数学平方差公式课件(人教版八年级上期)
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【人教版】八年级数学上册课件：平方差公式(共17张PPT)
你能根据图中的面积说明平方
图1
差公式吗？
能说明. (a+b)(a－b)=a2－b2 .
图2
平方差公式有什么特点？
(a+b)(a－ b)= a2－ b2
左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相 同，另一项互为相反数
右边是相同项的平方减去 相反项的平方
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x 2)(3x 2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1
D．4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的 面积，差是__1_0_____．
x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
20212 － 2020×2022
(x 2y)(x 2y) x 2 y (x)2 (2y)2 x2 4 y2
例3 化简：
(x y)( x y)( x2 y2 )
解：
（ x4 y4）
x8 y8
随堂训练
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2
小霞同学去商店买了单价10.
= 20212 － (2021－1)×(2021+1) 小霞同学去商店买了单价10.
＝5x2－5y2.
下20列21运2 算－中20，2可0×用20平22方差公式计算的是当( x)＝1，y＝2时，
解： (1) 原式=（50＋1）(50－1)
么多用项较 式大与的多正项方式形的的乘面法积法减则去较小的正原方形式的 ＝5×12－5×22＝－15.
人教版八年级上册平方差公式教学精品课件PPT1
人教版八年级上册14.2.1平方差公式 教学课件
计算
(1) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
人教版八年级上册14.2.1平方差公式 教学课件
人教版八年级上册14.2.1平方差公式 教学课件
拓展提升
2、化简 (x y)( x y)( x2 y2 ) (x4+y4 )
解原式 （x2 y2 )( x2 y2 )(x4+y4 )
❖
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
❖
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)= (a)2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（2）(3+2a)(－3+2a)= (2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4 a2－9； （3）(－2x2－y)(－2x2+y)= (-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）51×49= (50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499 （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)= (9x2－16) - (6x2+5x -6)
❖
1、在困境中时刻把握好的机遇的才能 。我在 想，假 如这个 打算是 我往履 行那结 果必定 失败， 由于我 在作决 策以前 会把患 上失的 因素斟 酌患上 太多。
人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式课件(共41张PPT)
=
4 9
x2
-
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
拓展提升
利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
【预习导学】
一、自学指导:自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌
握平方差公式，完成下列填空。
能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________
2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
数学人教版八年级上册平方差公式.2.1平方差公式.ppt;
=(y2－22)-(y2+5y-y-5) = y2－22－y2-5y+y+5 =-4y+1.
=1002－22
=10 000－4 =9 996.
（3）(a-b)(a+b)(a2+b2)
=(a2-b2)(a2+b2) =(a2)2-(b2)2 =a4-b4
练习 49 （1）51
（2） ( 3 x 4 )( 3 x 4 ) ( 2 x 3 )( 3 x 2 )
人民教育出版社 初中数学八年级上册
14.2.1《平方差公式》
天津市宁河区芦台第三中学
张红
14.2.1 平方差公式
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另
一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 会推导平方差公式. 2. 会应用平方差公式进行简单的运算．
P112 习题14.2 1
=9x2－4.
(3) (b+2a)(2a－b).
=(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2
=4a2－b2.
练习
(1) (a+3b)(a-3b)
(2) (3+2a)(-3+2a)
【例2】计算
(1) 102×98.
=(100+2)(100-2)
(2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
3、下列计算正确的是( A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 C.(5+x)(x－6)=x2－30
) B.(x+4)(x－4)=x2－4 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
=1002－22
=10 000－4 =9 996.
（3）(a-b)(a+b)(a2+b2)
=(a2-b2)(a2+b2) =(a2)2-(b2)2 =a4-b4
练习 49 （1）51
（2） ( 3 x 4 )( 3 x 4 ) ( 2 x 3 )( 3 x 2 )
人民教育出版社 初中数学八年级上册
14.2.1《平方差公式》
天津市宁河区芦台第三中学
张红
14.2.1 平方差公式
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另
一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. 会推导平方差公式. 2. 会应用平方差公式进行简单的运算．
P112 习题14.2 1
=9x2－4.
(3) (b+2a)(2a－b).
=(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2
=4a2－b2.
练习
(1) (a+3b)(a-3b)
(2) (3+2a)(-3+2a)
【例2】计算
(1) 102×98.
=(100+2)(100-2)
(2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
3、下列计算正确的是( A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 C.(5+x)(x－6)=x2－30
) B.(x+4)(x－4)=x2－4 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
14.2.1 平方差公式
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
规律探索：
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
14.2.1 平方差公式
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规律探索：
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计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
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小结
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
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(4) (x+y)(x-y)(x2+y2)
①平方差公式中的a、b 可代表数、单项式、多 项式；②要符合公式的 结构特征才能运用平方 差公式。
❖ 平方差公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
❖ 平方差公式
❖1、本节课你有何收获？ ❖2、通过本节课学习，你有何感受? ❖3、你还有什么疑惑?
平方差公式
❖ 乘法公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
❖ 乘法公式
算一算: (1) (x+1)(x-1) = x2-1 (2) (m+2)(m-2) = m2-4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2-1 观察算式的结构特征,你发现了什么规律? 计算出结果后,你又发现了什么规律?
公式吗?
a
a-b
a-b
a
b
b
❖ 平方差公式
(a b)(a b) a2 b2
❖ 平方差公式
下列多项式乘法中，能否用平方差公式计算？
(1)(2a 3b)(2a 3b) （能） 使用公式时，
关键要找准a
(2)(2a 3b)(2a 3b)（不能） 与b，公式左 边积的两个因
(3)(2a
3b)(2a
=(-x)2－(2y)2
=(2a)2－b2 =4a2－b2.
= x2－4y2
❖ 平方差公式
应用探究 协作交流 培养能力
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当
怎样改正？
(1) (2x+3)(2x－3)=2x2－9；（×）
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
最新人教版八年级数学上册《14.2.1 平方差公式》优质教学课件
人教版 数学 八年级 上册
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
适当交换 (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
合理加括号 相反为b，–b 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
探究新知
温馨提示
(a+b)(a– b)= a2– b2.
素养考点 2 利用平方差公式简便运算
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
=(100＋2)(100–2) = 1002–22
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
解：原式＝9n2–1–(9–n2) ＝10n2–10. ∵(10n2–10)÷10=n2–1. n为正整数， ∴n2–1为整数
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
探究新知
平方差公式
相同为a
适当交换 (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
合理加括号 相反为b，–b 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
探究新知
温馨提示
(a+b)(a– b)= a2– b2.
素养考点 2 利用平方差公式简便运算
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
=(100＋2)(100–2) = 1002–22
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
解：原式＝9n2–1–(9–n2) ＝10n2–10. ∵(10n2–10)÷10=n2–1. n为正整数， ∴n2–1为整数
即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍数．
探究新知
归纳总结 对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
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面积差变了吗？
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人教版八年级数学上册：平方差公式精品课件
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
例3、提高与应用
（1）、4a 1 4a 1 16a2 1
（2）、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
（3）、已知 x²-y²=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
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计算：
1002 992 982 972 ... 42 32 22 12 解：原式= (100 99)(100 99)
若a2 b2 1 , a b 1
4
2
求：a+b的值
先化简，再求值：
xy 2xy 2 2x2 y2 2 xy
其中：x 10, y 1 25
⑴ (2+a)(a-2) ⑶ (-4k+3)(-4k-3) ⑸ (-x-1)(x+1)
⑵ (3a+2b)(3a-2b) ⑷ (1-x)(-x-1) ⑹ (x+3)(x-2)
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例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . (3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
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14.2.1 平方差公式
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(1) (x+1)(x−1)==；xx22−−112 (2) (m+2)(m−2)=；m2−422;
(3) (2x+1)(2x−1)==；4(2xx2 )−2 −1 1; 2 (4) (x+5y)(x−5y)==；xx22−−2(5y2)2;
人教版数学八年级上册 《14.2.1 平方差公式》课件
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（1）（ 3x+2） （ 3x-2） ； （2）（ -x+2y） （ -x-2y） ．
解：（1） （3x+2） （3x-2）=（3x）2-22
（a+b） （a-b） = 9x2-4；
a2-b2
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（1）（ 3x+2） （ 3x-2） ； （2）（ -x+2y） （ -x-2y） ．
理解平方差公式
前面探究所得的式子（ a + b ） （ a - b ） = a 2 - b 2为乘法 的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你Ａ
a
ＦＧ
a M B
a-b
D bbE H
C
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
探究平方差公式
你能对发现的规律进行推导吗？
（ a + b ） （ a- b ） = a 2 - a b + a b - b 2 =a2-b2
• 学习重点：
平方差公式．
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1） （x-1）= x 2 - 1 ； （2）（ m +2 ） （ m -2 ） = m 2 - 4 ； （3）（ 2x+1） （ 2x-1） = 4 x 2 -1 ．
人教版八年级数学上册14.平方差公式课件
最后结果
(2x+2)(2x-2) 2x 2 (2x)2-22 4x2-4 (m+3n)(3n-m) 3n m (3n)2-m2 9n2-m2 (-a+4b)(-a-4b) -a 4b (-a)2- (4b)2 a2-16b2
2、判断下列各式是否满足平方差公式的 特征. (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(b＋2a)(2a－b)； (3)(－x＋2y)(－x－2y)； (4)(x＋2y)(－x－2y)．
规律:两个数的和与这两个数的差的乘积 等于相同项的平方减去相反项的平方.
观察如果用字母a、b表示等式左边,能否 得出以上规律？
(a+b)(a－b)
(a+b)(a－b) = a2－ ab+ab－ b2 =a2－ b2.
(a+b)(a－b)= a2－ b2.
平方差公式
(a+b)(a－b)= a2－ b2.
= 3x2-5x-10.
（3） 20042 － 2003×2005; 解：原式 = 20042 － (2004－1)(2004+1)
4、下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
5、运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)= 5、 51 × 49 =
（a+b）（a-b）
= 9x2 -4；
a2 -b2
计算时注意：
一定要把要计算的式子 与公式对照，找出哪个 是a ，哪个是b.
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= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152 － （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
4.利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
目录
01
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02
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两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式 相同为a
适当交换 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9；
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=2500-1
=4x4－y2.
=2499； （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
=(9x2－16) －(6x2+5x -6)
=3x2－5x－ 10.
3.计算： 20152 － 2014×2016. 解： 20152 － 2014×2016
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
改正方法2：（-3a-2)(3a-2)=（-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
=(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（3）51×49； =(50+1)(50-1) =502－12
注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b?
例2 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(2a－b).
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22 =9x2－4；
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)= _b_2-_______. (2)(a-b)(b+a)= __aa_22_-_b_2____.
(3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2__.
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
平方差公式；对于不能直接
应用公式的，可能要经过变
形才可以应用
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前言
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（x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
讲授新课
一 平方差公式
探究发现
面积变了吗？
原来
现在
a2 a米
5米
(a+5)米
ห้องสมุดไป่ตู้
(a-5) (a+5)(a-5)
5米 相等吗？
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
= - 4y + 1.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x-2)=x2-2 不对
改正：（1）（x+2)(x-2)=x2-4 （2）（-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对
改正方法1：（-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2）（3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4
例3 计算: (1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
典例精析
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2 例1 计算：（-x+2y)(-x-2y).
解：原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式解决问题. （难点）
导入新课
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
= 20152 － （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
4.利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
目录
01
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02
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两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式 相同为a
适当交换 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点
平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2
=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9；
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=2500-1
=4x4－y2.
=2499； （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
=(9x2－16) －(6x2+5x -6)
=3x2－5x－ 10.
3.计算： 20152 － 2014×2016. 解： 20152 － 2014×2016
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
改正方法2：（-3a-2)(3a-2)=（-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；
（2）(3+2a)(－3+2a)；
=(a)2－(3b)2 =a2－9b2 ；
（3）51×49； =(50+1)(50-1) =502－12
注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b?
例2 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (b+2a)(2a－b).
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22 =9x2－4；
（2）(b+2a)(2a－b) =(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)= _b_2-_______. (2)(a-b)(b+a)= __aa_22_-_b_2____.
(3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2__.
(4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-a_2____.
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
平方差公式；对于不能直接
应用公式的，可能要经过变
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（x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
讲授新课
一 平方差公式
探究发现
面积变了吗？
原来
现在
a2 a米
5米
(a+5)米
ห้องสมุดไป่ตู้
(a-5) (a+5)(a-5)
5米 相等吗？
算一算：看谁算得又快又准.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
= - 4y + 1.
当堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x-2)=x2-2 不对
改正：（1）（x+2)(x-2)=x2-4 （2）（-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对
改正方法1：（-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2）（3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4
例3 计算: (1) 102×98;
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996 （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
a
b
1
x
-3
a
a
1
0.3x
1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
典例精析
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2 例1 计算：（-x+2y)(-x-2y).
解：原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式解决问题. （难点）
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复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn