sadA <<； （3）取BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点\D ，作DE AB ⊥交AB 于点E ，连结CE 交AD 于点F ，由90BCA ∠=︒，则有CD DE =，AD 垂直平分CE ，3sin 5BAC ∠=，可设3BC a =，则有5AB a =，4AC a =，4sin 5AC B AB ==，则有5544BD DE CD ==，由3BD CD BC a +==，即得43CD a =，根据勾股定理， 则有224103AD CD AC a =+=，由三角形的面积法，则有CF AD CD AC ⋅=⋅，可得2105AC CD CF a AD ⋅==，则42105CE CF a ==，由此可得：4101054aCE sad BAC AC a ∠==D ． 【总结】新定义题型，抓准题目所提供的基本条件，利用等腰三角形的特殊性质，过程中注意利用面积法等相关几何解题方法．【作业10】在锐角ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ．求证：（1）sin sin sin a b cA B C ==；（2）111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：（1）如图，构造ABC ∆的外接圆O ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结OB 、OC ，过点O 作OE BC ⊥交BC 于点E ，则有12BE CE BC ==，12BOE COE BOC ∠=∠=∠． OA OB OC ==，BAO ABO CAO ACO ∴∠=∠∠=∠，．22BOD BAO COD CAO ∴∠=∠∠=∠，． 22BOD COD BAO CAO ∴∠+∠=∠+∠．即得2BOC BAC ∠=∠．BOE BAC ∴∠=∠．21 / 21 A F C B 根据锐角三角比定义，可得：sin BE BOE BO ∠=， 由此可得：1122sin sin BC b BO BOE BAC ==∠∠，则2sin b r BAC=∠． 同理2sin sin b c r ABC ACB ==∠∠， 即证sin sin sin a b c A B C==． （2）过点A 作AF BC ⊥交BC 于点F ，根据锐角三角比定义，则有sin AF AF B AB c==．sin AF c B ∴=．11sin 22ABC S AF BC ac B ∆∴=⋅=． 同理11sin sin 22ABC S ab C bc BAC ∆==∠， 即证111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===． 【总结】考查利用锐角三角比进行三角形三边关系的关联，通过作高把相应的边角放到直角三角形中表示出来即可．。
锐角的三角比复习
一、知识点回顾1、 锐角的三角比（1） 定义：在直角三角形ABC 中，A ∠为一锐角，则sin cos tan cot A A A A ====2、 特殊锐角的三角比的值（1） 特殊锐角（30°，45°，60°）的三角比的值（2） 同角，互余的两角多的三角比之间的关系：倒数关系： 平方关系： 积商关系：余角和余函数的关系： 3、 解直角三角形（1） 在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两个元素（其中至少含有一条边），求出其他所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2） 解直角三角形常用到的关系：锐角关系：090A B ∠+∠=，三边关系：勾股定理：222a b c +=边角关系：sinA=,cos ,tan ,cot sinB=,cos ,tan ,cot a b a b A A A c c b ab a b a B B Bc c a b ⎧===⎪⎪⎨⎪===⎪⎩直角三角形的面积：111sin 222S ch ab ab C ∆=== 4、 解直角三角形的应用（1） 仰角和俯角 （2） 坡角和坡度 （3） 方向角二、例题分析与练习 例1、计算：022)60tan (945sin 230cot )45(cos 60sin )31(︒--︒⋅︒-︒⋅︒+--π练习：1、求值：222cos 30sin 304cot 45cos 45tan 604sin 45︒-︒-︒⋅︒︒-︒2、求值：︒︒-︒⋅︒+︒30cot )45cot 21(60cos 30tan 360sin例2、如图，矩形ABCD 中，AB=3 , 53sin =∠ACB ，E 为 BC 边上一点，将△ABE 沿AE 翻折，使点B 恰好落在对角线AC 上，记作B′. （1）求BE 的长；（2）连接DB′，求co t ∠B ’DC 的值.A DB′B E C练习：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°， A AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且∠APB=∠APC=135°.（1） 求证：△CPA ∽△APB ； P （2） 试求tan ∠PCB 的值.C B例3、如图，在△ABC 中，AB=AC , BD 、CE 分别为两腰上的中线，且BD ⊥CE ，则A B C∠t an =__________.练习：如图，在梯形ABCD 中，86012AD BC AB DC B BC ==∠==∥，，°，，联结AC ．（1）求tan ACB ∠的值；（2）若M N 、分别是AB DC 、的中点，联结MN ，求线段MN 的长．例4、“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．AB CDEGADCB图7图8（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；i=是坡面CE的坡度），求r的值．述信息（图纸中1:0.75练习：如图，沙泾河的一段两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔60米的两个电线杆.小明在河岸b上的点A处测得∠DAB=35°，然后沿河岸b走了120米到达B处，测得∠CBF=70°，求该段河流的宽度CF的值.（结果精确到0.1米,计算中可能用到的数据如下表）a D Cb A B F例5、（1）某飞机的飞行高度为m，从飞机上测得地面控制点的俯角为α，那么飞机到控制点的距离是________________.（用m与含α的三角比表示）4，若沿此山路向上前进90米，则升高了_______米.（2）某山路的路面坡度为1:5（3）一个小球由地面沿着坡度1:2的坡面向上前进了10米，此时小球距离地面的高度为______米.（4）修筑一坡度为3:4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为α，那么∠α的正切值是______.三、课后练习1、1，且较大的锐角为θ，则sin θ等于________； 2、已知楼房AB 高50m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间水平距离BD 为50m ，•塔高CD 为m ．则（）A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°3、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，•若tan•∠DBA=，则AD 的长为_____；4、横断面为等腰梯形的河坝，若下底，上底CD=7.5，高为4，那么斜坡CB 的坡度为_______；5、如图，某建筑物BC 直立于水平地面上，AC=9米，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建________阶（最后一阶不足20厘米时，按1 1.732）．1505033+15。
锐角的三角比知识讲解
锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算 30°、45°、 60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A 所对的边 BC 记为 a ，叫做∠ A 的对边，也叫做∠ B 的邻 边，∠ B 所对的边 AC 记为 b ，叫做∠ B 的对边，也是∠ A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c ，叫做斜边．B 的邻边 a B 的对边 b要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是 两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2) sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号， 是一个整体， 不能写成 ， ，， cot A 不能理解成 sin 与∠ A ，cos 与∠ A ，tan 与∠ A ，cot 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略 ∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外， 、 、 、(cot A )2常写成 、 、 、cot 2 A锐角 锐角 锐角 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的邻边与对边的比叫做∠ 同理 sin BB 的对边斜边 b； ；A 的正弦，记作 A 的余弦，记作 A 的正切，记作 A 的余切，记作 cosBsinA ，cosA ， tanA ，cotA ，B 的邻边斜边即sin AA的对边斜边即 cosAA的邻边即A斜边即 tanA A的对边A 的邻边即 cotAA 的邻边A 的对边 a； ；tanBB 的对边 B 的邻边b；；ca；；bb；；b(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4) 由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠ A<90°间变化时，，，tanA >0 cotA >0.要点二、特殊角的三角函数值304560(1) 通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2) 仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小) 而增大( 或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大( 或减小) 而减小( 或增大) ．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt △ABC中，∠ C=90°．(1) 互余关系：，；tanA=cot(90 °- ∠A)=cotB , tanB=cot(90 °-∠ B)=cotA.(2) 平方关系：；(3) 倒数关系：或；(4) 商的关系：sin A cosA tanA ,cot AcosA sin A要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．答案】 c = 5 ，sinA = 35 cosA 4，5sinB = 4，5cosB = 35类型二、特殊角的三角函数值的计算求下列各式的值：(1)sin30 -2cos60 ° +cot45 °；(2) tan 30° sin 30 °cot 45° tan 60°11；(3) (1 3)0|1 sin30°| 12．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠ A，∠ B的正弦、余弦、正切、余切值．答案与解析】在Rt△ABC中，∠ C＝90∵ AB ＝13，BC＝5．AC AB2BC21325212．BC5，AC12，tanA BC5，cot A AC12sin A cosAAB13AB13AC12BC5AC12BC5tanB AC12cot B BC5sin B cosBAB13，AB13，BC5，AC12【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：变式】在Rt △ABC中，∠C90 °，若a=3，b=4，则c =sinA = ，cosA =，sinB =cosBBA caC b答案与解析】2．111(1) 原式 2 1 ；222311(2) 原式 3 2 1 ；1363． (1)求锐角 ； (2) 已知 求锐角 ．【答案与解析】(1) 先将已知方程变形后再求解．∴锐角 =30°．(2) 先将已知方程因式分解变形．(3)1原式 1 1215 21125 22总结升华】 熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值， 再进行化简．先代入特殊角的三角函数值，举一反三：变式】 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90 °，若∠ A=45°，则 ∠B =答案】类型三 sinA = ， cosA = ∠B =45°，sinA = 2 ，2锐角三角函数之间的关系， sinB =cosB =cosA = 2 ，sinB = 2 ， 22cosB = 22∴锐角 =45总结升华】 要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看 作未知数，解方程求得它的解 ( 值) ，然后再求这个锐角．类型四、 锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示， AB 是⊙ O 的直径，且 AB ＝10， CD 是⊙ O 的弦， AD 与 BC 相交于点 P ，若弦 CD ＝6，试求 cos ∠ APC 的值．答案与解析】 连结 AC ，∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴ ∠ ACP ＝ 90°，又∵ ∠B ＝∠ D ，∠ PAB ＝∠ PCD ， ∴ △ PCD ∽△ PAB ，∴PC CDPA AB ．又∵ CD ＝6， AB ＝10， ∴在 Rt △ PAC 中，PC cos APCPA总结升华】 直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似 三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而PC言的，故可连结 AC ，由 AB 是⊙ O 的直径得∠ ACB ＝90°， cos APC，PC 、PA 均为未知，而已知PAPC CDCD ＝ 6， AB ＝ 10，可考虑利用△ PCD ∽△ PAB 得．PA AB5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对 (sad) ．如图 1①，在△ ABC 中， AB ＝AC ，顶角 A 的正底边 BC对记作 sadA ，这时 sadA ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定 腰 AB 的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60 °＝ ________ ．(2) 对于 0< A < 180°，∠ A 的正对值 sadA 的取值范围是 ______3(3) 如图 1②，已知 sinA ＝ ，其中∠ A 为锐角，试求 sadA 的值．5CDAB 10答案与解析】(1)1 ；(2)0 < sadA<2；(3) 如图 2 所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由sin A BC 3得BC＝3a，AB 5∴ AC (5a)2(3a)24a ，CD ＝5a-4a ＝a，BD a (3a) 10a ，sadA A BD D 510总结升华】(1) 将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠ A接近0°sadA＝1；(2) 在图①中设想AB＝AC 时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA> 0，当∠ A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA<2；(3) 将∠ A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
锐角三角比(精讲)
A． 3 4
B． 4 3
C． 4 5
D． 3 5
图1
图2
图3
3．在△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，则下列各项中正确的是（ ）
A．a=c·sinB
B．a=c·cosB C．a=c·tanB
4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA= 2 ，则 tanB 等于（ 3
7．如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，b=20，c=20 2 ，则∠B 的度数为_______．
8．如图 1－1－6，在△CDE 中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D 的三个三角函数值．
4
9．已知：α是锐角，tanα= 7 ，则 sinα=_____，cosα=_______． 24
3、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.若 sinA＝ 2 ，则 sinB＝
。
2
5、菱形的两条对角线长分别为 2 3 和 6，则菱形较小的内角为______度。 6、△ABC 中，∠A、∠B 均为锐角，且 tan B 3 (2sin A 3)2 0 ，则△ABC 是_________三角形（按
5．计算：○1 |－ 2 |＋（cos60°－tan30°）＋ 8 ． ○2 ２ 3 cos30 ｜tan60º-1｜－
1
cot30 2
6
6．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E 点，EC＝1，sinB＝ 5 .求四边形 ABCD 的周长。 13
7.已知：如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高，E•为边 AC•的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝ 4 ， 5
【特inA＝ 3 ，那么∠A 等于（
）
2
A．30° B．45° C．60°
初三锐角的三角比
一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。
九上数学-第25章-锐角三角比-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！1九上数学-第25章-锐角三角比-知识点1、锐角三角比：sinA=斜边对边，cosA=斜边邻边，tanA=邻边对边,cotA=对边邻边 。
其中 tanA和 cotA 是倒数关系， sinA 和 cosA 的值都在0与1之间。
2、sin30°= 21,sin45°= 22,Sin60°=23;cos30°=23,cos45°=22,cos60°=21,tan30°=33;tan45°= 1 ;tan60°=3;cot30°= 3;cot45°= 1 ;cot60°= 33.3、求锐角三角比，需要在直角三角形中求，如果没有，可考虑①找等角，②构造RT △ 。
4、写出9组勾股数：1:3:2; 1:1:2; 3:4:5; 5:12:13; 7:24:25; 1:2:5; 1:3:10;8:15:17; 1:2:3.5、图感培养：①等边对等角，大边对 大角 ，小边对 小角 ；等角对等边，大角对 大边 ，小角对 小边 。
②两短边平方和等于最长边平方，则是 直角 三角形，两短边平方和大于最长边平方，则是 锐角 三角形，两短边平方和小于最长边平方，则是 钝角 三角形；以上结论反之也成立。
6、解直角三角形：除了直角外，5个要素中，告诉其中 2 个要素（至少 一条边 ），求剩余 3 个要素的过程。
7、sinA= c a，其两个变形式为：① A c a sin = ，②A c sin a =。
cosA= cb，其两个变形式为：① A c b cos = ，② A b c cos =。
tanA=b a，其两个变形式为：①A b a tan ⋅=，②A a b tan =。
8、仰角是指向 上 的视线与 水平线 的夹角，俯角是指向 下 的视线与 水平线_的夹角。
坡角是指斜坡与水平面的夹角，坡度也叫 坡比 ，是指 竖直高度 与 水平宽度 的比值，就等于坡角的 正切值。
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锐角的三角比 知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边；锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边；cot B a B B b∠==∠的邻边的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，cot A •不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、、2cot A （）常写成、、、2cot A ．Ca b c(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角cotα30°45° 1 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦、余切值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；tanA=cot(90°-∠A)=cotB , tanB=cot(90°-∠B)=cotA.(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商的关系：sin cos tan,cotcos sinA AA AA A==要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求∠A ，∠B 的正弦、余弦、正切、余切值．【答案与解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ∵ AB ＝13，BC ＝5． ∴ 222213512AC AB BC =-=-=．∴ 5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==，5tan 12BC A AC ==，12cot 5AC A BC ==； 12sin 13AC B AB ==，5cos 13BC B AB ==，12tan 5AC B BC ==，5cot 12BC B AC ==． 【总结升华】先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求值．举一反三：【变式】在Rt △ABC 中，∠C =90°，若a=3，b=4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA =35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)sin30°-2cos60°+cot45°； (2)tan 30sin 30cot 45tan 60••°°°°； (3)101(13)|1sin 30|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．【答案与解析】Ca bc(1)原式11121222 =-⨯+=；(2)原式311326 13⨯==⨯；(3)原式115 11212222 =--+=-+=．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．(1)求锐角； (2)已知求锐角．【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解．∴锐角=30°．(2)先将已知方程因式分解变形．∴锐角=45°．【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ， ∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PCAPC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=． 5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。