北京市东城区第五中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题

北京市东城区第五中学2020-2021学年高三上学期12月月考

数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}20A x x a =-，2{|log (2)1}B x x =-≤，若B A ⊆,则实数a 的取值范围是

A ．(,4]-∞

B ．[4,)+∞

C ．(,4)-∞

D ．(4,)+∞ 2．已知0.6log 1.6a =，0.61.6b =， 1.60.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 3．对于非零向量,a b ，“230a b +=”是“//a b ”成立的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

4．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如图，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 分别是单位圆O 上的点，角α、β的终边分别为射线OA 和射线OB ，则1212x x y y +表示的值为( )

A ．sin()αβ+

B ．sin()αβ-

C ．cos()αβ+

D ．cos()αβ- 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c

= A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 7． 已知函数()sin()(,0)2f x x πωϕϕ

ω=+的图像在y 轴右侧的第一个最高点为(,1)6P π，在原点右侧与x 轴的第一个交点为5(,0)12Q π，则()3

f π的值为（ ）

A ．1

B ．12

C ．2

D 8．在直角坐标系xOy 中,对于点(,)x y ,定义变换σ:将点(,)x y 变换为点(,)a b ,使得tan ,tan ,

x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-.这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线.则四个函数12(0)y x x =>,22(0)y x x =>,3e (0)x y x =>,

4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象,变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是

A ．②,③,①,④

B ．③,②,④,①

C ．②,③,④,①

D ．③,②,①,④

二、填空题

9．17sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭

的值为_____．

10．已知平面向量,a b 满足()3a a b ⋅+=且2a =，1b =，则向量a 与b 的夹角为_____． 11．已知3(,)22ππ

α∈ ，3tan()4

απ-=-，则sin cos αα+=_____． 12．函数()f x 的定义域为实数集R ，()()211,10{2log 1,03

x x f x x x ⎛⎫--≤< ⎪=⎝⎭

+≤<，对于任意x ∈R 都有()()22f x f x +=-，若在区间[]5,3-内函数()()g x f x mx m =-+恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________． 13．已知函数()sin(),()()69f x x f x f ππω=+

≤，对任意x ∈R 恒成立，则ω可以是_____．

14．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||

A B k k A B AB ϕ-=

叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： （1）函数32

1y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2

，则(,)A B ϕ>； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

（3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ； （4）设曲线x y e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1

t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞；

以上正确命题的序号为__（写出所有正确的）

三、解答题

15

．已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =-+ ．

（1）求()12f π

的值及函数的最小正周期；

（2）求f （x ）在区间[0,]2π

上的最大值和最小值．

16．在ABC A B C ∆中，角、、所对的边分别为,a b c 、、且a b c <<

，sin A =

（1）求角B 的大小；

（2）若2a =，b =，求c 及ABC ∆的面积.

17．空气质量指数PM 2.5（单位：μg /m 3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：

甲、乙两城市2021年2月份中的15天对空气质量指数PM 2.5进行监测，获得PM 2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率； （Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．

18．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，∠BCD

＝60°，PA PD ==E 是BC 中点，点Q 在侧棱PC 上．