精品课件：n次独立重复试验与二项分布
高三数学精品课件： n次独立重复试验与二项分布
2设．“(2从0191·南号昌箱月取考到)红已球知”1 为号事箱件中有A，2“个从白2球号和箱4取个到红红球球、”2
号为箱事中件有B.5 个白球和 3 个红球，现随机从 1 号箱中取出一球
放红由球入题的意2 概号，率箱P(是，A)然(＝后C2＋4从)4＝2 号23，箱P中(B随|A机)＝取38出＋ ＋一11＝球49，，则两次都取到
为正面向上}，则事件 C＝{两枚向
上的面为一正一反}的概率为
(B )
A.14
B.12
3
3
C.4
D.8
P(A)＝P(B)＝12，P( A ) ＝P( B )＝12. 则 P(C)＝P(A B ＋ A B) ＝ P(A)P( B ) ＋ P( A )P(B) ＝12×12＋12×12＝12，故选 B.
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
A.13，25
B.23，25
C.23，35
D.12，35
P(A|B)＝PPABB＝00..1128
＝
23 ，
P(B|A) ＝
PAB PA
＝00.1.22＝35.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
3．有一批种子的发芽率为 0.9，出 芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批 种子中，随机抽取一粒，则这粒种 子能成长为幼苗的概率为 __0_._7_2___．
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考点二 相互独立事件的概率 (核心考点——合作探究)
甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位， 3 人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影 响． (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
独立重复试验与二项分布PPT课件
由于事件A1 A 2 A 3 , A1A 2 A 3和A1 A 2 A 3彼此互斥,由概率加 法公式得 P(B1 ) P( A1 A 2 A 3 ) P( A1A 2 A 3 ) P( A1 A 2 A 3 ) q2p q2p q2p 3q2p . 所以, 连续掷一枚图钉 3 次, 仅出现1 次针尖向上的概率是
探究与发现
服从两项分布的随机变 量取 何值时概率最大
二项分布是应用最广泛的离散型随机变量 概率模型 .对与两项分布有关的一些问题的 探究是很有意义的 .例如, 在上面的例4中, 我 们还可以提这样的问题:
如果某射手每次射击击 中目标的概率0.8, 每次射击的结果相互独 立, 那么它在10 次 射击中 , 最有可能击中目标几次 ?
k k n nk
对比这个公式与表示二 项式定理的公式 , 你能 看出它们之间的联系吗 ?
思考 二项分布与两点分布有 何关系?
例 4 某射手射击击中目标的 概率是 0.8.求这名 射手在10 次射击中 , 1恰有8次击中目标的概率 ; 2至少有8次击中目标的概率 .(结果保留两位有 效数字 .)
解 设X为击中目标的次数,则X ~ B10,0.8.
1在10次射击中, 恰有8次击中目标的概率为 10 8 8 8 PX 8 C10 0.8 1 0.8 0.30. 2在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 PX 8 PX 8 PX 9 PX 10 10 8 10 9 8 8 9 9 C10 0.8 1 0.8 C10 0.8 1 0.8 10 10 0.68 . 10 10 C10 0.8 1 0.8
在n次独立重复试验中 , " 在相同条件下 " 等价于 各次试验的结果不会受 其他试验的影响,即 1 式成立 .
高二数学人选修课件独立重复试验与二项分布
1. 根据组合数公式计 算成功次数为2的组合 方式数量：C(10, 2)。
2. 计算成功和失败的 概率：p=0.05，1p=0.95。
3. 将上述结果代入二 项分布概率公式进行 计算，得到恰好抽到2 个次品的概率为： P(X=2) = C(10, 2) * 0.05^2 * 0.95^(102)。
生活中独立重复试验与二项分
其他领域应用举例
产品质量检验
在生产线上，为了保证产品质量，会 对每个产品进行多次独立的重复检验 。每次检验的结果为合格或不合格， 符合二项分布的特点。
市场营销调查
在市场营销中，为了了解消费者对某 种产品的接受程度，会进行多次独立 的重复调查。每次调查的结果为购买 或不购买，也符合二项分布的特点。
谢谢聆听
递推关系式应用举例
通过已知的初始条件$P(A_0)=q^n$和递推关系式，可以逐步求出 $P(A_1),P(A_2),ldots,P(A_n)$的值。
案例分析：射击比赛问题
问题描述
某射手进行射击比赛，每次射击的命中率为0.8，若命中则得10分，否则扣4分。设该射 手射击10次，求其总得分的数学期望和方差。
VS
二项分布的概率计算
二项分布描述了在n次独立重复试验中成 功k次的概率。其概率计算公式为C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示从 n个不同元素中取出k个元素的组合数，p 表示每次试验成功的概率。
案例分析：投掷硬币问题
问题描述
假设我们有一个均匀的硬币，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为1-p。现在我们 进行n次投掷，求正面朝上k次的概率。
概率模型建立
该射手每次射击得分是一个随机变量，取值为10或-4，且命中得10分的概率为0.8，未命 中扣4分的概率为0.2。因此，该射手10次射击的总得分也是一个随机变量，服从二项分 布。
二项分布与超几何分布(第1课时+n次独立重复试验与二项分布)课件
1
率均为 ,抽取
5
则 X~B
所以
1
3,
5
3 次可以看成 3 次独立重复试验,
.
P(X=0)=C30
P(X=1)=C31
×
1 0
5
×
1 1
5
×
×
4 2
5
4 3
5
=
=
48
,
125
64
,
125
P(X=2)=C32
P(X=3)=C33
抛硬币这个伯努利试验.
(1)每次试验结果有哪些?
提示:正面向上或反面向上.
(2)各次试验的结果有无影响?
提示:无影响.
2.在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独
立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
3.独立重复试验应满足的条件是(
)
①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有事件发生与不发生两种结
4
P(A1)=P(A2)=6,P(B1)=P(B2)=5.
(1)至少有 1 棵成活的概率为
1-P(1 2 1 2 )=1-P(1 )P(2 )P(1 )P(2 )
=1-
1 2
6
×
1 2 899
=
.
5
900
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,所求概率为
P=C2156Fra bibliotek16
× × ×
C32 ×0.82×0.2+C33 ×0.83×0.20=0.896.
(2)在未来3天中,至少有连续2天预报准确的概率为
独立重复试验与二项分布 课件
求服从二项分布的分布列 [典例] (本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的 胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是21外，其余每局比赛甲队获胜的概 率都是23.假设各局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以 3∶0，3∶1,3∶2 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3∶2， 则胜利方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分 X 的分布列．
[解析] (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1，“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2，“甲 队以 3∶2 胜利”为事件 A3， 由题意，各局比赛结果相互独立，
故 P(A1)＝233＝287，1 分 P(A2)＝C232321－32×23＝287，
3分
P(A3)＝C242321－322×21＝247. 所以，甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为287，以 3∶2 胜利的概率为247.5 分
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝237，10 分
故 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
16 274 27 Nhomakorabea4 27
3 27
12 分
[规范与警示] (1) 甲以 3∶2 胜利极易写成 C24232·1－232·23＝1861，或 C242321－322
＝287. (2)求解 X＝0,1,2,3 对应的概率，利用 P(X＝0)＝P(A1＋A2)等可减少计算量，避免 失分． (3)解答此类问题步骤要规范，语言叙述要准确，在写分布列时表格要完整.
解答此类题目首先分析随机变量是否满足独立重复试验的条件，若满足，再利用 P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)计算即可．
独立重复试验与二项分布课件
3
【解析】P X
2
C62
(
1 3
)
2
(
2 )4 3
80 . 243
答案：80
243
3.任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为_____.
【解析】
P
X
2
C（32
1 2
）2 1 2
3. 8
答案：3
8
1.n次独立重复试验的特征 (1)每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变. (2)每次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立. (3)每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的.
【解析】1.设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n
次，记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)=0.25．
∵射击n次相当于n次独立重复试验，
∴事件A至少发生1次的概率为P=1-0.75n．
由题意，令 1 0.75n 0.75，( 3)n 1，
lg 1
44
∴ n 4 ∴4n.8至2，少取5．
=0.84+0.85≈0.410+0.328≈0.74. 故5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
二项分布问题
解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式 PX k Cknpk 1 p nk (k 0，1，2，，n) 必须在满足
“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点：一是对 立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一；二是重复性, 即试验是独立重复地进行了n次.
称__随__机__变__量__X_服从二项分布. (2)表示：记作_X_～__B_(_n_，__p_). (3)p的名称：成__功__概率.
独立重复试验与二项分布 课件
1．n 次独立重复试验：一般地，在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
2．在 n 次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的 影响 ，即 P(A1A2…An)＝
P(A1)P(A2)…P(An)．其中 Ai(i＝1,2，…，n)是第 i 次试验的结 果．
则 P(A)＝0.7，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8. 所以从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一件检验， 至少有一件一等品的概率为 P1＝1－P(－A )P(－B )P(－C )＝1－0.3×0.4×0.2＝0.976. (2)将甲、乙、丙三台机床加工的零件混合到一起，从中任 意地抽取一件检验，它是一等品的概率为 P2＝2×0.7＋40.6＋0.8＝0.7.
4 243
1 729
[点评] 解此类题首先判断随机变量 X 服从二项分布，即 X～B(n，p)，然后求出 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)， 最后列出二项分布列．
二项分布的应用
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零 件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别 为 0.7、0.6、0.8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床 加工的零件数是乙机床加工的零件数的 2 倍．
4．Cknpk(1－p)n－k 是[p＋(1－p)]n 的二项展开式中的第 k＋1 项．
独立重复试验概率的求法
某人射击 5 次，每次中靶的概率均为 0.9，求他至 少有 2 次中靶的概率．
[分析] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中靶，恰好有 3 次 中靶，恰好有 4 次中靶和恰好有 5 次中靶四种情况，这些事件 是彼此互斥的，而每次射击中靶的概率均相等，并且相互之间 没有影响，所以每次射击又是相互独立事件，因而射击 5 次是 进行 5 次独立重复试验．
独立重复试验与二项分布 课件
1
4
4
k k
11 4 7 4
7 4
k
11 4
k 2.
P2 (2)
C
2 10
( 1 )2 4
(3)8 4
0.28
例2.有译电员若干员,每人独立 破到译 译密 出码密的码概 的率 概均 率为 为013.9,若9,至要少达 要配备多少人?
(lg2=0.3010,lg3=0.4771)
袋中有12个球,其中白球4个，
则：C13P（1 P）2 C23P（2 1 P） C33P3 19 27
3P（1 P）2 3P（2 1 P） P3 19 27
P3 3P（1 P） 19 ， P 1
27
3
例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率
P(甲胜3个球) （0.7）（3 1 0.6）3 0.021952
P( 3) P( 0) 1 3 3 3 3 5 5 25
例4.有10道单项选择题,每题有4个选支,某人随机选定 每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求 出此种情况下概率的大小.
解：设“答对k题”的事件为A，用P1（0 k）表示其概率，由
P10 (k )
P10 (k 1)
可以发现
P(Bk ) C3k pkq3k，k＝0，1，2，3
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数 为X，在每次试验中事件A发生的概率是P，那么在n次 独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率
A
P( X k) Cnk pk (1 p)nk，k 0,1,2,, n
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)， 并称p为成功概率。
独立重复试验与二项分布 课件
(2)记“甲射击 4 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 4 次，恰 有 3 次击中目标”为事件 B2，则
P(A2)＝C24×232×1－234－2＝287； P(B2)＝C34×343×1－344－3＝2674. 由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝287×2674＝18. 所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为18.
又 P(C)＝C232321－2323×13×12＋13×23× 12＋13×13×12＝1304 ， P(D)＝C3323313×13×12＝345， 由互斥事件的概率公式得 P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1304 ＋345＝3345 ＝23443.
[规律方法] 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性 质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件 中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发 生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古 典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求 解．
二项分布
某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，
则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审
不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通
过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概
率均为1，复审能通过的概率为 3 ，各专家评审的结果相互独立．
概率为 P＝C23122×12＝38.]
独立重复试验与二项分布公开课课件
独立重复试验与二项分布的关系
独立重复试验对二项分布的影响
独立重复试验是二项分布的前提条件
独立重复试验保证了每次试验的独立性，使得试验结果之间相互独立，不受其他试验结 果的影响。
独立重复试验决定了二项分布的概率
在独立重复试验中，每次试验成功的概率是相同的，并且这个概率不会受到其他试验结 果的影响。
05
二项分布的参数估计
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
最大似然估计法
最大似然估计法是一种通过最大化样本数据的似然函数来估 计参数的方法。
最大似然估计法是一种统计推断方法，其基本思想是选择参 数使得样本数据出现的概率最大。对于二项分布，最大似然 估计法可以通过求解似然方程来得到参数的估计值。
独立重复试验的实例
抛硬币、掷骰子、摸奖
抛硬币是一个典型的独立重复试验，每次抛硬币都是独立的，出现正面或反面的可能性相同，而且结果随机。掷骰子也是一 个例子，每次掷骰子都是独立的，出现1到6点的可能性相同。摸奖则是另一种形式的独立重复试验，每次摸奖都有相同的可 能性中奖或不中奖。
02
二项分布
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
二项分布具有可加性和可乘性，即当两个独 立的二项随机变量X和Y分别服从B(n,p)和 B(m,p)时，X+Y和X×Y分别服从B(n+m,p) 和B(n,p)B(m,p)。此外，当试验次数n为偶 数时，二项分布具有对称性，即X=n-X。
Байду номын сангаас项分布的实例
生活中的很多现象都可以用二项分布来描述，例如抛 硬币、抽奖等。
04
二项分布的数学期望和方差
7 第7讲 n次独立重复试验与二项分布
第7讲 n 次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )．②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立． 2．独立重复试验与二项分布独立重复试验 二项分布定 义在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率 计 算 公 式用A i (i ＝1，2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n ) ＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n )[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( )(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )答案：(1)× (2)× (3)× [教材衍化]1．(选修2-3P55练习T3改编)天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________．解析：设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为AB ＋AB ，所以P (AB ＋AB )＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38. 答案：0.382．(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P (A － B －)＝1－12＝12.答案：12[易错纠偏](1)相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误； (2)独立重复试验公式应用错误．1．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45，23，在操作考试中“合格”的概率依次为12，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．解析：甲获得“合格证书”的概率为45×12＝25，乙获得“合格证书”的概率是23×56＝59，两人中恰有一个人获得“合格证书”的概率是25×⎝⎛⎭⎫1－59＋⎝⎛⎭⎫1－25×59＝2345. 答案：23452．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝________． 解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－123＝516.答案：516相互独立事件的概率(2020·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：(1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 P14112414124(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.独立重复试验与二项分布(1)(2020·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列． ②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】 (1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C 26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625.故填96625.(2)①X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为 X 10 20 100 －200 P38381818i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的． ②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )A.56 B.45 C.3132D.12解析：选C.因为函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点，所以Δ＝16－4X ≥0，所以X ≤4.因为X 服从X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，所以P (X ≤4)＝1－P (X ＝5)＝1－125＝3132. 2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲每次投进的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X ～B (6，23)，P (X ＝k )＝C k 6·(23)k ·(13)6－k(k ＝0，1，2，3，4，5，6)． 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P1729424320243160729802436424364729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24·(13)2·(23)4＋C 14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.[基础题组练]1．(2020·东北四市高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭⎫P ≥1516，则n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A.由题意得P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n≥1516，则⎝⎛⎭⎫12n≤116，所以n ≥4，故n 的最小值为4. 2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A －·B －)＝1－P (A －)·P (B －)＝1－12×56＝712，故选C.3．(2020·绍兴调研)设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B.因为随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，又P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，则P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1127. 4．(2020·杭州七校联考)如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．3或4解析：选D.观察选项，采用特殊值法． 因为P (X ＝3)＝C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412，P (X ＝4)＝C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411，P (X ＝5)＝C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410， 经比较，P (X ＝3)＝P (X ＝4)＞P (X ＝5)， 故使P (X ＝k )取最大值时k ＝3或4.5．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且每棵大树是否成活互不影响，则移栽的4棵大树中至少有1棵成活的概率是( )A.13B.23C.887900D.899900解析：选D.设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2；B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45，则至少有1棵大树成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2)＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2)＝1－⎝⎛⎭⎫162×⎝⎛⎭⎫152＝899900.6.如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开和关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________． 解析：设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AC B －，且A ，B －，C 之间彼此独立，P (A )＝P (B －)＝P (C )＝12.所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.答案：187．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 个数1040805020在30天以上的概率为____________．解析：由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫343＝2732.答案：27328．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用X 表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________．解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0，1，2，3，4，5.故P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243. 答案：102439．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ， 则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝5)＝C 12×13×⎝⎛⎭⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝⎛⎭⎫132×23＋⎝⎛⎭⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝⎛⎭⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝⎛⎭⎫133＝127. X 的分布列为10.已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13.某小组为了研究连续服用该药物后出现A 症状的情况，进行了药物试验．试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期．假设每次用药后当天是否出现A 症状与上次用药无关．(1)若出现A 症状，则立即停止试验，求试验至多持续一个用药周期的概率；(2)若在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则在这个用药周期结束后终止试验．若试验至多持续两个周期，设药物试验持续的用药周期为η，求η的分布列．解：(1)法一：记试验持续i 天为事件A i ，i ＝1，2，3，4，试验至多持续一个周期为事件B ，易知P (A 1)＝13，P (A 2)＝23×13，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13，P (A 4)＝⎝⎛⎭⎫233×13，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝6581.法二：记试验至多持续一个周期为事件B ，则B －为试验持续超过一个周期，易知P (B －)＝⎝⎛⎭⎫234＝1681，所以P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)随机变量η的所有可能取值为1，2， P (η＝1)＝C 34⎝⎛⎭⎫133·23＋⎝⎛⎭⎫134＝19，P (η＝2)＝1－19＝89，所以η的分布列为1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为生准备选修物理，化学，生物三个科目．每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的．(1)求恰有2人选修物理的概率； (2)求学生选修科目个数ξ的分布列．解：(1)这是等可能性事件的概率计算问题． 法一：所有可能的选修方式有34种，恰有2人选修物理的方式C 24·22种， 从而恰有2人选修物理的概率为C 24·2234＝827.法二：设每位学生选修为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“选修物理”为事件A ，则P (A )＝13，从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人选修物理的概率为P ＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)ξ的所有可能值为1，2，3，P (ξ＝1)＝334＝127；P (ξ＝2)＝C 23（C 12C 34＋C 24C 22）34＝1427；P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49； 综上知，ξ的分布列为趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ·⎝⎛⎭⎫234－i. (1)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以，这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0，2，4.P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M 处的命中率q 1＝0.25，在N 处的命中率为q 2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在N 处发射，用X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．解：(1)设该选手在M 处射中为事件A ，在N 处射中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )＝0.25，P (A －)＝0.75，P (B )＝q 2，P (B －)＝1－q 2.根据分布列知：当X ＝0时，P (A － B － B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝0.75(1－q 2)2＝0.03， 所以1－q 2＝0.2，q 2＝0.8.当X ＝2时，P 1＝P (A － B B －＋A － B － B )＝P (A －)P (B )P (B －)＋P (A －)P (B －)P (B )＝0.75q 2(1－q 2)×2＝0.24，当X ＝3时，P 2＝P (A B －B －)＝P (A )P (B －)P (B －)＝0.25(1－q 2)2＝0.01，当X ＝4时， P 3＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝0.75q 22＝0.48， 当X ＝5时，P 4＝P (A B －B ＋AB )＝P (A B －B )＋P (AB ) ＝P (A )P (B －)P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.25q 2(1－q 2)＋0.25q 2＝0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48＋0.24＝0.72. 该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为 P (B －BB ＋B B －B ＋BB )＝P (B －BB )＋P (B B －B )＋P (BB )＝2(1－q 2)q 22＋q 22＝0.896. 所以该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大．。
课件12：2.2.3 独立重复试验与二项分布
探究点二 二项分布的应用 问题 二项分布和二点分布有何联系？
答 二项分布中，每次试验都服从相同的二点分 布．二点分布可看作 n＝1 的二项分布，二项分布可 看作二点分布的一般形式．
例 2 甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3 人， 每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得 零分．假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否 相互之间没有影响．用 ξ 表示甲队的总得分． (1)求随机变量 ξ 的分布列； (2)设 C 表示事件“甲得 2 分，乙得 1 分”，求 P(C)．
A.C130×0.72×0.3
B.C31×0.72×0.3
3 C.10
D.3AA2713·0A31
3．若 X～B(5,0.1)，则 P(X≤2)等于
A．0.665
B．0.008 56
C．0.918 54
D．0.991 44
(D )
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2) ＝C500.10×0.95＋C150.1×0.94＋C250.12×0.93＝0.991 44.
问题 2 问题 1 中若连续掷一枚图钉 n 次，恰好出现 k 次(k≤n)针尖向上的概率又是多少？它与二项式定理 有何联系？ 答 一般地，如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p， 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，它是二项式[(1－p)＋p]n 展开式的第 k＋1 项．所以称这样的随机变量 X 服从二项分布，记作 X～ B(n，p)．
解 (1)由题意知，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，且 P(ξ＝0)＝C30×1－233＝217， P(ξ＝1)＝C31×23×1－232＝29，
N次独立重复试验与二项分布课件
3．在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题．如果不放回地依次 抽取 2 道题，则在第 1 次抽到文科题的条件下，第 2 次抽到理科题的 概率为( )
1233 A.2 B.5 C.5 D.4 D [根据题意，在第 1 次抽到文科题后，还剩 4 道题，其中有 3 道理科题；则第 2 次抽到理科题的概率 P＝34，故选 D.]
29
(2019·全国卷Ⅱ)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分， 当某局打成 10∶10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分 的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在 某局双方 10∶10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束．
33
②假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未 击中目标的概率；
③假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中 目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中， 则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分．记 ξ 为射手射击 3 次 后的总分数，求 ξ 的分布列．
26
②由题意可得，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3，
则 P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×14×25＝310；
P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝23×14×25＋13×34×25
＋13×14×35＝6103；
P(ξ＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝23×34×25＋23×14×35＋13×34
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
24
高中新课程数学教学精品课件：独立重复实验与二项分布
[思路探索] 利用独立重复试验解决，要注意“恰有k次发生”
和“指定的k次发生”的差异．
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解 (1)该射手射击了 5 次，其中只在第一、三、五次击中目标， 是在确定的情况下击中目标 3 次，也就是在第二、四次没有击中 目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故 3 3 3 3 3 108 所求概率为 P＝ × 1－ × ×1－ × ＝ ； 5 5 5 5 5 3 125 (2)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次击中目标．根据排列组合知 3 识，5 次当中选 3 次，共有 C5种情况，因为各次射击的结果互不 影响，所以符合 n 次独立重复试验概率模型．故所求概率为 P＝ 3 3 32 216 3 C5× ×1－ ＝ ； 5 5 625 (3)该射手射击了 5 次，其中恰有 3 次连续击中目标，而其他两次 没有击中目标，应用排列组合知识，把 3 次连续击中目标看成一 个整体可得共有 C1种情况． 3 3 3 32 324 1 故所求概率为 P＝C3· ·1－ ＝ . 5 3 125 5
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【变式3】 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在 2 各个交通岗遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是 ， 5 设 ξ 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 ξ 的分布列．
解 由题意
2 ξ～B3， ，则 5 5 5 5
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题型三
二项分布的应用
3 【例3】 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为4，某班 3 名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只 拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列．
课件9：2.2.3 独立重复试验与二项分布
【解析】根据题意，本题为独立重复试验，
由概率公式得 Ck5×(12)k×(12)5－k＝Ck5＋1×(21)k＋1×(21)4－k， 解得 k＝2. 【答案】C
3．设
X～B(2，p)，若
P(X≥1)＝95，则
1 p＝___3_____．
【解析】因为 X～B(2，p)，
所以 P(X＝k)＝Ck2pk(1－p)2－k，k＝0，1，2.
3．二项分布 随机变量是 n 次独立重复试验中事件发生的次数，与 n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率互应，分布列可用 等式表示为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2…n)．
失误防范 1．分不清问题是否为独立重复试验． 2．独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的 区别．
故 P(X＝k)＝Ck3·0.2k·0.83－k(k＝0，1，2，3)． 所以 P(X＝0)＝0.83＝0.512，
P(X＝1)＝C13·0.2·0.82＝0.384， P(X＝2)＝C23·0.22·0.8＝0.096，P(X＝3)＝0.23＝0.008. 所以 X 的分布列为：
X0
1
2
3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
3．某射手射击 1 次，击中目标的概率是 0.9，他连续射 击 4 次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响． 有下列结论： ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9； ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1； ③他至少击中目标 1 次的概率是 1－0.14. 其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．
素养提升 1．独立重复试验必须具备的条件 (1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变； (2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立； (3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的． 2．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好” “恰有”字样的问题，用独立重复试验的概率公式计算 更简单．
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42
X
800
000 000
P 0.3 0.5 0.2
(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i＝1,2,3)， 由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)， 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为
• (2)二项分布满足的条件：
• ①每次试验中，事件发生的概率是相同 的．
• ②各次试验中的事件是相互独立的．
2．(2013 年高考山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局
• ＝所以15，00E0(Y，)＝因3此4P0(0Y×＝01.52＋0090)2＝00P×(X0>.172＋0)
＝15p03＝00P0×.10，.01.由2＝此8 得06.27Y0的. 分0.布1 列如下：
• 规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条 件下重复地、各次之间相互独立地进行的 一种试验．在这种试验中，每一次试验只 有两种结果，即某事件要么发生，要么不 发生，并且任何一次试验中发生的概率都 是一样的．
相互独立事件的概率(师生共研)
• 例2 (2014年高考陕西卷)在一块耕地上 种植一种作物，每季种植成本为1 000元， 此作物的市场价格和这块地上的产量均具 有随机性，且互不影响，其具体情况如下 表：
• (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的 利润，求X的分布列；
• (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求 这3季中至少有2季的利润不少于2 000元 的概率．
________.
解析 (1)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”，事件 B 为“第
2 次抽到的是卡口灯泡”，则 P(A)＝130，P(AB)＝130×79＝370.则所求概率
7 为 P(B|A)＝PPAAB＝330＝97.
10
(2)记“取到蓝球”为事件 A，“取到玻璃球”为事件 B，则已知取
• 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝ 8 840.
• ③安装3台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－1 600＝3 400，因此P(Y ＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；当 80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝ 5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝YP(803≤X≤1290)＝p12＝5 0.7；当X>120 时，三台发40电0机运20行0 ，此00时0 Y＝5 000×3
• 1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注 意公式成立的条件，只有当事件A，B相互 独立时，公式才成立．
• 2．独立重复试验中，每一次试验只有两 种结果，即某事件要么发生，要么不发生， 并且任何一次试验中某事件发生的概率相 等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运 用对立事件．
• 一、条件概率与相互独立事件
P( C 1C2C3)＋P(C1 C 2C3)＋P(C1C2 C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0．512＋0.384＝0.896.
• 规律方法 求相互独立事件同时发生的概 率的方法主要有：
• (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接
• (1)求年未入来流4量年X中，至<8多0 有1年20的年入x>流12量0超 过120的概率；
• 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台 年亏损800万元．欲使水电站年总利润的 均解析值达(1)依到题最意，大p1＝，P(应40<安x<80装)＝发1500＝电0.2机，p多2＝P少(80台≤X？≤120)＝
事件 AB 表示“豆子落在△EOH 内”，
则 P(AB)＝SS△圆EOOH＝12π××1122＝21π.
1 故 P(B|A)＝PPAAB＝22π＝41.
π
答案
(1)D
(2)A
1 (3)4
规律方法 条件概率的求法： (1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)＝PPAAB，求 P(B|A)． (2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
• 解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元 /kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
• ∵利润＝产量×市场价格－成本，
• ∴X所有可能的取值为
P(X＝4 000)＝P( A )P( B )(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝ P( A )P(B)＋P(A)P( B )＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，
• 答案：C
条件概率(自主探究)
• 例1 (1)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只
卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同
且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，
电工师傅每次从中任取一只并不放回，则
在第A.713他20次第抽1到次的抽到是卡的B是口.297 螺灯口泡灯的泡概的率条为件( 下，)
C.8
D.9
• (2)盒中有红球5个，蓝球11个，其中红球
4．某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下 3 粒种
子恰有 2 粒发芽的概率是( )
12 A.125
16 B.125
48 C.125
96 D.125
解析：用 X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布 B3，45， P(X＝2)＝C32452151＝14285.
到的球为玻璃球，它是蓝球的概率就是 B 发生的条件下 A 发生的条件概
率，记作 P(A|B)．因为 P(AB)＝146＝41，P(B)＝166＝38，所以 P(A|B)＝PPABB
1 ＝43＝23.
8
(3)由题意可得，事件 A 发生的概率 P(A)＝S正方S形圆EOFGH＝ π2××122＝π2.
中有2个玻璃球，3个木质球；蓝球中有4
个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，
假设每个球被摸到的可能性相同．若已知
取(A.32到的) 球是玻璃B.13球，则它是蓝球的概率为
11
5
C.16
D.16
• (3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1 的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔 到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方 形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇 形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝
胜”， • A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果
P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝41. (2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1 表示事 件“第 1 局结果为乙胜丙”，B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果 为乙胜甲”，B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负”． 则 P(X＝0)＝P(B1B2A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝81， P(X＝2)＝P( B 1B3)＝P( B 1)P(B3)＝14， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－81－41＝85， 故 E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.
3550＝0.7，p3＝P(X>120)＝550＝0.1.
由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率
为 p＝C40(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝1904＋4×1903×110＝0.947 7.
• (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
，
P(AB)＝P(B|A)·P(AA与)B＝相互独立
•
．
• 3．若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立．
• 三、独立重复试验与二项分布
独立重复 相试同 验
二项分布
在n次独立重复X～试B(n验，p中)
在
，设事成件功 A发生的次
条件下重 数为X，在每次试验
复做的n次 中事件A发生的概率
• ①安装1台发电机的情形．
• 由于水库年入流量总大于40，故一台发电 机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
• ②安装2台发电机的情形．
• 依题意，当40<X<80时，一台发电机运行， 此时Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝ 4 200)＝YP(404<2X0<0801)＝0 0p01＝0 0.2；当X≥80 时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2 ＝10 000P，因0此.2P(Y＝01.08 000)＝P(X≥80)
1．(2013 年高考大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其
中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁
判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第 1 局 甲当裁判．
• (1)求第4局甲当裁判的概率； • (2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的
数学期望． • 解析：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲
• 1．判断下列结论的正误．(正确的打 “√”，错误的打“×”)
• (1)条件概率一定不等于它的非条件概 率．( )
• (2)相互独立事件就是互斥事件．( )
• (3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝ P(A)P(B)都成立．( )