第三节 波的能量 能流密度
第三节 波动过程的能量和波强度
A1 A2
平面波在媒质不吸收的情况下, 各处振幅相同。
8
2. 球面波 一个周期内通过两个球面的能量分别为
W1 I1S1T A122u 4π r12 T / 2
W2 I2S2T A222u 4π r22 T / 2
介质不吸收能量
S2
S1
W1 W2
A1r1 A2r2
• r1 r2
dx
Ox
x
说明
(1) 为介质吸收系数，与介质的性质及
波的频率有关。
(2) 波的强度随传播距离按指数衰减。
11
u
I wuTS wu TS
I 1 A2 2u
2
udt
S
写成矢量形式为
I wu
7
三、平面波和球面波的振幅（介质不吸收能量）
1. 平面波
一个周期内通过两个面的能量分别为
W1 I1S1T A122uST / 2
u
W2 I2S2T A222uST / 2
介质不吸收能量 W1 W2
S1 S2
v
y t
A
sin[
(t
x u
)
0 ]
l T1
y
y
T2
(1) 线元的动能
O
x x
Wk
1 2
mv2
1 2
x A2 2
sin
2[(t
x u
)
0
]
在波的传播过程中，由原长△x 变成△l，
形变为△l -△x ，线两端受张力T=T1=T2。 张力做的功等于线元的势能
Wp T (l x)
2
l (x)2 (y)2 x[1 ( y )2 ]1/2 x
5
2. 能量密度w 单位体积介质中波的能量。
大学物理 波的能量能流密度
单位体积内的能量 w dE dV
w
dE dV
A2 2 sin2[(t
x u
)
0
]
5、一个周期内的平均能量密度
w 1 T
T wdt 1
0
T
T 0
A2
2
s
in
2[(t
x u
)
0
]dt
1 2 A2
2
sin2 1 1 cos2
2
这说明：w 2、A2
dE
(dV
) A2
2
sin 2[(t
x) u
0 ]
对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能
量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能
量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。
孤立的谐振子系统总能量守恒。
第十章 波动
4
物理学
第4五、版 能量密度
10-3 波的能量 能流密度
dEk
1 2
dV 2 A2
s
in2[(t x
u 第十章 波动
)
0
]
1
物第理五2版、学 dv 内的波动势能
10-3 波的能量 能流密度
体积元因形变而具有弹性势能
在横ห้องสมุดไป่ตู้中，产生切变
y
y
o
x
x
y
x
x
h
lim tg x
h
x0
y y x x
u
A s in
物理学
第五版
大学物理第十五章第3,4,5节 波的能量能流密度
∆W = u ⋅ ∆t ⋅ ∆S ⋅ w
u△ t
S
∆W x 2 2 2 P= = u ⋅ ∆S ⋅ w = u∆Sρω A sin [ω(t − )] ∆t u
11
∆W x 2 2 2 P= = u ⋅ ∆S ⋅ w = u∆Sρω A sin [ω(t − )] ∆t u
能流总为正值，并随时间作周期性变化。 能流总为正值，并随时间作周期性变化。 在一个周期内能流的平均值称为平均能流 P
2 2 2
5
波动能量： 波动能量：
Y
能量极小
x
极大 极小
体积元在平衡位置时，动能、 体积元在平衡位置时，动能、势能和总 机械能均最大. 机械能均最大 体积元的位移最大时，三者均为零 体积元的位移最大时，三者均为零.
6
总机械能为： 总机械能为：
x dW= dW +dW = ρdV A sin [ω(t − )] ω k p u
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 − 2π
r2 − r1
s1 s2
r1 r2
*
P
λ
定值
22
讨 论
A = A + A + 2A A2 cos ∆ϕ 1
2 1 2 2
决定了合振幅的大小. 位相差 ∆ϕ 决定了合振幅的大小. 干涉的位相差条件 当
∆ϕ = 2kπ时(k = 0,±1,±2,±3...)
合振幅最大 当
s1 s2
r1 r2
*
P
21
y P = y1 P + y 2 P = A cos( ω t + ϕ )
tanϕ =
A=
A1 sin(ϕ1 − A1 coA2 sin(ϕ2 −
10-3波的能量 能流密度
1 波能量
以固体棒中传播的纵波为例:
y Acos(t x )
u
dWk
1 2
dmv2
1 2
dV
v2
v y Asin(t x )
t
u
振动动能:
dWk
1 2
dVA2 2 sin 2 (t
x) u
Ox O
dx
x
y y dy
x
理学院 物理系
大学物理
P wuS
u
2 平均能流： P wuS
3 能流密度 ( 波的强度 )I:
通过垂直于波传播方向 的单位面积的平均能流.
S udt
I P wu S
I 1 A2 2u
2
理学院 物理系
w dW A2 2 sin 2 (t x)
dV
u
3 平均能量密度：能量密度在一个周期内
的平均值:
w 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
Ox O
dx
x
y y dy
x
理学院 物理系
大学物理
§10-3 波的能量 能流密度
二 能流和能流密度
1 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.
大学物理
§10-3 波的能量 能流密度
一平面简谐波沿x轴正方向传播，速度为u，已知t'时刻的波 形曲线如图所示，x1处质点位移为零，求： （1）原点O处质点的振动方程 （2）该简谐波的波函数
y
u
O
x1
x
-A
理学院 物理系
大学物理
§10-3 波的能量 能流密度
§10-3 波的能量 能流密度
大学物理- 波的能量能流密度
1 P T
0
1 2 2 wSudt wSu A u s 2
第十章 波动
6
物理学
第五版
3、平均能流密度 （又叫波强）I
10-3 波的能量 能流密度
通过垂直于波传播方向的单位面积的平 均能流. P I w u s
1 2 2 I A u 2
可见波强 （瓦/米2）
10-3 波的能量 能流密度
(5)声压:
在声波传播的空间里，某一点在某一瞬时的压强P与没有 声波时的静压强P0之差dP=P- P0，叫做该点该瞬时的声压。
第十章 波动
10
物理学
第五版
10-3 波的能量 能流密度
因空气波为疏密波，故声压可正、可负，其单位为“帕斯 卡”。
可以证明：声压的振幅
( z u
频率低于20Hz的机械波（如地震、火山爆发、陨石落地、 雷暴等发出…） (1)声强： 1 2 2 I A u 指声波的波强，即声波的平均能流密度 2 (2) 声强级：
以人耳刚能听到的声强 则声强级
IL lg
I 0 10 12 w
m 2为标准，
I I (贝尔) 10lg (分贝 dB) I0 I0
1 y 1 x 2 2 2 E p dV G dV A sin (t ) 0 2 x 2 u
第十章 波动
2
2
物理学
第五版
３、dV内的总波动能量
10-3 波的能量 能流密度 x 2 2 2 dE dE k dE p ( dV ) A sin [ (t ) 0 ] u 以上讨论说明：
y
① 在同一体元dV 内， dEk 、 dEp 是同步的。
波的能量能流密度
1.波动的动能
以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
O O
波函数
x
dx
x
y dy
y
x
x y x y A cos ( t ) v A si n ( t ) t u u
•质元的动能
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2
1 x 2 2 2 dWk dVA si n ( t ) 2 u
① 任一时刻介质元的动能等于势能，且相位相同，与振动系 统的动能与势能总有π/2相位差不同。 ② 振动系统的机械能守恒，而波动过程中，能量不守恒。波 动过程中，沿波的传播方向，介质元不断地通过振动由后面的 质元获得能量，又不断地把能量传播给前面的质元，波是能量 传递的一种形式。 ③ 在平衡位置时质元具有最大动能和势能，在最大振幅处动 能和势能为零。在回到平衡位置时从相邻质元吸收能量，离开 时放出能量。
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA si n ( t ) 2 u 表明：质元的总能量随时间作周期性变 3.波动的能量 化，时而达到最大值，时而为零 x dW dWk dWp dVA2 2 si n2 ( t ) u 4.结论 意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播
2.波动的势能
弹性势能 O
1 2 dWP k dy 2
F l E S l
F
弹性模量
x
dx
O
y y dy
u E
x x
ES l l
1 1 dy 2 2 dWP k dy ESdx( ) 2 2 dx
SE k dx
1 dy 2 y A si n ( t x ) 2 u dV ( ) x u u 2 dx 1 x 2 2 2 dVA si n ( t ) 2 u
机械波的能量与能流密度
一、波场中质元的动能和势能
dEk
dEP
1 2
(dV )A2 2
sin2 (t
x) u
1、对给定（x 一定）质元，在波的传播过程中，其动能与
势能随 t 同步周期性变化，且在任何时刻两者相等。
u
x = x0
dEk
dEp
T
O
t
y
振动曲线
dEk 、dEp在平衡位置处最大; 在最大位移处为零。
一、波场中质元的动能和势能
二、波场中的能量密度和能流密度
讨论 (2) 球面波的振幅
若介质不吸收能量
通过两个球面的平均能流相等
设S1与S2的波振幅分别为A1、A2
1 2
2 A12u4πr12
1 2
2 A22u4πr22
r2
p1 p2
O r1 S1
波源
得
A1 r2 A2 r1
A(r) A A等于离开波源单位
r
距离处波的振幅。
球面简谐波的波函数
y A cos(t r )
r
u
三、波的吸收
对吸收媒质，实验表明：
dA A( x)dx
——介质吸收系数
A( x) A0ex
I ( x) I0e 2x
I0
I
O
x
A A-dA
O
dx
I I0
O
x
随堂练习
1．图示为一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线。若此时 A点处媒质质元的振动动能在增大，则：
(1) 能量高、定向性好； (2) 对导体、液体（水）有较强的穿透力。
例 100kHz : 8.5105 / m
声强减少到 1 倍，水：5.9km；空气：5.8m。 e
波的能量和能流密度
f S
S
x
y
Δy 为 质元 ab 长度变化
与弹簧比较 弹簧的弹性势能 所以时刻质元 ab 的弹性势能
S / x 为常数
f弹簧 Kx
W弹簧P
1 2 Kx 2
1S 2 WP ( y) 2 x
所以 t 时刻质元 ab
的弹性势能
1S WP ( y) 2 2 x
当媒质中有机械波传播时，媒质的质元具有机械能
为了描述媒质中能量分布状况引入——能量密度
二．能量密度
波传播时 ，媒质中单位体积内的能量
——称作波的能量密度
记作 Ω
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度
W 2 2 2 2 A sin (t x 0 ) V
球面波的平均能流
讨论：在无吸收的理想 媒质中球面波的振幅
通过球面1和球面2的能流应该相等：
I 1 4r12 I 2 4r22
而：
I 1 I 2 A12 A22
r2 r1
A1 A2 r2 r1 Nhomakorabea1 A r
取 : r1 1
——球面波的振幅与距离成反比 球面波的波函数可以写成：
S
2.
能流密度
P S u S
平均能流密度又称波的强度
2 A
2 2
2
记作
I
2
2
2 2
I S u
通常
I 2 A u
1 2 2 I A u 2
S u
说明：
I 2 2 A2 2 u
上式根据平面简谐波得到的结论， 但是波的强度与波的振幅、波的频 率的平方成正比的结论对任何弹性 波都成立 波的能量密度表征媒质中某点质元的 能量的大小 能流密度表征媒质中某点，能量传播的 多少和快慢
波的能量 能流
a cos (t r u ) r
式中a 为波在离原点单位距离处振幅的数值。
波的强度
例题 用聚焦超声波的方式，可以在液体中产生强度达 120kW/cm2的大振幅超声波。设波源作简谐振动，频率为 500kHz，液体的密度为1g/cm3，声速为1500m/s，求这时液体 质点振动的振幅。
2 2 2
体积元的总机械能W
波的能量密度 w ：介质中单位体积的波动能量。
W t x 2 2 2 w A sin V u
通常取能量密度在一个周期内的平均值Biblioteka w A2 2 2w
2. 波动能量的推导
a
b
O
x x x
y
y y
x
O
a'
b'
x
位于x 处的体积元ab的动能为
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势 能Wp。
t x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos u
1 2 2 1 2 2 P w1uS A1 uS P2 w2uS A2 uS 1 2 2 若 P P2 ，有 A1 A2 。 1
波的强度
对于球面波， 1 4r12 S 2 4r22 ，介质不吸收能量 ， S 时，通过两个球面的总能流相等
1 2 2 1 2 2 2 A1 u 4r1 A2 u 4r22 2 2 A1 A2 r2 r1
3. 波的强度
能流 在介质中垂直于波速方向取一面积S ，在单位时 间内通过S 的能量。
第三节 波的能量 能流密度
§ 9.3 波的能量一、波的能量波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。
波是能量传递的一种方式。
对于“流动着”的能量，要用由能量密度 和能流密度两个概念来描述。
1 波的振动动能当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。
设在密度为ρ的介质中，有一列沿x 轴传播的平面简谐波。
在波线上坐标为x 处取一个体积元d V ，其质量d m =ρ d V其波方程该体积元的振动速度为该体积元d V 的动能为2 波的势能介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。
可以证明，因为介质形变，体积元d V 的势能与动能相等结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。
3 t 时刻体积元d V 的总能量为这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间按正弦平方的函数关系而变化，所cos ()x y A ω t u =-ωsin ()y x v A ω t t u ∂==--∂222p k 1d d d sin ()2x E E VA t u ρωω==-k p d d d E E E =+)(sin d 222u x t VA -=ωωρ2222k 11d d ρd ωsin ω()22x E mv VA t u ==-Y x以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度u 传播。
二、能量密度能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用 W 表示平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用 W 表示三、能流密度波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。
波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力，在波的传播过程中，通过弹性力做功，质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。
将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。
§7-3 波的能量,惠更斯原理
P S1
解：
2
1
2
π
r2
r1
S2 Q x
2
1
2
S1 S 2
4
（1）S1外侧P点：r2
r1
S2 P S1P
4
2
2 4
I 0
A A1 A2 0
S1点外侧各点静止.
（2）S2外侧任选一点Q点：
r2
2
1
2π
r2
r1
干涉的相位差条件
当 2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大 Amax A1 A2 I I1 I2 2 I1 I2
当 2k 1π
合振幅最小 Amin A1 A2 I I1 I2 2 I1 I2
（Y为介质的杨氏模量,S为截面积）
与胡克定律F=kdy对比,有 k YS
dx
势能：dE p
1 2
k(dy)2
1 2
YS dx
(dy)2
1 YdV ( dy )2 2 dx
u Y ,
y A sin[(t x )]
x u
u
dE p
1 2
A2 2dV
sin2[(t
x )] u
体积元的机械能：
dE A22dV sin2[(t x u)]
讨论
dE p
dEk
1 2
A2 2dV
sin2[(t
《医用物理学》 波的能量与波的衰减
一、波的能量
定义：波传到的介质范围内所有质点的能量之和。
有一平面简谐波
y Acos(t x )
u
在x处取一体积元V 体积为 V 质量为m V
位置为，坐标x
振动能量：E EK EP
1)
EK
1 2
mv 2
1 2
VA2 2
sin2 t
x ， u
2)
EP
1 2
VA2 2
sin 2
所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位
距离的振幅为A0,,则距波源r 处的振幅为？
A0 r , A A0
A 1
r
球面简谐波的波动方程：
y A0 cos[(t r ) ]
r
u
的振幅与离波源的距离成反比。
I1S1 I2S2 I1 4r12 I2 4r22
I1 I2
r2 2 r12
r1 r2
I1 I2
成反比,距波源越远，波强越小。
I 1 uA2 2
2
I1 I2
A12 A2 2
r2 2 r12
A1 r2 A2 r1
3.5 波的能量与波的衰减
A1 r2 A2 r1
t
x u
3.5 波的能量与波的衰减
结论：
E
EK
EP
VA2 2
sin 2
t
x u
1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小
相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。
2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒，是时间t的函数
简谐振动
Ek
1 mA2 2 sin 2 (t
2
)
Ep
3波的能量 能流密度
dW
dWk
dWp
dVA2 2
sin 2 (t
x) u
O x dx
x
O
y y dy
x
3、波的能量 能流密度
波动
讨 论 (1)介质中，任一体积元的动能、势能、总
机械能均随 x,t 作周期性变化，且变化是同相位的。
dW
2dWp
2dWk
dVA22 sin2 (t
x) u
体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均 最大。因为 y Acos(t x )余弦为零，正弦达到最大。
P wuS
u
2、平均能流： P wuS
3、能流密度 ( 波的强度 )
通过垂直于波传播方向
S udt
的单位面积的平均能流。
I P w幅的平方、角频率的平方、
波速以及介质密度成正比。
波动
2、能量密度：单位体积介质中的波动能量
w dW A2 2 sin 2 (t x)
dV
u
3、平均能量密度：能量密度在一个周期内
的平均值:
w 1 T wdt 1 2 A2
T0
2
O x dx
x
O
y y dy
x
3、波的能量 能流密度
波动
二、能流和能流密度
1、能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.
3、波的能量 能流密度
波动
一、波动能量的传播
1、波的能量
以固体棒中传播的纵波为例:
y Acos(t x )
u
振动动能: v y Asin(t x )
t
u
dWk
1 2
dmv 2
1 2
dV
v 2
dWk
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§ 9.3 波的能量
一、波的能量
波是质点振动状态的传播，是质点振动相位的传播，外观上有波形在传播，但在传播过程中并不伴随物质传播，但伴随着能量迁移。
波是能量传递的一种方式。
对于“流动着”的能量，要用由能量密度 和能流密度两个概念来描述。
1 波的振动动能
当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。
设在密度为ρ的介质中，有一列沿x 轴传播的平面简谐波。
在波线上坐标为x 处取一个体积元d V ，其质量d m =ρ d V
其波方程
该体积元的振动速度为
该体积元d V 的动能为
2 波的势能
介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。
可以证明，因为介质形变，体积元d V 的势能与动能相等
结论：在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能和势能在任何时刻都是相等的，它们同时最大，同时为零。
3 t 时刻体积元d V 的总能量为
这一部分介质的能量是不守恒的，它随时间
按正弦平方的函数关系而变化，所cos ()x y A ω t u =-ωsin ()y x v A ω t t u ∂==--∂222p k 1d d d sin ()2x E E VA t u ρωω==-k p d d d E E E =+)(sin d 222u x t VA -=ωωρ2222k 11d d ρd ωsin ω()22x E mv VA t u ==-Y x
以能量是以波的形式沿着波的传播方向以速度u 传播。
二、能量密度
能量密度：单位体积介质中的波动能量称为波的能量密度，用 W 表示
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度，用 W 表示
三、能流密度
波的能量不守恒，它随时间作周期性变化。
波中每个质元左右都和介质中相邻的质元有相互作用的弹性力，在波的传播过程中，通过弹性力做功，质元不断地从波源方向接受能量，又不断地向后传递能量，因此在这部分中，机械能是不守恒的。
将能量的传播与水的流动相比拟，称为能流。
能流：单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以P 表示。
在介质中取垂直于波线的面积s ，t 时间
里通过s 的能量等于体积ut s 中的总能量。
平均能流：
平均能流密度：将通过垂直于波的传播方向单位面积的平均能流称为能流密度，以I 表示。
在SI 中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为W·m-2
意义：能流密度越大，单位时间、通过单位面积的能量越多，波强就越大，所以能流密度是波的强度的度量，又称为波强。
对声波叫声强；对光波称为光强。
222d sin ()d E x w A t V u
ρωω==-222 01ρωsin ω()d T x w A t t T u =-⎰2221ωρA =P wuS =2212wutS P wuS A us t ρω===22
12P I uw uA S ρω=== 2A I ∝2
ω∝
I。