2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学(理)试卷参考答案

（5 分）
（2）由
f
'(x)
(
x
ln
2
1)(
2x x2
a) x ln 2
，可知
x
log 2
e
为
f
'(x) 的一个零点，
（6 分）
则方程
2x x2
x
a ln
2
0
在（1,4）上有
2
个不同的实数根，即
a
ln
22x x
在（1,4）上有
2
个不同的实数根，问题等价于 g(x) ln 22x 与直线 y=a 有 2 个交点， x
（2）由题可知随机变量 的所有可能取值为 1，2，3，
则
P(
1)
C22C31 C53
3 , P( 10
2)
C21C32 C53
3 5
， P(
3)
C33 C53
1 10
，
故随机变量 的分布列为
（9 分）
1
2
3
P
3
3
10
5
则随机变量
的数学期望
E(
)
1
3 10
2
3 5
3 1 10
9 5
18.解：（1）由 sin(2 A C) 2 2 cos( A C) 可得 sin A
1 (1 b 1 a 1 1) 1 (2 2
6 a1 b1
6
b 1 a 1
a 1) b1
1 6
(2 2)
2， 3
当且仅当
a
b
2
时，等号成立，所以
a
1
1
b
1
1
的最小值为
2 3
.
（6 分）
（8 分） （10 分）
2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学（理）试卷
由图可知二面角 D PC B 为锐角，故二面角 D PC B 的余弦值为 1 . 2
（11 分） （12 分）
20.解：（1）设椭圆的焦距为 2c，故由题可知 2c=2,则椭圆的左焦点为 F1(1, 0) ，
故直线方程为 y 2 (x 1) ， 2
以右顶点（a,0）为圆心, b 为半径的圆的方程为 (x a)2 y2 b2 ，
来自百度文库
故四边形 APBQ 的面积 S
1 4 2
y1 y2
24 m2 1 3m2 4
，
设
m2
1
t
1，则
S
24t 3t 2 1
24 3t 1
，
t
可设函数
f
(t )
3t
1, t
f
'(t )
3
1 t2
0
，函数
f(x)在[1, )
上单调递增，
则 3t 1 4 ，则 S 24 6 ，
t
4
当且仅当 m 0 时，等号成立，四边形 APBQ 的面积取得最大值为 6.
（9 分）
g(x)max
g (log 2
e)
e ln 2 log2 e
ln
2
2 e,
（10 分）
g(1) 2 ln 2, g(4) 4 ln 2, 且g(1) g(4)，
2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学（理）试卷
2ln 2 a eln 2 ，故实数 a 的取值范围为 (2 ln 2, (ln 2)2 e) log2 e
（7 分）
g '(x)
(x2x ln 2 2x ) ln 2 x2
ln
22
x
(1 x2
x
ln
2)
,
令g '(x)
0,
则x
log
2e
，
当x (1, log2 e)时，g '(x) 0 ，函数 g(x)单调递增，当 x (log2 e, 4)时，g '(x) 0 ，函
数 g(x)单调递减，
（12 分）
22.解：(Ⅰ)∵曲线 C 的极坐标方程为 2 cos 4sin ，
即 2 2 cos 4 sin ，
将 x cos , 代入上式，可得 x2 y2 2x 4 y 0 ，
y
sin
,
x
2
y2
2
所以曲线 C 的直角坐标方程 x 12 y 22 5 .
（2 分） （4 分）
f
(x)
2
3x
x 可化为
3 4 2 3x
或
3
2
x
x 1 22
3x
x 或
4
1 2
3x
，
解得 x 0 ，
（4 分）
所以不等式 f (x) 2 3x 的解集为[0, ) .
（5 分）
（2）根据（1）可知，函数 f (x) 的最大值为 4，即 a b 4 ，
1 1 1 ( 1 1 )[(a 1) (b 1)] a 1 b1 6 a 1 b1
13
14
15
16
3
1
2 3 1
2
3
解答题评分标准
1.概率与统计题：
n
(xi x)( yi y)
17 题（1）问使用 bˆ i1 n
这个公式求解，过程及结果正确也可得分。
(xi x)2
i 1
2.导函数： 求单调区间过程要清楚，最好列表，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。 取值写成区间或者集合的形式，未写扣 1 分。 3.选做题： （极坐标方程）直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。 （解不等式）解集要写成集合或区间，未写扣 1 分。 4.具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。
（5 分）
(Ⅱ)把直线 l 的参数方程
x 1t 2
（t 为参数），代入曲线 C 的方程 x 12 y 22 5
y
2
3t 2
中，得 t2 - t - 4 = 0,显然D > 0
（7 分）
设 A，B 对应的参数分别为 t1,t2 ，则 t1t2 = -4 ， t1 + t2 = 1
因为点 P(0, 2)在直线 l 上，
1 10
（10 分）
（12 分）
sin(2 A C) 2sin A 2sin Acos( A C)
sin Acos( A C) cos Asin( A C) 2sin A 2sin Acos( A C) ，
（2 分）
可得 sin Acos( A C) cos Asin( A C) 2sin A,sin C 2sin A ， 由正弦定理可得 c 2a ，sin B 2sin A,b 2a ，
5
.
5
（12 分）
19.解：（1）证明：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，BD， CD=2AB, AB DE ， （1 分）
由 AB AD, AD DC ，所以四边形 ABED 为正方形，则 AE BD,
（2 分）
PD 平面ABCD, AE 平面ABCD ,
PD AE, PD BD D , AE 平面PDB, AB EC, AB EC,四边形 ABEC 为平行四边形，
x my 1
联立 x2
4
y2 3
，整理得 (3m2 1
4) y2
6my 9
0
，显然
0
则
y1
y2
6m 3m2 4
,
y1 y2
9 3m2
4
，
y1 y2
(y1
y2 )2 4y1 y2
12 m2 1 3m2 4
，
（6 分） （8 分） （10 分）
2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学（理）试卷
（3 分）
BC AE ，故 BC 平面PBD
（6 分）
（2） PD 平面ABCD ，可知 PBD 即为 PB 与平面 ABCD 所成的角，即PBD 45
则 PD BD ,
设 AD 1 ，则 AB 1, DC 2, PD 2
（7 分）
以点 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DP 所在直线为 x, y, z 轴，建立如图所示的空间直角坐
则
（8 分） （9 分） （10 分）
2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学（理）试卷
BPCBmm
0 0
x1
y1 x1
2z1 y1 0
0
，取
x1
1, 则m
(1,1,
2) ，
设二面角 D-PC-B 的平面角为，cos mDA
1
1，
m DA 2 11 1 2
可得 a2 22 22 2 2 2 cos , (2a)2 22 22 2 2 2 cos( ) ，
（8 分）
2020届福建省漳州市2017级高三第一次教学质量检测数学（理）试卷
两式相加可得 5a2 16, a 4
5
，
5
（10 分）
可知 ABC 周长 l a 2a 4 4 12
（8 分）
所以 | PA | + | PB |=| t1 | + | t2 |=| t1 - t2 |= (t1 + t2 )2 - 4t1t2 = 12 +16 = 17
（10 分）
4, x 3 23.解：（1）因为 f (x) 2x 2, 3 x 1，
4, x 1
（2 分）
所以不等式
漳州市 2020 届高三毕业班第一次教学质量检测卷
数学（理科）答案及评分标准
选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。
1
2
3
4
5
6
B
D
C
C
B
B
7
8
9
10
11
12
C
D
B
A
C
D
填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、
少写答案均不给分，15 题评分标准：写成 2 3 3 也可给分。 3
21. 解：（1）
（11 分） （12 分）
f
'( x)
2x
x ln 2 x2
2x
a(1
1 xln 2
)
2x (x ln 2 1) x2
a(x ln 2 1) xln 2
(
x
ln
2
1)(
2x x2
a xln 2
)
当a
1时，
f
'(x)
(
x
ln
2
1)(
2 x
x 2
1) x ln 2
， x (0, )
5.试题有不同解法时，解法正确可酌情给分。
x 1 2 3 4 5 3, y 90 100 105 105 100 100
17.解：（1）可知
5
5
，（1 分）
5
xi yi 1 90 2100 3105 4105 5100 1525
i 1
（2 分）
5
xi2 12 22 32 42 52 55 ，
（3 分） （4 分）
则由余弦定理可得 cos A b2 c2 a2 (2a)2 (2a)2 a2 7 .
2bc
2 2a 2a
8
（6 分）
（2）解法一：设 BDC ,BDA ，在 BDC, BDA 中，利用余弦定理可得
BC 2 DC 2 BD2 2DC BD cos , AB2 AD2 BD2 2AD BD cos( ) ，（7 分）
则
2a 2 2 4 b， a2 a 2 0, 解得a 2,a 1 （舍去），
a2 b2 1
可知 a2 4,b2 3 ，
（2 分） （4 分）
（5 分）
所以椭圆的方程为 x2 y2 1.43
（2）设直线 l 的方程为 x my 1 ， P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) ，
i 1
（3 分）
则
bˆ
n i 1
xi yi nx y
x n 2
i1 i
nx
2
1525 53100 55 5 32
，
2.5
aˆ y bˆx 100 2.5 3 92.5 ，故回归直线方程为 y 2.5x 92.5 ，
（4 分） （5 分）
当 x 11 时， y 2.511 92.5 120 ，估计该学生高考数学的考试成绩为 120 分 （6 分）
5
.
5
（12 分）
解法二：点 D 为 AC 的中点，且 AC 4 ， BD 2 ，所以有 DA DB DC 2 ，…7 分
所以 ABC 是直角三角形 ， 且ABC = ，所以 a2 c2 16 2
（8 分）
又因为 c 2a 所以 5a2 16, a 4 5 5
（10 分）
可知 ABC 周长 l a 2a 4 4 12
标系，则 D(0, 0, 0), A(1, 0, 0), P(0, 0, 2), B(1,1, 0),C(0, 2, 0) ，
DA
平面PDC
,
平面PDC 的一个法向量为DA =
（1,0,0）
设平面 PBC 的法向量 m (x1, y1, z1) ，PB (1,1, 2), BC (1,1, 0) ，
（2 分）
令 f '(x) 0, 得x ln 2 1 0, 则x log 2 e ，
（3 分）
故当 x (0, log2 e) 时， f '(x) 0 ，函数 f(x)单调递减，当 x (log2 e, ) 时， f '(x) 0 ，
函数 f(x)单调递增，
故函数 f(x)的单调递增区间为 (log2 e, ) ，递减区间为 (0, log2 e) .