3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

PA⊥α a α
P
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
a
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
α
A
o
数式板书
[例1]
已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，
求平面ABC的一个法向量．
[思路点拨]
[精解详析 ] 设坐标原点为 O， 由已知可得： AB ＝ OB － OA ＝ (0， 2， 0)－ (1， 0， 0)＝(－ 1， 2， 0)， AC ＝ OC － OA ＝ (0， 0， 3)－ (1， 0， 0)＝ (－ 1， 0， 3)． 设平面 ABC的一个法向量为 n＝ (x， y， z)， 则 n· (－ 1， 2， 0)＝－ x＋ 2y＝ 0， AB ＝ (x，y，z)· AC ＝ (x， y， z)· n· (－ 1， 0， 3)＝－ x＋ 3z＝ 0. 不妨令 x＝ 6，则 y＝ 3， z＝ 2. 因此，可取 n＝(6， 3， 2)为平面 ABC的一个法向量．
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
一、复习引入
1.直线与平面垂直的定义、判定和性质
定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么称这条直线和这个平面垂直。 判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线， 则这条直线与这个平面垂直。 性质： (1)垂直于同一个平面的两条直 线平行。 (2)垂直于同一条直线的两个平 面平行。
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA l PA 求证： 证明：在直线l上取向量 a ,只要证 a PA 0
P

O
A
l
a
逆定理
PA 分别是平面 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l PA ， 求证： l OA P
再见
例.
在空间直角坐标系内，设平面 经过
点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C)，
M ( x, y, z ) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。 解：由题意可得 PM ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM 0

l
l'
n

m A
二、概念形成
已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 n 叫做平面 的法向量或说向量 n 与平面 正交。
概念1.平面的法向量
n
由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个， 法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。 由于垂直于同一平面的两条直线
二、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
预备知识： 射影：已知平面 和一点A，过点A作 的垂线 l 与 交 于点 A' ，则 A' 就是点A在平面 内的正射影，也可简 称射影。 斜线在平面上的正射影：设直 斜线在平面上的正射影：在直 线 l 与平面 交于点B，但不 线 l 上任取一点A，作A点在平 和 垂直，那么直线 l 叫做 面 内的射影 A'，则平面内 这个平面的斜线。斜线和平面 直线 A' B 叫做斜线 l 在该平 的交点B叫做斜足。 面内的射影。
l
A A

A' A'
B
二、概念形成
概念5.用法向量证明“三垂线定理”
三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内 的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 已知 l 是平面
直线
a
的斜线， A' B 是 l
且a
在平面 内的射影, A
A'B
l
求证： a
l

A'
B
a
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. PA 分别是平面 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ， 求证： l PA P 分析： 用向量来证明两直线 垂直， 只需证明两直线的方 a O A 向向量的数量积为零即可！ l
在正方体中，AA1⊥
平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又AC⊥BD，所以BD⊥A1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影． 所以C1D⊥A1C.又C1D∩BD＝D，所以A1C⊥平面BDC1.
1．正三棱锥PABC中，求证：BC⊥PA.
证明：在正三棱锥PABC中，P在底
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
答：a⊥PO
为什么呢？
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BC⊥AO，所以BC ⊥PA.
小结
1.直线与平面垂直的定义 2. 平面的法向量： 3. 平面的向量表示： 4. 两平面平行或重合、垂直的充要条件
5.求平面法向量的方法：
6.有关平面的斜线概念， 三垂线定理及其逆定理
分别是平面
n1 n2 n1 n2 0
n1


n1 n2
二、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
例子 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的 D1 A1 F B1 E C C1
求证： n
n a, n b
n
b

a
二、概念形成
概念1.平面的法向量
例子：正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。
正方体AC1棱长为1，求平面ADB1的一个法向量。 解：建立如图所示的坐标系A-xyz，则
A1 B1
D1 C1 D y C
D1
C1
DA (0, 1,0), DB1 (1, 1,1) 设 n ( x, y, z ) 是平面ADB1的法
n
n AB ( x , y , z ) ( a , b , 0 ) ax by 0 则 n AC ( x , y , z ) ( a , 0 , c ) ax cz 0x a a 解得 y x ,z x b c
O A
向量。那么 n DA y 0 n DB1 x y z 0
A(0,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1)
z A1 B1 A B x
A B C
D
y 0 x z 0
令z=1，得 n (1,0,1)
yห้องสมุดไป่ตู้
n ( bc ,ac ,ab ) 令 x bc , 则 y ac , z ab
a a 令 x 1 ,则 y ,z b c
a a n (1, , ) b c
有何 关系？
二、概念形成
概念3.平面的向量表示
空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向 量来刻画。
设A是空间任意一点， n 为空间任意一个非零向量，适合条 件 AM n 0 的点 M 的集合构成什么样的图形？
中点。求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点。 求证：平面DEA⊥平面A1FD1 。 证明：如图所示，建立平面直角坐标系Dxyz。令DD1=2，则 D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),F(0,1,0),E(2,2,1)
平行，所以，一个平面的所有法 向量都是平行的。 模为1的法向量，叫做单位法向量， 记作 n 显然
0
n n0 |n|

b
n mm c a
二、概念形成
概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明
直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直 线垂直于这个平面。 已知：a , b 是平面 内的两条相交的直线，且

O
A
l
a
(2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平 面内的 射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(3)三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在平面内的 射影垂直．
三垂线定理
例题分析：
1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α 的斜线、直线b垂直于a在平面 α 内的射影，则a⊥b。 ( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言。 2°定理的关键是找“基准面”和“电线 杆”。
[例3]
在正方体ABCDA1B1C1D1
中，求证：A1C是平面BDC1的法向量
[思路点拨]
根据正方体中的垂直关系，找到A1C
在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理 证明BD⊥A1C，C1D⊥A1C.
[精解详析]
例题
例1：已知点 A 0 B (0 ,b ,0 )， C (0 ,0 ,c )，其中 abc (a ,0 ,0 )， 求平面 ABC的一个法向量。 z 解：由已知得
AB OB OA ( a ,b ,0 )
C
AC OC OA ( a ,0 ,c ) 设平面 ABC 的一个法向 n ( x , y , z ) B
(2)若a是平面α 的斜线，b是平面α 内的直线， 且b垂直于a在β 内的射影，则a⊥b。 ( ×)
三垂线定理
关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)及垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的。
第一、定平面(基准面) 第二、找平面垂线（电线杆） 第三、看斜线，射影可见 第四、证明直线a垂直于射影线，从而得出a与b垂直。

适当取向量尝试看看！
a PO 0 , a OA 0 a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 a PA, 即l PA .
设 n1 ( x1 , y1 , z1 ), n2 ( x2 , y2 , z2 ) ，分别是平面DEA，A1FD1的
法向量，则 n1 DA, n1 DE



z
D1 B1 F B E
C1
( x , y , z ) (2,0,0) 0 x1 0 A1 所以 1 1 1 ( x1 , y1 , z1 ) (2,2,1) 0 2 y1 z1 0

向量证法
一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线)的， 我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。
小结.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z ) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 待定系数法 n b 0 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
我们可以通过空间一点和一个 非零向量确定唯一的一个与该
n
M1 A
向量垂直的平面。
AM n 0
称此为平面的向量表达式。

M
M2
二、概念形成
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直
设 n1 , n2
, 的法向量，则有 // 或与 重合 n1 // n2
同理可求 n2 (0,2,1) n1 n2 (0, 1,2) (0,2,1) 0 n1 n2 平面DEA⊥平面A1FD1 。
令 y1 1 n1 (0, 1,2)

D A x
C y
D A
向量证法
B 利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面 的法向量互相垂直。