近世代数环与域
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数(吴品三)习题解答第三章 环与域
k1 k2 ,b = m , m1 2 2 2
k1 2 m2 k 2 2 m1 .显然,经过约分之后, a ± b 仍是分母为 2 的非负整 2 m1 m2
k1 k 2 ∈ A. 2 m1 m2
数次方幂的既约分数,从而 a ± b ∈ A .同理, ab =
按环的定义,容易证得, A 关于数目加法、乘法作成一个环. 10. 设 S 表示 A 的一切不是(左零因子,也不是右)零因子的元的集合,证明, S 是( A ,·)的子半群. [证] a, b S ,今用反证法证明 ab 不是 A 的左零因子. 如 若 ab 为 A 的 左 零 因 子 , 则 有 c A , c ≠0, 使 得 ( ab)c =0. 所 以
(ab) 1 = b 1a 1 .
[ 证 ] 因 为 a , b 是 A 的 正 则 元 , 所 以 a , b
1 1
A , 使 得
aa 1 = a 1a =1, bb(bb1 )a 1 = aa 1 =1; 且
因为 E 是环,所以( f 1 - f 2 )∈ E ,( f 1 · f 2 )∈ E . 又因为 H 是 G 的子群 , f 1 ( x H ) f 1 ( x ) H , f 2 ( x H ) f 2 ( x ) H . 所以对 x G , h H ,有: ( f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H ); ( f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) · f 2 ( x ) + H ). 所以 x G , h H , ( f 1 - f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H =( f 1 - f 2 )( x )+ H ; ( f 1 · f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) + H =( f 1 f 2 )( x )+ H . 从而( f 1 - f 2 )∈ B H ,( f 1 · f 2 )∈ B H ,故 B H 是 E 的一个子环. 14*. 设( A ,+,·)是一个环,对 A 规定加法与乘法: f , g A A , x A ,命
近世代数 第18讲
第18 讲§3 除环、域（Division ring and field）本讲的教学目的和要求：继整环之后，除环是另一个需要我们密切关注的环类。
与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了“R为乘群”这个更好的性质。
仔细口味起来，整环与除环相比，有相同性，当然也有不同处。
相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“R为乘群”，但后者具备。
我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。
以上就是本讲内容的背景。
学习本讲要求掌握：1、整环与除环的区别和联系。
2、整环的几种判定。
3、四元数除环的意义。
4、域的运算规则和域的判定法则。
本讲的教学难点和重点：本讲的重点有二个：①除环的几个判定法则。
②域的运算法则的证明。
由于本讲中只涉及到二个主要概念，所需的知识面不广，故不存在什么难点。
一、 除环设R 是一个幺环，在§2中已知，R 的所有可逆元做成一个 乘法群S 。
我们总是希望S 能尽量的“大”，最好是“大”到子 ∙⋅R —R 的一切非零元。
如果真能办到，就成了下面要研究的对象—除环。
定义1：设R 是一个环，如果满足下列条件，则称R 是一个除环.(也可以称为体)① R 必有非零元(R 至少含有两个元)② R l ∈③ ∙⋅R 中每个元都有逆元.将上除环的定义“浓缩”为：R 是除环⇔R 是一个含有R l 的非零环且的每个非零元都可逆。
性质1. 除环R 必是无零因子环，但反之不成立.证明: 设R a ∈≠0.如果a 是左零因子R b ∈≠∃⇒0 使 0=ab .但非零元必可逆R a ∈∃⇒-1 使 R l a a =-1.∴ ()?00011⇒=⇒==--b a ab a显然，整数环应是元零因子环，但它不是除环。
性质2. 对除环R 而言,一切非零元构成的集合∙⋅R 是一个乘法群.(收上用记号*R )(这是§2中结论2的观点)利用性质2. 得到判断除环的一种方法.结论: 非零环R 是除环∙⇒R 是一个乘法群.明示: 对于除环R 而言,乘法群∙⋅R 习惯上叫做除环R 的乘群.由上可知:除环R 是由两个群—加群{}+,R 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅∙,R 乘群凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥,在这个群间建立了联系. 结论2. 设R 是一个有限的非零环,那么R 是除环⇔R 是无零因子环.证明: ()⇔ 由性质1()⇔ R 是无零因子环.2ξ⇔∙⋅R 是乘法半群,又 R 中满足消去律∙⇒R 中也满足消去律,由于∙⋅R 有限,由第二章⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⇒∙,R 是一个群,∴ R 是除环.二、域我们知道,整环是可变换的,而除环未必能变换,将这两 者统一在一起.则得到一种新的代数体系—域.定义2:设除环R 是变换环,那么称R 为域,记为F .明示:域必是除环⇒域具有除环所有的性质.前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域):有理数域Q ,实数域R ,复数域C .当p 为素数时,p Z 也是域,我们很容易发现:要找一个非域的除环是不容易的,下面“编造”出一个—四元数除环。
近世代数--第三章小结
第三章 环与域总结第一节 加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。
⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。
⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。
环的定义：〔•+,,R 〕①〔R +〕是交换群〔R 对+封闭〕；②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,,③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足()ac ab c b a +=+()ca ba a c b +=+称R 在+和·运算下是环。
①.R 是一个加群；②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；③.这个乘法适合结合律：()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元；④.两个分配律都成立：()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。
环满足如下运算：①00a a =,对R a ∈∀②()ac ab c b a -=-()bc ac c b a -=-③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-,④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i nj j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11112121 定义：〔•+,,R 〕，假设对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。
〔•+,,R 〕，假设R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。
一般地，一个环不一定有单位元。
〔•+,,R 〕，含有单位元e ，,R a ∈假设R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的逆元。
〔•+,,R 〕，0,≠≠b b a ，假设0=ab ,则称a 为左零因子，b 为右零因子。
既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
近世代数
近世代数
近世代数是数学中的一个分支，它研究的对象是代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系和性质。
这个领域的主要目标是揭示这些结构的本质和共性，并开发出一些通用的技术和方法来处理这些结构和它们之间的关系。
近世代数主要研究群、环、域等代数结构的性质和关系。
群是一种代数结构，它由一个集合以及一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元素以及每个元素都有逆元素等性质。
环是另一种代数结构，它由一个集合以及两个二元运算组成，分别满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律、存在单位元素和每个元素都有加法和乘法的逆元素等性质。
域是群和环的进一步推广，它不仅满足群和环的所有性质，还满足乘法的交换律。
近世代数的研究方法主要是利用抽象代数的思想，即将一些常见的代数概念抽象出来，从而得到一些通用的性质和方法来处理这些抽象的代数结构。
例如，通过将群、环、域等代数结构抽象出来，我们可以得到一些通用的定理，如拉格朗日定理、卡氏定理、高斯引理等，它们在处理各种具体的代数问题时都具有广泛的应用价值。
总之，近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构及其性质和关系，通过抽象代数的思想和方法，揭示了这些结构的本质和共性，为解决各种具体的代数问题提供了一些通用的技术和方法。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛1就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(Qyxyx∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
近世代数课件(全)--3-2 环的定义—思考、解答、结论
结论6 域： 交换的除环 结论6：域是环、交换环、有单位元环、 整环、除环.
2012-9-19
环的特征 定义：若环的元素对加法有最大阶n，则 称n为环的特征；若环的元素对加法没有最大 阶，则称环的特征是无限（或零）. 记作charR. 定理1：有限环的特征是有限. (因为有限群的阶有限，所以最大阶有限)
b a ab a
1 1
0 0， 故 a 不 是 左 零 因 子 ,
同理也不是右零因子.
结论2：可逆元一定不是零因子， 零因子
一定不是可逆元；除环是无零因子环.
2012-9-19
思考题5、6 结论3 5．除环的非零元对于乘法构成群吗？ 答：构成. 两个非零元的乘积是非零元， 结合律成立，有单位元，每个非零元有逆元. 6．若 R 关于加法构成交换群，所有非 零元关于乘法构成乘群，问 R 一定构成除环 吗？ 答：不一定. 分配律未必保证. 结论3：环 R ，则 R 是除环
charR n
2012-9-19
2012-9-19
思考题4、结论2 除环：有单位元环 R ,且 1 R 0 （ R 1 ） ，每个非零元都可逆. 4．有人说:一个环 R 的零因子一定不是环 R 的可逆元.你认为他的论断对吗?为什么? 答：对. a 0, 且 a 是 可 逆 元 ， 若 有 b , 使 得 ab 0，
( k a )( m a ) n a 0
2
与无零因子环矛盾，故假设不成立.
无零因子环的特征或者无限，或者为素数.
2012-9-19
定理4： 有单位元的环，单位元在加群中的阶 就是环的特征.
证明：若1的阶无限，则特征无限；
若1的阶是n,则 a 0 ,有
近世代数第二章
1
e ，则称 F 为一个域（Field） 。
，实数
对于通常数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环，而有理数集
集 ，复数集 对于通常数的加法与乘法构成域，单位元均为数 1 。以后，我们把数集关 于 数 的 加 法 与 乘 法 作 成 的 环 叫 做 数 环 （ Ring of numbers ）。 例 如 ，
于是，由 ba ca (b c)a 0 知 b c 0 ，即 b c 。 反之，如果 R 中乘法消去律成立，而 a 0, ab 0 ，则 ab a 0 。于是， b 0 。即 R 中任意非零元都不是零因子。 定义 2.1.4. 一个不含零因子的交换环称作整环(Intigral ring)。一个不含零因子的带有单位元 交换环称作整域(Intigral domain)。 对于一个至少含有两个元素的环 R ，若其一切非零元素所组成集合 R* 作成 ( R, ) 的子群， 则称 R 是一个除环（Division ring） （或叫作斜域（Skew field） ）. 注. (1) 交换的除环显然是一个域。 (2) 对于除环 R ，由于 R* 对乘法封闭，故除环没有零因子。 所有数环都是整环，也是整域。数域上的多项式环也是整环且是整域。 ， ， 是域。
a b
j 1 i
m
j
。
容易证明，当 a, b R 且 ab ba 时，二项式定理成立，即 （18）
k k k n k (a b)n Cn a b ， 其中 Cn
k 0 n
n! 。 k !(n k )!
以上环中的计算规则与我们熟悉的初等代数中数字的计算规则是一致的。但是，并不是 数字的计算规则都适用于环。例如，在初等代数中解方程时，经常要用到“ ab 0 a 0 或b 0” ，这条在环中就未必成立。例如，在整数环上的二阶方阵环
近世代数基础第三章环与域
近世代数基础第三章环与域第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在⾼代中看到了，全体整数作⼀个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作⼀个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。
§3.1 加群、环的意义●课时安排约1课时●教学内容本书P80-84定义：⼀个交换群叫做⼀个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且⽤符号+来表⽰。
在群中有零元、负元定义：⼀个集R叫做⼀个环，假如：1、R是⼀个加群；‘2、R对乘法运算封闭3、适合结合律4、两个分配律成⽴●教学重点加群和环的定义●教学难点环的运算性质的证明●教学要求了解加群和环的关系●布置作业P84 2●精选习题P84 1§3.2 交换律、单位元、零因⼦、整环●课时安排约1课时●教学内容本书P84-P89定义：⼀个环R叫做⼀个交环环，假如ab=ba不管a1b是R的哪两个元定义：⼀个环R的⼀个元e叫做⼀个单位元。
假如对R的任意元a来说，都有：ea = ae = a例1：书上P85定义：⼀个有单位元环的⼀个元b叫做a的⼀个逆元。
假如：ba=ab=1例2：P86定义：若是在⼀个环⾥a≠0，b≠0，但ab=0则a是环的⼀个左零因⼦，b是⼀个右零因⼦。
例3：P88定理：在⼀个没有零因⼦的环⾥两个消去律都成⽴。
a≠0,ab=ac=>b=c a≠0,ba=ca=>b=c反之也成⽴推论：在⼀个环⾥如果有⼀个消去律成⽴，那么另⼀个消去律也成⽴。
定义：⼀个环R叫做⼀个整环，假如：1、乘法适合交换律：ab=ba；2、R有单位元1：|a=a|=a3、R没有零因⼦：ab=0=>a=0或b=0●教学重点交换环、整环、单位元、零因⼦●教学难点剩余类环和定理的证明●教学要求掌握以上内容●布置作业P89 1，2，5●精选习题P89 3，4§3.3 除环、域●课时安排约1课时●教学内容P89-93例1：P90例2：P90定义：⼀个环R叫做⼀个除环，假如：1、R⾄少包含⼀个不等于零的元；2、R有⼀个单位元；3、R的每⼀个不等于零的元有⼀个逆元。
近世代数之环与域
证 （1）由第一章知，剩余类的加法是 Z m 的代 数运算. 由第二章知 Z m , 是加群. 下面证明乘法 “·” :
[i ] [ j ] [i j ] 是 Z m 的代数运算.
假设 i [i ], j [ j ]，那么 按照定义，有
[i[ [i],[ j] [ j ]
[i] [ j] [i j]
（2）
（1） ， （ 2 ）两式的左端是相等的， 即
[i] [ j] [i ] [ j ].
如果它们的右端不一样，就有
[i] [ j] [i ] [ j ]，
那么，规则“· ”就不是 Z m 的代数运算， 就是说 Z m 中两个元素，按照规则“· ”得到 两个不同的值了.
a a a (a) (a) a 0, a R; (a ) a, a R;
a b c b a c, a, b, c R;
性质5 (a b) a b, (a b) a b, a, b R; 性质6 m(na) (mn)a, n(a b) na nb, m, n Z , a, b R;
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
上课啦！
The class is begin!
第 三 章
环 和 域
群是有一个代数运算的代数系统 但是， 我们在数学特别是在高等代数中，遇到过很 重要的讨论对象，例如，数、多项式、函数 以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算, 这一事实说明，在近世代数中研究有两个代 数运算的代数系统，也具有非常重要的现实 意义。在有两个代数运算的代数系统 “· ” R, , 中设 Z 为整数集,
第二章 近世代数简介
a , b G , ( t h e r e e x i s t ) ( a * b ) c G
②结合性（Associativity），即
a , b G ,* a ( b * c ) ( a * b ) * c
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
a G , a ** e e a a
如果群（G，*）中包含有限个元素，则称该群为有限群。构成有限 群的元素的个数称为该群的阶。 如果在群（G，*）中，集合G的非空子集S在同样的运算*下可构成 群（S，*），则称群（S，*）为群（G，*）的子群（Subgroup）。 1 , b S , 必 有 a * b S （S，*）为（G，*）子群的充要条件是：对于 a 充要条件的这种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性以及子群的封 闭性。 如果群（G，*）是有限群，则其子群（S，*）也是有限群，且子群 的阶数一定是（G，*）阶数的因子。上述性质是由拉格朗日定理 （Lagranges）给出的。 若（A，*）和（B，*）分别是（G，*）的两个子群，则A和B的交集 在同样运算下也构成（G，*）的子群 。 ( AB,*) 群（G，*）的任意个子群的交集也是（G，*）的子群。
对于元素A x = a i x 和
i i=0
n-1
B x = bi x i
i=0
n-1
，多项式加“+”定义为：
i (2-2) A x B x a b x i i m o d q i 0Fra bibliotekn 1
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n 1n 1 j k A x B x a b x (2-3) j k m o d q k 0j 0 m o d f x
近世代数之除环、域
我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑 合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。
以上就是本讲内容的背景。 学习本讲要求掌握：
（1） 整环与除环的区别和联系。 （2） 整环的几种判定。 （3） 四元数除环的意义。 （4） 域的运算规则和域的判定法
则。
本讲的教学难点和重点： 本讲的重点有二个： ① 除环的几个判定法则。 ② 域的运算法则的证明。 由于本讲中只涉及到两个主要概念， 所需的知识面不广，故不存在什么难点。
一、 除环 继整环之后，除环是另一个需要我们密切关
注的环类. 设R是一个幺环，在 3.2 中已知，R 的所有
可逆元做成一个乘法群S .
也就是说, R 中每一个元素可以由上述四个“数”表达，并且可验 证,这种表达是唯一的.既然 R 是由这四个“数”控制着，所以称 R 为四
元数除环也就自然了.
密爾頓和他的四元數
在英國數學史上有兩個偉大的數學家，一個是牛頓， 另一個就是哈密爾頓。
少年
1805 年 8 月 3 日生於爾藍嘟柏林。從小和叔叔杰姆哈密（語言學家）一起住，在叔 叔影響下對語言、文學特別愛好並有很強接受力。10 歲時杰姆叔叔寫信給哈密爾頓父 親說孩子語言能力驚人，已掌握不少語言，並開始學漢語；13 歲那年對數學發生興趣，。 大學生當教授
一个除环.另外,显然 i,0, 0,1 R 而
i,0 0,1 0,i , 0,1i,0 0,i
这说明
i,00,1 0,1i,0
即 R 不是域.所以 R 是一个非域的除环。
我们将上述除环称为哈米尔顿（Hamiltom）四元数除环，也简称
例4 设 M 2 C 为复数域上的二阶矩阵环,显然 M 2 C 不