线性代数练习题答案三

线性代数练习题答案三

一、温习巩固

?x1?2x2?x3?x4?0?

1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0

234?1

解：化系数矩阵为行最简式

?121?1??120-1?

??行变换??A??36?1?30010?

?5101?5??0000

因此原方程同解于?

?x1??2x2?x4

令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为

x3?0?

??2??11???0?

x?k1k2??，其中k1,k2为任意常数。

000??1

?4x1?2x2?x3?2

?

2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8

12?

解：把增广矩阵化为阶梯形

?42?12??13?3?8??13-3-8?

??r1?r2??行变换??

??3?12103?12100-101134?

?113?113?0008?08?0-6

因此R?2?R?3，所以原方程组无解。

3. 设??,??。求向量?，使2??3。

解：??

151??

3,,0,??33??

4. 求向量组

?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的

秩和一个极大线性无关组。

解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?11A??

2??4?

二、练习提高⒈ 判断题

03130?11722140

2??1??1??050??

?60

312

312??1

303??0

1010??

?2?4?20

100

312?

?

101?

?000?

0?4?4??

所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。

⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则

若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。

?A

⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若RT

?

?AT?

??R，则线性方程组 ?0?

零

解

。

x?

y00?

必有非

⑷ 对矩阵?A?E?施行若干次初等变换，当A变为E时，相应的E变为A?1。

⑸ 设向量组?1,?2,?3线性无关，?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由

?1,?2,?3线性表示，则对于任意常数k，必有?1,?2,?3，k?1??2线性相关。

⑹ 设n维列向量组?1,?2,?,?s线性相关，A是m?n矩阵，则A?1,A?2,?,A?s线性相

B和A的秩分别为RB和RA，⑺ 若向量组B能由向量组A线性表示，则RB?RA。

关。

R?r?m?n，⑻ 设A为m?n矩阵，则A的r?1阶子式不

能为0。

⑼ 设n元齐次线性方程组的一个基础解系为?1,?2,?3,?4，则

?1,?1??2,?1??2??3,

?1??2??3??4仍为该齐次线性方程组的基础解系。

⑽ 集合V?{x?x1?x2?xn?0,xi?R}是一个向量空间。

⒉ 填空题

⑴ 齐次线性方程组A4?3X3?1?0有非零解的充要条件是__R?3

?x1?x2??a1?x?x?a?232

⑵ 若线性方程组?有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足的条件是

?x3?x4??a3??x4?x1?a4

a1?a2?a3?a4?0

?12?2

⑶ 设三阶矩阵A??212?，三维列向量??T，已知A?与?线性相

?304

关，

则a??1

⑷ 若??能由?1?,?2?,?3?唯一线性表示，则

k满足条件k?0且k??3

⑸ 设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n?1，则线性方程组Ax?0

的通解为。

⑹ 由向量组?1?T,?2?T,?3?T,?4?T生成的向量空间的维数为。

⒊ 计算题

??x1?x2?x3?1

?

⑴ ?取何值时，方程组?x1??x2?x3??有唯一解，无解或有无穷多解？在有无

?x?x??x??

23?1

穷多解时求解。

解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得 ??11?1??11r1?r3?1??1???B??Ab???1??1???

11?11?1??11?1??1r2?r1

r3??r1r3?r20??1?1???00??1?1???0????

22

10??21??2?01??1?0

?

所以当??0,?1时，R?R?3线性方程组有唯一解。

当??0时，R?2?3?R线性方程组无解。当1时，R?R?2?3线性方程组有无穷多解。

若

??1

，

?111?1??110?1?

001?0?rr

B??Ab00?2?0

00?2?0000?0??

，解为

?x11??1?

?x??c?10?; ?2?1?x30?0??

?11?1??1??10?1??1?

010?0?，解为rr

??0?20?0?若??1，B??Ab000?0???000?0???x1??1???1?

?x??c?00?。 ?2?2x3???1????0??

⑵ 已知?1,?2,?3线性无关，若?1?2?2,2?2?a?3,3?3?2?1线性相关，求a的值。

解：由题意知存在不全为0的k1,k2,k3，使得

k1?k2?k3?0，整理得 ?1??2??3?0