泛函分析在数值分析中的应用

泛函分析在数值分析中

的应用

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泛函分析在数值分析中的应用

刘肖廷工程力学

一、数学概述

数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自

然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学

又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应

用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。

基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数

学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界

的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分

析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数

拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。

应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨

物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数

理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数

值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样

不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。

由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大

基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的

支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学

的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。

泛函分析的基本内容和基本特征

（一）度量空间和赋范线性空间

1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽

象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的

建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的

成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的

d⨯→。若对于任何x，

概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R

y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0

d=。当且仅当x y

d≥，且(x,y)0

=； (2)

(对称性) (,)(,)d x y d y x =；(3) (三角不等式) (,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为集合x 的一个度量(或距离)。称偶对(X ,d ) 为一个度量空间，或者称x 为一个对于度量d 而言的度量空间。度量空间中最为我们所熟知的是三维欧氏空间，这个空间中的度量定义为连接该两点线段的长度。

2 、泛函分析所要研究的主要是实数域或复数域上完备的赋范线性空间。这类空间称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结论来完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言， 其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度(基的基数为50) 上的态射， 所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中个尚未

完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

3 、巴拿赫空间理论（Banach space) 是1920 年由波兰数学家巴拿赫(S. Banach)一手创立的， 数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们在许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间， 可看成通常向量空间的无穷维推广， 即有|||| sup ||n x x = 。 巴拿赫空间（Banach space) 是一种赋有"长度"的线性空间， 是泛函分析的基本研究对象之一。数学各个分支的发展为巴拿赫空间理论的完善提供了丰富且生动的素材。从外尔斯特拉斯，K. (T. W. )以来，人们就己十分关心闭区间[a ，b] 上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19 世纪末，G .阿斯科利就得到[ a ,b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则， 后十分成功地应用于常微分方程和复变函数论中。

(二)线性算子

出现在各个数学领域中具有线性性质的运算(例如线性代数中的线性变换，微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等)的抽象概括。它是线性泛函分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用， 同时也是盘子物理的数学基础之。中国物理学界习惯上把算子称为算符。

设X, Y 是两个实数域或复数域上的线性空间，T是X 到Y的映射。T的定义

域和值域分别记为D（T），R（T）。如果对任何数α ,β和 x

1，x

2

∈

D(T)，满足αx

1+βx

2

∈ D (T ) ，并且T（αx

1

+βx

2

）= αTx

1

+βTx

2

,则称T

是以D (T ) 为定义域的X 到Y的线性算子。特别当D(T) = X， Y是实数域或

复数域时，则称T 是X 上的线性泛函。设T

1, T

2

是x 到y 的线性算子，它们

的定义域分别是D(T

1) ,D(T

2

)。对任一数α ,规定α T

1

表示以D (T

1

) 为定义

域，而对任何x∈D (T

1

)，有

αT

1X=α(T

1

X)的算子。规定T

1

+T

2

表示以D (T

1

)∩D(T

2

) 为定义域，而对任何

X∈D (T

1)∩D(T

2

) ,有（T

1

+T

2

）x= T

1

x+ T

2

x的算子。易知。αT

1

(称T

1

的α

倍)，T

1+T

2

(称T

1

与T

2

的和)仍是线性算子。又设T

3

为定义域的Y 到z 的线性

算子，规定T

3? T

1

（也记做T

3

T

1

），表示以{}

131

|(),()

D x T x D T x D T

=∈∈为定义

域而对任何x ∈ D ，有（T

3? T

1

）x= T

3

?（T

1

x）的算子。

(三)泛函分析的主要定理包括

1. 一致有界定理，该定理描述族在界算子的性质。

2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用。

3. 罕-巴拿赫定理(Hahn-Banach Theorem) 研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的。

4. 开映射定理和闭图像定理。

(四) 泛函分析与选择公理

泛函分析所研究的空间大都是无穷维的。而欲证明无穷维向量空间存在一组基，就必须使用佐恩引理。此外，泛函分析的重要定理大都构建在罕-巴拿赫定理的基础上，而该定理本身正是选择公理弱于布伦素理想定理的一个形式a (五)泛函分析的特点和内容

分析学是研究实数与复数及其函数关系的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。而泛函分析正是分析学发展的高级形态。泛函分析的特点在于它不但把古典分析中的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，将不同类型的函