2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学(理)试卷参考答案

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2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测数学(理)试卷及答案

2020届福建省泉州市2017级高三第一次质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★一、单项选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知集合2{0,1,2},{|20}M N x x x ==∈+-≤Z ,则M∩N =A.{- 1,0,1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {-2,- 1,0,1}2.已知x,y ∈R ,若x+yi 与31i i +-互为共轭复数,则x +y = A.0 B.3 C.-1 D.43.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用,汇总得到如下表格:则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是A.1.4,1.4B.1.4,1.5C.1.4,1.6D.1.62,1.64.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知245,16a s =-=-,则6S =A.-14B.-12C.-17D.125. (x +3)(x - 2)5的展开式中,4x 的系数为A.10B.38C.70D.2406.已知函数()()()0.3030.341(),2,0.2,log 22x x f x a f b f c f -====,则a,b,c 的大小关系为 A.c <b<a B.b< a< c C.b<c< a D.c<a<b7.松、竹、梅经冬不衰,因此有“岁寒三友”之称。

在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载,宋代刘学宾的《念奴娇：水轩沙岸》的“缀松黏竹,恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等现欲知几日后竹长超过松长一倍为了解决这个新问题,设计下面的程序框图,若输入的x =5,y =2,则输出的n 值为A.4B.5C.6D.78.若x ∈[0,1]时,|2|0x e x a --≥,则a 的取值范围为A. [2ln2 - 2,1] .[2,2]B e e -- C.[2-e,1] D.[-1,1]9.已知函数f(x) = asin2x - bcos2x,ab≠0.当x ∈R 时,()()3f x f π≤,则下列结论错误的是.3A a b =.()012B f π= 2.()()515C f f ππ-=- 42.()()155D f f ππ-=- 10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,2 ×10,4×5三种,其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称4×5为20的最佳分解.当p×q(p≤q 且p,q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时,定义函数f(n) =q-p,则数列*{(5)})(n f n N ∈的前2020项的和为A. 101051+ 100051.4B - 101051.2C - 1010.51D -。

2017年漳州市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷及答案

2017年漳州市普通高中毕业班质量检查试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分。

考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}{lg ,|A x y x B y y ====，则A B =（A ）[1,)+∞ （B ）()1,+∞ （C ）[0,)+∞ （D ）()0,+∞ （2）已知复数z 满足(1i)2i z +⋅=-，则复数z 的共轭复数为（A ）13i 22- （B ）13i 22+ （C ）13i + （D ）13i - （3）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(02)=0.3P ξ≤≤，则(4)=P ξ≥（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.6 （D ）0.8（4）若双曲线22131x y m m +=--的渐近线方程为12y x =±，则m 的值为（A ）1- （B ）13 （C ）113 （D ）1-或13（5）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8（6）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，则右边程序框图输出的S 表示的是（A ）小球第10次着地时向下的运动共经过的路程（B ）小球第10次着地时一共经过的路程（C ）小球第11次着地时向下的运动共经过的路程（D ）小球第11次着地时一共经过的路程（7）已知点P 的坐标(,)x y 满足2220x y x y ⎧⎪⎨⎪-+⎩≥-1,≤，≤，过点P 的直线l 与圆22:7O x y +=交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（A（B）（C（D）(8) 如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为（A）（B）（C）（D ）5(9) 已知()42340123423(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x -=+-+-+-+-，则2a =（A ）24 （B ）56 （C ）80 （D ）216 (10) 函数()()1cos sin f x x x =+在[],ππ-上的图象大致是(A) (B)(C)(D)xππ-o yxππ-oyπ-xππ-oy(11) 已知函数()2sin 21(0)f x x x ωωω=-+>在区间(,2)ππ内没有极值点，则ω的取值范围为（A ）511,1224⎛⎤⎥⎝⎦ （B ）51110,,12242⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ （C ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）55110,,241224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦(12) 曲线C 是平面内与两个定点1(2,0)F -，2(2,0)F 的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标轴对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的周长有最小值10； ④若点P 在曲线C 上，则12F PF △面积有最大值92．其中正确命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020.03漳州质检理

漳州市2020届高中毕业班高考适应性测试理科数学试题(居家分散测试，试卷不得外传)学校班级姓名本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分。

共5页150分，请考生把答案填写在答题纸上。

第Ⅰ卷 (选择题：60分)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知≤=A x x 1}{,≤⎩⎭⎨⎬=-⎧⎫B x x 2()012,则R ⋂=A C BA.-1,1[]B. φC. ⎣⎭⎝⎦⎢⎥⎪ -⋃⎡⎫⎛⎤221,,111 D. -1,1()2.设=-+z i 3，则+=z zA.-i 3B.+i 3 C.-+i 3 D.--i 33.中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自109个国家的9300余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐,奖牌榜的前3名如下：这22名中随机抽取3人, 则这3人中中国选手恰好1人的概率为 A.5722 B.154019 C.154057 D.15401714．已知等差数列a n {}的前n 项和为S n ，公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1105.已知函数=+-f x e e xx(), 给出以下四个结论：(1)f x ()是偶函数；(2)f x ()的最大值为2；(3)当f x ()取到最小值时对应的=x 0；(4)f x ()在-∞,0()单调递增,在+∞0,()单调递减. 正确的结论是 A.(1)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)D.(1)(4)6.已知正四棱柱-ABCD A B C D 1111的底面边长为1，高为2，M 为B C 11的中点，过M 作平面α平行平面A BD 1，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为 A ．81 B ．161 C ．241D ．4817.设=-a e21,=-b 4e 2,=-c 2e 1,=-d3e23,则a b c d ,,,的大小关系为A.>>>c b d aB.>>>c d a bC. >>>c b a dD.>>>c d b a .8.函数=⋅f x x x sin cos ()的最小正周期与最大值之比为 A.πB.π2 C.π4 D.π89.已知三角形ABC 为直角三角形,点E 为斜边AB 的中点, 对于线段AB 上的任意一点D 都有⋅=+=CE CD BC AC 4, 则CD 的取值范围是A.B. ⎣⎡ C.⎣⎡ D. ⎣⎡10．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数=x f y )(，若===y f x y f x y f x (),(),()112233，<<x x x 123，则在区间x x ,13[]上x f )(可以用二次函数--+-+=x x x x k x x k y x f 121112()()()()来近似代替，其中=--k y y x x 11212，=--k y y x x 2323，=--k k k x x 2113.若令x =10，=x 2π2，=x π3，请依据上述算法，估算5sin π2的近似值是A ．2425B ．1725C ．1625D ．3511.已知双曲线22221x y a b-=的右支与抛物线22x py =相交于,A B 两点,记点A 到抛物线焦点的距离为1d ,抛物线的准线到抛物线焦点的距离为2d ,点B 到抛物线焦点的距离为3d ,且123,,d d d 构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为Ay x =. By =.Cy = Dy x =12.已知方程()2e e 10xxx a --=只有一个实数根,则a 的取值范围是（）A 0a ≤或12a ≥B 0a ≤或13a ≥C 0a ≤D 0a ≥或13a -≤第II 卷（非选择题: 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017福建省质检数学答案

(n 2)t ，（*）
t ，解得 t 2 ； 0 ，此时 t R ；
（ⅰ）当 n 1 时，不等式（*）可化为 2 （ⅱ）当 n 2 时，不等式（*）可化为 0 （ⅲ）当 n
3 时，不等式（*）可化为 t 2n ，因为数列 2n 是递增数列，所以 t

8.
综上， t 的取值范围是 2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 8 . ·
①-②，得 an 2an 2an1 ，即 an 2an1 ，所以 an 2n 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分由数列 bn 的前三项和为 3 ，得 3b2 3 ，所以 b2 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分设数列 bn 的公差为 d ，则 b3 1 d , b5 1 3d ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分又因为 b32 b2b5 ，所以 (1 d )2 1 3d ，解得 d 1 或 d 0 （舍去），所以 bn n 1 ．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分（Ⅱ）由（Ⅰ），可知 an 2n 1 ， bn n 1 ，从而 anbn (n 1) 2n1 ，令 Tn a1b1 a2b2 即 Tn 1 21 2 22

2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测理科综合生物试卷参考答案

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2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测理科综合生物试卷
因食物中缺少双子叶植物而发生种群崩溃给 1 分）动态平衡（1 分）
（3）（种间）竞争（1 分）草原植被破坏、草场沙化（1 分）减小放牧强度（减小载畜量）、草原灭鼠（2 分）（答出减小放牧强度（减小载畜量）给 1 分，答出草原灭鼠给 1 分，或其他合理答案也可给分）
二、非选择题（5 小题，共 50 分）
31.（9 分）
（1）KNO3 溶液（1 分）（2）质壁分离（1 分）
细胞液浓度低于原生质层浓度（1 分）逐渐减小（1 分）因物质 B 进入外表皮细胞，T2 后外界溶液浓度低于细
胞液浓度导致细胞渗透吸水，液泡体积不断增大（3 分）（答出因物质 B 进入外表皮细胞给 1 分，答出 T2
【解题思路】（1）调节植物种群密度时常用样方法；由于单子叶植物通常是丛生或蔓生，从地上部分难以分辨是一株还是多株，因此单子叶植物更难以用样方法调查。（2）布氏田鼠种喜食双子叶植物，因此双子叶植物比例下降，隶属双子叶植物及单子叶植物的群落会发生群落演替。双子叶植物大量减少后，布氏田鼠难以储备足够多的双子叶植物过冬，在漫长的冬季中，布氏田鼠常因洞穴中的双子叶植物先被吃完而发生种群崩溃。从题目信息中看出，双子叶植物与布氏田鼠种群的变化有一定的周期性，是个动态变化过程，体现出生态平衡具有动态平衡特点。（3）牧畜与布氏田鼠均以植物为食，在食物上构成种间竞争。过度放牧后，布氏田鼠挖掘草根来弥补食物的匮乏，这会破坏植物根系，植被难以恢复。植被被破坏后，植被难以固沙，容易造成草场沙化。为防止这种情况出现，可减小放牧强度（减小载畜量），避免布氏田鼠大规模挖掘草根情况的出现，也可进行草原灭鼠，减小鼠害。
及补光的光质差异给 1 分）此阶段所用较弱光照强度为限制因素（2 分）

【福建省】高中高三(上)第一次联考数学(理科)考试卷以及答案解析.doc

福建省漳州市第二片区2017届高三（上）第一次联考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.图所示，则其体积等于（）A ・半B ・芈C ・2舲D ・6V36.设®>0,函数尸sinQx+彳）一1的图象向左平移手个单位后与原图象重合, 则69的最小值是（）A.彳B. 1C. |D. 37. 如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点1.A. 已知集合Ag 占沙集合g 皿2M},则“（）B ・（o,i ）C ・（o,2）(一® 2)D. (1，2)2. A. 已知复数详第一象限 &为虚数单位），贝屹在复平面内对应的点在（B.第二象限C. 第三象限3. A.4. D.第四象限已矢|]sina = -,贝I] cos3 _ 2a)=( )B 丄5D ・ 25已知函数 J1+4?_2J 贝'J /M =(C.7 25D.A.B. 2C. 20D ・ 40345. 若一个正六棱柱（底面是正六边形, 侧棱垂直于底面）的正视图如相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了 5个正三角形。

那么这五个正三角形的面积之和等于（）8.已知*0,则“2”的充要条件是（）2 29. 设时2分别为双曲线令-右= 2>（）,b>0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P,满足胶曰個，且坊到直线P 片的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的离心率为（）A. ¥B.扌CrD ・ 23 410・已知直线/：）=*-1）与抛物线C ：r=4x 相交于A B 两点，过AB 分别作直线*-1的垂线，垂足分别是M 、"・那么以线段曲为直径的圆与直线/的位置关系是（）可能C.85 64D.341 256A. 3XG R,OY 2-bx>ax^ —bx°-bx<ax^ -bxB . BxeR,—€/x 2 -bx<ax^ -bx^A ・相交B.相切C.相离D.以上都有11.已知函数/« = ^+2x-l（x<0）与g“）“一砲2（尢+亦1的图象上存在关于原点对称的点，则实数。

2020届福建省漳州市2017级高三第二次高考适应性考试数学(理)试卷参考答案

15. 【解析】因为 f (x) 是 R 上的奇函数，所以 f (x) 图象关于点 O(0, 0) 对称，
且 f (0) 0 ，又 g(x) f (x 2) 是奇函数，所以 f (x) 图象关于点 (2, 0) 对称，所以 2(2 0) 4是 f (x) 的一个周期，所以 f (2020) f (4505）=f (0) 0 .
（2）由（1）得
Sn
n(n 1) 2
,n N*
,
..............................................................7 分
1
2
11
bn
Sn
n(n 1)
2( n
n
) 1
,
..............................................................9 分
1．C
2．B
7．C
8．B
【选择题简析】
3．C 9．D
4．A 10．A
5．C 11．D
6．D 12．A
1. 【解析】选 C. z i , z 在复平面上对应的点为 0,1 .
2. 【解析】选 B
1 2x 0
由
1
2x
1 2
,得
1 4
x
1 2
.故
R
A
,
1 4
1 2
,
.
3.【解析】选 C.
居家分散测试，试卷不得外传
漳州市 2020 届高中毕业班第二次高考适应性测试
理科数学试题参考答案（解析版）
评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

2020届福建省漳州市2017级高三第一次模拟检测数学(文)试卷及解析

2020届福建省漳州市2017级高三第一次模拟检测数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|40A x x =->,102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,则A B =（） A. {|2x x <-或}2x >B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <- 【答案】B【解析】解出集合A 、B ,利用并集的定义可求出集合A B . 【详解】{}{2402A x x x x =->=<-或}2x >,11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, 因此,{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭. 故选：B.2.已知复数z 满足()202033z i i +=+,其中i 为虚数单位,则z 的共轭复数z 的虚部为（）A. 25i -B. 25-C. 25iD. 25【答案】D 【解析】先利用复数的除法求出复数z ,利用共轭复数的概念可得出复数z ,由此可得出复数z 的虚部.【详解】()505202041i i ==,在等式()202033z i i +=+两边同时除以3i +得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-,6255z i ∴=+,因此,复数z 的虚部为25. 故选：D. 3.如图,E 、F 、G 、H 为正方形ABCD 各边上的点,图中曲线为圆弧,两圆弧分别以B 、D 为圆心,BO 、DO 为半径（O 为正方形的中心）.现向该正方形内随机抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为（）A. 4π B. 5π C. 6πD. 8π 【答案】A【解析】设正方形的边长为2,可得知两个扇形的半径均为2,并计算出两个扇形的面积之和,利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】设正方形的边长为2,则该正方形的对角线长为222, 两个扇形的面积之和为2224ππ⨯⨯=,正方形的面积为224=,因此,该枚豆子落在阴影部分的概率为4π. 故选：A. 4.记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =,354a a =,则10S =（）A. 512B. 511C. 1023D. 1024 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,根据题意求出q 的值,然后利用等比数列的求和公式可计。

2020年1月福建省高2020届高2017级高三泉州市单科质检理科数学试题答题全析解答题部分

保密★启用前泉州市2020届高中毕业班单科质量检查理科数学2020．1注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，⊥PA 平面ABCD ，AE PD ⊥．（1）证明：AE ⊥平面PCD ；（2）若AP AB =，求二面角D PC B --的余弦值．【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥．·········································································································1分又底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．·····································································2分又PA AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ．······································································3分又AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥．···········································································4分又因为AE PD ⊥，CD PD D = ，,CD PD ⊂平面PCD ，·············································5分所以AE ⊥平面PCD ．·······························································································6分（2）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD ⊥，分别以AB 、AD 、AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）．······································································7分设1PA AB ==，则A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），D 0,1,0（），(0,0,1)P ，11(0,,)22E ，1,0,1PB =- （），1,1,1PC =- （），11(0,,22AE = ．··························································8分由（1）得11(0,,)22AE = 为平面PCD 的一个法向量．·······················································9分设平面PBC 的一个法向量为111()m x ,y ,z =．由0,0,PB m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111110,0,x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令11x =，解得11z =，10y =．所以(1,0,1)m =．·····································································································10分因此112cos ,2m AEm AE m AE⋅===⋅．·······························································11分由图可知二面角B PC D --的大小为钝角．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）过点B 作BF 垂直于PC 于点F ，连接DF 、BD ．因为PB PD =，BC CD =，PC PC =，所以PBC PDC △≌△．······························································································7分因此易得090DFC BFC ∠=∠=，BF DF =．································································8分所以BFD ∠为二面角B PC D --的平面角．···································································9分设1PA AB ==，则BD =3BF DF ==．·························································10分在BDF △中，由余弦定理，得222222)133cos 2263BF DF BDBFD BF DF+-+-∠==-⋅．故二面角B PC D --的余弦值为12-．·········································································12分18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2634n n n S a a =+-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）．································1分因为2634n n n S a a =+-①，所以当2≥n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①-②得2211633n n n n n a a a a a --=+--，······································································2分所以()()1130n n n n a a a a --+--=．················································································3分又0n a >，所以13n n a a --=．······················································································4分因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列．···································································5分故()43131n a n n =+-=+．························································································6分（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++，········································9分所以()33333392()2477103134434n nT n n n n n =+-+-+⋅⋅⋅+-=++++．····························12分19．（12分）ABC △中，60B =︒，2AB =，ABC △的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点（不包括端点），且120EDF ∠=︒，求DEF △面积的最小值．【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为60B =︒，2AB =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅⋅△13222BC =⨯⨯32BC =，·············································2分又ABC S =△，所以4BC =．···················································································3分由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅·······················································4分221242242=+-⨯⨯⨯12=，·························································································5分所以AC =········································································································6分（2）设BDE θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60CDF θ∠=︒-．在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，·························································7分即2sin(60)32θ=︒+，所以3sin(60)DE θ=︒+；···························································8分在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得30C =︒，即21sin(90)2DF θ=︒-，所以1cos DF θ=；·····································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△34sin(60)cos θθ=︒+⋅=········································································10分=，············································································11分当15θ=︒时，sin(260)1θ+︒=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································6分（2）设CDF θ∠=，[]0,60θ∈︒︒，则60BDE θ∠=︒-．在CDF △中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD C=∠，························································7分由（1）可得30C =︒，即21sin(30)2DFθ=︒+，所以()1sin 30DF θ=︒+；···························8分在BDE △中，由正弦定理，得sin sin BD DEBED B=∠，即2sin(120)32θ=︒-，所以sin(120)DE θ=︒-；·························································9分所以1sin 2DEF S DE DF EDF =⋅⋅⋅∠△()334sin 30sin(120)θθ=⋅︒+⋅︒-13312222=⎝⎭⎝⎭ (10)分=······················································································11分当45θ=︒时，sin 21θ=，min ()6DEF S ==-△故DEF △面积的最小值为6-．············································································12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，点32A 在E 上．（1）求E 的方程；（2）斜率不为0的直线l 经过点1(,0)2B ，且与E 交于Q P ,两点，试问：是否存在定点C ，使得QCB PCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标；若不存在，请说明理由．【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（1）因为椭圆E的离心率12e a ==，所以2234a b =①，··································1分点)23,3(A 在椭圆上，所以143322=+ba ②，·······························································2分由①②解得42=a ，32=b ．························································································3分故E 的方程为13422=+y x ．··························································································4分（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠．由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(,0)C m ．··························································5分因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=．·············6分设直线l 的方程为：21+=ty x ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得04512)1612(22=-++ty y t ，···············································7分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+，····································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-mx y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，即0)21()21(1221=-++-+m ty y m ty y ．·························9分整理得121212()()02ty y m y y +-+=，所以0161212)21()161245(222=+-⨯-++-⨯t t m t t ，即01612)12)(21(902=+--+-t t m t ．·················10分所以0)21(1290=-+m t t ，即0)]21(1290[=-+t m ，对t ∈R 恒成立，即0)1296(=-t m 对t ∈R 恒成立，所以8=m ．·····························································11分所以存在定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．·······························································12分解法二：（1）同解法一．·····································································································4分（2）若点C 存在，当直线PQ 垂直x 轴时，点C 必在x 轴上，如果直线PQ 不垂直x 轴，由对称性可知，点C 也必在x 轴上．···········································5分假设存在点)0,(m C ，使得QCB PCB ∠=∠，即直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，所以0=+QC PC k k ．····································································································6分设直线l 的方程为)21(-=x k y ，),(11y x P ，),(22y x Q ．由221(2143y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得0124)34(2222=-+-+k x k x k ，··········································7分22222(4)4(43)(12)1801440k k k k ∆=--⨯+-=+>，所以k ∈R ，2122443k x x k +=+，34122221+-=k k x x ，··············································································8分因为0=+QC PC k k ，所以02211=-+-m x y m x y ，所以0)()(1221=-+-m x y m x y ，················9分即122111()()()022k x x m k x x m --+--=．整理得0]))(21(2[2121=+++-m x x m x x k ，··································································10分所以0]34421(34242[2222=++⨯+-+-m k k m k k k ，整理得0342432=+-⨯k m k ，对任意的k ∈R 恒成立，····························································11分所以8=m ，故存在x 轴上的定点)0,8(C ，使得QCB PCB ∠=∠．····································12分21．（12分）已知函数()2()1e xf x x ax =++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()2()1e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养．【试题解析】。

福建省质检数学(理)(含答案)word版

2017年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，若a 与b 共线，则m 的值为（） A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（）A B ．2C D ．54．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<，则“A B ≠∅ ”的充要条件是 A ． 2a >- B ．2a ≤- C ．1a >- D ．1a ≥-5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立，则a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,则圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉．现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈，其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17. (本小题满分13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18. (本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． 19. (本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．（ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象；（2）将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象．（Ⅰ）求)(x f 的表达式；（Ⅱ）判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲设实数,a b 满足29a b +=．（Ⅰ）若93b a -+<，求x 的取值范围；（Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．2017年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==，代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D(1,1,0)M ．∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =，则⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60，∴0sin 60AN n AN n⋅==，……………………………………………11分可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或（舍去）．综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得AD A ⊥B，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ．由（Ⅰ）知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ，又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ，设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分（Ⅲ）同解法一．解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分由已知条件可得AD A ⊥B ，由（Ⅰ）知CD AB ⊥，又AD CD D = ，∴ CD AB A 平面⊥， ∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长． ∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分（Ⅲ）同解法一．18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =.………………9分随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010kk k P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或92 1.810E nP ξ==⨯=（天）. ……………………13分19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由条件可知，点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分（ⅰ）可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，则 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k +=++=+，从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-．因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分（ⅱ）若AB x ⊥轴时，(1,),(1,22A B --,由0OA OB OC ++= ，得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意．因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由（ⅰ）可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k-++．代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分（1）当2k =时，由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =-．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高1224h =⨯=，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=．（2）当2k =时，又由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =，同理可求直线AB 、OC 与x．综合（1）（2），直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++= 得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分（ⅰ）因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=，从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+．又123y y y +=-，33OC y k x =，所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分（ⅱ）同解法一．20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x g x x x x x +=-=+- …………………2分1cos 22sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭. 所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=．由此猜测1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分则1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+，因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<．又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<，所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．解：（Ⅰ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111101m m ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M -所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''.由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=．所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分（Ⅱ）因为,0a b >，所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。

2020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测卷数学(理)逐题解析

漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测卷数学（理科）一、选择题：1.已知集合{}2|40A x x =->，102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =U （ B ） A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-解{}{2402A x x x x =->=<-Q 或}2x >，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因此，{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭，故选：B. 总结本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ D ）A. 65B. 25-C.25i D.25解()505202041ii==Q ，在等式()202033z i i +=+两边同时除以3i+得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-，6255z i ∴=+，因此，复数z 的虚部为25,故选：D. 3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( C ) A. 35B. 45C. 60D. 80解：由高一年级抽调15人，可知150010015=，即每100人中选1个人，则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=（人），故选：C ． 4.已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，可以断定αβ∥的条件是（ C ）A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥r rC. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂解：由a α⊥，b β⊥无法得到//αβ，A 错误；由,a α⊥,b β⊥a b ⊥r r可得αβ⊥，B 错误；由,a α⊥,b β⊥//a b ，可得a α⊥，a β⊥，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C 正确；由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ，α，β还可能是相交，D 错误．故选：C ．5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ B ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<解:22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>=，所以a c b <<.故选：B6.已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（ B ）A.43B. 43-C. 83-D. 4-解：设等差数列{}n b 的公差为d ，21064a a a =Q ,2664a a ∴=解得64a =，610S S =Q ,789100b b b b ∴+++=，则7100b b +=674a b ==Q 104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B7.若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ C ） A. 0B. 1C. 2D. 3解作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z x y =+取得最大值，即max 022z =+=.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是（ D ）A. B.C. D.解：()sin cos 2020,f x x x x =++Q()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-Q()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n a S n +=+，则n a =（ B ） A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D. 1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解：3n n a S n +=+Q ①，当1n =时，1113a S +=+解得12a =，当2n ≥时，1113n n a S n --+=-+②，①减②得，()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴则{}1n a -是以111a -=为首项，12为公比的等比数列， 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，斜率大于0的直线l过点(1,P -和点F ，且交抛物线于A ，B 两点，满足||2||FA FB =，则抛物线的方程为（ A ） A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =解：由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=，222440p k p ∆=+>，则122p y y k+=，212y y p =-， ||2||FA FB =Q122y y ∴=-，则22p y k-=，2222y p -=-，解得k =k =-，所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -，代入可得5p =，则抛物线的方程为210y x =故选：A11.已知函数2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭02πα<<时，1()3f α=，则cos2=α（ C ）A. 36±-B.36-D.解：由题可知2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭2cos sin x x x =+1sin 2cos 2)2x x =++sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<，所以22333ππαπ-<-<，所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=，则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113232=-⨯3=，故选：C.12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ D ） A.143B.134C.72D.163解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知2224(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又Q 正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-，则()23163V h h '=-，令0V '=，则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()2338V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值，故选：D.二、填空题：13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=___3___.解()2ln f x a x bx =+Q ，则()2af x bx x'=+，由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.14.已知二项式()na b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)n x +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则0a =____1____.解：由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64 可知264,n=解得6n =，则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，令1x =-，则01a =.15.已知等边ABC V 的边长为2，点G 是ABC V 内的一点，且0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 在ABC V 所在的平面内且满足||1PG =u u u r ，则||PA u u u r的最大值为____231+____. 解：由0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r，可知点G 为ABC V 的重心.以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0),B 3G ⎛ ⎝⎭.设(,)P x y ，由||1PG =u u u r 可知P 为圆2231x y ⎛+-= ⎝⎭上的动点，所以||PA u u u r 的最大值为22323||11133AG ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .故答案为：313+ 16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且||||PA PF =，则双曲线的离心率e =___2_____. 解：由题可知(,0),A a -(c,0)F ，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可取by x a=，以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩（舍去）可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =，222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=，即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=，解得2e =或1e =-（舍去），故双曲线的离心率2e =. 故答案为：2三、解答题：17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：（1）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望.参考公式：1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 解（1）由表可知1234535x ++++==，901001051051001005y ++++==，511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=，522222211234555ii x==++++=∑，则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=， a y bx =-$$100 2.5392.5=-⨯=，故回归直线方程为$ 2.592.5y x =+. 当11x =时，$ 2.51192.5120y =⨯+=，所以估计该考生的高考数学成绩为120分.（2）由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则212335C C 3(1)C 10P ξ===； 122335C C 3(2)C 5P ξ===；3335(3)110C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 总结本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A +=++. （1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC V 的周长.解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =Q 2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=222(2)(2)222a a a a a+-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC V 和BDA V 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅，2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-，两式相加可得2516a =，即45a =，故ABC V 的周长125244l a a =++=+. 19.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角D -PC -B 的余弦值.解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .2,CD AB =Q AB DE ∴=.又,AB AD =Q AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥.PD ⊥Q 平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PD AE ∴⊥.,PD BD D =Q I PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =Q //AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .（2）PD ⊥Q 平面ABCD ，PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBD ︒∠=，则PD BD =.设1AD =，则1,AB =2,CD =2PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),D (1,0,0),A 2),P (1,1,0)B ，(0,2,0)C .Q DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r .设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =u r ，(1,1,2),PB =u u u r Q (1,1,0)BC =-u u u r ，则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 11111200x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩，取11x =，则2)m =u r .设二面角D -PC -B 的平面角为θ，cos ||||m DA m DA θ⋅∴=u r u u u r u r u u u r 2111=++⨯12=. 由图可知二面角D -PC -B 为锐角，故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 20.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =，过点1F 且斜率为22的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分为A ，B ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，故由题可知22c =，则椭圆的左焦点1(1,0)F -，故直线方程为1)y x =+，以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，则221b a b =-=⎩，220a a ⇒--=，解得2a =或1a =-（舍去），故24,a =23b =， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，显然>0∆，则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+， 12y y -=234m =+，故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-=. 1t =≥，则22431t S t =+2413t t=+，可设函数1()3f t t t=+，则21()30f t t '=->， ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则134t t +≥，则2464S ≤=，当且仅当0m =时等号成立，四边形APBQ 的面积取得最大值为6.总结本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函数与方程的思想及运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点，求实数a 的取值范围.解：（1）()22()log xf x a x x x=+-Q 22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭ 22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当1a =时，221()(ln 21),ln 2x f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞，令()0f x '=，得ln 210x -=，则2log e x =，故当()20,log e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2log ,x e ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '的一个零点，则方程220ln 2x a x x +=在(1,4)上有2个不同的实数根，即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根，问题等价于函数2ln 2()x g x x⋅=-与直线y a =有2个交点， ()22ln 22ln 2()x x x g x x ⋅⋅-'=-Q 22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=，令()0g x '=，则2log x e =，∴当()21,log e x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()2log e,4x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-. (1)2ln 2,g =-Q (4)4ln 2g =-，且(1)(4)g g >，22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-，故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.总结本题考查导数在研究函数中的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.解（1）Q 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式，可得22240x y x y +--=，所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=；（2）把直线l的参数方程1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中，得240t t --=，显然>0∆，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则124t t =-，121t t +=，因为点()0,2P 在直线l 上，所以1212P t t t t A PB =+=-=+==总结本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--.（1）求不等式()23f x x ≥-的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且正实数a 、b 满足a b m +=，求1111a b +++的最小值. 解（1）因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，当3x <-时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤-，解得2x ≥，此时x ∈∅；当31x -≤≤时，由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤，解得23x ≥-，此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞；（2）根据（1）可知，函数()y f x =的最大值为4，即4a b +=，所以()()1116a b +++=. ()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为23. 总结本题考查利用绝对值不等式求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.。

福建省漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测数学(理)试题 PDF版含答案

0
，显然
0
则
y1
y2
6m 3m2 4
,
y1 y2
9 3m2
4
，
y1 y2
(y1
y2 )2 4y1 y2
12 m2 1 3m2 4
，
（6 分）（8 分）（10 分）
故四边形 APBQ 的面积 S
1 4 2
y1 y2
24 m2 1 3m2 4
，
设
m2
1
t
1，则
S
24t 3t 2 1
i 1
（3 分）
则
bˆ
n i 1
xi yi nx y
x n 2
i1 i
nx
2
1525 53100 55 5 32
，
2.5
aˆ y bˆx 100 2.5 3 92.5 ，故回归直线方程为 y 2.5x 92.5 ，
（4 分）（5 分）
当 x 11 时， y 2.511 92.5 120 ，估计该学生高考数学的考试成绩为 120 分（6 分）
即 2 2 cos 4 sin ，
将 x cos , 代入上式，可得 x2 y2 2x 4 y 0 ，
y
sin
,
x
2
y2
2
所以曲线 C 的直角坐标方程 x 12 y 22 5 .
（2 分）（4 分）
（5 分）
(Ⅱ)把直线 l 的参数方程
x 1t 2
（t 为参数），代入曲线 C 的方程 x 12 y 22 5
a2 b2 1
可知 a2 4,b2 3 ，
（2 分）（4 分）
（5 分）
所以椭圆的方程为 x2 y2 1.43

【精准解析】福建省漳州市2020届高三第一次教学质量检测卷数学(理)试题

漳州市 2020 届高三毕业班第一次教学质量检测卷数学（理科）一、选择题：
1.已知集合 A
x | x2 4 0
，
B
x
0
1
2
，则
A
B
（
）
x
A. x | x 2 或 x 2 C. x | x 2
B.
x
|
x
2
或
x
1
2
D. x | x 2
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合 A 、 B ，利用并集的定义可求出集合 A B .
a
,
b
,
r a
r b
C. a , b , a / /b
D. a//, b//, a , b
【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理对选项分别分析得答案．
【详解】解：由 a ， b 无法得到 / / ， A 错误；
由a
,
b
,
r a
r b
可得
，
B
A. 6 5
【答案】D
B. 2 5
C. 2i 5
D. 2 5
【解析】
【分析】
先利用复数的除法求出复数 z ，利用共轭复数的概念可得出复数 z ，由此可得出复数 z 的虚部.
【详解】 i2020 i4 505 1 ，在等式 z 3 i 3 i2020 两边同时除以 3 i 得
4 3
故选： B 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的通项公式与性质、等差数列的求和公式，考查运算
求解能力、推理论证能力，属于基础题.
2x y 2 0
7.若实数
x

2020年1月9日福建省高2020届高2017级宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学试题及参考答案

2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分.第I 卷1至3页,第II 卷3至5页,满分150. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回 .第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数22i +1iz =+,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为D.22.设集合201x A xx ⎧+⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,22{|log (23)}B x y x x ==--,则A B =A.{}21x x -≤<-B.{}11x x -<≤C.{}21x x -≤<D.{}11x x -≤<3.已知等比数列{}n a 满足118a =,243441a a a =-,则2a =A.14±B.14C.116±D.1164.已知变量x ,y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2x y +的最大值为A.2B.5C.6D.75.一个球体被挖去一个圆锥,所得几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.53π B.7π C.323π D.13π6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个, 大、小和尚各几丁？”右图所示的程序框图反映了此题的一个算法.执行右图的程序框图,则输出的n = A.25 B.45 C.60 D.757.若a ,b 为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面, 则a α⊥的一个充分条件是A.//a β且αβ⊥B.a β⊂且αβ⊥C.a b ⊥且//b αD.a β⊥且//αβ 8.若实数x ,y ,z 满足23log log 2z x y ==,则x ,y ,z 的大小关系是A.x <y <zB.x <z <yC.z <x <yD.z <y <x9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称,斜率为k 过点A 交l 于点C ,若ABC ∆的面积为2,则k 的值为A.3或13B.0C.13D.310.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C xpy p =>的焦点F ,与抛物线C 交于A ,B 两点,又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ,D 两点.若||3||AB CD =,则k 的值为 B. C.4 D.8正视图侧视图11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π,(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点,点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上,且满足212MN PN π⋅=,则A 的值为A.3B.212.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a =+-∈R ,以下四个命题： ①当e a ≤-时,函数()f x 存在零点； ②当0a <时,函数()f x 没有极值点；③当0a =时,函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时,()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立.其中的真命题为 A.②③ B.①④ C.①② D.③④2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷理科数学第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第22、23题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量(1,2)=-a ,(,1)m m =-b ,若//a b ,则⋅a b = .14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-,且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则1115f f +()()= .15.若sin()2cos )4αααπ+=+,则sin2α= .16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中,正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ,1BB 的距离之差为2.设11C D 的中点为E ,则PE 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =,前n 项和为n S ,且2112n n n S S a +++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图,矩形ABCD ⊥平面EBC ,1AB =, 23πEBC?,且M ,N 分别为AB ,CE 的中点. （1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==,求二面角E AD B --的大小.19.（12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos c C -⋅,c = （1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围.20.（12分）已知椭圆222210:()x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有,试求出最大值；若没有,说明理由.21.（12分）已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b +=⋅--∈R .（1）若0b =,曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行,求a 的值；（2）若2b =,且函数()f x 的值域为[)2,+∞,求a 的最小值.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆22:(1)(1)1C x y -+-=.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,直线l 的极坐标方程为(0)2θααπ=<<,直线l 交圆C 于A ,B 两点,P 为AB 中点.（1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||AB OP ⋅求α的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知11212x x m ++-?在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M . （2）若a ,b 均为正数,且11a Mb +=-,求2a b -的取值范围.2020年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分. 1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.13.5- 14.12 15.35-三、解答题：本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,满分12分.17. 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减,得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥,……………………………… 2分又0n a >,∴11(2)2n n a a n +-=≥,………………………………3分当1n =时,22122S S a +=且112a =, 故222210a a --=,得21a =（2102a =-<舍去）,∴2111122a a -=-=,………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列,公差为12,………………………………5分所以12n a n = .………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅,………………………………8分所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++.………………………………12分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. （1）证明：取DE 中点F ,分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点,所以1//,2FN CD FN CD =,.…………………… 1分因为矩形ABCD 中,M 为AB 的中点,所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =,……………… 2分所以四边形AMNF 为平行四边形,…………3分所以//AF MN ,……………… 4分又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED , 所以//MN 平面AED .………………………5分（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC , 矩形ABCD 平面EBC BC =, AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC.………………………………6分如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -, 则(0,0,0)B ,(0,0,1)A ,(0,2,1)D ,1,0)E -,………7分因为x 轴⊥平面ABCD ,所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量,………………………………8分设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量,y因为(0,2,0)AD =,(3,1,1)AE =--, 所以220AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,得200y y z =⎧⎪--=,故可取2=n ,………………………………11分则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ,由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ,分别连结FM ,FN . 又矩形ABCD 中,M 为AB 中点, 所以//,AM DF AM DF =, 所以四边形AMFD 为平行四边形,所以//MF AD ,…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED , 所以//MF 平面AED .………………… 2分因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点.所以//FN DE ,又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED , 所以//FN 平面AED .……………… 3分又因为MF FN F ⋂=,所以平面//FMN 平面AED ,………………4分又MN ⊂平面FMN ,所以//MN 平面AED .………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ,过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ,连结EH ,又因为平面ABCD ⊥平面EBC ,矩形ABCD 平面EBC BC =所以EG ⊥平面ABCD .EG AH ∴⊥又EG GH G =,AH ∴⊥平面EGH , EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角,………………………………10分因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠=………………………………11分由图可知二面角的平面角为锐角, 所以二面角E AD B --的大小为3π.……………………12分19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分12分.解：（1）解法—：cos c C -=⋅,由正弦定理,sin cos B C A C -=……………1分又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-…………………………………2分sin sin 0A C C -=,…………………………………3分因为0C π<<,所以sin 0C ≠所以cos 2A =又0A π<<………………………………………4分所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin c bC B=,所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，,所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分因为D 为BC 中点,所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅,由余弦定理,2222a b c c ab+--=⋅……………………1分整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<,所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=,又c =故2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形,所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222222848884848b b b b b b b b⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分延长AD 到点E ,使得DE AD =,连结BE ,CE .则四边形ABEC 为平行四边形,所以344ABE πππ∠=-=,BE AC b ==. 在ABE ∆中,2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠,………………………………9分即2244+8AD b b =+,所以AD =………………………………10分因为(24)b ∈，,所以AD的取值范围为.………………………………12分 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分. 解：（1）离心率为12c e a ==,∴2a c =,………………………………1分 2ABF ∆的周长为8,∴48a =,得2a =,………………………………3分∴1c =,2223b a c =-=,………………………………4分因此,椭圆C 的标准方程为22143x y +=.………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ,∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅, 又22||||||8AF AB BF ++=,∴24ABF S r ∆=,要使2ABF ∆的内切圆面积最大,只需2ABF S ∆的值最大.………………………………6分设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线:1l x my =-, 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=, 易得0∆>,且122634m y y m +=+,122934y y m -⋅=+,………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=,………………………………8分设1t =,则2212121313ABF t S t t t∆==++,………………………………9分设13(1)y t t t =+≥,2130y t '=->,所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增,……………10分所以当1t =,即0m =时,2ABF S ∆的最大值为3,………………………………11分此时34r =,所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π.………………………………12分（注：若讨论直线l 斜率存在或不存在,由此求得斜率不存在时面积最大值,酌情按步给分） 21.本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解：（1）当0b =时,21()ax f x x e ax +=-,1()(2)ax f x xe ax a +'=+-,………………………………1分由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=,………………………………2分得1(2)(2)0a e a a ++-+=,即1(1)(2)0a e a +-+=,……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时,0(1)12f e =+=,此时直线2y x =恰为切线,故舍去,……………………5分所以2a =-.………………………………6分（2）当2b =时,21()2ln ax f x x ex ax +=--, 设21ax t x e +=,则ln 2ln 1t x ax =++,………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)+∞,所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=,。