九年级二次函数拔高培优及解析

九年级二次函数拔高培优及解析

一、单选题

1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：

①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．

其中正确的有()

A．5个B．4个C．3个D．2个

【答案】B

【解析】

【分析】

结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．

【详解】

①∵对称轴是y轴的右侧，

∴ab<0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c>0，

∴abc<0，故①错误；

②∵−b

=1，

2a

∴b=−2a，2a+b=0，故②正确；

③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，

∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确；

④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，故④正确；

⑤∵抛物线的对称轴是x=1，

∴y有最大值是a+b+c，

∵点A(m,n)在该抛物线上，

∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确，

本题正确的结论有：②③④⑤，4个，

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．

2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和1

3

其中正确结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】

【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数

的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a ，c=﹣3a ，则方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．

【详解】由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）， 可得抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），

即y=ax 2﹣2ax ﹣3a ，

∵y=a （x ﹣1）2﹣4a ，

∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a ，所以①正确；

当x=4时，y=a×5×1=5a ，

∴当﹣1≤x 2≤4，则﹣4a≤y 2≤5a ，所以②错误；

∵点C （1，5a ）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a ），

∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x ＜﹣2，所以③错误；

∵b=﹣2a ，c=﹣3a ，

∴方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，

整理得3x 2+2x ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=13，所以④正确，

故选B ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.

3．已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是（ ）

A ． ﹣254＜m ＜3

B ． ﹣254＜m ＜2

C ． ﹣2＜m ＜3

D ． ﹣6＜m ＜﹣2

【答案】D

【解析】【分析】如图，解方程﹣x 2+x+6=0得A （﹣2，0），B （3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x ﹣3），即y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m 经过点A （﹣2，0）时m 的值和当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y=﹣x+m 与新图象有

4个交点时，m的取值范围．

【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），

将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为

y=（x+2）（x﹣3），

即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），

当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；

当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程

x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，

所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，

故选D．

【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数

y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.

4．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移

3个单位，得到的抛物线过点( )

A．(−3,−6)B．(−3,0)C．(−3,−5)D．(−3,−1)

【答案】B

【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．

详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，

∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），

∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．

将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）