几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法

1． 提取公因式法

2． 分组分解法

3． 应用公式法，常用的公式有：

（1）222)(2b a b ab a ±=+±

（2）))((22b a b a b a -+=-

（3）))((2233b ab a b a b a +±=±

（4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+±

（5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++

（6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++

公式（5）证明如下：

ac bc ab c b a 222222+++++

222)22()2(c bc ac b ab a +++++=

22)(2)(c c b a b a ++++=

2)(c b a ++=

公式（6）证明如下：

abc c b a 3333-++

abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++=

)333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++=

)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=

]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++=

))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=

在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，

于是，

（7）abc c b a 3333=++

这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍．

4．十字相乘法

（1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有

))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++

（2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有

c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++=

))((2211b x a b x a ++=

（3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解．

设f ey dx cy bxy ax F +++++=22

))((222111c y b x a c y b x a ++++=

则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++=

211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++=

可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果

ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221

则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法．

对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．