一元二次方程根的判别式与韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理

知识点一、一元二次方程根的判别式

一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．

（1）当△>0⇔一元二次方程有2

个不相等的实数根；1x =

2x =

（2）当△=0⇔一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a

==-

（3）当△<0⇔一元二次方程没有实数根．

例1：下列一元二次方程没有实数根的是（ ）

A ．x 2+2x +1=0

B ．x 2+x +2=0

C ．x 2﹣1=0

D ．x 2﹣2x ﹣1=0

【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（ ）．

A ．没有实数根

B ．只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．

【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是

知识点二、韦达定理

1．如果一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

．

例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）

A ．3

B ．1

C ．-1

D ．-3

知识点&例题

【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（ ）

A ．1x + 2x =1

B ．1x •2x =-1

C ．|1x |＜|2x |

D ．21112

x x +=

【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（ ）

A ．4

B ．-4

C ．3

D ．-3

2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形

①()2

221212122x x x x x x +=+-；

例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ．

【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2

21212124x x =x x x x -+-；

例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2

12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2

α-β= ．

③12x x =-±

例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21

5102

x x --=的两根，则12x x - = ．

【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．

④

12x x -

例7：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么12x x -=

【变式一】已知12x x 、是关于x 的一元二次方程2-5+0x x a =的两个实数根，且125x x -=，则a =

【变式二】已知一元二次方程x 2﹣4x ﹣k=0的两根分别为m ，n ，且6m n -=，求k 的值． ⑤12

1212

11x x x x x x ++=

⋅；

例8． 已知12x x 、是方程2310x x --=的两根，则

12

11

x x += ． 【变式一】已知一元二次方程2430x x --=的两根分别为m ，n ，则11

m n

+的值为 ． 【变式二】若非零实数m ，n （m≠n ）满足220160m m --=，220160n n --=，则11

m n

+= ．

⑥()2

22121212222222

121212211

x x x x x x =x x x x x x +-++=⋅⋅；

例9：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么

22

1211

x x +

=_________． 【变式一】设12x x 、是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则22

12

11

x x += ． 【变式二】一元二次方程2230x x --=的解是12x x 、，那么2212

11

x x +=_________．

⑦()2

221212

2112121212

2x x x x x x x x x x x x x x +-++==⋅⋅；

例10：设x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则

21

12

x x x x +

的值是（ ） A ．﹣6 B ．﹣5 C ．﹣6 或﹣5 D ．6或5

【变式一】若方程x 2﹣3x ﹣4=0的两根分别为x 1和x 2，则2112

x x

x x +的值是（ ）

A ．174

B ．34-

C ．34

D ．174

- 【变式二】若α，β是方程2220x x --=的两个实数根，则2112

x x

x x + = ．

⑧

12x x +