AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法

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系统工程理论与实践

SYSTEMS ENGINEERING----THEORY & PRACTICE

2000 Vol.20 No.2 P.122-125

AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法

李梅霞

摘要: 通过分析诱导矩阵与判断矩阵不一致性的关系,提 出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。

关键词: 诱导矩阵; 一致性; 和积法

中图分类号: O223

A New Method for Improving the Consistency of

the Comparis on Matrix in AHP

LI Mei-xia

(Changwei Teachers College, Weifang 261043)

Abstract: In this paper, a new method for improv ing the consistency of comparison matrix was presented by analyzing the relatio nship between the induced matrix and the inconsistency of comparison matrix. Keywords: induced matrix; consistency; ANC

1 引言

T.L. Saaty于70年代提出的层次分析法(AHP)为解决多目标决策问题提供了很大的方便,在 社 会、经济、管理中得到了广泛应用。其关键步骤是由专家给出判断矩阵,然后计算排序向量 。因此专家给出的判断矩阵是否能具有满意的 一致性是一个很重要的问题。它直接影响到由此判断矩阵得到的排序向量是否能真实地反映 各比较方案之间的客观排序。因此,对判断矩阵一致性的改进是AHP中一个很重要的内容。 文献[1~3]中提出了几种一致性改进的方法,取得了一定的效果。但是有些方法比较复 杂,有些方法缺乏一定的理论依据,因此寻求一种更好的改进判断矩阵一致性的方法仍具有 重要意义。本文首先定义了一种特殊的矩阵——诱导矩阵,然后通过分析诱导矩阵与判断矩 阵不一致性的关系,提出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。通过多例验证,该方法简 单有效且符合实际。

2 问题的提出

为以后叙述方便,记Ω={1,2,…,n}。

设A=(a ij)n× n为判断矩阵,若其元素满足a ij>0, a ji=1/a ij, a ii=1, i,j∈Ω,则称A为正互反矩阵。若此正互反矩阵又满足a ij=a ik/a jk, i, j, k∈Ω, 则称A为完全一致性矩阵。一般情况下,专家给出 的判断矩阵

很难满足完全一致性条件。文献[4]中指出当时即认为A具有满意的一致性。因此当专家给出的判断矩阵不具有满意一致 性时,可通过征求专家意见,应用合理的方法对判断矩阵的元素进行适当调整,从而使判 断矩阵达到满意的一致性。

文献[5]中指出,“和积法”是一种比较好的计算判断矩阵排序向量的方法。其步骤为 :设

A=(a ij)n× n为判断矩阵,令B=(b ij)n× n,其中

则βj为判断矩阵A的第j个列向量的归一化向量。 再令由此求得判断矩阵 排序向量w=(w1, w2, …, w n)T的方法称为“和积法”。

定义 称矩阵C=(c ij)n× n为判断矩阵A的诱导矩阵,其中 ,

定理 判断矩阵A为完全一致性矩阵的充要条件是矩阵C中元素全部为1,即

证明 必要性。若判断矩阵A为完全一致性矩阵,则A的每一列向量的归一 化向量均相等,从而其与“和积法”求得的排序向量相等,即 b ij=w i, i,j∈ Ω,从而c ij=1, 即

充分性。若即 c ij=1,从而b ij=w i, i,j∈Ω,即各列归一化向量均相等,从而A为完全一 致性矩阵。

由定理可知,若C中存在某个元素c ij不为1,则说明判断矩阵A不为完全一致性矩阵, 且c ij偏离1越大,说明a ij对A的不一致性的影响越大。当c ij>1时,a ij偏大,应适当减小;当c ij<1时,a ij偏小,应适当增大。由于专家的判 断一般不会出现很大的失误,因此对影响判断矩阵一致性的元素可进行适当微调。通过某些 元素(或其分母)增加1或减小1的方法使判断矩阵逐步达到满意的一致性。

3 判断矩阵一致性改进的方法

通过2中的分析,改进判断矩阵A的一致性的方法可按如下步骤进行:

1) 计算A 的各列归一化向量βj, j∈Ω及“和积法”求得的排序向量w;

2) 求出诱导矩阵C=(c ij)n×n;

3) 找出使|c ij-1|( i, j∈Ω)达到最大值的i,j,记为k,l;

4) 若c kl>1,则若a kl为整数,令a′kl=a kl-1,否则令a′kl=1/(1/a kl+1); 若c kl<1, 则若a kl为整数, 令a′kl=a kl+1,否则令a′kl=1/(1/a kl-1);

5) 令a′lk=(1)/(a′kl), a′ij=a ij, i,j∈ Ω且i,j≠k,l;

6) 若A′=(a′ij)具有满意的一致性,则停止,A′即为求得的具有满意一致性的 判断矩阵;否则,用A′代替A转1)。

4 应用举例

例1 设

CR(A)=0.1407>0.1,A不具有满意的一致性。

“和积法”求得的排序向量

从而诱导矩阵

C中偏离1最大的元素为c32=1.619>1,且a32=2为整数,因此需将a32减小 1,即a′32=1, a′23=1,从而可得

CR(A′)=0.0250<0.1,A′具有满意的一致性。

例2 设

CR(A)=0.1720>0.1,A不具有满意的一致性。

“和积法”求得的排序向

量从而诱导矩阵

C中偏离1最大的元素为c13=2.406>1且a13=3为整数,因此需将a13减小1 ,即 从而可得

CR(A′)=0.1036>0.1,A′仍不具有满意的一致性,需继续进行调整。

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