集美大学 模糊集理论及其应用期末复习
模糊数学基础知识
1 1A1 = u3 0.8 0.8 0.8A0.8 = + u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + u2 u3 u4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4A0.4 = + + + u1 u2 u3 u4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2A0.2 = + + + + u1 u2 u3 u4 u5
200669中科院寒旱所遥感室51976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一美国西欧日本中国200669中科院寒旱所遥感室6集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展是模糊数学的基础经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是属于和不属于的
交流学习
模糊数学基础
王建宏
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
1
提
纲
模糊集概念 隶属函数确定 模糊关系 模糊综合评判 实例介绍
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
2
1、模糊集
模糊集理论 美国加州大学 控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创
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中科院寒旱所遥感室
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1、模糊集
L-模糊集 L-直觉模糊集
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
模糊控制第二章复习摘要
第二章复习摘要1 模糊集合的定义，有限论域的三种表示方法，会用模糊集合表示现实中的模糊概念。
2 分解定理3 扩张定理4 隶属函数的求法（例证法）5 模糊矩阵的运算（并，交，补，合成）6 模糊关系的性质（自反性，对称性，传递性）7 模糊向量的运算（笛卡尔积，内积）8 模糊语言算子（语气算子，判定化算子）9 模糊语言变量的定义10 模糊推理（1）若a 则b（2）若a 则b ，否则c（3）若a 和b ，则c题目：1 论域U={800,1000,1200,1500,1800,2000,2500}，对于应届本科毕业生来说，给出“工资高”这个模糊概念的模糊集合，并用三种方式表达。
2 {}4321,,,x x x x X =,A ~ and B ~ are two fuzzy sets in X , and321/1.04.05.0~x x x A ++=,432/18.05.0~x x x B ++=, ?~~B A ，?~~c B A 3 543213.07.014.02.0~u u A ++++=，please terrify the disintegrating theorem?4 {}5,4,3,2,1=U ,{}d c b a V ,,,=,⎪⎩⎪⎨⎧====4,3,2,5,1,)(u c u b u a u f52.044.039.013.0~+++=A ,)~(~A f B =?5 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=104.06.02.07.0Q ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.04.07.0015.0R ,?=R Q 6 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.02.07.06.0R ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1.05.08.04.0S ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8.02.09.05.0T )()(?)(T S T R T S R =7 师生关系，朋友关系⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=18.02.01.008.018.02.01.02.08.018.05.01.02.08.018.001.05.08.01R ，是否具有模糊关系的三个性质？ 8 )0,2.0,6.0,8.0(=a , )1,7.0,4.0,2.0(=b , ??=∙=⨯b a b a9 论域]10,9,8,7,6,5,4,3,2,1[=U ,10199.06.03062.051.0][~+++++=。
模糊数学考试习题
模糊数学考试习题第一篇：模糊数学考试习题一、填空（每空3分）1.经典集合是论域U到集合的映射.2.模糊集合是论域U到集合的映射.3.经典集合的关系矩阵是.4.模糊集合的模糊关系矩阵是.5.模糊的不确定性即使时间过去了（或者实际作了一次试验）仍然是6.模糊数学把数学的应用范围从精确现象扩大到领域.7．模糊矩阵运算关于交的分配律.8.模糊集的隶属函数是专家给出的.9.模糊集强调的是集合边界的定义.10.模糊聚类方法给出的分类结果不是说事物绝对的属于或绝对的不属于类.11.集合U、V的直积U⨯V的子集R称为U到V的关系.12.U⨯V的一个模糊子集R称为U到V的关系.~13.经典集合的值域是.14.模糊集合的值域是.15.经典集合YI c的排中（互补）律.16.模糊集合YI c的排中（互补）律.17.模糊集的隶属函数是存在.18.模糊聚类方法给出的分类结果.19.模糊模式识别的最大隶属原则有个.20.模糊集的λ截集将模糊集的隶属函数转化为普通集合的二、简述题（每小题15分）1.简述模糊集的一种表示方法，并进行说明.2.简述模糊聚类的编网法.3.写出三种模糊分布函数.4.简述模糊集的一种运算，并进行说明.5.简述模糊聚类的最大树法.6.简述分解定理与扩张原理。
三、举一应用模糊数学方法解决实际问题的例子（25分）第二篇：数学考试一、聪明的你来填一填：（每空0.5分，共12分）1．在（）里填上合适的单位:一块玻璃的厚度大约是3（）骑自行车每小时行驶15（）李明体重35()一辆汽车载重5()2、在（）里填上合适的数：5厘米＝()毫米2千米＝()米()米＝50分米4000千克＝()吨6千克＝()克8吨＝()千克1600千克－600千克=（）吨14厘米 + 26厘米 =（）分米3、在○里填上“＞、＜或＝”:70厘米○90毫米5千米○4500米990克○1千克1500千克○2吨4、把序号填在下面的括号内：5、括号里最大能填几？（）×6＜498×（）＜63（）×5＜446、用0、1、2组成最大的三位数是（），最小的三位数是（），他们的差是（）。
模糊理论及其应用(FCM算法)
模糊理论及其应用（FCM 算法）一． 模糊集的基本知识首先说明隶属度函数的概念。
隶属度函数是表示一个对象x 隶属于集合A 的程度的函数，通常记做μA (x)，其自变量范围是所有可能属于集合A 的对象（即集合A 所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即0<=μA (x)<=1。
μA (x)=1表示x 完全隶属于集合A ，相当于传统集合概念上的x ∈A 。
一个定义在空间X={x}上的隶属度函数就定义了一个模糊集合A ，或者叫定义在论域X={x}上的模糊子集~A 。
对于有限个对象x 1，x 2，……，x n 模糊集合~A 可以表示为： }|)),({(~X x x x A i i i A ∈=μ (6.1) 有了模糊集合的概念，一个元素隶属于模糊集合就不是硬性的了，在聚类的问题中，可以把聚类生成的簇看成模糊集合，因此，每个样本点隶属于簇的隶属度就是[0，1]区间里面的值。
二． K 均值的介绍K 均值聚类，即众所周知的C 均值聚类，已经应用到各种领域。
它的核心思想如下：算法把n 个向量x j (1,2…,n)分为c 个组G i (i=1,2,…,c)，并求每组的聚类中心，使得非相似性（或距离）指标的价值函数（或目标函数）达到最小。
当选择欧几里德距离为组j 中向量x k 与相应聚类中心c i 间的非相似性指标时，价值函数可定义为：∑∑∑=∈=-==c i Gi x k i k c i k c x Ji J 1,21)||||( (6.2)这里∑∑=∈-=c i Gi x k i k k c xJi 1,2)||||(是组i 内的价值函数。
这样J i 的值依赖于G i 的几何特性和c i的位置。
一般来说，可用一个通用距离函数d(x k ,c i )代替组I 中的向量x k ，则相应的总价值函数可表示为：∑∑∑==∈-==c i c i Gi x k i k k c xJi J 11,))d(( (6.3)为简单起见，这里用欧几里德距离作为向量的非相似性指标，且总的价值函数表示为（6.2）式。
模糊集概论
下面的例子中可以说明随机性和模糊性的区别： 假如你不幸在沙漠迷了路 , 而且几天没喝过水 , 这时你 见到两瓶水, 其中一瓶贴有标签：“纯净水的概率是0.81”, 另一瓶标着“纯净水的程度是0.81”。你选哪一瓶呢？ 相信会是后者。因为后者的水虽然不太干净 , 但肯定 没毒, 这里的0.81表现的是水的纯净程度而非“是不是纯净 水”, 而前者则表明有19％的可能不是纯净水(换句话说就 是: 可能有毒) 。
0 x 50 50 x 100 x 100
在许多场合里, 是与不是, 属于与非属于之间的区别不 是突变的, 不是一刀切的, 而是有一个边缘地带、量变的过 渡过程。很自然地会提出疑问：为什么要局限于只考虑 “属于”、 “不属于”两种极端情况？
如果分别用1、0表示“属于”、 “不属于”, 称为元素属 于集合的隶属度。 问题:为什么非要规定隶属度只取0、1两个值呢？ Zadeh 正是创造性地允许隶属度可取 0 、 1 之间的其他值 , 从而用隶属函数来表示模糊集合。
模糊现象是普遍存在的。在人类一般语言以及科学技 术语言中, 都大量地存在着模糊概念。 例如 : 高与矮、胖与瘦、美与丑等等这样一些对立的 概念之间，都没有绝对分明的界限。 分明概念是扬弃了概念的模糊性而抽象出来的, 是把思 维绝对化而达到的概念的精确和严格。
传统数学以康托尔集合论为基础。 集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类 的数学方法。 康托尔集合要求其分类必须遵从排中律 , 即论域中的 任一元素要么属于集合A, 要么不属于集合A, 两者必居其一, 且仅居其一。它只能描述外延分明的“分明概念” , 只能 表现“非此即彼”, 而不能描述和反映外延不分明的“模 糊概念”。 为 了 克 服 Cantor 集的不足 , 1965 年美国控制论专家 L.A.Zadeh 发表了著名论文Fuzzy Sets, 这标志着模糊数学 的诞生。
模糊集理论及其应用_第一章
13
1.2 模糊集合与隶属函数(2/5)
目录
1.2.2 模糊集合的表示方法
1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，则 A F ( U ) 可表示为
这里 不表示为“分数”，而是表 示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系 符号。
19
1.2 模糊集合与隶属函数(5/5)
目录
§１．3
模糊集合的运算
1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种 特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出 发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B F ( U ) , 则 ( i ) A B iff A(u) B(u) , uU ; (ii ) A = B iff A(u) = B(u) , uU ; (iii) A∪B : (A ∪B) (u) = max {A(u), B(u)}= A(u) ∨ B(u), uU ; ( v ) A∩B : (A ∩B) (u) = min {A(u), B(u)}= A(u) ∧ B(u), uU ; ( vi) A: A(u) = 1﹣A(u) , uU . 如下图所示:
14
A u i ui
A u A u u 1 A 2 A n u u u 1 2 n
1 2 1
1.2 模糊集合与隶属函数(3/5)
目录
例1.2.1：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，则
0 . 87 0 . 75 0 . 96 0 . 78 0 . 56 A u u u u u 1 2 3 4 5
模糊集理论及应用讲解
模糊集合与隶属函数
例 设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，用模糊集表示出模糊概念“大数”。
解：设A表示“大数”的模糊集，μA为其隶属函数。 则有：
A={ 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 } 其中： μA(1)=0，μA(2)=0.1，μA(3)=0.5，μA(4)=0.8， μA(5)=1
?0.4 0.5 0.1?
例
R1 ? ??0.2 0.6 0.2??
??0.5 0.3 0.2??
?0.2 0.8? R2 ? ??0.4 0.6??
??0.6 0.4??
?0.4 0.5? R ? R1 ?R2 ? ??0.4 0.6??
UR V R的论域为U×V。 特别地，当U=V时，R称为U上的二元模糊关系；若R的论域为n个集合
的直积U1×U2×…×Un，则称R为n元模糊关系。
模糊关系
模糊关系的表示 R= ∫ μR(u, v) / (u, v)
U ×V
例 X={ x1，x2，x3 }表示父辈的3个人x1，x2，x3 的集合，而Y={ y1， y2，y3，y4 }为他们子辈的集合，“相像关系”R∈ δ （ U×V ）是 一模糊关系，则
模糊集理论及应用
1
目录
1 模糊集的基本概念 2 模糊集的基本定理 3 模糊关系与模糊矩阵 4 模糊聚类 5 模糊推理及应用
基本概念——经典集合与特征函数
1、 经典集合
现代数学中一些不同对象的全体称为集合，区别于模糊集合 其最基本的属性是： ? 集合中元素的互异性，即元素彼此相异，范围边界分明 ? 集合中元素的确定性，一个元素x与集合A的关系是，要么x∈ A，要么x? A，二者必居其一 2、 论域 处理某一问题时对有关议题的限制范围称为该问题的论域。
模糊集理论及其应用_第二章
3
目录
4
例2.1.1 设U=V =(－∞,＋∞),映射
f : U→V
u → f(u)= sin u .
A=[-1,1] P(U) , B =[ 0,1] P(V) , 则由式(2-1-1) 得 f (A) = f ( [-1,1] )= [- sin 1, sin 1]
而由式 (2-1-2) f -1 (B)= f -1 ([ 0,1] )= [2nπ, (2n+1/2)π] , ( n = 0, ±1, ±2, …)
22
定理2.2.2 (二元扩展原理Ⅱ)设 f : F(U1)×F(U2)→F(V) 为二元模糊映射, 则 (A, B) ∈F(U1)×F(U2), 有 f (A, B)= ∪[ 0,1 ] f (AS, BS);
23
目录
定理2.2.3 (二元扩展原理Ⅲ)设 f : F(U1)×F(U2)→ F(V) 为二元模糊映射, 则(A, B) ∈F(U1)×F(U2), 有 f (A, B)= ∪λ[ 0,1 ] f (H1(), H2()) 其中Hi()(i=1,2)满足条件 AS H1() A , BS H2())B
定理2.1.4 (扩展原理Ⅲ )设U, V为两个论 域, f 和 f -1 为由f :U→V诱导的模糊映射, A∈F(U), B∈F(V),则
(1) f (A) = ∪[ 0,1 ] f (HA()) ,
其中 HA()满足 As HA() A , [ 0,1 ] ; (2) f -1(B) = ∪ [ 0,1 ] f -1(HB()), 其中 HB()满足 Bs HB() B , [ 0,1 ] .
6
(2 1 3)
目录
通常称由式(2-1-3)和式(2-1-4)所确定的模糊映射 为Zadeh型函数. f(A)称为U 上的模糊集A 在 f 下的 像,而称f -1 (B)为V上的模糊集B在f 下的原像.如下 图所示
集美大学模电总结复习要点.doc
集美大学模电总结复习要点最新模电复习要点详解第一章半导体二极管一.半导体的基础知识 1.半导体---导电能力介于导体和绝缘体之间的物质(如硅Si、锗Ge)。
2.特性---光敏、热敏和掺杂特性。
3.本征半导体----纯净的具有单晶体结构的半导体。
4.两种载流子----带有正、负电荷的可移动的空穴和电子统称为载流子。
5.杂质半导体----在本征半导体中掺入微量杂质形成的半导体。
体现的是半导体的掺杂特性。
*P型半导体:在本征半导体中掺入微量的三价元素（多子是空穴，少子是电子）。
*N型半导体:在本征半导体中掺入微量的五价元素（多子是电子，少子是空穴）。
6.杂质半导体的特性*载流子的浓度---多子浓度决定于杂质浓度，少子浓度与温度有关。
*体电阻---通常把杂质半导体自身的电阻称为体电阻。
*转型---通过改变掺杂浓度，一种杂质半导体可以改型为另外一种杂质半导体。
7.PN结*PN结的接触电位差---硅材料约为0.6~0.8V，锗材料约为0.2~0.3V。
*PN结的单向导电性---正偏导通，反偏截止。
8.PN结的伏安特性二.半导体二极管*单向导电性------正向导通，反向截止。
*二极管伏安特性----同ＰＮ结。
*正向导通压降------硅管0.6~0.7V，锗管0.2~0.3V。
*死区电压------硅管0.5V，锗管0.1V。
3.分析方法------将二极管断开，分析二极管两端电位的高低:若V阳>V阴(正偏)，二极管导通(短路);若V阳V阴(正偏)，二极管导通(短路);若V阳vsc/vsd。
例如：设KCMR=1000，vsc=1mV，vsd=1µV，则。
这就是说，当K=1000时，两端输入信号差为1µV时所得输出vo与两端加同极性信号1mV所得输出vo相等。
若KCMR=10000，则后项只有前项1/10，再一次说明K越大，抑制共模信号的能力越强。
例题一设长尾式差放电路中，Rc=30kΩ，Rs=5kΩ，Re=20kΩ，VCC=VEE=15V，β=50，rbe=4kΩ。
模糊集理论及其应用 第五章
(2) 模型M(•,∨)也是主因素突出型的综合评判，它 与模型M(∧,∨)相近，但更精细些，不仅突出了 主因素，也兼顾了其他因素，此模型适用于 M(∧,∨)失去作用，需要“加细”的情况。
22
(3) 模型M(•,+)为加权平均型的综合评判，依权重 的大小对所有因素均衡兼顾，比较适合求总数 最大的情形。 (4) 模型M(∧,⊕)也是属于主因素突出型的综合 评判，比模型M(∧,∨)也精细些，此模型的评 价结果也是和ai的取值有很大的关系。 (5) 模型M(乘幂,∧)为次因素突出型的综合评判， ai没有权重系数的意义，通常取[0，1]中的有 理数。 (6) 模型M(∧,+)适用于R中元素偏大或者偏小的 情形。 在实际应用过程中，选用哪种模型比较合 23 适，要根据具体问题的需要而定。
设U0的各指标Bi(i=1, 2,…,s)权重分配为
A0=(a1, a2, …, as) 这里ai ≥0且a1+a2+…+as=1，以B1, B2, …, Bs为 作为行构成二级评判矩阵
B1 b11 b12 b1n B2 b21 b22 b2 n R0 Bs bs1 bs 2 bsn
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目录
(1) 单因素评价 f : U→F (V) ui├→ f (ui)=ri=(ri1, ri2,…, rin),(i=1,2,…,m) 其中rij为关于因素ui具有评语vj的程度. (2) 构造模糊综合评判矩阵
r1 r11 r2 r21 R r r m m1
ＲP(U×V), 将TR限制在P(U)上，则TR为从P(U)到P(V) 的普通集合的线性变换，可以证明AP(U)有
模糊集的理论及应用-2
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
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4.贴近度的不同形式
（1）有限论域 n 令 p ( A( xi ) B( xi )), q
i 1 n
( A( x ) B( x ))
i i i 1
n
r
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
( A( x ) B( x ))
当 a1 a2 时，
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
(r ) n1 ( A, B ) , 1 (r )
其中 r
n2 ( A, B ) 2 (r )
2 | a1 a2 | ， 1 2
(r )是正态分布密度函数，可以通过查表求得
当 a1 a2 时，
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4.贴近度的不同形式
（2）无限论域X A，B是某测度空间上的可测函数，令
模 糊 集 的 理 论 及 应 用
则 n1(A，B)=p/q， n2(A，B)=2p/r 都是符合公理化定义的贴近度 当A、B为经典集合时， p是集合A∩B的测度；q是集合A∪B的测度； r是集合A的测度与集合B的测度之和。 当测度为面积时， p是集合A∩B的面积；q是集合A∪B的面积； r是集合A的面积与集合B的面积之和。
阈值原则
计算x对每个模式模糊集合的隶属度，取定一个判定水平(阈值)。 如果x隶属于模式A的隶属度不小于，则判定x属于模式A（可以是多 个）。 如果x对每个模式的隶属度均不超过水平，则不可判别。
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3.第一类模糊模式识别问题举例
染色体或白血球分类问题
染色体或白血球通常具有一定的几何形状，而病 变的染色体或白血球也具有某种几何形状。因此 染色体或白血球的识别问题常归结为几何图形的 识别问题。 先规定几种典型类型，并用几种几何图形来描绘， 称为标准模式。由于每种类型中可以包含多种形 似或相近的几何形状，因此描述一个模式应当是 模糊集合，称为模糊模式。 对一个待识别对象，可以通过计算它对每个模式 的隶属度进行识别。
讲义_第2章_模糊集合的基本理论
第2章 模糊集合的基本理论人们在表达一个概念时，通常采用指明概念的内涵和外延的方式来描述。
从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。
在经典集合论中，论域中的任一元素与某个集合之间的联系完全符合二值逻辑的要求：要么属于某个集合，要么不属于这个集合，非此即彼，没有模棱两可的情况。
这表明，经典集合所表达的概念其内涵和外延都是明确的。
然而，现实世界中存在着大量的模糊现象，用以描述它们的概念没有明确的外延，都是模糊概念。
例如，以人的年龄为论域，则“年老”、“年轻”等均无法明确地指出其外延。
其根源就在于模糊现象之间的差异不是绝对的，存在着中间过渡，存在着亦此亦彼的情况。
显然，模糊概念的亦此亦彼特征无法用经典集合表达。
但是，在亦此亦彼中依然存在着差异，依然可以相互比较。
进一步来看，在上一层次中亦此亦彼的现象，在下一层次中可能又转化为非此即彼。
因此，为了仍在集合理论的框架下讨论模糊现象，Zadeh 通过量化中间过渡的方式对经典集合予以推广，提出了模糊集合的概念。
本章将对模糊集合的基本概念进行比较系统的介绍，主要内容包括：模糊集合及其运算，模糊集合与经典集合的联系，模糊集合的广义运算。
2.1 模糊集合及其运算在经典数学理论中，用经典集合来描述(分明)概念，体现(分明)概念的外延。
然而描述模糊现象的模糊概念本身没有明确的含义，其外延是模糊的，那么又如何从数学的角度来刻画模糊概念，进而研究模糊现象呢？Zadeh 提出，仍在集合理论的框架下讨论，只是需要将经典集合理论进行推广，建立相应的模糊集合理论。
2.1.1 模糊集合的定义模糊现象在现实世界中是大量存在的，比如上面提到的“年老”、“年轻”，再如“高个子”、“中等身材”、“矮个子”以及“比1大得多的实数”等，都是模糊概念。
由于存在着中间过渡，无法明确指出它们的外延，因而用经典集合描述一个元素绝对地“属于”或“不属于”它们，就很不合理了。
打破这种绝对的隶属关系的方法，就是合理地推广经典集合，设法对中间过渡进行量化。
第一讲模糊集
正态分布 偏小型：
1, x a A( x ) ( x a )2 e , x a
A( x ) e
( x a 2 )
中间型：
偏大型：
0, x a A( x ) xa 2 ( ) 1 e , x a
（3）模糊矩阵的转置 定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。
T
（4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A (aij )mn , 对任意的 [0,1], 称
A (aij
( )
)mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
（1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
（2）序偶表示法
包含： B aij bij A
并： A B (aij bij )mn
交： A B (aij bij )mn
取大运算(和取) 取小运算(析取)
余： Ac (1 aij )mn
1 0.1 0.4 0 , B , 则 例：设A 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 A B 0.3 0.3 0 0.9 A 0.8 0.7
A0.5
A0.8
三、常用的隶属函数
有偏小型、中间型、偏大型. 梯形分布：
0, x a xa ,a x b ba A 中间型： ( x ) 1, b x c d x 0, x a ,c c d xa d c 偏大型：( x ) 0, x d A ,a x b ba 1, x b
模糊集合理论
模糊C均值算法例解答
计算隶属度，修改模糊分类矩阵
μ11 =
1
2 2
⎛ x1 − v1 ⎞ ∑⎜ x − v 2 ⎟ ⎜ ⎟ k =1 ⎝ 1 k ⎠ 1 = ⎛ ⎞ 2 ⎜1 1 ⎟ ⋅⎜ + ⎟ 3 ⎜ 2 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝3 3 ⎠ 1 5 = = 1.2 6
μ12 =
1
2 2
⎛ x2 − v1 ∑⎜ x − v ⎜ k =1 ⎝ 2 k 1 = 1 ⎛ 3⎞ ⋅⎜3 + ⎟ 3 ⎝ 7⎠ 7 = 8
五种颜色对“最好的乒乓球拍颜色”的隶属度由 表中数据确定
相对比较法
例：设T＝（长子（x）、次子 （y）、幼子（z））。现对T中各元 素比较“谁最像父亲”这一特性。
先建立二元比较级，得
( f x (z ), f z (x )) = (0.3,0.5)
( f (x ), f ( y )) = (0.8,0.5) ( f ( y ), f (z )) = (0.4,0.7)
依次有：1>3/5>4/7。 即长子最像父亲（1）；幼子次之 （3/5）；次子最不像（4/7）。
逻辑推理法
例：E={(A,B,C)|A+B+C=180°,A、 B、C>0}，即A、B、C为三角形的三个 内角。现要求给出“近似等腰三角形 内角”这一模糊集的函数。
由于等腰三角形的前提是两内角相等， 故可将隶属函数设计为：
1
0.8
0.2 0.85
5
0.9
2
0.8
3
以每个人作为一个节点，将其两两连接， μij=0时不画连线，连线上注明μij值，得到模糊 图。
最大树法－例1
以模糊图为基础图，生成最大树。
模糊集合基础
A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1， ， 组成的论域中， 在由整数 ， 2， ……10组成的论域中 ， 即 U={1， 组成的论域中 ， 2，……，10}，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集 ， ， ，讨论”几个”这一模糊概念，用模糊集A 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数， 可表示。根据经验，可以定量地给出它们的隶属函数，模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4．Sigmoid型隶 ． 型隶 属函数
5．一般的钟型 ． 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
f ( x) = e
−
( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合， 设X，Y是两个非空集合，则直集 ， 是两个非空集合
模糊集引论1
0.5 25 30 60
注记： 注记： • 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数 • 空集 φ 的隶属函数为 φ ( x) ≡ 0 • 全集 X 的隶属函数为 X ( x) ≡ 1 • 模糊集的定义与上下文有关 • 表示法 (i) 论域无限时由隶属函数表出; (ii) 论域有限时表出方法如下：
离散的模糊集表示法
假设给定有限论域 U = {a1 , a2 ,L , an } ，它的模糊子集 A 可以用查德给出的表示法：
%
A= %
µ A ( a1 )
%
a1
+
µ A ( a2 )
%
a2
+L +
µ A ( ai )
%
ai
%
+L +
µ A ( an )
%
an
%
其 中 ai ∈ U （ i = 1, 2,L , n ） 为 论 域 里 的 元 素 ，
连续的模糊集的表示法
当 U 时有限连续域时，Zadeh 给出如下记法
A=∫
~ U
µ A (u )
~
u
同样，
µ A (u )
~
u
并不表示“分数”而表示论域上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 之
~
间的对应关系； ∫ ”既不表示“积分” “ ，也不表示“求和”记号，而是表 示论域 U 上的元素 u 与隶属度 µ A (u ) 对应关系的一个总括。
Ac ( x) = 1 − A( x) A的余定义为： Ac 表示非A
模糊集合运算
(a) 模糊集合 A 与 B ; (b) 模糊集合 A 的补集; (c) 模糊集合 A 与 B 的交集; (d) 模糊集合 A 与 B 的并集