数学一轮复习(文科)人教B配套多媒体实用课件第十一章计数原理第1讲合情推理与演绎推理

第1讲合情推理与演绎推理（乞夯基释疑〕
I.判断正误(在括号内打“厂或“ X ”)
⑴归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确• (X)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推
理.(°)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类
比对象较为合适・(X)
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(X)
丿
考点突破考点一归纳推理
【例1J （2014-海口调研）如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为2°+2x=3,第二个等式为2°+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为2°+23=9,第五个等式为21+23=10,……,依此类推，则第99个等式为（）
，依此类推, 2°+21=3
2°+22 = 5 21+22 =6
2°+23=9 2】+23=10 22+23=12
2°+24=17 2】+24=18 22+24=20 23+24=24
A.27+213=8 320
B. 27+214=16 512
C. 2+14=16 640
D. 2+13=8 448
2°+21=3
2°+22=5
2°+23=9
2°+24=17 解需麻题意，用(/, ［鎗一行为3(0,
|第二行为5(0, 第三行为9(0,
I 第四行为 17(0, 4), 18(1, 4), 20(2, 4), 24(3, 4)； 又因为 99=(1+2+3+…+ 13)+8, 因
此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置， 即是27
+214=16 512,故选B ・
规律：1、第〃行就有〃个等式，n 行共有l+2+3+...+n 个
2、第"行第一个等式2°+2" = 1+2"
第加个等式2曲+2〃 =
考点突破
考点一归纳推理 21+22
=6 21+23 = 10 22+23=12 2X +24 = 18 22+24=20 23+24
=24 巧表示2『+2〃，题中的等式的规律为: 1)；
2), 6(1, 2)； 3), 10(1, 3), 12(2, 3)；
考点突破考点一归纳推理
规律方法
归纳推理是由部分到整体.由特殊到一般的推理，由归纳
推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具
有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
11+6=17,17+8=25
解析先求第30行的第1个数，再求第3第创够晦雅數
观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是 30x ........................................ (2+60)
1+4+6+8+10+•••+60= Z —1=929.
又第«行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2 个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60, 第3个数比第2个数大
62,
考点突破考点一归纳推理
故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1 051.
【例题2 1 （1）若数列｛a n｝是等差数列，则数列
rf丄
"1+"2 ---------- H aJ
仏吧"=n丿也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列｛"｝是等比数列，且仏｝也是等比数列，则d n的表达式应为（）
▲f " + C2 --------
C n
A・几一n
C i • C2... c n B. d尸n
考点突破考点二类比推理
解析（1）法一从商类比开方，从和类比乘积,
则算术平均数可以类比几何平均数, 故d n的表达式为
d n=n^crc2 ... c n.
【例题 2 ] （1）若数列｛a n ｝是等差数列，则数列
讥 1L °1+°2 ------- a n ｛久= --------- n -------
数列｛c“｝是等比数列，且｛£｝也是等比数列，则d…的表达式应为（）
▲ ” “+血 ----- H G , ,
, C 1 • C 2 ....... c n
A ・ d n = ------------ - ----------
B ・ d n = ----------- ------ 丿
考点二类比推理
也为等差数列•类比这一性质可知，若正项 C. D .必=\^
厂，即｛必｝为等比数列，故选D・【例题2】(2)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 ： 2,则它们的面积比为1 ： 4•类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1： 2,则它们的体积比为_______________
k _______________________________________________________________________________________________
(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:
在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1 ： 2,
则它们的底面积之比为1 ： 4,对应高之比为1 ： 2,
所以体积比为1： &
答案(1)D (2)1 :
规律方法
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法 的类比，
且要注意以下两点：（1）找两类对象的对应元素，如：三 角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；（2）找对应元素 的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直, 边相等对应面积相等
.
【训练21把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角
线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半、/0 +胪
径尸=乂于（其中0, 〃为直角三角形两直角边长）.类比此方法可得三条侧棱
长分别为a, b9 c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R
解析由平面类比到空间，把矩形类比为长方体,
从而得出外接球半径.
答案0尹
【例3】数列｛如的前n 项和记为S“，己知«i = l, «…+i
=W ^5n （neN*）.证
明：⑴数列｛十是等比数列；（2）S“+i=4a“・
〃+2
证明(1) • a 〃+i=S 〃+i —Sn9 "兀+1=~~~ Sn9
A (n+2)Sn=n(S n ^i —S n )> 即 nS n ^i=2(n + l)S n . 故｛存｝是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）
（大前提是等比数列的定义，这里省略了）
.S 几+i ••n + 1
=2•- 又¥=1HO,（小前提）
【例3】数列｛如的前n 项和记为S“，己知«i = l, «…+i
=W ^5n （neN*）.证明：⑴数列｛十是等比数列；（2）S“+i=4a“・
证明（2）由⑴可知泻=4•貯（心2）,
又 O2=3S I =3, S2=ai+“2=l+3=4=4«i,（小前提）
•:对于任意正整数弘 都有Sn^-l=4an.（结论） （第⑵问的大前提是第⑴问的结论以及题中的已知条件）
・・・S“+i=4® + l ）・ S n -1
n —
n —1+2
n — 1 S n -i=4a n （n^2）9 （小前提）
规律方法
演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论, 应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.
【训练3】“因为对数函数y=lo辭是增函数（大前提），而丿= log】兀是对数函数（小前提），所以j=logix是增函数（结论）”，以上
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推理的错误是（）
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提错误导致结论错误
解析当。

>1时,函数j=log^x是增函数;
当0<«<1时，函数j=logt/X是减函数.
故大前提错误导致结论错误.
答案A
1.合情推理的过程概括为
从具体问题出发»观察、分析、比较.联想一
归纳、类比
2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方
法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.
1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都
要经过进一步严格证明。

2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题，
注意推理过程的严密性，书写格式的规范性。

3.合情推理中运用猜想时，不能凭空想象，要有猜想或拓展依据。

《课后限时刑療》（见教辅）。